^Vol"W i iі=і i=i

с операторами

ojjj =сц~ су, где c*j - экстремум потенциала W(x) и

где W^{x) = d*W(x). При этом переменные ty задаются соотношениями

оо/п \ п / оо \

*=0 \І=Х / «=1 \*=0 /

Получены явные формулы для корреляционных функций для гауссовой и общей негауссовой эрмитовых матричных моделей. Оказывается, что особенности всех корреляционных функций, в том числе для старших родов, определяются гиперэллиптической кривой у (z), которая возникает уже в простейшей резольвенте

/o|.)_{l)E(TV 1 ) ₌ Щ^1.
z-Ф 2

Из того факта, что процедура восстановления зависимости от констант связи t не зависит от конкретного решения, сделан вывод о существовании универсального оператора эволюции. Это универсальный оператор эволюции, который восстанавливает зависимость от бесконечного набора времен по произвольной функции от коэффициентов затравочного потенциала,

Z{t\T) = U{t)Z{0\T).

Показано, что решения ДВ образуют базис в пространстве решений, то есть произвольное решение можно представить в виде интеграла от решения ДВ с некоторым весом f{S):

ЩТ) = J Л dSif{S)Z_Dv{T\t\Sn.

Во второй главе исследуются свойства универсального оператора эволюции. Явно предъявлено несколько первых коэффициентов разложения этого оператора по константам связи:

,z2)v(zl)v(z2)dzldz2 + .--

Здесь v(z) = Yik^o ^*^г*- Выражения для этих коэффициентов являются непосредственными опе-раторозначнымв аналогами выражений для корреляционных функций. Эти операторозначные коэффициенты и различные их комбинации называются чек-операторами. Выражения для первых коэффициентов этого ряда оказываются значительно проще, чем выражения для соответствующих корреляционных функций. Например, выражение для вклада рода д = 2 в одноточечную резольвенту имеет вид

Ry") y"(RFV) _; 1 ^( (Ry) _{ (RFW)\
V⁴ У* 2j/2 у 2у² у J

, МЛ² 1 <р(іґ\ ІУ^[4)

, 11(Ду)^а , 2y"(Ry) (Ry», _{g ч}.„ ,, . _да , ,.,, , _t..- , , ,

в то время как соответствующий оператор гораздо проще:

У⁴*

На этом основании формулируется гипотеза о том, что универсальный оператор может быть выражен полностью через операторы

Rw{z) - - ^2 (о + 6 + 2)T_a+b+2z^a-

ajb^O

д_ ЭТ₆'

y(z;g) = tJw*(z)*-4s*&(z),

и это выражение (с точностью до упорядочения некоторых членов, которое полностью не фиксируется) воспроизводит выражение для статистической суммы гауссовой эрмитовой матричной модели. При этом гиперэллиптическая кривая, которая определяет особенности всех мультире-зольвент, определяется по свободной энергии для рода g = 0, а именно,

!№(*) з yJw(z)*~i(R{z)FM).

Показано, что можно определить чек-операторы как для связанных, так и для несвязанных муль-тирезольвент. Далее показано, что по коэффициентам разложения универсального оператора эволюции можно построить бесконечный набор операторов, для которых решения ДВ являются собственными функциями с определенными собственными значениями, в частности, у операторов

ⁱ⁼₉^2тн*)

'At

собственными числами являются числа заполнения S<. Высказана и проверена в лидирующем порядке по константе связи гипотеза о коммутативности этих и сопряженных к ним операторов:

Fjfjf Ж-ічм,** jf *<-мм

= g*6ij-

В главе 3 исследуется предложенная А.Гивенталем формула разложения, которая задает статистическую сумму для топологической теории струн на многообразии М. Топологические теории поля по сравнению с обычными теориями имеют малое число степеней свободы и обладают дополнительными симметриями, что делает их похожими на матричные модели. В частности, статистические суммы топологических теорий удовлетворяют уравнениям Виттена-Дижхграафа-Верлинде-Верлпнде . Ограничение формул разложения на малое фазовое пространство имеет вид

