Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Состояние вопроса, цели и задачи исследования 7
1.1 Обзор литературных данных по вопросу нанесения теплозащитных покрытий 7
1.2 Материалы, применяемые для нанесения теплозащитных покрытий 15
1.3 Методы нанесения тегатозащитньк покрытий 18
1.3.1 Электронно-лучевой метод получения ТЗП 19
1.3.2 Вакуумный ионно-плазменный метод получения ТЗП 19
1.3.3 Газотермический юздушно-плазменный метод получения ТЗП 21
1.4 Ускорение и нагрев порошкового материала в плазменной струе и теоретические методы описания этих процессов 24
1.5 Цель работы и задачи исследования 28
Глава 2 Математическое моделирование процессов ускорения и нагрева напыляемого порошкового материала в плазменной струе 31
2.1 Используемые порошковые материалы и плазменные газотермические плазмотроны для получения теплозащитньк покрытий 31
2.2 Постановка математической модели определения скоростей и траектории движения напыляемого материала в плазменной струе 41
2.3 Математическая модель движения напыляемого порошкового материала в плазменной струе и анализ полученных результатов моделирования 45
2.4 Математичесткая модель определения температуры нагрева напыляемых частиц ... 56
2.5 Разработка рекомендаций по выбору гранулометрического состава напыляемого порошка и способу ввода его в канал плазмотрона 69
2.6 Результаты экспериментального исследования траектории движения напыляемых частиц, скорости и температуры 73
Выводы по главе 76
- Материалы, применяемые для нанесения теплозащитных покрытий
- Вакуумный ионно-плазменный метод получения ТЗП
- Постановка математической модели определения скоростей и траектории движения напыляемого материала в плазменной струе
- Математичесткая модель определения температуры нагрева напыляемых частиц
Введение к работе
Дальнейшее повышение ресурса, надежности и технико-экономических характеристик современных газотурбинных двигателей связано с разработкой технологий нанесения теплозащитных покрытий на детали горячего тракта. В настоящее время разработкой систем теплозащитных покрытий и созданием технологии их нанесения занимаются все ведущие мировые производители авиационных двигателей, энергетических и газоперекачивающих агрегатов и других изделий авиационно-космической техники.
Целью данной диссертационной является повышение эксплуатационных характеристик деталей горячего тракта ГТД за счет нанесения теплсващитньгх покрытий на их внутренние малоразмерные сложнопрофильные поверхности методом газотермического плазменного напыления.
Объектом разработки является технология напыления теплозащитных покрытий (ТЗП) на внутренние поверхности сложной формы малого диаметра. В качестве объекта исследований без ограничения общности полученных в диссертации результатов для других аналогичных деталей принята жаровая труба (переходный патрубок камеры сгорания).
Разработана математическая модель процессов ускорения и нагрева напыляемого порошкового материала учитывающая корректный вид феноменологического закона для коэффициента лобового сопротивления, потерю импульса плазменной струей при ускорении напыляемых частиц и дисперсию диаметров частиц фракции напыляемого порошкового материала.
Проведенные исследования позволили по результатам математического моделирования сформулировать требования к допустимой дисперсии диаметров частиц, используемых для напыления, и за счет выбора способа подачи порошка в анодный канал уменьшить сепарацию частиц в пятне напыления
Определено влияние дистанции напыления, угла наклона плазменной струи к напыляемой поверхности и грануляции порошкового материала на формирование свойств покрытия методом математического планирования эксперимента. В области факторного пространства исследованы адгезионная прочность, пористость, термостойкость, шероховатость напыленных покрытий, а так же количество проходов, необходимых для фор-
мирования теплозащитного покрытия заданной толщины. Проведенные исследования позволили обоснованно выбрать оптимальный технологический режим.
Разработанные новые теоретические положения и новые технологические решения, защищенные патентом, позюлили разработать автоматизированный управляемый персональной ЭВМ комплекс оборудования, способ формирования покрытия на малых дистанциях и технологию плазменного газотермического напыления двухслойного теплозащитного покрытия на внутренние сложнопрофильные поверхности труднодоступных малоразмерных деталей горячего тракта ГТД.
Результаты исследования физико-механических и эксплуатационных свойств деталей с двухслойными покрытиями Ni-Co-Cr-Al-Y и Zr02 + 8%Y2 О3 показали, что выбранный оптимальный состав покрытия и оптимальный режим его напыления обеспечивают комплекс требований технического задания к ТЗП на деталях горячего тракта.
