Введение к работе
Актуальность темы. Интенсивное развитие теории оптимального управления обусловлено многочисленными ее приложениями в теоретических и прикладных дисциплинах. Большое внимание при этом уделялось построению асимптотических методов решения задач с малыми параметрами.
Данная работа принадлежит к направлению исследований задач оптимального управления методами теории сингулярных возмущений.
Одним из асимптотических методов, успешно применяемых в теории оптимального управления, является метод пограничных функций А.Б.Васильевой, который позволяет не только обосновать известные инженерные приемы упрощения математических моделей, но и на основе разделения движений избежать "жесткости" и предложить приближенные схемы декомпозиции на задачи меньшей размерности. Обычно методы сингулярных возмущений применялись в теории оптимального управления при построении асимптотических приближений к решению соотношений, вытекающих из необходимых или достаточных условий оптимальности. Однако при этом явно не раскрывается вариационный смысл асимптотических приближений и условий построения асимптотики и не учитывается вариационная природа исходной постановки, в принципе позволяющая вводить новые конструкции в формализм построения асимптотики, что в свою очередь расширяет области применения асимптотических методов.
Ряд важных прикладных задач в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике приводят к уравнениям типа реакция-адвекация-диффузия. Во многих случаях (быстрая реакция, малая диффузия и т.д.) такие уравнения являются сингулярно возмущенными, и как следствие, их решения имеют зоны быстрого пространственно-временного изменения (пограничные и внутренние слои). Такие решения называются контрастными структурами. Значительную роль в развитии теории контрастных структур сыграли работы А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова и Н.Н.Нефедова.
Прямая схема применения метода пограничных функций к задачам оптимального управления, предложенная М.Г.Дмитриевыми развитая им совместно с С.В.Белокопытовым максимально приспособлена к решению вариационных задач и в последнее время это на-
правление плодотворно развивается Г.А.Куриной, В.Е.Капустяном и др.
Будущее асимптотических методов во многом связано с интеграцией известных, ставших уже классическими, методов с новыми подходами, основанными на использовании искусственного интеллекта и символьных вычислений (методов компьютерной алгебры (КА)).
Многие авторы (Соболев В.А., Пендюхова Н.В., Климов М.В., Дмитриев М.Г., J.Barbot и др.) использовали символьные вычисления для реализации асимптотических методов расчета оптимальных решений.
При этом известна большая роль полиномиального образа исходной задачи с позиции последующего применения методов КА. В этом направлении появляются и специфические математические задачи. Одна из них - выбор множества, где операции могут быть выполнены, а вторая - доказательство реализуемости того или иного алгоритма и его конечности. Этому и была посвящена работа Orgozen М.К., Longman R.W., в которой были выдвинуты концепции программируемости и компактной программируемости и показано, что в среде обобщенных пуассоновских рядов два известных метода решения квазилинейной регулярно возмущенной задачи об оптимальном регуляторе программируемы и компактно программируемы.
К сожалению, систематических исследований по анализу применения КА в возмущенных задачах оптимального управления и особенно в сингулярно возмущенных задачах оптимального управления в литературе не проводилось.
Цель работы заключается в развитии и обосновании прямой схемы применения метода пограничных функций в задачах оптимального управления с контрастными структурами, и в решении вопросов реализации полученных теоретических результатов в среде аналитических вычислений на ЭВМ.
Научная новизна работы заключается в следующем:
построены, на основе развития прямой схемы, асимптотические разложения контрастных структур в простейшей вариационной векторной задаче;
показано, что контрастные структуры типа ступеньки связаны с точками глобального максимума, а структуры типа всплеска -с точками локального максимума функции достаточных условий оптимальности Кротова В.Ф.;
выделено специальное множество полиномов с экспоненциальными коэффициентами, в котором метод пограничных функций является программируемым в среде системы аналитических вычислений REDUCE при построении асимптотики решения начальной задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными движениями;
на языке системы аналитических вычислений REDUCE написаны программы получения задач высших приближений при построении асимптотики контрастных структур.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты работы могут быть использованы для обоснования реализуемости алгоритма метода пограничных функций в других сингулярно возмущенных задачах, при работе в среде систем аналитических вычислений при построении и обосновании асимптотики решения контрастных структур в векторном случае для общих сингулярно возмущенных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на школе " Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993), на семинарах исследовательского центра процессов управления ИПС РАН, на семинарах Васильевой А.Б., Бутузова В.Ф. в МГУ, на международных совещаниях "Сингулярные решения и возмущения в системах управления" (Переславль-Залесский, 1993, 1995), на международных совещаниях "Новые компьютерные технологии в системах управления" (Переславль-Залесский, 1994, 1995).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержитЛ^страниц, библиография ГСнаименований использованной литературы.