Здесь 5* - координаты на малом фазовом пространстве для многообразия М, a Dm(s) - дифференциальный оператор, действующий на константы связи t_k ,

dm = ^22 E^W^/2(*)*y²

"..-її * *

ft ,1=0 ij

где VJJj^J(e), Aj(s) нї|(й)- некоторые функции, которые строятся по свободной энергии для рода ноль F$(s). В правой части этой формулы разложения стоит произведение т-функций Конце-вича. Эта т-функция интегрируемой иерархии КдВ, которая удовлетворяет дополнительному условию — струнному уравнению (одному из условий Вирасоро) и является статистической суммой для простейшей топологической теории струн - топологической гравитации. Она описывается матричным интегралом Концевнча, разложение которого задает триангуляцию римановых поверхностей. В случае многообразия G?¹, статистическая сумма для которого описывается некоторым матричным интегралом, формула разложения проверена с точностью до третьего порядка по константе связи с использованием условий Вирасоро, которым удовлетворяет т-функция Концевнча. Высказана гипотеза об общей связи между дифференциальными операторами, входящими в формулы разложения и условиями Вирасоро, и гипотеза о связи формул разложения с уравнениями Хироты, которые имеют аналогичную структуру. Эти гипотезы также проверены с точностью до третьего порядка по константе связи.

В заключении подводятся итоги и перечисляются нерешенные проблемы.

В приложении приводятся некоторые полученные формулы а таблицы.

Благодарности

Я выражаю искреннюю признательность за ценные советы и полезные обсуждения Н. Амбург, Э. Ахмедову, Д. Васильеву, И. Горделию, В. Долотину, А. Дьшарскому, А. Зотову, С. Клевцо-ву, С. Локтеву, А- Лосеву, Д. Малышеву, А- Маршакову, Д. Мельникову, В. Насретдиновой, Г. Ноаадзе, В. Пестуну, В. Побережному, А. Соловьеву, Т. Султанову, А. Червову.

Я многим обязан своему научному руководителю А.Ю.Морозову, который помог мне сделать первые шаги в области матричных моделей. Я искренне признателен ему не только за предложенные задачи и большое внимание к моей научной работе, но и за ряд бесценных жизненных уроков.

Также я хочу выразить особую благодарность А.Д. Миронову за поддержку и многочисленные разъяснения научных вопросов. Его помощь в работе была незаменима.

Мне приятно поблагодарить Е.С.Суслову за неоценимую поддержку а помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

Понятие статистической суммы

Одна из цепей общей теории струн [1] СОСТОИТ В ТОМ, чтобы идентифицировать свойства статистических сумм различных струнных моделей. По определению статистические суммы являются производящими функциями всех корреляционных функций в квантовой теории. Существуют три различных описания/определения статистической суммы: в виде матричного элемента, в виде решения системы линейных дифференциальных уравнений (то есть как элемента D-модуля) и в виде (функционального) интеграла по траекториям в конфигурационном и/или фазовом пространстве (по полевым конфигурациям), которые аналогичны трем существующим формулировкам квантовой механики (в виде линейной алгебры операторов в гильбертовом и фо-ковском пространствах, через волновые функции, через интеграл по путям). Эти совершенно непохожие определения подчеркивают различные свойства статистических сумм. Из их эквивалентности проистекают глубокие и нетривиальные соотношения и симметрии. Среди таких следствий важную роль играют свойства интегрируемости статистических сумм, из которых следует, что они принадлежат к классу обобщенных т-функции [2], удовлетворяющих бесконечному набору совместных нелинейных разностно-дифференпиальных уравнений (обобщенных уравнений Хироты). Более того, статистические суммы различных моделей часто бывают связаны через дуальности и/или симметрии типа зеркальной. Несмотря на общие определения и симметрии, статистические суммы редко выражаются через стандартные специальные функции, но при этом обладают сложными аналитическими свойствами с всевозможными особенностями и ветвлениями.

