Введение к работе
Актуальность темы. Системы, состоящие из большого числа взаимодействующих компонент, являются основным классом моделей, с помощью которых удается изучить поведение сколь угодно больших (бесконечных) физических или информационных систем. Такие системы проявляют коллективное поведение, в котором детали процесса динамического изменения состояния каждой из компонент становятся несущественными. Вместо этого основной характеристикой системы становится вероятностное описание доли компонент, которые обладают некоторым определенным свойством. Общая структура описания таких многокомпонентных моделей на физическом языке была разработана Больцманом и Гиббсом на рубеже 19 и 20 веков. В их работах было положено начало новой науке — статистической механике. Первоначально статистическая механика была предназначена для решения чисто физических проблем, однако разработанные новые методы ц подходы оказались настолько универсальными, что стали применяться к различным ситуациям, далеко выходящим за рамки физических задач. Основы математической статистической механики были заложены в 40-50х годах 20 века Л. Ван Ховом, Л. Онзагером, Н.Н. Боголюбовым и Б.И. Хацетом, М. Кацем, Т. Ли и К. Янгом, и, позднее, в б0-70е годы, были развиты в работах Р.Л. Добрушина, Р.А. Минлоса, Я.Г. Синая, Ф.А. Березина, О. Лэнфорда, Д. Рюэля, Дж. Галлавотти, Р. Гриффитса, Ж. Жинибра, Д. Робинсона, Ф. Спитцера, Дж. Лебовица, С. Миракль-Соля, в которых, в частности, па математическом уровне строгости были введены понятия термодинамического предельного перехода, гиббеовского случайного поля, построены предельные гиббеовские распределения, исследованы корреляционные функции непрерывных и решетчатых систем, построены основы теории фазовых переходов, введены неравновесные модели и изучена их связь с гиббеовскими состояниями.
Математический аппарат статистической механики в современном ее понимании включает в себя разнообразные методы из различных областей математики: теории вероятностей (включая теорию случайных процессов), функционального анализа и теории дифференциальных уравнений. При этом используемый математический аппарат является довольно своеобразным и не имеет аналогов в классической теории вероятностей и математической статистике. Еще большим своеобразием отличается сама постановка задач статистической механики. Это, по существу, широкий класс задач теории случайных процессов в пространствах большой (обычно — бесконечной) размерности, описывающих поведение большого числа взаимодействующих компонент (называемых иногда частицами, спинами, автоматами). Одной из основных задач статистиче-
ской механики является описание фазовых переходов. В точке фазового перехода различные термодинамические характеристики системы (такие как плотность, намагниченность, концентрация) имеют особенности как функции основных термодинамических параметров (температуры, давления, химических потенциалов, внешнего поля). В случае фазового перехода 1-го рода термодинамические характеристики меняются скачками, причем сама точка фазового перехода 1-го рода характеризуется наличием нескольких чистых термодинамических фаз с различными значениями термодинамических характеристик. Множество точек фазовых переходов 1-го рода в пространстве термодинамических параметров называется фазовой диаграммой. Обычно фазовая диаграмма состоит из компонент различных размерностей. Согласно известному эмпирическому правилу фаз Гиббса, на компоненте фазовой диаграммы, имеющей коразмерность г, существует г + 1 чистых термодинамических фаз (гиббсовских состояний). Задача описания фазовой диаграммы в общем случае все еще далека от своего решения.
К началу 70-х годов в работах Р.Л. Добрушина, Р.А. Минлоса, Я.Г. Синая была создана математически строгая концепция фазового перехода 1-го рода как точки неединственности соответствующего предельного распределения Гиббса. При этом чистым термодинамическим фазам соответствуют чистые (т.е. пространственно однородные, эргодические) предельные гиббсовские меры, имеющие одинаковые условные распределения, по различающиеся между собой. Однако число конкретных примеров неединственности предельного распределения Гиббса было в то время невелико. Оно ограничивалось ферромагнитной моделью Изинга (Р.Л. Добрушин. Р.А. Минлос, Я.Г. Синай, Ф.А. Березин), антиферромагнитной моделью Изинга (Р.Л. Добрушин) и еще рядом моделей, в которых неединственность гиббсовского поля сопровождалась спонтанным нарушением симметрии, отличной от ферромагнитной и от антиферромагнитной (В.М. Герцик, Р.Л. Добрушин). Не было известно ни одного случая, когда бы фазовый переход 1-го рода происходил без спонтанного нарушения симметрии, подобно кипению воды в природе (вода и пар не отличаются между собой по симметрийным свойствам). Единственным исключением была модель Ван-дер-Ваальса, изученная М. Кацем. Но в этой модели условные вероятности нелокальны, а потому она не дает нетривиального примера гиббсовского поля.
