Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Общие принципы функционирования систем сотовой подвижной связи 11
1.1. Основы построения ССПС 11
1.2. Модели мобильности абонентов 13
1.3. Принцип эстафетной передачи 16
1.4. Параметры производительности ССПС 18
1.5. Применение методов теории телетрафика к анализу ССПС 19
1.5.1. Характеристики нагрузки 19
1.5.2. Параметры обслуживания 20
1.5.3. Правила установления соединения 21
1.5.4. Анализ выделенной соты 23
ГЛАВА 2. Учет мобильности абонентов в соте с двумя типами каналов 27
2.1. Постановка задачи 27
2.2. Построение математической модели 27
2.3. Вывод СУГБ 29
2.4. Решение СУГБ 33
2.5. Построение эквивалентной одномерной физической модели 36
2.6. Рекуррентный алгоритм вычисления вероятностей блокировок 38
2.7. Пример численного анализа 39
2.7.1. Мобильность абонентов в условиях колебания нагрузки 39
2.7.2. Оптимизация использования канального ресурса 41
ГЛАВАЗ. Анализ функционирования кластера ССПС регулярной однородной сотовой структуры с учетом зон перекрытия 44
3.1. Постановка задачи 44
3.2. Геометрический анализ структуры кластера 46
3.3. Построение математической модели 53
3.4. Случай равновероятного выбора БС в зоне перекрытия 55
3.4.1. Вывод СУЛБ 55
3.4.2. Решение СУЛБ 56
3.5. Случай выбора наименее загруженной БС в зоне 57
перекрытия
3.5.1. Вывод СУЛБ 57
3.5.2. Решение СУЛБ 58
3.6. Параметры производительности системы 59
3.7. Пример численного анализа 60
3.7.1. Анализ фрагмента покрытия первого типа 60
3.7.2. Анализ фрагмента покрытия второго типа 72
ГЛАВА 4. Метод оценки ВВХ в кластере ССПС произвольной структуры с учетом зон перекрытия 77
4.1. Постановка задачи 77
4.2. Построение математической модели 77
4.3. Построение матрицы интенсивностей переходов 80
4.4. Построение агрегированного процесса 85
4.5. Метод оценки ВВХ 88
4.6. Пример численного анализа 93
Заключение 98
Библиография 10
- Модели мобильности абонентов
- Построение эквивалентной одномерной физической модели
- Геометрический анализ структуры кластера
- Построение агрегированного процесса
Введение к работе
В истории развития сетей сотовой подвижной связи (ССПС) общего пользования [17,25,28,63,71 и др.] можно выделить несколько этапов. Первые сети были развернуты в начале 1980-х годов на основе аналоговых стандартов, относимых сейчас к поколению 1G. В начале 1990-х они уступили свое место цифровым (2G), которые были способны справиться с постоянно растущим спросом на услуги мобильных сетей. Основными мировыми стандартами стали GSM (Global System for Mobile communications), IS-136 (D-AMPS), IS-95 (cdmaOne) [32,50,69,66]. С повсеместным развитием сети Internet появилась задача обеспечения передачи данных и мультимедиа в ССПС, что привело к появлению мобильных стандартов, основанных на пакетной передаче, - стандартов 3G [27,43,49,60].
Сегодня к ССПС предъявляются жесткие требования, обусловленные необходимостью удовлетворения высокого спроса на традиционные услуги сетей и растущей потребности в новых услугах, а также обеспечения их надлежащего качества. В силу ограниченности выделяемого частотного ресурса, операторы сетей вынуждены все больше внимания уделять эффективности использования спектра [17,25,30,41,50], производительности системы сигнализации [29,31,33,34,35]. На этапе проектирования особую важность имеют задачи определения числа и расположения сот [25,30,41,63,69], поддержки их иерархии [4,56,57], частотного планирования [25,30,41,60]. В процессе эксплуатации сетей возникают задачи динамического перераспределения ресурсов [37], предупреждения и обнаружения перегрузок [37,39], обеспечения качества обслуживания [51,64,77], оптимизации процессов доступа к ресурсам сети [67,74]. Зачастую они связаны с локализацией абонента [70].
С точки зрения конечного пользователя, один из самых важных показателей производительности ССПС - это ее способность выделить ресурс для предоставления той или иной услуги с надлежащим качеством.
