Содержание к диссертации
Введение
1 Описание моделей. Теоретико-полевая формулировка моделей 13
2 Модели А и Грибова с турбулентным перемешиванием, описываемым уравнением Навье-Стокса
2.1 Введение поля скорости 22
2.2 Перенормировка 26
2.3 Неподвижные точки и скейлинговые режимы 29
3 Модели А, Грибова и Поттса с турбулентным перемешива нием Обухова-Крейчнана 35
3.1 Введение поля скорости 35
3.2 Канонические размерности, УФ-расходимости и перенормировка 39
3.3 Уравнение ренормгруппы 50
3.4 Неподвижные точки 54
3.5 Скейлинговые режимы в модели Грибова 55
3.6 Скейлинговые режимы в А модели 59
3.7 Скейлинговые режимы в модели Поттса 62
3.7.1 Неподвижные точки при и = 0 з
3.7.2 Неподвижные точки при и ф 0 65
3.7.3 Общая картина устойчивости неподвижных точек 70
3.7.4 Неподвижные точки при R\ 0 74
3.8 Критический скейлинг и критические размерности 75
4 Процесс Грибова и турбулентное перемешивание с конечным временем корреляции 78
5 Основные результаты и выводы 85
Литература
- Введение поля скорости
- Неподвижные точки и скейлинговые режимы
- Канонические размерности, УФ-расходимости и перенормировка
- Общая картина устойчивости неподвижных точек
Введение поля скорости
Наиболее типичные фазовые переходы в равновесных системах принадлежат к классу универсальности 0(7У)-симметричной модели фАЫ- компонентного скалярного параметра порядка. Её критические показатели зависят только от N и размерности пространства d. Они могут быть рассчитаны в виде разложения по є = 4 — d или в рамках других схем теории возмущения, см. монографии [1,2] и цитированную там литературу. Большой интерес в последние годы привлекают фазовые переходы в системах, далеких от состояния термодинамического равновесия. Их критическое поведение гораздо более многообразно и пока недостаточно хорошо изучено. Показательным примером являются разнообразные и часто встречающиеся в природе процессы распространения, такие как: эпидемии, каталитические реакции, лесные пожары, диффузия в пористых или флуктуирующих средах. Для определенности мы будем использовать терминологию первого случая (эпидемий). В зависимости от конкретных условий процесс распространения (в случае эпидемий - распространения инфекции) может либо продолжаться и охватить всю популяцию, либо полностью прекратиться через некоторое время. Как теперь известно, переход (при изменении параметров типа вероятностей инфицирования) от флуктуирующего (активного) к абсорбционному (неактивному) состоянию является фазовым пере 14 ходом второго рода и описывается несколькими классами универсальности. Мы будем использовать простую модель, описывающую распространение агента (например, инфекционные заболевания) - модель Грибова. Эта модель эквивалентна Реджеонной теории поля и была изучена в рамках РГ подхода и є— разложения.
Вторая наша модель - релаксационная динамика несохраняющегося скалярного параметра порядка для модели с взаимодействием типа фА (в работе будет представлена как модель А).
Третья модель - модель Ашкина-Теллера-Поттса (или просто Потт-са) - целый класс моделей, см. [4-10]. Такая модель описывает некоторую систему, которая локально имеет п состояний, при этом энергия любой заданной конфигурации зависит от того, находятся ли элементы в соседних узлах в том же состоянии или нет. В непрерывной формулировке модель Поттса удобно представить эффективным Гамильтонианом для п-компонентного параметра порядка с три-линейным членом взаимодействия и инвариантным относительно группы симметрии n-мерного гипертетраэдра см. [6-10].
Модели типа Поттса имеют многочисленные физические приложения: твердые и магнитные материалы с нетривиальной симметрией, спиновые стекла, переходы от нематического к изотропному состоянию в жидких кристаллах, проблемы перколяции, рандомные резисторные цепи и многие другие, см. работы [6-10] и ссылки в них.
Данный класс моделей (особенно случай п = d = 2 - знаменитая двумерная модель Изинга) давно стал источником вдохновения для новых физических и математических идей, таких как интегрируемость, конформ ная инвариантность, дискретная голоморфность и т.д. см. [11,12] и ссылки в них.