Все это - универсальность, богатые симметрии и невозможность свести задачу к известным функциям - означает, что статистические суммы (т-функции) струнных моделей являются естественными кандидатами на роль следующего поколения специальных функций: они должны быть изучены безотносительно к их конкретным применениям, их свойства должны быть исследованы и описаны, интересные частные случаи (при специальных значениях параметров, в асимптотиках, на специальных ветвях) должны быть найдены, перечислены и сведены в таблицы-ив конце концов собраны в справочниках по специальным функциям. Эта задача является очень естественной, поскольку, по аналогии с обыкновенными специальными функциями (из семейств гипергеометрических, эллиптических и Римановых тета-функций), все т-функции тесно связаны с теорией представлений алгебр и групп Ли [2]. Важно отметить, что, хотя статистические суммы обычно являются т-функциями, обратное - неверно; статистические суммы образуют очень специальный подкласс среди т-функций — с дополнительными структурами и глубокими свойствами (ситуация хорошо моделируется соотношением между римановыми и общими тета-функциями: первые, представляя усеченные статистические суммы свободных полей на римановых поверхностях, обладают дополнительными, очень важными, свойствами - такими, например, как тождества Фэя, которые следуют из теоремы Вика для свободных полей). Другими словами, интегрируемость является важной и естественной, но липіь малой, не исчерпывающей, частью теории статистических сумм.

В данной главе мы представляем первую итерацию предложенного выше анализа/изучения простейшей и очень важной специальной функции теории струн: статистической суммы эрмитовой одноматричной модели с матрицами конечного размера (ЭММКР) [3]-[7]. Общая схема рассуждений применима и к любой другой матричной модели. Очевидные примеры, которые следует проанализировать аналогичным образом — колчанные (конформные) матричные модели [8]-[10] (отметим также недавний прогресс в двухматричных (нормальных) моделях [11]) и (обобщенные) модели Концевича [12]-[17], После этого можно будет перейти к геометрическим т-функциям, связанным с топологическими сигма-моделями и моделями квантовой гравитации в различных фоновых полях. Однако из всех статистических сумм естественнее всего начать именно с относящихся к матричным моделям (различные аспекты матричных моделей изложены в [18]- [20]). Можно ожидать, что они не только являются простейшими примерами, но и представляют элементы для построения многих других т-функций. Пример разложения геометрической статистической суммы (а именно, в случае СРп топологической сигма-модели) в композицию элементарных функций (в данном случае это — n + 1 т-функция Концевича), линейную по всем элементам, был получен А.Гивенталем [21]-[22] (смотри также [10]). В данной работе будет рассмотрена более простая формула разложения для ЭММКР (которая, на самом деле, была получена уже в [23]).

В стандартной теории специальных функций принято различать два уровня общности: общее решение дифференциального уравнения и частные решения (ветви), обычно связанные с характерными интегральными представлениями (и/или специальными представлениями возникающей алгебры Ли). В качестве тривиального примера можно рассмотреть цилиндрическую функцию [24] {D-модуль, связанный с оператором z2d% + zdz + [z2 — f2)) и ее специальные ветви: функции Бесселя и Неймана или функции Ганкеля. Любая пара этих ветвей образует базис в пространстве решений (в D-шщуле) и может быть зафиксирована с помощью выбора контуров интегрирования.

То же самое верно и для специальных функций теории струн - специальные (функциональные) интегралы описывают специальные ветви общей статистической суммы, которая определя ется набором тождеств Уорда (уравнений Швингера-Дайшна) - причем разница между ветвями может оказаться более отчетливой, чем в элементарном случае. Мы детально разберем это явление на примере ЭММКР: сначала рассмотрим наивный матричный интеграл в 2.2.2, затем рассмотрим его обобщение как произвольное решение условий Вирасоро в 52.2.3-2.2.4 (хотя сейчас мы очень мало можем сказать про решения, не обладающие разложением по родам) и в конце вернемся к специальным решениям: гауссовой т-функции Z (t) в 2.2.6 и КИВ-ДВ т-функции - [Г 154(і) в 2.2.6. С помощью формул разложения, аналогичных формулам из работы Гивен-таля (2.2.6), КИВ-ДВ т-функция строится из полилинейной комбинации гауссовых т-функций, и, как показано в 2.4.3, такие функции можно рассматривать как базис в линейном пространстве всех решений условий Вирасоро (примерно так же, как е1ря в пространстве всех функций от х\ другими словами, так же, как и ехрх, 2оу[Т5] задает ядро интегрального преобразования функций переменных Т к функциям переменных S). К сожалению, до сих пор не ясно, чем выделен этот базис, хотя он имеет очевидные преимущества: а именно, он задается формулами разложения, аналогичными формулам Гивеиталя, и связан с теорией Уизема-Зайберга-Виттена.