Не менее значимым этот показатель является и для оператора сети, для
которого невозможность обслужить запрос абонента связана с потерей
потенциального дохода и даже оттоком абонентов к конкурентам. В этих
условиях проблема удовлетворения требований к качеству услуг
становится приоритетной для оператора. Определяющий вклад в
показатели качества вносят такие параметры как вероятность блокировки
запроса абонента на установление соединения и вероятность разрыва
соединения в результате выполнения межсотового хэндовера по причине
занятости всех каналов. Для оценки этих характеристик и разработки
алгоритмов по их минимизации используются методы теории
вероятностей и случайных процессов [13,15,19,26,59], теории массового
обслуживания и теории телетрафика [1,3,10-12,14,16,18,20,23,24,45,55], а
также методы имитационного и статистического моделирования.
Основной вклад в развитие этих областей принадлежит российским
ученым А.А. Боровкову, Г.П. Башарину, П.П. Бочарову,
В.М. Вишневскому, Б.В. Гнеденко, В.А. Наумову, А.П. Пшеничникову, Б.А. Севастьянову, А.Д. Соловьеву, СП. Степанову, А.Д. Харкевичу, М.А. Шнепс-Шнеппе и другим. Среди зарубежных исследователей можно выделить В. Иверсена, Ф. Келли, Л. Клейнрока, С. Раппопорта, К. Росса и
др.
Появление и быстрое развитие ССПС резко усложнило задачи, поставленные перед теорией телетрафика и теорией систем и сетей массового обслуживания со стороны разработчиков и операторов, поскольку использование различных радиосистем требует учета многих особенностей их функционирования, разработку и анализ новых и достаточно сложных моделей междисциплинарного характера. Развитие методов, предназначенных для традиционной телефонии, в том числе, основанных на классических формулах Эрланга [например, 1,10], создали базу для исследования характеристик производительности ССПС.
Преимущественно используемая методика проведения
математического анализа сотовой сети состоит в адаптации исходной
классической модели, представленной, например, в [53], и добавлении в нее параметров, отражающих тот или иной аспект реально существующих сетей. Полученные модели, как правило, сфокусированы на изучении влияния определенного ограниченного набора факторов на функционирование сети. Разработке моделей сотовых сетей связи и методов анализа их ВВХ посвящены работы [49,50,55,58,63].
В целом ряде работ проводится анализ параметров трафика в мобильных сетях. Так, в [44,46,48,55,62,72,77] изучено влияние вида распределения времени занятия канала на ВВХ сети. В [40,47,55,68] построены различные модели поведения абонентов и выявлены связанные с ними особенности в определении параметров трафика. Другое направление исследований определили задачи контроля доступа различных типов вызовов к ресурсам сети. В [53,58] рассмотрены основные схемы приоритезации, в [51,74] поставлена и решена задача оптимизации канального ресурса при использовании резервных каналов.
С появление сетей 3G возникла необходимость в разработке новых моделей, адекватно отражающих особенности сетей. Такие модели были предложены в [4,56], где ВВХ изучены для сетей иерархической структуры, а также в [37,38,54,68], посвященных зависимости влияния мобильности абонентов на производительность соты от ее размеров. В [21,57,73,76] анализ производительности ССПС проведен с учетом перекрытий зон радиосвязи, в том числе, возникающих за счет наложения макросоты на микросоту [57]. Сложность последней задачи обусловлена тем, что необходимо учитывать состояния всех сот, участвующих в перекрытии, и рассматривать многомерные модели.
Таким образом, актуальной является задача разработки методов исследования параметров производительности ССПС, учитывающих особенности используемых стандартов, а именно, наличие перекрытий между сотами, различные размеры сот, а также резервирование каналов и модели мобильности. Цель диссертационной работы состоит в разработке моделей, отражающих особенности современных ССПС, и
методов расчета их производительности, а также в разработке эффективных вычислительных алгоритмов и в проведении численного анализа.
Работа имеет следующую структуру. В первой главе изложены основы функционирования ССПС. В разделе 1.1 кратко описаны основные структурные элементы сотовой сети, пояснены термины, касающиеся ее архитектуры, топологии и зоны покрытия. В разделе 1.2 представлены различные модели мобильности абонентов и указаны типы задач, для решения которых применяется анализ той или иной модели. Раздел 1.3 посвящен принципу эстафетной передачи, обеспечивающему возможность мобильности для активного абонента. В разделе 1.4 перечислены основные параметры производительности ССПС. Характеристика процесса предоставления услуг в ССПС с точки зрения теории телетрафика представлена в разделе 1.5. Также в нем рассмотрена классическая модель соты [53].