Вопрос о природе фазового перехода в модели Поттса имеет долгую и запутанную историю, см. обсуждение в [9]. Согласно теории критического поведения Ландау в модели типа Поттса не может быть фазового перехода второго рода из-за трехлинейной вершины взаимодействия в Гамильтониане. С другой стороны, точные двумерные результаты, численное моделирование и ренормгрупповой анализ показывают что, для достаточно малого п, фазовый переход второго рода в модели Поттса существует. Мы не будем пытаться пролить новый свет на этот интересный и сложный вопрос. В первую очередь он должен быть решен для исходной статической проблемы. В данной работе мы принимаем точку зрения, что существование ИК-притягивающей неподвижной точки уравнения РГ подразумевает существование некоторого ПК асимптотического режима и, следовательно, существование какого-то критического состояния.
Неподвижные точки и скейлинговые режимы
Из симметрии и анализа размерностей полей и параметров можно заключить, что наши полные модели являются мультипликативно ренор-мируемыми. Роль симметрии здесь очень важна. В частности, Галилеева инвариантность требует, чтобы контрчлены ф діф и ф (уд)ф входили в ре-нормированное действие только в инвариантной форме ф \/гф Таким образом, все УФ расходимости (сингулярности могут быть вычтены с помощью конечного набора констант ренормировки Zi. для процесса Грибова, где «S получается из (2.5) путем подстановки. Здесь и далее, т, и и прочие параметры - ре-нормированные аналоги затравочных (с индексом "0"), /І - дополнительный параметр ренормировки. Однопетлевой расчет констант перенормировки Zi довольно легко воспроизвести: фактически, в данном приближении нет новых диаграмм Фейнмана (все они уже были посчитаны отдельно в исходных моделях (1.12), (1.14), (2.5)). Более точно, все новые диаграммы оказываются УФ конечными для несжимаемой жидкости и не дают вклад в Zi. Проиллюстрируем этот факт для модели А.
На рисунке 2.1 представлены все один-неприводимые функции Грина, которые необходимы при расчете констант ренормировки, в однопет-левом приближении. Сплошные лини с стрелкой представляют пропагатор о, стрелка обозначает поле ф . Сплошные линии без стрелок представляют пропагатор (фф)о, а волнистые обозначают (vv)o- Внешние концы с входящей стрелкой означают ф\ а без стрелки - ф. Квадратичные вершины в диаграммах подразумевают добавления множителя — ицє\фїф:і/3\, а тройные —ф\уд)ф. Вследствие поперечности поля -и, в последней вершине можно перенести производную на поле ф\ используя интегрирование по частям: —ф (уд)ф = ф(уд)ф . Таким образом, для любой диаграммы, со-держащей п внешних вершин такого типа, можно вынести член р с п внешними р импульсами из-под знака интегрирования. Это уменьшает размерность выражения под интегралом на п и приводит к УФ сходимости соответствующих диаграмм. Из этих соображений следует, что последние две диаграммы в {ф ффф)\_іг и последняя диаграмма в (ф ф )\_{г на самом деле сходятся. И константа Zv для полных моделей Грибова и А имеет такой же вид как и в (2.5), но с подстановкой d = 4.
Уравнения РГ для мультипликативно ренормируемых моделей (2.9), (2.10) вводятся стандартным способом, аналогично моделям с полем скорости Обухова-Крейчнана. Здесь мы не будем их приводить (см. раздел 3.3). Известно, что возможные скейлинговые режимы ренормируе-мой теоретико-полевой модели соответствуют инфракрасно притягивающим неподвижным точкам уравнения ренормгруппы, см. [1,2]. Для каждой точки функции Грина демонстрируют скейлинговое поведение в инфракрасном диапазоне. Координаты д фиксированных точек находятся из требования обнуления всех /3- функций, соответствующих ренормиро-ванным константам связи д{. Тип фиксированной точки определяется матрицей Qik = dfii/dgk, где / - полный набор /3-функций, а д\. - полный набор зарядов. Для ИК притягивающей неподвижной точки необходимо, чтобы матрица Г & была положительно определена. В нашем случае gi = {и, w,e}. Возможные неподвижные точки должны быть ИК притягивающими для некоторых значений у, є и удовлетворять условиям и , «; , е 0, которые следуют из физического значения параметров. Функции Д;, вычисленные в однопетлевом приближении через константы ренормировки (2.11)-(2.13), имеют вид:
На рисунке 2.2 показаны области устойчивости для модели Грибова в плоскости є-у: в которых неподвижные точки являются ИК притягивающими. Для случая А модели область (5) исчезает, граница между (3) и (4) задается лучом у = 0, є 0, а граница между (2), (4) лучим у = Зє/2, є 0. Видно, что нет ни перекрытий ни пустот между областями.
