Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Расчет спектров энергии развитой затухающей турбулентности с помощью схемы замыкания Гейзенберга 11
1.1. Введение 11
1.2. Общий вид спектра энергии. Постановка задачи 12
1.3. Зависимость от времени. Нормировочные соотношения 15
1.4. Схема замыкания Гейзенберга 17
1.5. Решение уравнения спектрального баланса в области диссипации 19
1.6. Решение уравнения спектрального баланса в области энергии. 21
1.7. Нормированные одномерные спектры. Сравнение с экспериментом 22
Глава 2. Диффузия скалярной примеси в сильно анизотропном турбулентном потоке 26
2.1. Введение 26
2.2. Формулировка модели. Аномальный скейлинг и "опасные" составные операторы 29
2.3. Теоретико-полевая формулировка. Уравнения Дайсона-Уайльда 35
2.4. Ренормировка, РГ функции и РГ уравнения 39
2.5. Решение РГ уравнений. Инвариантные переменные 46
2.6. Ренормировка и критические размерности составных операторов 49
2.7. Операторное разложение и аномальный скейлинг 65
2.8. Точное решение для структурной функции второго порядка и расчет ее амплитуды 71
2.9. Заключение 86
Глава 3. Перенос пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком 89
3.1. Введение 89
3.2. Описание модели 93
3.3. Полевая формулировка. Операторное разложение 95
3.4. Базис для скалярных операторов вида (дір)п 100
3.5. Критические размерности базисных операторов в однопетлевом приближении. Асимптотика структурных функций. 102
3.6. Заключение 109
3.7. Приложение ПО
Глава 4. Специфика аномального скеилинга векторной примеси в двух и трех измерениях 113
4.1. Введение 113
4.2. Формулировка модели 114
4.3. Поведение структурных функций в инерционном интервале 115
4.4. Двумерный случай 116
4.5. Трехмерный случай 117
4.6. Заключение 120
Заключение 122
Литература 125
- Зависимость от времени. Нормировочные соотношения
- Операторное разложение и аномальный скейлинг
- Полевая формулировка. Операторное разложение
- Поведение структурных функций в инерционном интервале
Введение к работе
Построение теории турбулентности — одна из наиболее старых, и до сих пор окончательно не решенных задач теоретической физики. В частности, развитая турбулентность, характеризующаяся большими значениями числа Рейнольдса R, с трудом поддается теоретическому анализу, несмотря на усилия многих поколений ученых и разнообразие применяемых методов, которые варьируются от построения феноменологических и полуфеноменологических замыканий уравнений гидродинамики, до мощных теоретико-полевых методов, разработанных первоначально в рамках формализма квантовой теории поля для нужд физики элементарных частиц.
Значительный прогресс в понимании механизма.развитой турбулентности был достигнут в 40-х годах прошлого века и был связан с именами Колмогорова и Обухова [1-3]. Согласно теории Колмогорова-Обухова, развитая турбулентность имеет два характерных пространственных масштаба: интегральный L и диссипативный rj. Первый определяется геометрией течения и характеризует максимальный размер неоднородностей поля скорости в системе. Второй определяется масштабом турбулентности, на котором доминирующую роль начинает играть диссипация энергии за счет вязкости, и связан со средней скоростью диссипации энергии. Энергия поступает в систему в виде вихрей размером г > L (область накачки), а диссипирует на масштабах г < г) (область диссипации). Отношение этих масштабов выражается через число Рейнольдса Ь(т\ = Л3/4. В промежуточной области L 3> г ^> г/, получившей название инерционного интервала, происходит перенос энергии по спектру размеров пульсаций скорости от области накачки к области диссипации за счет нелинейности в уравнениях гидродинамики.
В инерционном интервале теория Колмогорова-Обухова предсказывает независимость пульсаций скорости от интегрального и диссипативного масштабов, что позволяет получить асимптотические выражения для корреляционных функций из соображений размерности. Именно получение универсальных спектров энергии (вторая корреляционная функция), которые прекрасно согласуются со всем многообразием экспериментальных данных в инерционном интервале, было большим успехом теории.
