Введение к работе
Актуальность темы. Проблемы передачи, обработки и использования информации в процессе принятия решения возникают в разнообразных областях человеческой деятельности. Наиболее сложной и интересной является теория управления - раздел теоретической информатики, связанный с динамикой информационных процессов.
Использование научно обоснованных принципов управления предполагает создание математических моделей разнообразных процессов и решение определенных задач оптимизации для этих моделей.
В теории оптимального управления в общем случае рассматривались системы, на поведение которых можно воздействовать путем изменения параметров управления. Целью теории оптимального управления является разработка методов такого выбора параметров управления, при котором достигается оптимум некоторого функционала ( например, минимум времени, минимальные потери, максимум полезности и т.д.).
Хотя к началу 50-х г. и был решен ряд конкретных задач оптимального управления, но тем не менее отсутствовал общий, единый подход к их анализу. И только в середине-конце 50-х г. появился цикл работ академика Л.С.Понтрягина и его учеников , в которых были заложены основы теории оптимального управления и был сформулирован основной результат этой теории - принцип максимума.
йце один подход к решению задач оптимального управления был разработан американским ученым Р.Беллманом в конце 50-х годов и получил название метода динамического программирования.
Теория и методы дискретной оптимизации по сравнению с непрерывными процессами менее развиты, а решение дискретных задач известными методами сопряжено в некотором отношении с большими трудностями, чем решение непрерывных задач, что является стимулом к развитию теории дискретных экстремальных задач, более глубокому изучению методов их решения.
Первая попытка использовать принцип максимума для оптимизации дискретных (по времени) процессов была предпринята в 1959 году Л.И.Розоноэром, который рассмотрел процессы линейные относительно переменных состояния, дал строгое доказательство принципа максимума методом приращений. В 1960 году Чанг получил дискретный вариант принципа максимума для некоторого класса нелинейных процессов.
Необходимо отметить, что классическая теория оптимального управления непрерывными и дискретными процессами строилась на основе предположении о существовании единственного функционала, оптимальное значение которого необходимо было найти. Хотя еще в 1896г. итальянским экономистом Парето была впервые сформулирована статическая задача оптимизации векторного критерия, как альтернативный и расширенный подход к определению понятия критерия, однако втечение почти полувека проблема практически не разрабатывалась. Основы теории многокритериальной оптимизации и теории игр были заложенны американскими учеными фон Нейманом и Монгенштерном, которые в 1944г. опубликовали ставшую классической монографию.. С этого времени началось интенсивное изучение задач многокритериальной оптимизации. Теория статических многокритериальных задач в настоящее время развивается довольно успешно. Исследованию многокритериальных многоуровневых систем посвещена теория иерархических систем, основы которой были заложены в трудах Н.Н.Моисеева и Ю.Б.Гермейера. Одно из направлений дальнейшего развития теории игр в совокупности с теорией управления является теория дифференциальных игр, которая изучает конфликтные задачи управления системами, изменение состояний в которых описывается дифференциальными уравнениями.
Динамические многокритериальные задачи рассматривались в работах А.Ю.Астрахова, А.Н.Воронина, В.А.Горелика, Ю.В. Дубова, М.П.Дымкова, А.Г.Перевозчикова, В.И.Жуковского, Н.Т.Тынянского, Д.Т.Дочева, М.Е.Салуквадзе, но соответствующая теория еще далека от завершения.
Однако функционирование многих реально существующих систем направлено на эффективное решение некоторой ' совокупности задач, что приводит к возникновению многозадачных моделей, критерий функционирования которых довольно трудно описать с помощью совокупности частных критериев, а следовательно, для данных систем невозможно применить результаты теории оптимального управления многокритериальными процессами. Поэтому актуальна проблема выработки нового подхода к понятию критерия функционирования системы, предназначенного специально для многозадачных систем. В этом случае для формализации критерия полезным может оказаться понятие "потенциала". Хотя теория потенциалов существует как отдельное направление исследований, в котором потенциал рассматривается как некоторый интегральный оператор,
действуший в пространстве зарядов, данное направление исследований не соприкасалось с теорией оптимального управления. Поэтому при наличии у система какой-либо совокупности задач под потенциалом, следуя работе В.А.Горелика и В.В.Пименова', будем понимать функцию эффективности решения данного набора задач, определенную для точек фазового пространства, в которую может попасть система в процессе своего развития, и для которых задачи являются в определенном смысле согласованными.