При расчете более высоких поправок границы между областями (2), (4) и (5) могут измениться и стать изогнутым. Однако, можно утверждать, что никаких промежутков и перекрытий не появится во всех порядках теории возмущения, см. [28,40]. Важно, что особые случаи и = 0 или w = 0 для полных моделей "замкнуты относительно перенормировки" в том смысле, что функции (Зи при w = 0 совпадают с /3 функциями модели Грибова или А модели, а функции f3Wfi при и = 0 совпадают со своими аналогами в пассивной скалярной модели во всех порядках теории возмущения. Также не исключено, что отсутствие режима (5) для модели А является особенностью однопетлевого приближения, и он появится при более высоких порядках.
Канонические размерности, УФ-расходимости и перенормировка
Хорошо известно, что возможные скейлинговые режимы перенормируемой теоретико-полевой модели определяются асимптотикой системы обыкновенных дифференциальных уравнений для так называемой инвариантной (бегущей) константы связи: Vs9i(s,g) = Pi(g), дг(1,д) = дг, (3.52) где s = &//І, к - импульс, д = {д{\ - полный набор констант связи и g i(s, д) - соответствующие им инвариантные переменные. Как правило, ИК (s — 0) и УФ (s — оо) поведение таких систем определяются неподвижными точками gi . Координаты возможных неподвижных точек находятся из требования, чтобы все /3 функции обращались в нуль:
Для ИК притягивающей неподвижной точки (которые нас и интересуют) матрицы Q положительно определена, то есть вещественные части всех ее собственных значений положительны. В наших моделях, неподвижные точки для полного набора констант и: w: а, а должны определяться уравнениями
Однако, в наших моделях аттракторы системы (3.52) лежат на двумерных поверхностях в полном четырехмерном пространстве. Во-первых, функция (3.39) тождественно равна нулю, так что уравнение (За = 0 не дает никаких ограничений на параметр а. Поэтому удобно рассматривать аттракторы систем (3.52) в трехмерном пространстве и: w: а; их координаты, матрица (3.54) и критические индексы будут зависеть от свободного параметра а. Хотя общая картина аттракторов выглядит довольно схоже для наших моделей, мы будем рассматривать их отдельно.
Напомним, что а рассматривается здесь как свободный параметр, от которого зависят координаты неподвижных точек. При а = 1/2, из соотношений (3.46) и (3.51) следует а = 7б —7i = О поэтому /За = —а а обращается в нуль во всех порядках теории возмущений, независимо от значений параметров и и w. Это означает, что для фиксированных точек (2) и (4), значение а = 1/2, на самом деле, точное, и оно справедливо во всех порядках разложения по є и . Выражение для w в (3) точке, что соответствует точно решаемой модели Крейчнана, также является точным, в то время как выражения для и и w для четвертой точки является лишь членом первого порядка двойного разложения по є и . Допустимая неподвижная точка должна быть ИК притягивающей и удовлетворять условиям и 0, w О , которые вытекают из физического смысла этих параметров. В однопет-левом приближении эти два требования совпадают для всех неподвижных точек. На рисунке 3.4 показаны ИК устойчивые области неподвижных точек (1) - (4) в плоскости -. Qu = є, Qw = - + щ/8 = - + є/12, Па = щ/4: = є/6, отсюда следует область є 0, є/12 (область II на рис. 3.4). Для (4) точки матричные элементы df3a/du, df3a/dw обращается в нуль, поэтому матрица Q имеет блочно-треугольный вид, и одно собственное число Qa = гі /4 легко находится. Собственные числа оставшейся 2x2 матрицы для и: w выглядят довольно сложно, но её определитель w u {a + b/2) простой. Это выражение показывает, что матрица положительно определена при и О, w 0 и более тщательный анализ показывает, что это действительно так. Из явного выражения (3.58) мы заключаем, что для точки (4) допустимая область є/12, (3 + а)є/6 (область IV на рис. 3.4). Оставшийся сектор III на рис. 3.4 определяется неравенствами при этом собственные значения матрицы (3.54) в точке (3):
Таким образом, мы заключаем, что третий режим, для которого самодействие не имеет значения, лежит в секторе III, границы которого описывают неравенства (3.59). Соответствующий аттрактор имеет вид отрезка на прямой (3.57), с центром в а = 1/2 и определяется неравенством (3.62). Этот интервал становится бесконечным при а = 0 и сужается до одной точки а = 1/2 при а — оо. Следует заметить, что для чисто поперечного поля скорости (а = 0) член с коэффициентом ао в (3-3) обнуляется и этот параметр на самом деле исчезает из модели.