Условия Вирасоро и петлевые операторы

В этом параграфе мы обсудим априорный способ введения фаз и то, насколько корректно их описание, приведенное в предыдущем параграфе. Мы также акцентируем внимание на интересной задаче построения матрично-интегральной модели статистической суммы, определенной условиями Вирасоро (2.3.10) или (2.3.23) и кратко обсудим, в каком смысле формулы разложения Гивенталя (которые связаны с матричными интегралами и приводят к статистической сумме КИВ-ДВ) дают решение этой задача.

Как уже было сказано выше, составной частью8 теории матричных моделей является утверждение о важности сдвигов переменных t, то есть Z{t —Т) a Z{t —Т ) с различными X и Т" могут быть различными ветвями статистической суммы, более того, они ветвятся и далее, давая, вообще говоря, бесконечно много подветвей. Ниже мы объясним значение этого утверждения и опишем систему ветвей и их свойства9. Первый вопрос, к которому следует обратиться, состоит в перечислении ветвей, то есть различных формальных рядов, являющихся решениями системы (2.3.10). Как уже упоминалось, сложности возникают из-за того, что ряды зависят от отношений переменных t, и различные ветви возникают при различных комбинациях t, которые могут находиться в знаменателях. Можно выделить три уровня классификации ветвей, характеризуемых параметрами g, W(z) = 7 и /#lm)( b... ,zm\g,T).

Зависимость от д характеризует степень сингулярности, возникающей при —или tk — оо. С самого начала можно выделить три возможности: — Функция Z разлагается по неотрицательным степеням д. Лидирующий член разложения в этой фазе описывает "наивный предел д = 0" и удовлетворяет уравнению Функция Z разлагается по неположительным степеням д. В этой фазе лидирующий член

Это аовое явление, которое ве возникает в простом примере (2.3.1), но возникает при рассмотрении интегрального представления цилиндрических функций (2.3.7). В самом непе, контур интегрирования, например, Для функции Ганкеля довольно причудлив, так что сдвиг переменной интегрирования переводит любую из функций Ганкеля в линейную комбинацию таких функций.

"После того, как это будет сделано, ножно перейти к изучению непрерывных пределов ветвей статистической суммы, которые возникают при JV — со и некотором заданном поведении других параметров. Таким образом, в зависимости от поведения этого бесконечного множества параметров приходим к 00е" типам непрерывных пределов (их может Сыть довольно мало на нижних ветвях - поэтому лишь они уже описаны в существующей литературе). Однако ниже мы ограничимся рассмотрением конечных N: для классификации непрерывных пределов необходима классификация ветвей, однако уже сама по себе последняя достаточно сложна. разложения соответствует "наивному пределу д = оо" и удовлетворяет уравнению

Альтернативой по отношению к этим двум ситуациям является разложение в ряд Лорана по степеням д с бесконечным количеством как положительных, так и отрицательных степеней д (если множество степеней полубесконечно, то умножение функции Z на подходящую степень д переводит ее в один из двух описанных выше классов). Бесконечные ряды Лорана иногда можно дальше разделить на классы, если вместо функции 2 рассмотреть препотенциал !F = д2 log Z. Тогда приводит к бесконечному ряду Лорана при разложении Z всякий раз, когда q 0 и з 2. Различные пары (7, #) соответствуют различным ветвям функции Z. На самом деле, решения системы (2.3.10) существуют, только если q = —оо или s = оо. Если q = —оо и a — оо, то трюк можно повторить и рассмотреть, к примеру, log.?" вместо J-, расщепляя "точку" (—оо, со), и так далее-Также р в формуле (2.4.3) может быть, как минимум, полуцелым (более общие разложения по нецелым степеням tfc еще более экзотичны, хотя и представляют интерес). Из всех возможных Tqt в литературе наибольшее внимание уделяется случаю !р =. о,оо обычно с целыми (а не полу-целыми) р. В этом случае разложение (2.4.3) называется разложением по родам. Р является сферическим вкладом в препотенциал F = о,ос) я. р указывает род. Бели ввести полуцелые р, то они будут соответствовать римановым поверхностям с границами или неориентированным поверхностям (в обоих случаях существуют дубли, которые являются обыкновенными римановыми поверхностями с целым родом).