Модели мобильности абонентов
Одной из важных характеристик ССПС является подвижность абонентов и, следовательно, возможность передачи их обслуживания от одной БС к другой без разрыва соединения. Процедура, обеспечивающая эту возможность, называется эстафетной передачей, или хэндовером (от англ. handover, амер. handofj) [22,25,50,55,58,65].
Существуют два основных типа хэндовера - жесткий и мягкий [25,27,50]. Жесткий хэндовер сопровождается кратковременным прерыванием связи в момент выполнения - уже используемый для обслуживания вызова ресурс освобождается прежде, чем происходит занятие нового ресурса. Мягкий хэндовер выполняется без потери качества связи за счет того, что во время процедуры хэндовера для обслуживания вызова одновременно используются и освобождаемый, и вновь назначаемый ресурсы. Жесткий хэндовер осуществляется в большинстве систем на основе TDMA, в том числе, в GSM. Мягкий хэндовер реализован в таких системах как CDMA.
В зависимости от уровня выполнения различают внутрисотовый и межсотовый [22,25,27,50]. Внутрисотовый хэндовер состоит в переключении частотных каналов внутри одной соты, например, при возникновении на рабочем канале помех.
Возможность выполнения межсотового хэндовера обусловлена наличием зон перекрытия [21,22,25,57,73,76] между соседними сотами, в которых существует достаточный для обслуживания абонентов уровень сигнала от двух и более БС. Процедура межсотового хэндовера заключается в передаче абонента от одной БС к другой без разрыва соединения. Необходимость в такой передаче возникает при выходе активного абонента из зоны уверенного приема обслуживающей его БС, а также в целях повышения качества обслуживания. Последний случай возможен, например, в ситуации, когда в одной из БС возникают персгрузки или падает уровень сигнала. Тогда обслуживание части ее абонентов, находящихся в зоне перекрытия, будет передано на другие доступные БС. Данный тип хэндовера называется управляемым [22,25].
Основанием для принятия решения о выполнении хэндовера являются измерения уровня и качества сигнала [22,25,50,63]. На «линии вниз» измерения проводит ПС, на «линии вверх» - обслуживающая абонента БС. Подвижная станция проводит измерения характеристик сигнала не только от «своей» БС, но и от соседних доступных ей базовых станций, передавая затем эти данные на «свою» БС. Собранная информация передается на контроллер БС, где она обрабатывается и сравнивается с установленными пороговыми значениями. В зависимости от результатов сравнения принимается решение о начале процедуры хэндовера и выбирается БС, в которую он будет осуществлен. После этого происходит непосредственное переключение абонента на новую БС и высвобождение канала на обслуживающей его ранее БС.
Если задействованные в процедуре хэндовера БС относятся к различным контроллерам, то окончательный анализ данных и принятие решения о начале процедуры происходит на уровне ЦКПС [22,25].
Как правило, в качестве параметров процедуры хэндовера используются два значения уровня сигнала: и L2, Ц L2. В этом случае запрос на выполнение хэндовера инициируется при снижении уровня сигнала на ПС ниже уровня Ls, и при необходимости повторяется с определенной частотой. Передача абонента по первому порогу будет осуществлена только при повторном запросе и более высоком уровне сигнала на запрашиваемом новом частотном канале. При дальнейшем падении уровня сигнала ниже порога L2, процедура выполнения хэндовера начинается обязательно, и, если соседние БС не могут принять хэндовер-абонента, происходит разрыв соединения. Такой тип хэндовера получил название хэндовера с задержкой [22,25,50,63]. Схематично он изображен на рис. 1.3.
Использование двух порогов, а также проведение усреднения полученных измерений уровня сигнала на линиях «вверх» и «вниз» позволяют избежать слишком большого числа хэндовер-вызовов за счет отсечения запросов, вызванных кратковременным ухудшением качества сигнала. В свою очередь, это позволяет снизить нагрузку па контроллеры БС и I (КОС, что особенно важно в условиях большого трафика.
Параметры производительности ССПС
Производительность ССПС характеризуется рядом показателей (в англоязычной литературе используется термин key performance indicators, KPIs) [25,49,69]. Для измерения части этих показателей применяют специальное тестирование сети, в том числе, моделирование и имитацию, другая часть представляет собой результат анализа статистических данных, собранных системой управления сетью. Как правило, статистические показатели дают лучшее представление о производительности сети, и тестирование и моделирование используются только в тех случаях, когда соответствующие статистические данные недоступны, например, на этапе проектирования сетей.