Хотя поведение турбулентности на крупных масштабах зависит от устройства системы, тем не менее, для геометрически подобных систем можно построить универсальное описание в этой области [4]. Примером такого класса систем служит затухающая турбулентность за решеткой. В Главе 1 исследуется уравнение спектрального баланса энергии развитой затухающей однородной изотропной турбулентности. Обобщается на крупномасштабную область схема замыкания Гейзенберга, дающая колмогоровский спектр энергии в инерционном интервале. Находится приближенное решение полученного уравнения во всем диапазоне масштабов. Вычисляется значение константы Колмогорова. Демонстрируется неплохое согласие соответствующего решению продольного одномерного спектра энергии с экспериментальными данными для затухающей турбулентности за решеткой.
Известны, однако, экспериментальные и теоретические свидетельства в пользу некоторых отклонений от предсказаний теории Колмогорова-Обухова. В частности, для одновременных структурных функций Sn{r) ЕЕ (Ы*, X + Г) -
5„(г) ос г"/3 J2(r/L)A^AF, (0.2) где суммирование ведется по всевозможным скалярным галилеево-инвари-антным составным операторам F (локальным произведениям полей ipi(t,x) и их производных), Ар — критические размерности этих операторов [50, 51]. В набор F входят, в частности, и все степени оператора диссипации (dupj + dj(pi)2/2. Если бы для всех F выполнялось Ар > 0, члены суммы в (0.2) определяли бы в инерционном интервале поправки к колмогоровскому скейлингу. Если же в (0.2) присутствует хотя бы один оператор с Ар < 0 — "опасный оператор", предел r/L —> 0 в (0.2) перестает существовать, что и приводит к аномальному скейлингу.
В последнее время проявляется значительный интерес к исследованию аномального скейлинга пассивной скалярной примеси в инерционном интервале. И натурные, и численные эксперименты показывают, что отклонения от классической теории Колмогорова-Обухова гораздо сильнее проявляются для скалярной примеси, нежели, собственно, для поля скорости; например, см. [10, 11] и имеющиеся там ссылки. В то же время, задача переноса скалярной примеси более проста для теоретического анализа.
Наиболее заметный прогресс в этой области был достигнут для, так называемой, модели Крейчнана [13] перемешивания пассивной примеси "синтетическим" полем скорости с гауссовой статистикой (см. ссылки в Главе 2). Уже такая сравнительно простая модель обнаруживает некоторые аномальные черты, свойственные реальной турбулентной конвекции. Тем самым, проблема турбулентной диффузии, важная сама по себе, может рассматриваться как отправная точка при изучении аномального скейлин-га в турбулентности в целом.
Еще один важный вопрос, изучаемый в последнее время, — влияние крупномасштабной анизотропии на статистические характеристики пассивно переносимых полей и, собственно, на поле скорости. Согласно классической теории Колмогорова-Обухова, анизотропия, привнесенная на крупных масштабах посредством силы (граничных условий, геометрии препятствий), исчезает при переносе энергии на меньшие масштабы, благодаря каскадному механизму [2, 3]. Недавние работы подтверждают эту картину для четных корреляционных функций. Тем не менее, анизотропия выживает в инерционном интервале и проявляется в нечетных корреляционных функциях, что не совпадает с ожиданиями, основанными на идеях каскада. Асимметрия Sz/Sl'2 уменьшается при уменьшении масштабов гораздо медленнее, чем ожидалось, а безразмерные отношения более высоких нечетных порядков S2n+i/ST2+ (гиперасимметрия и т.д.) увеличиваются, демонстрируя устойчивую мелкомасштабную анизотропию. Это проявляется и для скалярного и для векторного полей, переносимых быстро меняющимся гауссовским полем скорости, а так же для скалярного поля, переносимого двумерным полем скорости, подчиняющимся уравнению Навье-Стокса, что говорит в пользу универсальности эффекта (см. ссылки в Главе 2).