Изготовленная партия деталей прошла весь комплекс заводских испытаний по методике предприятия ОАО «СНТК им. Н.Д. Кузнецова» в составе изделий НК - 38 СТ КГ - 101, НК 38 - СТ КГ 103. Экономический эффект от применения покрытий составил 124 тыс. руб.
Материалы, применяемые для нанесения теплозащитных покрытий
Современные ТЗП ГТД функционируют в сложных эксплуатационных условиях. Они подвергаются химическим и физико-механическим повреждениям продуктами сгорания топлива, имеющими температуру выше 1373...1473К и давление 2,8 МПа, движущимися со скоростью до 600 м/с. ТЗП должны обеспечивать тепловую защиту (градиент температуры через керамику может достигать 400 К/мм), вьщерживать термоудары (скорость изменения температуры достигает 100 К/с), сохранять адгезию с защищаемой основой и обеспечивать заданный ресурс работы детали/22,42/.
При выборе материалов, используемых в качестве ТЗП, необходимо принимать во внимание их стоимость, распространенность, технологичность, токсичность и т.п. /36,41/.
В целом ТЗП должны обладать комплексом свойств, которые практически невозможно совместить в однородном по составу и свойствам материале. Например, теплозащитное покрытие должно одновременно иметь высокую жаростойкость, жаропрочность, термодинамическую стабильность, небольшую плотность, иметь близкий с основой ТКЛР и низкий коэффициент теплопроводности.
Анализ литературы показывает, что в настоящее время в качестве теплозащитных покрытий распространено применение слоистых систем типа металл - керамика, способных обеспечить благодаря градиентному изменению свойств оптимальное сочетание адгезионной, механической прочности, коррозионной стойкости и термостойкости покрытия /77/.
Наиболее широкое распространение в качестве материала керамического слоя получил диоксид циркония /40,59,62/. Его достоинствами являются относительно высокий (по сравнению с другими оксидами) ТЮІР и низкая теплопроводность. К недостаткам диоксида циркония следует отнести то, что чистый Z1O2 - полиморфный материал, существующий в виде трех модификаций - моноклинной, тетрагональной и кубической. Высокотемпературная кубическая фаза стабильна от точки плавления при 742953 К. В интервале между 2643 К и 1443 К стабильной является тетрагональная фаза, имеющая на 9,5% больше объем элементарной ячейки. Ниже 1443 К в значительном температурном диапазоне (—-100 К) происходит мартенситное превращение, приводящее к образованию моноклинного диоксида циркония, имеющего объем элементарной ячейки больше, чем на 7%. Превращение из тетрагональной в моноклинную фазу сопровождается большим (4...6%) объемным расширением, которое может привести к растрескиванию чистой керамики при охлаждении. Проблема стабилизации высокотемпературной модификации или получение двухфазной тетрагонально-моноклинной структуры решается добавлением MgO, СаО, СеО, У20з, которые, растворяясь в кристаллической решетке Z1O2, стабилизируют ее. Наиболее эффективным стабилизатором диоксида циркония оказался оксид иттрия. Частично стабилизированный диоксид циркония, например, Z1O2 - 8% Y2O3 который состоит, главным образом, из тетрагональной фазы с небольшим количеством кубической и моноклинной фаз, является новым классом керамик с высокой прочностью разрушения.
Новые системы ТЗП, имеют широкие перспективы, как более стабильные и долговечные при работе при температурах выше 1500 К, однако, в настоящее время они недостаточно изучены, в связи с чем в качестве верхнего слоя ТЗП в настоящее время наиболее часто используется Z1O2 стабилизированный 8 % Y2O3. В диссертационной работе в качестве материала теплозащитного слоя выбран Zr02+8% Y2O3. Данный материал является одним из наиболее успешно применяемых в настоящее время в нашей стране и за рубежом для защиты лопаток турбин, камер сгорания и других деталей горячего тракта от высокотемпературного газового потока. Для исследований использовался порошок, выпускаемый отечественным производителем ООО «Цирко» г.Екатеринбург (сертификат - в приложении А).
Нанесение теплозащитного покрытия Zr02 - 8% Y203 непосредственно на защищаемое изделие (жаропрочный сплав) нецелесообразно, так как уже начиная с температуры 1173 К даже при относительно небольшом времени изотермического окисления (100 часов) на границе контакта керамика-основа формируется достаточно толстая 10... 15 мкм пленка оксида никеля, ТКЛР оксида никеля почти в два раза превышает аналогичную характеристику диоксида циркония в диапазоне температур 293...1073 К /110/. Возникающие на границе раздела двух оксидов напряжения приводят к быстрому разрушению защитного слоя Z1O2 - Y203, особенно, в процессе термоциклирования, которые уже при 10 теплосменах приводят к разрушению системы.