В большинстве фаз для заданных q и s функции 7qlX (в частности, Д»,оо) обладают дополнительными свободными параметрами, которые не фиксируются условиями Вирасоро (2.3.10). В 2.3.4 мы обозначили эти параметры / (на самом деле, функции f{z) получаются из произвольной функции F\gtT\ от параметров Т (2.3.52)). Любая линейная комбинация с независимыми от t (но, возможно, зависимыми от д) коэффициентами cg sj является решением линейной системы (2.3.10), и коэффициенты cq s.j нельзя убрать с помощью переопределения /. Эти коэффициенты Cqj-j являются аналогами коэффициентов а и Р в примере (2.3.3), и их можно проинтерпретировать как замену контуров интегрирования циклами с комплексными коэффициентами. В дальнейшем мы не будем уделять внимание свободе, связанной с коэффициентами Cg]j;/ и сконцентрируемся на генераторах D-модуля Z4tS.j = exp qt3.j(g\t). Наша следующая задача - объяснить происхождения свободных параметров /.10 1 "Разделение "степеней свободы" на / и с/ далеко не очевидно. Мы описали возможный подход к разделению с 2.4.2 Сдзиги переменных t и происхождение параметров /: сверхпростой пример

Если зависимость от д установлена, можно перейти к перечислению решений системы (2.3.10). Для того, чтобы описать различные фазы, мы сдвигаем переменные -+ -7 + і , в предположении, что только первые п + 1 из параметров Tk могут быть ненулевыми.

Для того, чтобы понять, как новые свободные параметры возникают при нетривиальном W(z), поучительно начать с "наивного предела д = 0", то есть со статистической суммы, удовлетворяющей уравнению (2.4.1). Отметим, что она не имеет отношения к статистической сумме в "сферическом" (род р = 0) приближении, exp J7 /д2. Теперь для функции (отметим отсутствие множителя д2 в этом определении), взятой при tk = 0 (то есть при v(z) = 0), вместо формулы (2.3.23) имеем следующее уравнение: поскольку оператор {z) z pa(z) в (2.4.5) разлагаются по отрицательным степеням z. Это означает, что полином f(z) степени п— 1 является произвольным. Другими словами, видим, что при заданном W(z) степени п +1 мы имеем «-параметрическое семейство решений, даже если все t = 0. Включение t эквивалентно увеличению степени W(z) и, таким образом, может привести к новому произволу, к новым произвольным полиномам типа /С?)- Однако, в действительности коэффициенты этих полиномов являются функциями параметров Т, ограниченными дополнительными условиями (2.3.25). Формализм, который будет разработан в 2.3.4, позволит показать, что все функции / построены из одной произвольной функции F(T) от п переменныхTQ,... ,T„_i.

Полные связные корреляционные функции

Здесь ведется суммирование: по всем m! возможным перестановкам т точек гь... ,«m; по всем возможным значениям индексов р веек связных корреляторов, входящих в выражение; и но всем возможным способам разложения положительного целого числа т в сумму упорядоченных целых, взятых с ненулевыми кратностями т.е. такая, что обозначает последовательность элементов

Явные примеры формулы (3.2.13) для малых значений m представлены в приложении 6.6.23.

Как было показано в главе 2, условия Вирасоро приводят к рекуррентным соотношениям на связные корреляционные функции pw, которые могут быть явно вычислены и с помощью которых можно построить полные корреляционные функции Kw.

Наша задача состоит в том, чтобы найти, как корреляционные функции зависят ее только от своих явных аргументов г, но и от переменных Т, которые входят во все выражения через потенциал W(z) = о ї\г , а также от дополнительной произвольной функции, затравочного препотен-циала F{T;g) = YitLo ff2pF {T), введенного выше в главе 2. Из-за наличия этой дополнительной функции, в лучшем случае, можно надеется представить ответы для корреляционных функций в виде операторов, действующих на Z{T;g) = exp (g 2F(Г; j)), т.е. операторов, содержащих производные по переменным Т, Следуя 2.3.3, мы будем называть эти операторы чек-операторами.