В Главе 2 изучается обобщение модели Крейчнана турбулентной кон- векции на сильно анизотропное поле скорости. Методами ренормгруппы и операторного разложения доказывается наличие аномального скейлинга в инерционном интервале, и в первом порядке є-разложения вычисляются соответствующие аномальные показатели для структурных функций произвольного порядка в произвольной размерности пространства d.
Аномальные показатели структурных функций в пределе малой анизотропии можно связать с тензорными составными операторами, построенными из градиентов скалярного поля. При этом, они обладают иерархией, связанной со степенью анизотропии: чем меньше ранг оператора, тем больший вклад в асимптотику инерционного интервала ему соответствует. Ведущие вклады для четных и нечетных структурных функций даются, соответственно, скалярными и векторными операторами.
Одним из интересных качественных результатов анализа данной модели является следующий. Хотя при конечной анизотропии показатели нельзя связать с определенными операторами, вследствие "смешивания" операторов при ренормировке, упомянутая иерархия выживает во всех рассмотренных случаях. Эта иерархия может рассматриваться как подтверждение известной феноменологической гипотезы о локальной изотропизации турбулентности, полученное на основе микроскопической модели и в рамках контролируемого приближения.
Кроме того, обнаружено, что, при достаточно сильной анизотропии поля скорости, асимметрия структурных функций скалярной примеси может возрастать в инерционном интервале. Нечетные отношения старших порядков возрастают уже при малой анизотропии.
Детальное исследование структурной функции второго порядка методами ренормгруппы и анализа нулевых мод приводит к согласующимся результатам. Вычислены соответствующие показатели и амплитуды в рамках теорий возмущения по є, 1/d и параметрам анизотропии.
В связи с успехами, достигнутыми в модели Крейчнана, в настоящее время активный интерес вызывает исследование ее обобщений на случай примесного векторного поля. Наиболее обсуждаемые в литературе модели — модель Казанцева-Крейчнана переноса магнитного поля, линеаризованное уравнение Навье-Стокса, которое описывает перенос мелкомасштабных компонент скорости крупномасштабными с заданной статистикой, а так же, собственно, модель переноса пассивной векторной примеси.
Последнюю модель можно рассматривать как линеаризованное уравнение Навье-Стокса, в котором пренебрегается градиентом крупномасштабных компонент скорости. С точки зрения анализа аномального скеилинга с помощью операторного разложения (0.2), именно эта модель наиболее близка к уравнению Навье-Стокса. Дело в том, что именно в этом случае задача становится инвариантной относительно сдвига примесного поля на постоянный вектор, что является аналогом галилеевой инвариантности уравнений гидродинамики.
Как и в уравнении Навье-Стокса операторы, дающие главный вклад в операторное разложение, сильно смешиваются при ренормировке, что порождает значительные вычислительные трудности. Для получения аномальных показателей необходимо найти собственные числа матрицы критических размерностей, порядок которой равен количеству операторов в семействе. Так, семейство операторов для S,\ включает 6 операторов при произвольном d [59J, и их количество быстро возрастает с ростом порядка структурной функции.
В Главе 3 рассмотрена модель переноса пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком. Установлено, что асимптотика структурных функций примеси в инерционном интервале определяется флукту- ациями диссипации энергии. Показатели аномального скейлинга рассчитаны в однопетлевом приближении для структурных функций произвольного порядка, что стало возможным вследствие выбора базиса в котором матрица критических размерностей имеет треугольный вид.
В Главе 4 разработана методика для построения базисов семейств операторов, определяющих главный вклад в операторное разложение структурных функций, основанная на выявлении дополнительных связей между операторами при уменьшении размерности пространства d. Появление дополнительных связей объясняется тем, что тензоры с одинаковым количеством значков в пространствах разной размерности имеют разное количество независимых компонент.
На основе этой методики построены операторные базисы для d — 2 и d = 3, что позволило в случае трех измерений в однопетлевом приближении рассчитать аномальные показатели структурных функций до восемнадцатого порядка включительно.