В связи с этим, как было показано выше п. 1.1, керамические слои наносят на подслои, представляющие собой жаростойкие никелевые сплавы. Наиболее распространенными являются сплавы системы M-Cr-Al-Y. Идеология создания этого материала следующая. Основу материала должны составлять компоненты жаропрочного сплава (Ni-Сг), что минимизирует изменение коэффициента термического расширения, а дополнительные компоненты (A1-Y) должны образовывать стойкие высокотемпературные окислы. После нанесения такого покрытия в процессе проведения последующего рекристал-лизационного отжига (температура 1050 С в течении 3-4 часов) А1 и Y диффундируют к внешней поверхности (диффузия в сплав блокируется образованием карбидной фазы в районе границы раздела) и окисляются. Процессы диффузии, образования и роста окисла алюминия, стабилизированного окислом иттрия, продолжается и при эксплуатации этого покрытия. Таким образом, в этой системе реализуется плавное изменение величины коэффициента термического расширения от значений близких к значениям жаропрочного сплава до значений близких к значениям окисла При дальнейшей эксплуатации такой системы в процессах темоциклирования и эрозионного уноса окисла, происходит восстановление окисной пленки за счет последующей диффузии алюминия и иттрия к поверхности. Ресурс такого ТЗП исчерпывается при уменьшении концентрации А1 и Y в материале ниже некоторой критической величины, при которой не образуется сплошное покрытие из окисла и начинается интенсивная высокотемпературная коррозия оставшихся компонентов материала. Следовательно, ресурс таких ТЗП по стойкости к высокотемпературной газовой коррозии определяется фактически толщиной покрытия, так как повышение концентрации А1 выше 13% и Y выше 0,6% оказалось неэффективным. Например, было установлено, что оптимальная концентрация иттрия в системе М-Cr-Al-Y составляет 0,15...0,35%. Благоприятные действия иттрия в малых концентрациях связаны с эффектом увеличения окалиностойкости металлического покрытия /10/. В первую очередь это связано с изменением структуры (появлением предпочтительной ориентации) формирующейся на поверхности покрытия в результате окисления пленки окалины А120з, снижением возникающих при росте окалины внутренних напряжений, увеличением адгезионной связи с металлом. Когда количество иттрия превышает 0,6% термостойкость ТЗП снижается. Причиной этого является охрупчивание подслоя Ni-Cr-A1-Y в результате вьщеления избыточной интерметаллидной фазы NiY5 по границам зерен /4/.
Вакуумный ионно-плазменный метод получения ТЗП
Сущность электронно-лучевого метода получения ТЗП заключается в следующем. В вакуумной камере размещаются лопатки ГТД, подлежащие напылению, и материал для нанесения покрытий. С помощью электронного луча, полученного в электроннолучевой пушке, материал для нанесения покрытия испаряется. Испаренный материал изотропно разлетается по вакуумной камере и осаждается на внутреннюю поверхность камеры, технологические приспособления и лопатки. Осаждаемый материал конденсируется и образует покрытие, имеющее столбчатую, перпендикулярную поверхности лопатки структуру. Оптимальной температурой конденсации является температура 950С, до которой постоянно подогревается материал лопаток. При меньших температурах конденсации столбчатые кристаллиты структуры имеют меньшую площадь поперечного сечения, низкую когезионную прочность столбчатых кристаллитов между собой и при этом наблюдается появление дефекта в виде сквозных пор вдоль боковых поверхностей столбчатых кристаллов. С повышением температуры конденсации до оптимальной 950 С площадь поперечного сечения кристаллитов увеличивается, увеличивается прочность адгезионной связи между ними и исчезают дефекты в виде сквозных пор. Для нанесения таких покрытий в РФ в основном используется установка, разработанная в ИЭС им.Патона.
Этим методом осаждают покрытия из материалов типа Me-Co-Cr-Al-Y и Zr02 - Y2O3. После осаждения покрытий проводится их высокотемпературный отжиг для обеспечения нужной адгезионной прочности при температуре 1050 С в течение порядка 2-3 часов.
Этот метод осаждения покрытий неприменим для нанесения ТЗП на внутренние поверхности и на другие детали, поверхности которых не имеют прямого доступа для парового потока.