Таким образом, задача состоит в том, чтобы выразить корреляционные функции, определенные в соотношениях (3.2.10) и (3.2.11), через операторы, содержащие производные по бесконечному множеству переменных с помощью чек-операторов (содержащих производные только по конечному набору переменных

Как объяснено в главе 2, из условий Вирасоро (3.1.1) можно рекурсивно вывести выражения для связных корреляционных функций Рур и затем с помощью формулы (3.2.13) можно вычислить Куу . Используя явные выражения для руу , представленные в приложении 6.6.2, можно получить явные выражения для Jf l1 , например,

Это выражение должно быть представлено в следующим виде: Более того, согласно 2.4.3, оператор Й\ (z;g) не зависит от вида затравочного препотенциала, а только от переменных Т и д/дТ. Используя явные формулы для Z(T;g) 1y(z]g)Z(T;g) из параграфа 3.3.3 и fl№ {z;g) из приложения 6.6.2, выражение (3.2.15) можно переписать следующим образом:

Таким образом, можно избавиться от членов, явно содержащих операторы Л и аре потенциал F&\ что значительно упрощает формулы.

Для краткости, начиная с этого места мы будеш опускать индекс № в -Йц (я) я j/w (г) в тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям. 3.2.3 От К к р — несколько примеров

Связные корреляционные функции р являются более " фундаментальными" объектами, чем полные корреляционные функции К. Следовательно, естественно задаться вопросом существуют ли чек-операторные аналоги р, поскольку мы видели, что чек-операторные аналоги К существуют и могут быть полезны для дальнейших вычислений.

В частности, поскольку связные и несвязные одноточечные корреляционные функции Таким образом, можно избавиться от членов, в которых явно содержатся оператор Л, и препо-тенциал так что возникающие чек-операторы выражаются только через y{z;g) (единственным исключением является который также содержит W (z)). При этом чек-оператор А?НР) является полиномом от W степени р. Но, с другой стороны, зависимость от д теперь распределена между явными множителями типа д2р 2 и неявной зависимостью через операторы y(z; д). Однако, это позволяет чек-операторам выглядеть точно таким же образом (по модулю упорядочения), как соответствующие гауссовы мультиппотности PQ , выраженные через JftJ.

В этой главе выдвигается гипотеза о том, что равенство (3.2.19) выполняется во всех порядках до константе связи д2 и, более того, подобные равенства выполняются для всех операторов kyv(z\t... ,zm\g): все они могут быть выражены через мультилинейные комбинации чек-операторов р$т , которые (при ір\т) ф (0[1)) зависят только от оператора и его производных по z, причем зависят точно таким же образом, как PQ зависит от ус Однако, даже для того, чтобы точно сформулировать эту гипотезу, необходимо ввести некоторое упорядочение для произведения чек-операторов, которое мы будем обозначать : : . Оказывается, что такое упорядочение не единственно. Мы будем различать три уровня произвола в упорядочении: ( ) порядок, в котором стоят в произведении различные р , ( ) порядок, в котором входят W и у, и ( ) порядок между оператором у и его производными. Различные упорядочения приводят к различным явным выражениям для р, и наша гипотеза гласит, что существуют упорядочения, при которых чек-операторы для полиплотностей содержат оператор у, его производные и больше ничего, кроме нескольких W . Относительно произвола на уровне ( ) мы ограничимся кратким комментарием (смотри (3.2.22) и (3.2.23) ниже), ори этом зафиксируем его таким, как в приложении 6.6.2, то есть так, чтобы все W в произведении стояли слева по отношению ко всем (производным от) у. Если оставить полиномы W на ах местах (мы прокомментируем такую возможность в конце этого параграфа), вся конструкция будет работать, но в выражениях для р Н"») некоторые у нужно будет заменить на —2р№) будет возникать в явных выражениях для некоторых р&\т\ Это не должно приводить к дополнительным сложностям, просто мы, достаточно произвольно, выбрали такое упорядочение, которое уничтожает зависимость от W и, следовательно, уменьшает свободу на уровне ( ).