Зависимость от времени. Нормировочные соотношения
Универсальный спектр энергии (1.7) не может зависеть от времени явно, зависимость от времени реализуется через параметры є, т и kd, т.е. ищется автомодельное решение. По образцу [4] введем зависимость от времени /, как S(t) ос v2(t) ос tn. Тогда из (1.4) следует e(t) ос tn l, а из (1.5) получаем Lit) ос (+2)/2. Как продемонстрировано в [4], [5], правильные законы затухания по времени доставляются значением п = —6/5, и, таким образом, Подстановка спектра энергии в виде (1.7) в определения (1.2)-(1.3) позволяет найти связи между скейлинговой функцией F и константой Колмогорова Cj{. Сделав такую подстановку и перейдя к переменной kL(t) под интегралом, получим выражение где число Рейнольдса появилось вследствие (1.6). Воспользовавшись (1.5) и определением фон Кармана-Ховарта [4] для энергии пульсаций в трехмерном случае S = 3?;2/2, получаем из (1.10) связь между константой Кол могорова и скейлинговой функцией Определение (1.3), после сокращения є, в переменных кЬ и кг), соответственно, выглядит так При решении уравнения баланса нас будет интересовать ведущий вклад в скейлинговую функцию F в асимптотике R — оо. Так как в интегралы из (1.11) и (1.12) основной вклад дают ИК- и УФ- области, соответственно, то, вследствие (1.8), в пределе Я — со из этих выражений получаются НОрМИрОВОЧНЫе СООТНОШеНИЯ ДЛЯ FHK И Fy0 — Дифференцирование (1.7) по времени приводит к выражению где штрих обозначает дифференцирование по аргументу функции. Обозначая выражение в квадратных скобках через V{kL,kry) и используя (1.9), находим Как видно, это безразмерная функция безразмерных же переменных. Разделим в равенстве dt — /J dtE(k)dk обе части на dt — dtln = (//)2/3(5ип и подставим интеграл по к от (1.14). После использования (1.9) и перехода к переменной интегрирования кЬ получим равенство Для замыкания уравнения спектрального баланса (1.1) воспользуемся схемой, предложенной Гейзенбергом (1948) [2]. Для этого перейдем к интегральному виду уравнения баланса взяв в (1.1) интеграл по малым волновым числам со Поскольку функция переноса обладает свойством J T(q)dq = 0, ее можно о представить в виде T(k) — dkj(k), где j(k) — поток энергии по спектру. Тогда о при этом должно выполняться условие ](к) — 0 при к — со. Представим поток .? (&) в виде, похожем на второй член правой части (1.17): о Функция V r{k) называется кинематическим коэффициентом турбулентной вязкости.
В этом случае проблема замыкания уравнения (1.1) сводится к выражению турбулентной вязкости ит{к) через Е(к). Гейзенберг, из соображений размерности, предложил вариант [2] где 7 — безразмерный подгоночный параметр. При этом выполняется требование j(k) — 0 при к — оо, вследствие конечности диссипации. Однако, при обобщении схемы замыкания Гейзенберга на область энергии, к двум величинам — волновому числу к и спектру энергии Е, из которых комбинируется турбулентная вязкость, добавляется третья — внешний масштаб т, зависимость от которого должна пропадать в УФ-области. Построим новую модель турбулентной вязкости из следующих соображений. Как известно, спектр энергии Е{к) на малых к аналитичен по к2. Потребуем такую же аналитичность и для Т{к). Модель /л 3 , очевидно, такой аналитичностью не обладает, поэтому заменим под интегралом д3/2 на (m2 + д2)3/4. Новая модель турбулентной вязкости к аналитична при малых волновых числах, и в УФ-области (к » га) она асимптотически переходит в i/ 3 . В исходной схеме Гейзенберга 7 считалась постоянной, что, вообще говоря, справедливо только в диссипативной области. На малых волновых числах 7 тоже нужно считать функцией внешнего масштаба 7 — l{kL). Однако, для простоты она и далее будет полагаться константой, теперь уже во всем диапазоне волновых чисел. "Расплата" за эту гипотезу — исчезновение произвола в выборе j, которая теперь определяется однозначно (см. ниже). Итак, параметр j больше не является подгоночным, что ужесточает требования к искомому спектру.