В однопетлевом приближении (3.56), все границы между областями устойчивости - прямые линии. При этом, нет ни пробелов, ни перекрываний между различными областями. В более высоком порядке, границы между областями II и IV, а также между III и IV могут измениться и стать изогнутыми. Тем не менее, можно утверждать, что перекрывания областей, а также пустоты между ними не появятся и в более высоких порядках.
В данном случае важно, что модели с и = 0 или w = 0 " замкнуты относительно перенормировки", поэтому функции (Зи ДЛЯ W = 0 и (3W для и = 0 совпадает с /3 функциями Грибова и Крейчнана во всех порядках теории возмущения.
Остается отметить, что расположение границы между областями III и IV зависит от параметра а. При а = 0, граница задается лучом = є/2, что совпадает с результатом, полученным ранее в [28] в несжимаемом случае. Если а растет, граница начинает вращаться против часовой стрелки и в пределе становится вертикальной линией є = 0, 0.
Общая картина устойчивости неподвижных точек
Мы изучили эффекты влияния турбулентного перемешивания на критическое поведение, при этом уделяли особое внимание сжимаемости жидкости. Были рассмотрены три представителя динамических моделей критического поведения: модель Поттса, модель Л, описывающая релаксационную динамику без сохранения параметра порядка в критической равновесной системе, и сильно неравновесная модель Грибова, которая описывает распространение процессов в системе реакция-диффузия. Турбулентное перемешивание задавалось разными способами. В главе 2 мы рассматривали модели Грибова и Л, а для моделирования турбулентного перемешивания использовали известное уравнение Навье-Стокса со случайной силой, которая задается своим коррелятором ос (t — t )p4 d y. Наши начальные стохастические задачи можно переформулировать в виде мультипликативно перенормируемых теоретико полевых моделей, что позволило применить метод ГГ для анализа их ИК поведения. Было показано, что в зависимости от соотношения между пространственной размерностью d и показателем у, обе модели демонстрируют различные критические режимы, связанные с ИК притягивающими неподвижными точками уравнения ГГ. Для обеих моделей наиболее интересная неподвижная точка соответствует новому типу критического поведения, в котором важна как нелинейность так и турбулентное перемешивание, а критические размерности зависят от двух параметров d и у. В одно-петлевом ГГ приближении были рассчитаны критические размерности, области ИК устойчивости для всех режимов. Из анализа размерностей можно было предположить, что новый нетривиальный режим должен проявляться при положительных у и є = 4 — d: однако тщательный РГ анализ показывает, что области ИК устойчивости фактически гораздо уже: для процесса Грибова мы получили сектор є/А у 2/3, а для модели А - 0 у Зє/2. Этот эффект приводит к интересным физическим предсказаниям: при наиболее реалистичных значениях пространственной размерности d = 2 или 3 и Колмо-горовского показателя у = 4 для развитой турбулентности мы попадаем в область устойчивости скейлингова режима, где имеет значение только турбулентный перенос. В случае процесса Грибова, например, это означает что распространение агента полностью определяется турбулентным переносом. Интересно сравнить эти результаты с тем, что было получено ранее, в работе [28], где для описания турбулентного переноса была использована модель Обухова-Крейчнана (несжимаемый случай). Количество критических режимов (свободная теория, пассивное скалярное перемешивание, обычный фазовый переход и новый режим) совпадает для обоих ансамблей. Более того, в одно-петлевом приближении области ИК устойчивости и выражения для критических размерностей тоже совпадают (для сравнения результатов необходимо определить у = /3, потому что = 4/3 для ансамбля Крейчнана и у = 4 в случае Навье-Стокса соответствуют Кол-могоровскому спектру скорости). Из этого можно сделать вывод, что ансамбль Крейчнана, несмотря на относительную простоту, может служить приемлемой моделью для описания турбулентного перемешивания.