Данные измерений, проводимых на сети, применяются не только для расчета параметров производительности. Они также используются для управления сетью, принятия решения о перераспределении ресурсов, предупреждения и обнаружения сбоев.
Построение эквивалентной одномерной физической модели
Отметим, что по существу анализ исходной модели свелся к двум этапам. На первом было установлено, что распределение p(i,.), / = 0,1,... Л +Я (2.4) является пуассоновским с параметром р = ——- (2.3) и не зависит у от интенсивности /л успешного завершения разговора. На втором было получено приближенное распределение p{.,j), / = 0,С в виде квазиэрланговского распределения (2.13), в котором интенсивность освобождения одного разговорного канала равна (ju + v), а поступления пуассоновского потока заявок на разговор равна (Я„ +єр0) при / = 0,С0 и Лн при / = С0+1,С. Приближение состоит в том, что интенсивность предложенной разговорной нагрузки, создаваемой зарегистрированными пассивными абонентами в соте, вычисляется в среднем, как нафузка є р0, где р0 - среднее число зарегистрированных в соте 1 пассивных абонентов, инициирующих новые вызовы.
После занятия С0 разговорных каналов вероятность блокировки заявок на установление нового соединения, поступающих с интенсивностью p + v от пассивных зарегистрированных абонентов в соте, равна x0(C,g) (2.16), а интенсивность предложенной нагрузки на остальные g каналов уменьшается с рх (2.11) до р2 (2.12). Таким образом, по проведенному нами анализу достаточно сложная СМО с двумерным пространством состояний J свелась к квазиэрланговскои СМО с одномерным распределением p{.,j), j = 0,C (2.13) числа занятых каналов, изображенной на рис. 2.4.
В классической модели Эрланга [1,10,20 и др.] всего два параметра -число каналов и интенсивность предложенной нагрузки, а в рассматриваемой СМО после модификации структурные параметры не изменяются, а параметрами нагрузки в итоговых результатах являются /7, и р2, причем р0 и є включены в /?,. Поэтому численный анализ — особенно при решении проблем адаптивного управления резервными каналами с учетом скачков интенсивностей Л0 и Лн — остается достаточно громоздким и требует использования рекуррентных методов. При g = 0 для блокировок ;г0(С,0) и л"я(С,0) верно, что tffJL"J щ(С,0)=лн(С,0)= а X . Таким образом, можно записать ж0(С,0) = лн(С,0) = Ес(Рі), PC( PJY 7 -.(А) где (,(/?,) = — — =— - В-формула Эрланга и ее Cl{j-0Jl) l + Acl(A) запись, удобная для рекурсии по С. Воспользовавшись этой рекуррентной формулой для вычисления Ек(р{), получаем: Ч(-1,0) „( , )) = - , к = \,2,..,С; (2.18) 1 + Ч( -1,0) к ян{к-Щ хн(к,0) = - , к = \,2,.-,С, (2.19) 1 + тгн(к-1,0) к (0,0) = ,(0,0) = 1.
Непосредственное вычисление вероятностей блокировок по формулам (2.16) и (2.17) при достаточно больших значениях С может быть затруднено. Следуя методике [51], можно получить рекуррентные формулы для вычисления 7r0(C,g) и nH(C,g):
В сотовых системах связи первого и второго поколения, где изменение параметров мобильности абонентов не оказывает сильного влияния на нагрузку, расчет ВВХ происходит исходя из среднего числа пассивных и активных абонентов в соте и удельной нагрузки от одного абонента [37,39]. По мере перехода к системам связи с микро- и пикосотами, игнорирование мобильности может привести к перегрузкам и превышению допустимого уровня блокировок как для новых, так и для хэндовер-вызовов.
Рассмотрим соту, в которой решение о выделении дополнительного канального ресурса принимается на основании мониторинга статистической частоты блокировок для новых и хэндовер-вызовов. Пусть в некоторый момент времени /0 происходит скачкообразное увеличение суммарной интенсивности прихода абонентов в соту Я.:=Л0+ЛН с уровня а до значения /?, а Р, как показано на рисунке 2.5.
Геометрический анализ структуры кластера
В данной главе предложены математические методы анализа функционирования фрагмента ССПС, учитывающие наличие зон перекрытия радиосвязи между сотами [21,25,57,73,76], входящими в него.
Рассмотрим фрагменты бесконечной регулярной однородной сотовой структуры [25] двух типов покрытия. Первый тип (рис. 3.1а) соответствует сплошному радиопокрытию некоторой территории и модели мобильности в масштабах города или квартала (см. раздел 1.2), второй (рис. 3.16) представляет из себя фрагмент сети линейной конфигурации, соответствующий модели мобильности в условиях улицы (см. раздел 1.2).