Подстановка (1.19) и (1.20) в (1.18) приводит к потоку энергии Воспользуемся интегральным видом уравнения баланса энергии (1.17) с учетом (1.21). Для получения безразмерного вида уравнения баланса подставим в уравнение (1.17) спектр энергии в виде (1.7) и используем (1.14) и (1.15), а так же разделим левую часть уравнения на д%, а правую на — є (в силу (1.4)) и перейдем к переменной х = kL, после чего, аналогично (1.16) и (1.12), получим Для решения уравнения (1.22) в области диссипации, выразим интегралы по области [0, х] через интегралы по области [ж, оо). Это можно сделать, воспользовавшись соотношением (1.16) в левой части уравнения и соотношением (1.12) в правой части. После чего перейдем к переменной X = k/kd — xR 3 , естественной для диссипативной области, и вынесем общий множитель в правой части Интеграл в левой части уравнения конечен при R — оо, поэтому после перехода к пределу R — ос и деления обеих частей (1.23) на второй мно
Операторное разложение и аномальный скейлинг
Представление (2.49) при произвольных скейлинговых функциях i{mr) описывает поведение структурных функций при Лг 1 и любом фик сированном тт\ см. раздел 2.5.. Инерционному интервалу соответствует дополнительное условие тт С 1. Вид функций (тпг) не определяется, собственно, уравнениями РГ; аналогично теории критических явлений, их поведение при mr — 0 исследуется при помощи известного операторного разложения Вильсона (ОР); см., например, [30-34]. Согласно методам ОР, произведение двух ренормированных операторов Fi(x)F2(x ), взятое при совпадающих временах, для х = (х + х )/2 = const где коэффициенты Cf — функции, аналитические по m2, a F — всевозможные ренормироваиные локальные составные операторы, допускаемые симметрией модели (более точно, см. ниже). Не умаляя общности, можно считать, что разложение ведется по базисным операторам типа (2.55), т.е. имеющим определенную критическую размерность Ар. Ренормирован-ный коррелятор (Fx(x)F2(x )) получается усреднением выражения (2.88) с весом ехр5д и ренормированным действием из (2.28), при этом в правой части появляются величины (F) ос тпАр. Таким образом, из операторного разложения (2.88) мы получаем следующее выражение для скейлинговой функции (тг) в представлении (2.49) для коррелятора (Fi(x)F2{xf)): с коэффициентами Ар, регулярными по (mr)2. Обратимся теперь к одновременной структурной функции SM из (2.5).
Отныне мы полагаем, что смешанный коррелятор (v/) отличен от нуля; это не влияет на критические размерности, но приводит к возникновению ненулевых нечетных структурных функций. В общем, операторы, входящие ГпР Зависимость критической размерности Д[4,р] при d — 3 и р = О,2,4 (снизу вверх) от pi при р2 = 0 — слева, от р pi = р2 — в центре и от рг при р! = 0 — справа. в ОР, — те операторы, которые появляются в соответствующем разложении Тейлора, а также все операторы, которые к ним примешиваются при ренормировке [30, 31]. Старший вклад в тейлоровское разложение структурной функции SN дается, очевидно, оператором F[N,N] из (2.58); при ренормировке возникают всевозможные операторы F[N }p] с Nf N и всеми возможными значениями р. Операторы с N N (чей вклад более важен) не возникают в выражении (2.89), потому что они не входят в тейлоровское разложение функции SN И не примешиваются к операторам в тейлоровском разложении при ренормировке (см. раздел 2.6.). Следовательно, комбинирование РГ представления (2.47) с операторным разложением (2.89) дает искомое асимптотическое выражение для структурной функции в инерционном интервале: Второе суммирование производится по всем значениям р, допустимым для данного N ; См ,Р — коэффициенты зависящие от є, d, pi,2 и угла $ между г и п. Многоточием обозначены вклады операторов отличных от F[N,p], например, д20д29; они дают члены порядка (тг)2+0& и выше, в дальнейшем мы ими пренебрегаем. Зависимость критической размерности Д[5,р] при d =3 и р= 1,3,5 (снизу вверх) от р\ при р2 — 0 — слева, от р рх = р2 — в центре и от / при р\ — 0 — справа. Сделаем несколько замечаний. (і) Если смешанный коррелятор (v/)- равен нулю, то равны нулю и нечетные структурные функции, а вклад в четные функции дается только операторами с четными значениями N . В изотропном случае (pi = 0) выживает единственный вклад с р = 0; см. [20]. В присутствии анизотропии, рх$ ф 0, операторы ср