Для более детального вероятностного описания предельных распределений Гиббса ферромагнитной модели Изинга Р.А. Минлос и Я.Г. Синай развили метод контурных функционалов и технику (линейных) корреляционных уравнений, которым удовлетворяют корреляционные функции соответствующих случайных полей. Эти поля, по существу, относятся к геометрической теории вероятностей, поскольку их реализации
суть наборы непересекающихся замкнутых ломаных на целочисленной решетке в размерности 2 и замкнутых поверхностей в размерности 3. Работы Р.А. Минлоса и Я.Г. Синая были продолжены учениками Я.Г. Синая (Е.И. Динабург, А.Е. Мазель, С.А. Пирогов). Изучение и применение контурных моделей стало предметом исследований автора. На этой основе получила дальнейшее развитие теория фазовых переходов и к середине 70-х годов была создана теория фазовой диаграммы для широкого класса решетчатых моделей статистической механики (теория Пирогова-Синая). На протяжении последующих двух десятилетий эта теория активно развивалась прежде всего учеными нашей страны и стран Восточной Европы. В последние годы теория Пирогова-Синая развивается в многочисленных (более 160) работах отечественных и зарубежных ученых. Эти исследования ведутся во всех крупных европейских и американских математических центрах. В особенности стоит отметить полученное Э. Презутти (Римский университет) и его школой обобщение теории Пирогова Синая с решетчатых систем на непрерывные системы, т.е. на точечные случайные поля в эвклидовом пространстве.
Особый раздел математической статистической механики представляет изучение систем взаимодействующих вероятностных автоматов. Хотя зависимость состояний системы автоматов от времени и может рассматриваться как гиббеовское случайное поле на пространстве-времени, но свойства этого поля резко отличаются от свойств полей, возникающих из других задач статистической механики. Это связано, наглядно говоря, с тем, что параметр "температура", управляющий состоянием обычных термодинамических систем, невозможно непостредственно ввести в описание системы взаимодействующих автоматов. Еще более необычный класс систем представляют собой системы автоматов с отказами, введенные автором. Под системой автоматов с отказами здесь понимается такая система взаимодействующих вероятностных автоматов, для каждого элемента которой возможен переход в аварийное состояние. При этом переход одного из элементов в аварийное состояние ведет к полному разрушению всей системы. Несмотря на необычность математического описания рассматриваемой ситуации, такие процессы естественно возникают в ряде технических и биологических задач. В частности, в по-пуляционной генетике естественно описывать состояние популяции как меру на пространстве генотипов, а мутации — как случайные изменения отдельных элементов генотипов. При этом некоторые комбинации мутаций являются летальными, т.е. ведут к исчезновению соответствующего генотипа. Именно такие ситуации и рассматриваются в теории систем взаимодействующих автоматов с отказами.
Случайные блуждания химической кинетики являются марковскими процессами с непрерывным временем на целочисленном положительном
ортанте большой размерности с интенсивностями переходов (не обязательно в ближайшие точки), полиномиально зависящими от состояния системы, которое задано как целочисленный вектор с неотрицательными координатами. Говоря содержательно, компоненты этого вектора задают количество молекул каждого из потенциально возможных типов (считается, что число типов конечно). Полиномиальная зависимость интенсив-ностей переходов от вектора состояния представляет собой математическое выражение закона действующих масс классической химической кинетики. Случайные блуждания химической кинетики представляют собой удобный полигон для изучения обратимого и необратимого поведения больших случайных систем. В частности, простейший пример такого случайного блуждания еще в начале 20-го века рассматривался с этой точки зрения в работе Т. и П. Эренфестов. Связь между поведением решений системы дифференциальных уравнений химической кинетики и поведением траекторий случайного блуждания химической кинетики может быть рассмотрена с различных точек зрения и ведет к новому классу задач теории случайных процессов. Таким образом, выполненное автором исследование асимптотического поведения случайных блужданий химической кинетики и, в частности, изучение структуры множества их инвариантных мер является решением актуальной задачи.