Вакуумный ионно-плазменный метод получения ТЗП
Сущность вакуумного ионно-плазменного метода получения ТЗП, который также называется вакуумной плазменной технологией высоких энергий /60/, заключается в том, что для получения потока напыляемого материала используют электродуговые генера торы, осуществляющие перевод материала катода в высокотемпературные потоки металлической плазмы за счет процессов эрозии поверхности катода в так называемых вакуумных дуговых разрядах с холодным катодом.
В этом методе для получения покрытий в РФ используются установки типа МАП с цилиндрическим катодом. Разработчик оборудования и технологии нанесения ТЗП - АО «ВИАМ».
Генерация плазмы осаждаемого материала в установке осуществляется в вакуумном дуговом разряде с внешней поверхности катода, изготовленного из материала покрытия, которым может быть любой немагнитный чистый металл или сплав. Катод эродирует под действием катодных пятен вакуумной дуги, плотность теплового потока в которых достигает 109-1010 Вт/м2. Пятна являются источником потоков сильно ионизированной металлической плазмы, в которой присутствуют микрокапли материала покрытия.
Для реализации этого метода катод должен быть электропроводным, поэтому этим методом можно наносить покрытия только из металлов и сплавов, но не из окислов. Метод вакуумной плазменной технологии высоких энергий используют только для получения покрытий из Ni-Co-Cr-Al-Y, то есть фактически только подслоя в современный двухслойных ТЗП.
Покрытие, также как и в электронно-лучевом напылении, имеет столбчатую структуру. Однако, из-за того, что осаждение происходит из плазменных потоков металлов с энергией ионов порядка 200400 эВ (после их дополнительного ускорения за счет подачи на лопатки потенциала около 200 В) поперечная площадь столбчатых кристаллов в 5-10 раз меньше и существенно более высокая когезионная и адгезионная прочность покрытия.
После нанесения изделие с покрытием, также как и в электронно-лучевом методе, подвергается высокотемпературному отжигу при тех же параметрах процесса.
Этот метод также не применим для нанесения покрытий на внутренние поверхности жаровых труб и других деталей, поверхности которых не имеют прямого доступа для плазменного потока Кроме того, этим методом невозможно получить на поверхности изделия покрытие из окислов.
Газотермический юздушно-плазменный метод получения ТЗП Сущность метода плазменного газотермического нанесения покрытий заключается в следующем. Порошковый материал подается в высокоскоростную и высокотемпературную плазменную газовую струю, нагревается в ней до температур порядка температур плавления материала порошка, разгоняется до скоростей (80-200) м/с и направляется на напыляемую поверхность. При ударе о поверхность частицы порошка деформируются на ней, активируют процессы топохимического взаимодействия контактных поверхностей, вступают в прочное химическое взаимодействие, кристаллизуются и за счет последовательного, индивидуального наложения других частиц образуют покрытие.
Плазменные струи получают в специальных устройствах, называемых плазменными генераторами или плазмотронами (рисунок 1.4). Плазмотрон состоит из водо-охлаждаемых катода, анода и разделяющего их изолятора. Плазмообразующий газ подается в электрическую дугу, возбуждаемую между стержневым катодом и кольцевым анодом (соплом), нагревается и в виде плазменной струи вытекает из сопла. Распыляемый материал вюдится в плазменную струю в виде порошка или проволоки за анодным пятном, возможен его ввод в дугу с плазмообразующим газом.
Постановка математической модели определения скоростей и траектории движения напыляемого материала в плазменной струе
Будем считать, что частицы порошкового материала, имеющие форму близкую к сферической, вводятся в цилиндрический канал анода плазмотрона перпендикулярно его оси в области установившегося течения плазмообразующего газа (рисунок 2.8). Ввод частиц осуществляется с помощью холодного транспортного газа, химический состав которого близок к химическому составу плазмообразующего газа. Функциональное назначение транспортного газа состоит в создании газовзвеси с максимально однородным распределением частиц по объему и сообщении частицам скорости вдоль оси у (рисунок 2.8), достаточной для их проникновения в центральную часть плазменной струи, однако не приводящей к столкновению этих частиц с внутренней поверхностью анодного канала плазмотрона. При этом расход транспортного газа не должен приводить к существенному затормаживанию и захолаживанию (снижению энтальпии) образующейся смеси. Обеспечение перечисленных условий введения порошка в газотермическую плазму достигается соответствующим выбором технологического режима подачи порошка Под действием газового потока частицы, имеющие начальную скорость вдоль оси у, ускоряются и движутся по некоторым траекториям, показанным для примера на рисунке 2.8 линиями 1 и 2. Будем считать, что выбором режима расхода порошка реализуется ситуация, при которой частицы порошка не сталкиваются между собой в потоке и, следовательно, уравнения движения для каждой частицы являются индивидуальными. При этом будем предполагать, что в процессе движения частиц не происходит изменения их формы и размеров, то есть не происходит дробления частиц, а сублимация и эрозия материала с их поверхности незначительна. Кроме того, будем считать, что составляющая ускоряющей силы в направлении перпендикулярном оси потока существенно меньше составляющей вдоль оси /24,46/ и на частицу действует только сила ускорения вдоль оси х (рисунок 2.8), которая приложена к ее центру масс. где рг— плотность газа в потоке, U - скорость газового потока в направлении JC , -скорость частицы вдоль направления U движения потока, SM - площадь миделевого сечения частицы.