Затем, в главе 3 мы рассмотрели другой способ описывать влияние турбулентного перемешивания на наши модели. Была предложена уже упомянутая выше модель Казанцева - Крейчнана с Гауссовым полем скорости и степенным спектром ос k d , но с обобщением на случай сжимаемой жидкости. В этой главе к уже известным нам процессу Грибова и модели А мы добавляем в рассмотрение модель Поттса, которая имеет большое число разнообразных физических применений.
Полные задачи формулируются в виде теоретико полевых моделей, показывается их мультипликативная ренормируемость, что позволяет нам пользоваться методом ГГ для анализа их поведения. Было показано, что в зависимости от соотношения между пространственной размерностью d и показателем все наши модели демонстрируют четыре различных вида критического поведения, связанных с четырьмя возможными неподвижными точками уравнения ГГ. Три неподвижные точки соответствуют известным режимам: (I) Гауссовой неподвижной точке; (II) критическому поведению типичному для чистой модели без турбулентного переноса (то есть, модель Л, Грибова или Поттса); (III) скалярному полю без самодействия (нелинейность параметра порядка в исходных динамических уравнениях является несущественной). Наиболее интересной четвертый точке соответствует новый тип критического поведения (IV), в котором важны как нелинейность, так и турбулентное перемешивание. Критические показатели зависят от d: , параметра сжимаемости а и, в случае модели Поттса, от группы симметрии G. Были вычислены критические индексы и области устойчивости для всех режимов в однопетлевом приближении, что соответствует главным членам двойного разложения по параметрам и є = 4 — d. Модель Поттса обладает более сложной картиной областей устойчивости непо 88 движных точек в сравнении с другими моделями. Это связано с тем, что в модели ответы зависят еще от одного параметра п - размерности группы гипертетраэдра. Для наиболее интересного случая п = 0 (процесс протекания в движущихся средах) R\ = (n+l)2(n—1) = -1,- = (n+l)2(n—2) = —2 и R = R\ -4 = 7 мы попадаем в случай (1), описанный в 3.7.2. При наиболее реалистичных значениях для несжимаемой жидкости = 4/3, d = 3 мы попадаем в режим пассивного скалярного перемешивания (III). С ростом а граница устойчивости между (III) и (IV) областями начинает двигаться и, при достаточно большом а, мы попадаем в новый режим (IV). Таким образом, сжимаемость ведет к смене типа критического поведения между двумя классами универсальности. Для п = 2 (переход из нематического в изотропное состояние в жидких кристаллах) R2 = О, R\ = R = 9 (IV) точка недопустима, а область устойчивости (II) режима лежит в правом нижнем квадранте (этот случай отдельно разобран в 3.7.4). При маленьком а и вышеупомянутыми Й( система попадает в (III) режим (турбулентный перенос). Когда а становится достаточно большим наши параметры не попадают ни в один из допустимых режимов. Следовательно, в этом случае рост сжимаемости разрушает критическое поведение.
Для случая процесса Грибова или модели А картина устойчивости режимов гораздо проще и похожа на картину из главы 2. Было показано, что для обеих моделей, сжимаемость усиливает роль нелинейных членов в динамических уравнениях. В плоскости -, область устойчивости (IV) режима становится шире при возрастании степени сжимаемости.