Цель работы. В работе рассматриваются следующие системы:
гиббсовские поля статистической физики;
марковские процессы с локальным взаимодействием, в том числе системы автоматов с отказами;
случайные блуждания химической кинетики.
Основной целью работы является изучение глобальных свойств этих систем, характеризующих их устойчивость или неустойчивость (фазовые переходы 1-го рода для гиббсовских случайных нолей, существование различных предельных режимов для систем автоматов с отказами, существование функции Ляпунова и описание инвариантных мер для процессов химической кинетики).
Методы исследования. В наших исследованиях использованы методы теории вероятностей и функционального анализа, в частности, метод контурных функционалов Р.А. Минлоса и Я.Г. Синая, корреляционные уравнения и их нелинейные аналоги, теория сходимости операторных полугрупп Троттера-Курца.
Научная новизна. Разработан новый метод исследования классических решетчатых систем в низкотемпературном режиме, известный
теперь как метод Пирогова-Синая. Этот метод основан на построении вспомогательных контурных моделей (в смысле теории контурных функ-гщопалов Р.А. Миилоса и Я.Г. Синая), статистические суммы (и, тем самым, корреляционные функции) которых определенным образом связаны со статистическими суммами (и корреляционными функциями) изучаемого гнббсовского поля. Важной особенностью такого подхода является то, что для изучения фазовых переходов данное гнббсовское поле включается в подходящее конечно-параметрическое семейство и, таким образом, возникает фазовая диаграмма, состоящая из компонент различной размерности в конечномерном пространстве параметров, которая полностью описывает фазовые переходы 1-го рода в рассматриваемой системе. При реализации этого подхода существенно используется метод сжатых изображений как для решения линейных корреляционных уравнений Минлоса-Синая, так и для решения нелинейных уравнений для неизвестных контурных функционалов, описывающих вспомогательные контурные модели.
Разработан аналогичный метод построения вспомогательных контурных моделей для изучения систем автоматов с отказами.
Разработан метод исследования инвариантных мер случайных блужданий химической кинетики, основанный на алгебраических свойствах прямого уравнения Колмогорова, отвечающего такому марковскому процессу. Показано, что построение функции Ляпунова для систем обыкновенных дифференциальных уравнений химической кинетики также основано на алгебраических свойствах этой системы. Установлено, что алгебраические свойства систем уравнений химической кинетики, гарантирующие существование функции Ляпунова, связаны с алгебраическими свойствами прямого уравнения Колмогорова, обеспечивающими существование пуассоновской инвариантной меры, что заранее не было очевидно.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, В диссертации разработаны новые методы исследования, которые в сочетании с известными методами позволили получить новые результаты и доказать утверждения, существовавшие ранее в виде гипотез. В частности, для широкого класса моделей получено математическое обоснование эмпирического правила фаз Гиббса для низкотемпературной фазовой диаграммы. Обнаружена неустойчивость асимптотического поведения систем взаимодействующих автоматов с отказами. Установлена связь между принципом возрастания энтропии и существованием пуассоновских инвариантных мер для случайных блужданий химической кинетики. Результаты и методы работы могут быть использованы в статистической физике, в теории вероятностей и, кроме
того, могут иметь приложения для решения практических задач обработки информации. Исследование систем автоматов с отказами связано, кроме того, с изучением надежности систем хранения информации, а также с некоторыми задачами популяционной генетики. Анализ случайных блужданий химической кинетики открывает новые возможности для статистического моделирования химических процессов с участием небольшого количества молекул, когда стандартные методы, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях химической кинетики, теряют свою применимость.
Апробация результатов и публикации. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством Р.Л. Добругпина, Я.Г. Синая, Р.А. Минлоса и В.А. Малышева (70е-80-е гг.), на научных семинарах в ИППИ РАН под руководством Р.Л. Добрушина, Р.А. Минлоса и М.С. Пинскера (1990-2008), на спецсеминаре по математической физике в МГУ под руководством Р.А. Минлоса (1990-2008), на летнем семинаре Я.Г. Синая в МГУ (2005-2007), а также на многочисленных международных конференциях.
Основные материалы диссертации изложены в 31 работе.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Текст работы изложен на 198 страницах. Список литературы содержит 220 наименований.
