Введение к работе
Актуальпость темы. Настоящая работа посвящена изучению обобщенных весов и спектров Хэмминга для линейных кодов и обобщенных эрмитовых параметров (аналогов обобщенных весов) для решеток в евклидовом пространстве. Обобщенные веса Хэмминга, (называемые также профилем размерность/длина или минимальными весами носителей) — это введенные относительно недавно параметры линейных кодов, которые стали интенсивно изучаться с начала 1990х годов. Обобщенные веса кода связаны с трел-лисной сложностью кода, декодированием и эффективностью кода как криптографического в канале специального типа. Они применяются для доказательства неэквивалентности кодов, построения кривых над конечными полями с большим числом точек и для решения других проблем.
Обобщенные эрмитовы параметры тоже связаны с трел-лисной сложностью и декодированием. Они были введены Р.Ранкиным еще в 1953 году как естественные инварианты квадратичной формы, но интенсивное их исследование началось всего несколько лет назад. Обобщенные эрмитовы параметры являются систолами плоских торов, изучение которых важно с точки зрения геометрии римановых многообразий.
Получено достаточно много результатов относительно обобщенных весов кодов; про обобщенные эрмитовы параметры известно гораздо меньше, в частности, известно очень мало границ. В настоящей работе получено несколько новых границ на обобщенные эрмитовы параметры.
Многие результаты и конструкции из теории кодирования имеют естественные аналоги в теории решетчатых упаковок шаров в евклидовом пространстве. Как правило, в
таких случаях существуют общие конструкции, и результаты для кодов и решеток получаются как частные случаи одной общей конструкции. Так, например, формула суммирования Пуассона влечет и функциональное уравнение для Э-функции решетки, и тождества Мак-Вильяме (функциональное уравнение на нумератор кода). В работе получена еще одна такая общая конструкция, которая представляется наиболее приспособленной для изучения обобщенных весов. А именно, строится аналог преобразования Радона в различных пространствах, связанных с кодами и решетками, и демонстрируются несколько применений этого преобразования.
Важным является изучение кодов, построенных по алгебраическим многообразиям, отличным от кривых; в этом направлении пока очень мало результатов, за исключением нескольких работ Д.Ю.Ногина и М.А.Цфасмана, С.Г.Влэду-ца и Дж.В.П.Хиршфельда. Вычисление обобщенных весов для этих кодов часто приводит к естественным и теоретически важным геометрическим задачам. Например, рассматриваемая в настоящей работе задача о вычислении обобщенных весов g-ичных проективных кодов Рида-Малера эквивалентна задаче о нахождении максимально возможного числа решений полиномиальной системы над конечным полем. Кроме того, в работе строятся коды из расщепимых поверхностей Дель Пеццо и вычисляются их обобщенные веса. На геометрическом языке эти две задачи эквивалентны, соответственно, нахождению максимально возможного числа Fg-точек на сечениях многообразий Веронезе и расщепимых поверхностей Дель Пеццо.
Цель работы. Целью работы является исследование обобщенных весов линейных кодов и обобщенных эрмитовых констант решеток: получение соотношений на обобщен-
ные спектры; получение границ на обобщенные эрмитовы параметры и вычисление обобщенных весов и параметров для конкретных интересных с теоретической точки зрения кодов и решеток.
Методы исследования. В работе применяются методы различных областей математики. При построении аналога преобразования Радона применяются методы и идеи интегральной геометрии и теории двойственных однородных пространств. При получении оценок на обобщенные эрмитовы параметры используются результаты из теории упаковок в различных метрических пространствах. При вычислении весов проективных кодов Рида-Малера используется техника комбинаторной геометрии, а при вычислении обобщенных весов кодов по поверхностям Дель Пеццо используются результаты алгебраической геометрии.
Научная новизна. В работе вводятся Г-функции решеток, которые являются аналогом обобщенных весовых нумераторов кодов и обобщениями классической 9-функции решетки, и изучаются' некоторые их свойства. Строится аналог преобразования Радона для некоторых пространств, связанных с кодами и решетками. Формула Планшереля для этого преобразования дает ряд тождеств на весовые нумераторы. Таким образом получаются любопытные тождества на обобщенные весовые нумераторы кодов и их аналоги для решеток, а также новое доказательство одной верхней границы на обобщенные веса и новая интерпретация двойственности вес/кратность для проективных систем. Применение преобразования Радона в теории решеток и кодов является новым и должно позволить по-новому взглянуть на некоторые известные результаты из теории кодов.
Из известных границ на сферические коды, упаковки в проективном пространстве и в грассманианах строятся гра-
ннцы на обобщенные эрмитовы параметры решеток с несколькими минимальными векторами. Для многих известных решеток эти границы намного улучшают ранее известные. Этим методом, в частности, получены верхние оценки на (неизвестный до сих пор) второй эрмитов параметр теоретически важных двойственных решеток корней А*п и )*, которые отличаются приблизительно в 1,3 раза от известных нижних границ.
В работе также вычисляется второй обобщенный вес для g-ичных проективных кодов Рида-Малера, и выдвигается гипотеза относительно значения остальных весов. Эти коды важны с теоретической точки зрения в силу своей универсальности. Задача вычисления обобщенных весов для этих кодов эквивалентна следующей очень естественной задаче геометрии над конечными полями: найти максимально возможное число решений в проективном пространстве над конечным полем у системы из г линейно независимых полиномиальных уравнений одной и той же степени d. Для случая г = 1 эта задача была решена в 1990 году Ж-П.Серром, который доказал гипотезу М.А.Цфасмана. В настоящей работе получено решение задачи для г = 2 и выдвигаются гипотезы относительно общего случая. В аффинном случае задача была решена в 1997 году Р.Пелликааном и П.Хэйнен, однако, по всей видимости, их методы не распространяются на (более естественный с геометрической точки зрения) проективный случай. Кроме того, в работе строятся алгебро-геометрические коды по расщепимым поверхностям Дель Пеццо и вычисляются обобщенные веса этих кодов. Этот результат требует некоторой алгебро-геометрической техники и является (наряду с результатами, изложенными выше) одним из немногих имеющихся в настоящее время результатов о кодах, построенных из алгебраи-
ческмх многообразии размерности больше единицы.
Апробация работы. По материалам работы автором сделаны доклады на Четвертой международной конференции по алгебраической и комбинаторной теории кодирования (Новгород, Сентябрь 1994), Третьем международном коллоквиуме «Арифметика, геометрия и теория кодирования» (Марсель, Июнь 1995), Пятой международной конференции по алгебраической и комбинаторной теории кодирования (Созополь, Июнь 1996), Шестой международной конференции по алгебраической и комбинаторной теории кодирования (Псков, Сентябрь 1998), а также на научных семинарах Добрушинской лаборатории ИППИ РАН, механико-математического факультета МГУ и математического факультета Амстердамского университета.
Публикация результатов исследования. Результаты диссертации опубликованы в четырех печатных работах автора.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Оглавления, Списка обозначений, Введения, Первой (вводной) главы, глав Второй - Пятой, содержащих, в основном, новые результаты автора, Заключения и Списка литературы. Текст отпечатан на 73 страницах и содержит 3 таблицы. Список литературы состоит из 55 работ.