Связь между уравнениями Сонга и Вирасоро

Матричные модели являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. Исторически матричные модели впервые возникли в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона в 50-е годы прошлого века при описании спектров сложных атомов и молекул. С тех пор матричные модели заняли достойное место в арсенале теоретической физики. Матричные модели являются достаточно простыми и, в тоже время, богатыми по набору интересных свойств объектами, которые возникают во многих областях физико-математических наук. Особенно интересны матричные модели с точки зрения теории струн, в которой они являются базисным элементом для построения множества более сложных моделей и возникают, в частности, при описании конформных теорий, топологических теорий, двумерной гравитации, суперсимметрии, интегрируемых систем. В различных задачах возникают различные матричные модели, и изучение взаимосвязи между ними позволяет получать нетривиальные утверждения о связях различных теорий. всех матричных элементов

Как было показано еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, интегралы такого типа можно значительно упростить, а именно, проинтегрировав по угловым переменным, свести JV2-KpaTHbni интеграл к JV-кратному интегралу по собственным значениям. При этом мера интегрирования становится нетривиальной. В случае эрмитова интеграла эта мера равна квадрату определителя Ван-дер-Монда от собственных значений матрицы.

Другим важным шагом в изучении матричных моделей было осознание того факта, что матричный интеграл удовлетворяет бесконечному набору условий, которые являются для него про сто тождествами Уорда, и называются условиями Вирасоро ила петлевыми уравнениями. Эти условия представляются в виде дифференциальных уравнений

Для того, чтобы доопределить расходящийся матричный интеграл, в потенциале необходимо выделить конечную затравочную часть бычно является полиномом, и считать статистическую сумму Z(t\N) формальным рядом по константам связи &. При этом зависимость от параметров затравочного потенциала Т может быть сложной и, вообще говоря, сингулярной. Простейшим примером потенциала является гауссов потенциал №"(Ф) = %-. Для гауссового интеграла существует диаграммная техника, которая позволяет вычислять различные корреляционные функции. Диаграммы являются толстыми графами, лежащими на римановых поверхностях. При этом, как показал т Хофт, у статистической суммы в такой теории существует естественное разложение по родам, то есть вклады кривых старших родов подавлены по константе связи д:

Хофтовская константа связи. Но технически оказывается проще не вычислять вклады от отдельных диаграмм, а ввести производящие функции для бесконечного набора диаграмм, например резольвенты достаточно просто вычислять с помощью условий Вирасоро.

Негауссовы интегралы, как обычно, сложнее и интереснее, и именно они чаще всего возникают в физических задачах. В частности, в серии работ Р-Дижкграафа и К.Вафы была обнаружена нетривиальная связь между низкоэнергетическим эффективным точным срепоте ад налом в jV = 1 четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Милса и так называемыми многоразрезными решениями (или, что тоже самое, решениями Дижкграафа-Вафы (ДВ)) эрмитовой матричной модели с размером матрицы JV — со. Эти решения имеют интегральные представления в виде специальным образом переопределенного эрмитового матричного интеграла. А именно, матричный интеграл берется с помощью метода перевала, при этом рассматривается вклад только одного, произвольного, экстремума, а не сумма по всем экстремумам. Этот экстремум задается числами заполнения Si, і = l,...,n— 1, определяющими количества собственных значений вблизи экстремумов потенциала W{x). Таким образом, получившаяся производящая функция (решение ДВ) зависит от дополнительного набора параметров. Эти параметры вместе с параметрами затравочного потенциала задают гиперэллиптическую кривую у (г)2 = W {z) — f(z), играющую важную роль в построении статистической суммы. В частности, резольвенты являются мультидифференциалами на этой римановой кривой, а числа заполнения равны контурным интегралам на ней

Для планарного и первого непланарного вклада в свободную энергию также существуют выражения в терминах контурных интегралов на этой кривой.

У определенного таким образом решения ДВ и исходного матричного интеграла есть важное общее свойство - они удовлетворяют условиям Вирасоро. Таким образом возникают вопросы: какие еше решения есть у условий Вирасоро, как устроены эти решения, что между ними общего и чем решения ДВ выделены. Интересным классом решений являются решения, имеющие разложение по родам. Оказывается, что при построении таких решений тоже возникают гиперэллиптические кривые, и свойства резольвент на этих кривых универсальны.

В настоящее время исследование свойств решений условий Вирасоро для эрмитовой матричной модели, в частности, решений ДВ, является важной и активно разрабатываемой темой в теории струн.