О имеют ненулевые средние значения, и их размерности A[N ,p] также появляются в правой части (2.90). (ІІ) Главный член разложения при малом тг дается вкладом с минимальным возможным значением A[N ,p]. Вспомним иерархические соотношения (2.81а), (2.81Ь), которые выполняются для р\$ = 0 и, следовательно, выполняются, в худшем случае, и при р 2 1. Это означает, что при достаточно слабой анизотропии главный вклад в (2.90) дает слагаемое с размерностью Д[і\Г,0] для любой 5дг. Для всех частных случаев, изученных в разделе 2.6., иерархические соотношения остаются в силе и при не малых значениях анизотропных параметров, и вклад с A[N, 0] остается главным для данного N и произвольных pi. (їй) Конечно, возможно, что неравенства(2.81а), (2.81Ь) не выполняются при каких-то значениях п, d и pi , и главный вклад в (2.90) определяется размерностью A[N ,p] с N Ф N и/или р 0. Д[6.Р]/с Зависимость критической размерности Д[6,р] при d = 3 и р = 0,2,4,6 (снизу вверх) от Рх при р2 = 0 — слева, от р = р! — р2 — в центре и от р% при pi = 0 — справа. Более того, возможно, что матрица (2.79) при каких-то pip имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел А и А . Тогда асимптотика скейлинговой функции (тг) из (2.90) при малом тг будет содержать осциллирующий вклад вида с некоторыми константами С». Еще одна экзотическая ситуация возникает, если матрица (2.79) недиа-гонализуема и приводится только к форме Жордана. В этом случае вклад в скейлинговую функцию будет включать логарифмические поправки к степенному поведению, (гаг)д [Ci ln(rar) + Сг], где А — собственное число из клетки Жордана. Однако, эти интересные гипотетические возможности не реализуются в рассмотренных в разделе 2.6. примерах, (iv) Включение смешанного коррелятора (v/) ос n5(t — t )C (r/) нарушает четность по п, вследствие чего появляются ненулевые нечетные функции S2n+i и вклады с нечетными N в разложении (2.90) для четных функций. Если иерархические соотношения (2.81а), (2.81Ь) выполняются, то главный член в четных функциях будет по-прежнему даваться вкладом с размерностью Д[ДО,0]. Если выполняются соотношения (2.81с), главный порядок для нечетной функции S2n+i будет даваться размерностью А[2п, 0] для и {(I -1-2)/4, и размерностью Л[2п-1-1,1] для п (/ + 2)/4. Отметим, что в модели с ненулевым средним градиентом, главный вклад в S n+i определяется размерностью А[2п + 1,1] для всех га; см. [22]. Это может быть связано с тем, что нечетные функции поля скорости более чувствительны к анизотропии, чем четные [47]. Представление, подобное (2.49), (2.90), может быть написано для любого одновременного парного коррелятора при известных канонических и критических размерностях. В частности, для операторов F[N,p] в ИК области (Лг ; 1, тг фиксировано) получим где индексы суммирования N, N удовлетворяют неравенствам N Ni, N 5 N2, а индексы р, р принимают все возможные значения, допустимые для данных JV, N . Поведение скейлинговой функции CN,p;A 1p (7Tir) ПРИ малом гаг имеет вид
Полевая формулировка. Операторное разложение
Стохастическая задача (3.4)-(3.7) эквивалентна полевой модели с функционалом действия Два первых слагаемых в функционале (3.8) представляют собой действие типа Мартина-Сиджи-Роуза (Martin-Siggia-Rose) для стохастической задачи (3.4)-(3.6) при фиксированном v, последнее слагаемое — гауссово усреднение по v, Dcp и Dv — корреляционные функции (3.6) и (3.7) соответственно, у — вспомогательное поперечное векторное поле. Необходимые интегрирования по I и х, а также суммирования по индексам подразумева ются, например, Давление не входит в функционал (3.8) вследствие поперечности вспомогательного поля ц . Полевая формулировка позволяет отождествить статистическое усреднение (...) с функциональным усреднением с весом exp S.