Для сети такой структуры для обоих типов покрытия граница зоны уверенного приема каждой соты - окружность [25], радиус которой определяется в соответствии с некоторым пороговым значением мощности сигнала на входе приемника. При падении мощности сигнала ниже этого уровня и пересечении границы зоны радиосвязи, обслуживание мобильного абонента будет передано другой БС. Если речь идет об активном абоненте, находящемся в режиме разговора, происходит процедура межсотового хэндовера [22,25,63].
В ССПС для обеспечения процедуры хэндовера и повышения качества обслуживания покрытие территории планируется с перекрытием зон радиосвязи соседних сот [21,22,25,57]. В системах стандарта GSM радиус зоны радиосвязи обычно не превышает 1,3 радиуса соты. В сотовых системах стандарта CDMA радиус зоны связи может достигать 1,9 радиуса соты [21]. Таким образом, абоненты, находящиеся в зоне перекрытия могут быть обслужены любой доступной БС.
В зависимости от соотношения между радиусами соты и зоны связи, максимальная кратность перекрытия в сети может меняться. Выделим некоторую соту и рассмотрим кластер, образованный ею и сотами, имеющими с ней зоны перекрытия (рис. 3.2). Выделенная сота будет центральной для такого кластера. Кластер, образованный перекрывающимися сотами
В зонах перекрытия, находящихся на территории выделенной соты, абонентские мобильные станции могут быть обслужены как БС «своей» соты, так и с использованием ресурсов остальных сот, образующих перекрытия. Аналогично, выделенная сота может участвовать в обслуживании части абонентов оставшихся сот кластера.
Очевидно, что в целях повышения эффективности функционирования сот описанного кластера, при выделении канала трафика для обслуживания абонента следует выбирать наименее загруженную доступную БС [21], для чего необходимо учитывать состояния всех сот кластера.
В [21] проведен анализ использования адаптивного алгоритма выбора БС для обслуживания новых вызовов в зоне перекрытия для кластера регулярной однородной сотовой структуры первого типа покрытия. В настоящей главе проведенный в [21] анализ расширяется для двух типов покрытия, причем адаптивный алгоритм предлагается использовать и для обслуживания хэндовер-вызовов.
Рассмотрим сначала кластер бесконечной регулярной однородной сотовой структуры первого типа, состоящий из одинаковых правильных шестиугольных сот радиуса г, радиус зоны радиосвязи каждой БС кластера - R, имеющих перекрытие с центральной выделенной сотой (сота 1). Пусть АГ - максимально возможная кратность перекрытия в кластере.
Построение агрегированного процесса
Нахождение равновесного распределения р из СУР (4.6) является довольно сложной вычислительной задачей в силу большой размерности пространства состояний процесса X(t) и, следовательно, матрицы А. Для того, чтобы уменьшить размерность исследуемого процесса, введем агрегированный процесс следующим образом.
Выделим среди N сот N0 N из них. Без потери общности будем считать, что выделенные соты перенумерованы от 1 до N0, а остальные -от N0+\ JXO N. Обозначим J0 - пространство состояний для выделенных сот, то есть J0 = {(/,,...,iN );in=0,Cn,n = \,N0}, его размерность No \j0\ = Y\(C„+l). Будем считать, что множество J0 упорядочено тем же образом, что и множество J. Определим разбиение пространства J состояний исходного процесса X(t) на подпространства: Jw.Vo,.v-" = {( ...№„ = с« " = о +W, ( !...,/ „) J0 (4.7) и введем агрегированный процесс X0(t): Х0 (/) = (/,,..., iNo) если X(t) е У. .о v.,Vo. (4.8) Обозначим А0 - матрицу интенсивностей переходов процесса X0(t), а р0 - вектор-столбец его равновесного распределения вероятностей, который может быть найден из СУР РоА0=Ог (4.9) и условия нормировки -86 2 0( і.-Л.) = 1. (4.10) Oi-Jn0Wo Число уравнений, входящих в СУР (4.9) равно \J0\, и оно меньше, чем в СУР (4.6), так как J0 Н У .
Для построения матрицы А0 введем следующие обозначения. Для каждой соты п, n = l,N определим множество В0п номеров выделенных сот, смежных с сотой п, и множество Во,п номеров невыделенных сот, смежных с сотой п, Вй\]Вът = Вп, В0/1 с {1,2,...,N0}, Во,„ с {N0 +1,...,iV}.