Экспериментально установлено /20,24/, что для частиц с неправильной, но округлой формы, без резких выступов, коэффициент лобового сопротивления на стадии установившегося обтекания дозвуковым потоком определяется числом Рейнольдса Re=(u v)D/v где и -скорость газового потока; V -скорость частицы; D -характерный линейный размер частицы, определяемый через площадь ее миделевого сечения SM на основе соотношения D = T]4SM/X ; v -кинематическая вязкость газового потока. При малых Re (Re «1) коэффициент лобового сопротивления частицы Сх совпадает с теоретическим значением /74/ Сх =24/Re (формула Стокса). С ростом Re до значений Re к 5-Ю3 величина этого коэффициента плавно убывает по более медленному закону /20,47,91/ и, в различных диапазонах изменения Re аппроксимируется различными степенными зависимостями /46/ вида Сх = (24/Re)+(с 0 /(Re/)
Учитывая, что скорость плазменной струи в зоне ее ядра U = (300...900) м/с; диаметры частиц D = (20...120)мкм, а типичные значения кинематической вязкости горячих плазменных струй v = (2...6)-10-3 м2/с получаем, что число Рейнольдса в процессе разгона частиц до V = (100...200) м/с изменяется в диапазоне Re-\.. .30. В соответствии с результатами обработки экспериментальных данных коэффициент лобового сопротивления в диапазоне Re =1.. .500 с погрешностью менее 2% можно представить в виде /24,46/: Сх =(24/Re)+4/(Ref С учетом того, что в нашем случае диапазон изменения Re существенно меньше, эта двухчленная зависимость может методом наименьших квадратов сведена к более простой одночленной зависимости Cx=CJ(Ref (2.8) с параметрами С0=24,4 и k =0,739, которые в диапазоне Re =1...30 дают погрешность отклонения от экспериментальных данных в пределах не превышающих 4%.
Использование феноменологического выражения для ускоряющей силы, точкой приложения которой является центр масс частицы, заведомо основывается, хотя часто неявно, на предположении о форме частицы близкой к сферической, так как само выражение для силы и эмпирическое выражение для коэффициента лобового сопротивления получено для сферических частиц. Это исключает учет эффектов, связанных с вращением частиц, воздействием подъемной силы и т.д. Однако, оценки таких эффектов для частиц, форма которых близка к сферической, не вносит существенных изменений в динамику их движения /24,46/.
С учетом сделанных допущений уравнение движения индивидуальной частицы, введенной в газотермический поток в соответствии со схемой, представленной на рис. 2.8, можно записать в виде: m(dVjdt) = рг (U-VjC, SJ2, (2.9) v,=v» К,(0) = 0 (2.10) где m = pnD /б, SM =я)2/4,и Cx=C0/(Re)k - масса, площадь миделевого се чения и коэффициент лобового сопротивления шаровой частицы, соответственно, Vx и Уу - компоненты скорости ее центра масс, рг - плотность газового потока. В связи с тем, что, ускоряя частицу, газовый поток теряет часть своего импульса из закона сохранения импульса вдоль оси х получим: d(mVx)=-d(mrU) (2.11) где т,- масса, газа, приходящаяся на одну частицу. В (2.11) пренебрегаем потерями импульса на трение в газе и трение о внутреннюю поверхность анодного канала плазмотрона, а так же изменением давления газа в «затопленной» газотермической струе.