Объектом изучения в настоящей главе являются структурные функции вида (3.1) в инерционном интервале. Инвариантность действия (3.8) относительно преобразования р — р, ср — — р приводит к тому, что отличными от нуля оказываются только структурные функции S2n(r) с четными номерами. Воспользовавшись тем, что двумерное поперечное векторное поле представимо в виде с антисимметрическим тензором ец и скалярным полем ф{х), можно выразить действие (3.8) в терминах скалярных полей ф и ф \ При переходе от (3.8) к (3.10) использовано тождество є Ш = &fc $ji—&u 8jk, произведено интегрирование по частям и введено обозначение Вследствие равенства функционалов действия (3.8) и (3.10) соответствующие модели тождественны при с/ = 2 и приводят к одинаковым ответам для одних и тех же объектов. Действию (3.10) соответствует стандартная фейнмановская диаграммная техника с треххвостой вершиной ф фиУі и вершинным множителем где рик — импульсы, втекающие в вершину через поля ф и ф соответственно. Затравочные корреляторы модели (ЗЛО) в импульсно-частотном (к-ш) представлении имеют вид коррелятор (фф)0 для вычислений констант ренормировки не понадобится. Эффективным параметром теории возмущений модели (3.10) является заряд последнее равенство в (3.15) определяет характерный УФ-масштаб Л. Анализ УФ-расходимостей и ренормировка модели (3.10) не отличаются от проведенного в [59] для модели (3.8). Приведем поэтому лишь необходимые результаты.
Модель логарифмична (безразмерность до) при є — 0. Ультрафиолетовые расходимости диаграмм проявляются в виде полюсов по , они устраняются введением единственного контрчлена вида ф А2ф, что эквивалентно мультипликативной ренормировке параметров до, щ в функционале действия (3.10) с единственной независимой константой ренормировки Zv\ Здесь /і — ренормировочная масса в используемой в дальнейшем схеме минимальных вычитаний (MS), д и v — ренормированные аналоги затравочных параметров д0 и и0, Z — Z(g,e,d) — константы ренормировки. Связь между ними в (3.16) — следствие отсутствия ренормировки последнего слагаемого в (3.10), не требуется также ренормировки полей, т.е. Zф = Zф — \. Ренормированный функционал действия имеет вид где в корреляторе Dv амплитуда DQ предполагается выраженной через ре-нормированные параметры согласно (3.15), (3.16): D0 = дцЩ — g\ v. В од-нопетлевом приближении константа ренормировки Zv дается выражением [59] В действительности этот результат оказывается точным [59], т.к. определяющие Zu многопетлевые диаграммы содержат замкнутые циклы запаздывающего пропагатора (3.13) и поэтому равны нулю (следствие дельта-коррелированности по времени поля v в модели Крейчнана (3.7) ). Введем обозначения дифференциальных операторов: DM = цд при постоянных до и 1/0. а так же Vg = ддд при постоянных и, [і. По константам ренормировки Zu, Zg РГ-функции определяются как и бэта-функция как Соотношение между /3 и 7 в последнем уравнении — следствие определения (3.19) и последнего равенства в (3.16). Из (3.18), (3.19) и (3.20) для РГ-функции -уи(д) имеем Соотношения (3.20), (3.21) показывают, что в модели (3.17) существует ИК-устойчивая неподвижная точка Р{д ) = 0, Р (д ) 0 с координатой
Поведение структурных функций в инерционном интервале