Также для каждой соты п, n = N0+l,N определим условную вероятность рп (/ /,,..., iNo) := Р{Хп (t) = i\X] (/) = /,,..., XNQ (t) = iNo}, (ix,...,iNJeJ0 и обозначим Wn{i), / = 0,C„ квадратную диагональную матрицу порядка J0, на главной диагонали которой расположены с„ Рп 01 . v.,iNt), (/,,.»,Ч) є J0. Отметим, что рп (/1 /,,...,iNo) = 1, п = N0 +1, N, (/,,...,/ ) є У0.
Тогда матрица А0 интенсивностей переходов процесса X0(t) над пространством состояний J0 может быть получена по следующей формуле:
В формуле (4.11), как и в формуле (4.4), первое слагаемое описывает поступление в выделенные соты новых вызовов в состояниях, когда во всех сотах фрагмента есть свободные каналы. Второе слагаемое соответствует поступлению вызовов из зон перекрытия кратности к, к = 1,К, когда в j доступных сотах все каналы заняты, у = 1Д-1. При этом можно разбить множество таких сот на два подмножества -относящиеся к выделенным сотам и к остальным. В первом случае используется подстановка (4.12), смысл которой - тот же, что и для (4.5), но только для выделенных сот. Во втором используется подстановка (4.13). Причем если в соте / заняты все каналы, для нее будет выбран множитель W,(C,). Если же в ней есть хоть один свободный канал, будет ] выбран множитель ( - (С,)). Таким образом, общее произведение ] [Л/(/) даст квадратную диагональную матрицу порядка У0, Ф л) i N„ главная диагональ которой будет описывать состояние сот, не вошедших в число выделенных, но участвующих в &-кратном перекрытии с сотой п, к = \,К, n = \,N0.
Третье и четвертое слагаемые отвечают за передачу хэндовер вызовов из соты п на БС соты /, n = \,N0, /єЯ0/І. Пятое слагаемое соответствует уходу активного абонента из выделенного фрагмента в одну из оставшихся сот, а шестое - управляет обратным процессом. Последнее слагаемое необходимо для обнуления суммы по строке элементов матрицы А0.
Как видно из формулы (4.11), матрица А0 содержит неизвестные элементы - условные вероятности рп(/1/,,...,/ ), / = 0,С„, (/,,...,/ ) є J0. Знание их точных значений позволило бы найти вектор р0 равновесного распределения вероятностей процесса X0(t) из формул (4.9) и (4.10). Однако модель наличия таких данных не предполагает, и далее будет предложен метод нахождения верхней и нижней границ для значений ВВХ процесса X0(t) [73,76].
Построим случайный процесс Z с дискретным пространством состояний J0 и дискретным временем и матрицей Р вероятностей переходов: Р = / + -А0, (4.14) а где / - единичная матрица порядка \J0\, a maxo0(/,m),/,/n = l, JJ, где /,т а0{1,т) - элемент матрицы А0, находящийся на пересечении строки / и столбца т . Покажем, что равновесное распределение вероятностей процессов Xn(t) и Z совпадают. Пусть р() - вектор-столбец равновесного распределения вероятностей процесса X(l(t), то есть р0гА0 = 0Г. Умножим (4.14) слева на р„: р0гР = р0г/ + -рХ = рйг(Р-/) = -p0rA0. а а С учетом того, что РАО=ОГ, получаем, что р[(Р-/) = Ог. Таким образом, р0 представляет собой равновесное распределение вероятностей и для процесса Z. Обратно, пусть р0 - вектор равновесного распределения вероятностей для Z, то есть ро (Р-7) = 0Г. Следовательно, рог(/ + !Ав-/) = 0г= рогАв=0г. а Таким образом, у процессов XQ(t) и Z равновесные распределения совпадают. Заметим, что матрица А0 содержит неизвестные условные вероятности /?„(//,,...,/Vn), / = 0,СИ, (/,,...,/,,)єJn, n = N0+\,N, которые могут принимать такие значения из интервала [0,1], чтобы выполнялось с„ условие нормировки J] рп (І /, ,...,/ ) = 1 . /=« Построим множество 2) стохастических матриц, которому принадлежит матрица Р. Для построения 3) введем ряд обозначений. Для двух матриц Ах ={a]j) и А2 = (я,у) одинаковой размерности будем считать, что Ах Аг, если а\ afj, для любых / и j.