Целью работы является доказательство существования и определение вида функции потенциала на основании условий согласованности, а также получение условий оптимальности при управлении системой, в качестве критерия которой выступает функция потенциала.
Обьктон исследования является теория оптимального управления дискретными динамическими системами.
Предмет исследования - модели дискретных динамических систем, предназначенных для наиболее эффектовного решения оптимизационных задач статического или динамического типа.
Проблема заключается в определении вида функции эффективности решения данного набора задач и доказательстве условий оптимальности управления данной системой.
В основу исследования положена следующая гипотеза: при
наличии у системы задач динамического или статического типа, на
более эффективное решение которых направлена система, и при
условии согласованности задач в виде непустоты пересечения
конусов возрастания функций максимума и Беллмана (в случае диф-
ференцируедасти) и непустоты пересечения внутренностей сопряжен
ных конусов к множествам судардифференциалов максимума (при
условии супердиффервнцирувмости), имеется возможность определить
вид функции потенциала, как обобщенного критерия
функционирования системы, зависящего только от фазовых координат.
Для реализации поставленной цели и проверки сформулированной
вше гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
- выяснить условия согласованности, на основании которых можно
определить вид функции потенциала в случае наличия у системы
совокупности статических (в частности, линейного программиро-
' Горелик В.А., Пименов В.В. Формализация понятия потенциала системы и его применения. // Вопросы оборонной техники, 1996. №6.
вакия) и динамических задач;
.--. определить условия существования и оптимальности при управлении системой, критерием функционирования которой является терминальное или суммарное значение функции потенциала.
Методологическую основу работы составляют современные методы исследования теории оптимального управления, динамического программирования, выпуклого анализа, математического (в частности линейного) программирования, теории линейных неравенств.
.Научная новизна. В работе на основании теории^ выпуклого анализа и элементов теории линейных неравенств получены'условия согласованности задач статического (при условии дифференцируе-. мости и супердифференцируемости функции максимума) и динамического типа, на основании которых удалось определить вид функции потенциала. В случае задач линейного программирования функцию потенциала удалось получить в конечном 'виде. Для системы, критерием функционирования которой является функция потенциала, на.. основании теории оптимальных дискретных процессов получены условия существования и оптимальности управления.
Практическая значимость работы. Предложеный подход к определению .функции потенциала может быть использован для управления системами, функционирование которых направлено на аффективное решение реальных статических и динамических задач. В данных системах априорно используемый термин "потенциал" : может быть математически определен. Примерами таких систем могут выступать военно-промышленный комплекс (военный потенциал), экономика региона или страны (экономический потенциал) и т.д. - Основные положения, выносимые на защиту: :у- - Б. случае, когда система предназначена для наиболее аффективного решения совокупности задач статического или динамического' типа, при выполнении условий дифференцируемости функций максимума и Беллмана и непустоты пересечения конусов возрастания данных функций имеется возможность определить вид функции потенциала;
-:- при условии супердифференцируемости функций максимума, в случае непустоты пересечения внутренностей сопряженных конусов к множествам.супердиффвренциалов имеется возможность определить для дифференцируемой функции потенциала вид градиента, а для супердиф-ференцируемой функции потенциала вид супердифференциального множества;
- если доопределить градиет потенциала, в случае пустоты
пересечения внутренностей данных конусов, но непустоты
пересечения их замыканий, то могут быть получении необходимые
условия оптимальности при управлении системой, критерием
функционирования которой является потенциал, в виде условий
стационарноати для функции Гамильтона;
для задач оптимального управления многокритериальными системами также возможным способом решения является метод, основанный на потенциалах, при этом получается общий критерий функционирования, зависящий только от фазовых координат;
в случае, когда система предназначена для наиболее эффективного решения задач линейного программирования, записанных в каноническом виде, функция потенциала всегда существует.
Апробация работы. Результаты исследований докладывались на научно-метадическом семинаре кафедры информатики и дискретной математики МПГУ, на аспирантском объединении.
Структура и обьеи диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы, включающего 78 наименований. Диссертация содержит 107 страниц.