Детальное обоснование инфракрасного скейлинга (область г г/) в модели (4.2)-(4.5) дано в [59]. Мы же сразу перейдем к операторному разложению структурных функций (4.1) в инерционном интервале, которое имеет вид где суммирование ведется по всевозможным скалярным галилеево-инвари-антным составным операторам F (локальным произведениям полей j(t,x) и их производных), Ар — критические размерности этих операторов [50, 51]. Если в (4.6) присутствует хотя бы один оператор с Ар 0 — "опасный оператор", предел r/L —» 0 перестает существовать, что и приводит к аномальному скейлингу. Как показано в [59], главный вклад в операторное разложение S2n Дает семейство Ф скалярных операторов вида (дір)2", точнее, всевозможные свертки степеней тензоров niij — di Pj и rn j = rriji — djifi. Для Si это семь операторов Ф = {(т2)2, {mm )2, (rn2)(mm ), {т2т 2), {(mm )2), (ynhri ), (т4)}. Здесь и далее (...) — one-рация взятия следа тензора. Операторы Ф\. ренормируются немультипликативно, со смешиванием. Критическими размерностями семейства Ф яв ляются собственные числа матрицы Скобки (.. .)о- — усреднение по ориентациям единичного d-мерного вектора п. Изотропия задачи позволяет использовать для этого усреднения соотношение
Очевидно что, в правой части (4.8), при учете (4.9), образуется линейная комбинация операторов из фМ. Основная сложность при расчете критических размерностей операторов из ф(п) — это быстрый рост количества операторов, входящих в семейство, при увеличении п. Так Ф(3) содержит 24 оператора, Ф — 81, Ф — 278, а ф(9) включает уже 47246 операторов. Однако, не все эти операторы независимы при целых размерностях пространства d. Далее мы рассмотрим, как наиболее существенные, d — 2 и d — 3. Исключение зависимых операторов позволяет радикально уменьшить размеры матрицы критических размерностей, а при d = 2, благодаря выбору специального базиса, еще и привести ее к треугольному виду при произвольном п. Наличие при целых d связей между операторами является следствием тождества Гамильтона-Кэли. Для произвольной 2x2 матрицы А оно имеет вид Для произвольных бесследовых матриц А и В (вспомним, что (m) = (т ) = 0), вследствие (4.10) выполняется Х2(аА + j3B) — 0. Приравняв нулю коэффициенты при степенях а и 0, получим Первые два равенства в (4.11) — это тождества Гамильтона-Кэли для матриц А и В, соответственно. Последнее — коммутационное соотношение для них. С точностью до полиномов меньшей степени, равенства (4.11) имеют вид Из (4.12) следует, что Р (А,В) 0 и произвольный полином можно привести к виду Р{А,В) = Сг(П)АВ + С2(П)А + Сз(ІЇ)В + С4(П)І, где коэффициенты являются полиномами от ЩА,В) = {(А2), (В2), (АВ)}, как следствие {Р(А,В)) = P(Q). Таким образом, при d = 2 любой оператор из ф(п) представим в виде Рп((т2), (mm )) и раскладывается по базису (т2)п к{тт )к. Однако, с точки зрения процедуры ренормировки, значительно более удобными оказались операторы Именно в базисе (4.13) матрица критических размерностей имеет диагональный вид. Тождество Гамильтона-Кэли для произвольной 3x3 матрицы А имеет вид
Приравняв нулю коэффициент при а2[3 в тождестве хз(«-4 4- @В) = 0 для бесследовых матриц А и В, получим Следовательно, учитывая возможность замены А - В, имеем Q(A,B) D точностью до полиномов меньшей степени имеют вид Мономы, стоящие в левых частях выражений (4.17) при алфавитном упорядочивании, встречаются позже мономов, стоящих в правых частях и, следовательно, применить эти выражения к любому полиному можно лишь конечное число раз. Применяя выражения (4.16) и (4.17) к полиному третьей степени, получим