При решении системы уравнений (2.9-2.11) и нахождении скоростей и траекторий движения частиц выделим две области. Первая область - это область, в которой параметры газотермической струи (uo,pr,v) до введения напыляемых частиц постоянны (область анодного канала плазмотрона и область ядра струи), и вторая область, в которой эти параметры являются функциями координат и у (зона смешения, переходная зона и зона основного течения струи).
Математичесткая модель определения температуры нагрева напыляемых частиц
Частицы с диаметрами 40 - 80 мкм разгоняются более медленно и достигают максимальной скорости на расстоянии 1,5-21н. Значение максимальной скорости таких частиц составляет не более 17-28 % скорости газового потока в ядре. Однако снижение скорости частиц с диаметрами 40 мкм и более происходит гораздо медленнее и составляет на расстоянии 130 мм от среза сопла не более 5% от их максимальной скорости. Таким образом, мелкие частицы гораздо быстрее разгоняются, чем крупные, приобретают существенно большие значения максимальной скорости, но и быстрее теряют ее. При этом крупные частицы медленнее разгоняются, но сохраняют набранные скорости до дистанций 140 мм и более. Таким образом, в пятне осаждения покрытия скорость частиц из одного материала, но разного диаметра изменяет величину в 1,5-3 раза на различных дистанциях напыления. На рисунке 2.16 приведена диаграмма, наглядно представляющая изменение скорости напыляемой частицы в момент осаждения на основу в зависимости от дистанции напыления и диаметра частицы.
Математнчесткая модель определения температуры нагрева напыляемых частиц
В плазменном потоке напыляемая частица не только ускоряется, но и нагревается за счет конвективного теплообмена и теплообмена излучением. Основным допущением при моделировании нагрева частиц, используемым во всех опубликованных работах по плазменному напылению, является предположение о форме частиц, близкой к сферической и допущение о равномерности теплового потока, действующего на поверхности сферы. Известно, что конвективный теплообмен поверхности с обтекающим ее потоком газа определяется критерием Нусельда Nu = aD/A,., где а - коэффициент конвективного теплообмена, D- диаметр частицы, А,.- теплопроводность плазмы. Экспериментально установлено, что наиболее корректные результаты при оценке конвективного теплообмена между частицами и аргоновой, азотной и водородной плазм получаются при использовании выражения: Nu = 2 + 0,63 Re /Vої{Pr jPrv)wlp]v,.)/(p t.)]c2}, (2.35) где с = \-{Вв]НгТ У$ {На1НгУ\, Pr = vja,.- число Прандля, аг=Лг/р,с/ коэффициент температуропроводности газа, и - энтальпия газа, индекс " р относиться к параметру в газе, то есть получен при температуре плазмы, а индекс "С" относится к этому же параметру в пограничном слое на поверхности (обычно рассчитывается при температуре (тг +г)/2,где Г-температура поверхности).
Расчет по соотношению (2.35) для типовых плазм и частиц, используемых нами при плазменном напылении, дает для слагаемого в фигурных скобках величину не превышающую 5%. Следовательно, с погрешностью не более 5% можно считать, что критерий Нуссельта в этих условиях примерно равен М/ = 2, не зависит от числа Рейнольдса Re и, следовательно, условия теплообмена в различных точках поверхности одинаковы. В связи с этим распределение температуры в частице зависит только от координаты z и времени / и для теплофизических параметров частицы, не зависящих от температуры и равных средним значением этих параметров в диапазоне температур от начальной Т0 до температуры плавления Tm, определяется из решения уравнения теплопроводности в сферической системе координат: д(гТ) ад2(гТ) dt дг arI,t 0,T Tm, (2.36) где а = Л/р с - коэффициент температурнопроводности частицы. Дифференциальное уравнение (2.36) должно быть дополнено начальным условием Т{г,0)=Т0, (2.37) граничным условием на внешней поверхности, отражающим, в общем случае, теплообмен конвекцией и излучением, Л - = а[Тг -Т]-єа[ґ -Ґс],при r = R, (2.38) и условием отсутствия теплового потока в центре шара г = О и ограниченности температуры в этой точке L = 0,T(0,t) oo,npnr = 0, (2.39) дг где є- полный коэффициент теплоизлучения, а- постоянная Стефана-Больцмана, Тс- температура окружающей среды.
Решение краевой задачи (2.36)-( 2.39) из-за нелинейности граничного условия (2.38) нельзя представить в замкнутом аналитическом виде. Однако можно показать, что в вы 58 сокотемлературной области плазменной струи вклад охлаждения частицы излучением является незначительным.