Еще одним важным примером матричной модели является модель Концевича, возникшая в 90-е годы при исследовании связи двумерной топологической теории гравитации и интегрируемой иерархии Картевега де Вриза (КдВ), которая является представителем важного класса обобщенных моделей Концевича:

Здесь произвольная эрмитова матрица, следы от отрицательных степеней которой играют роль констант связи, а У(Ф) - потенциал, который для модели Концевича просто равен Ф3. Модель Концевича может быть получена из эрмитовой матричной модели в специальном (двойном скейлинговом) пределе. Но в литературе, в частности, в работах Л.Чехова и Й.Костова есть указания на то, что существует нетривиальная точная связь между двумя этими моделями. Эта связь должна основываться на формулах разложения, являющихся аналогами формул разложения, которые известны в топологической теории струн. Топологические теории поля и струн активно изучались в конце 80-х - начале 90-х годов прошлого века, в частности, в работах Э.Виттееа и Р Лижкграафа были получены важные результаты, которые определяют связь топологических теорий с геометрией пространств модулей римановых кривых и интегрируемыми иерархиями. Топологические теории образуют важный класс моделей теории струн, многие общие свойства которых очень похожи на свойства матричных моделей. В некоторых случаях известно явное отождествление, в частности, для простейших топологических теорий струн — теорий для точки и для многообразия О" і— статистические суммы задаются матричными интегралами. Формулы разложения позволяют выразить статистические суммы нетривиальных теорий через произведение т-функций Концевича, связанных друг с другом некоторыми дифференциальными операторами. Существование формул разложения в топологических теориях является нетривиальным и до конца не понятым фактом, который позволяет вычислять корреляционные функции в этих теориях. Эти корреляционные функции являются важными геометрическими инвариантами пространств модулей римановых кривых с отмеченными точками и их отображений.

Похожие диссертации на Условия Вирасоро в матричных моделях

Эффекты квантовой теории поля в расширенной стандартной модели под влиянием внешних условийХарланов Олег Георгиевич

Эффекты динамического нарушения симметрий в плотной кварковой среде с учетом граничных условий и неоднородности конденсатов в четырехфермионных моделяхХунджуа, Тамаз Григорьевич

Кинетические модели установления теплового равновесия в ранней Вселенной в условиях скейлинга взаимодействий частицИгнатьев, Дмитрий Юрьевич

Диссертации России → Физико-математические науки → Теоретическая физика Условия Вирасоро в матричных моделях Александров Александр Сергеевич Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников Александров Александр Сергеевич. Условия Вирасоро в матричных моделях : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.04.02 : М., 2005 124 c. РГБ ОД, 61:05-1/1120 Содержание к диссертации Введение 2 Эрмитова матричная модель 11 2.1 Введение , 11 2.2 Статистическая сумма как функциональный интеграл 14 2.2.1 Понятие статистической суммы 14 2.2.2 Матричная модель как простейшая струнная модель 16 2.3 Статистическая сумма как D-модуль 18 2.3.1 Понятие статистической суммы 13 2.3.2 Условия Вирасоро для ЭММКР 19 2.3.3 Условия Вирасоро и петлевые операторы 21 2.3.4 Рекуррентное решение условий Вирасоро 23 2.3.5 Независимые переменные затравочного потенциала 28 2.4 О количестве решений 30 2.4.1 Типы зависимости от д 30 2.4.2 Сдвиги переменных t и происхождение параметров /: сверхпростой пример 32 2.4.3 Оператор эволюции и базис в гильбертовом пространстве решений . 33 2.5 Гауссова статистическая сумма 35 2.6 Формулы разложения типа формулы Гивентапя для негауссовых статистических суммКИВ-ДВ 39 2.7 Препотевциал КИВ-ДВ 43 2.8 Непрерывные пределы 49 3 Оператор эволюции 50 3.1 Введение 50 3.2 Корреляционные функции я чек-операторы 53 3.2.1 Полные связные корреляционные функции 53 3.2.2 От корреляторов К к операторам К 54 3.2.3 От К к р - несколько примеров 56 3.2.4 Ог Кар- общие результаты 58 3.2.5 От К о р назад к К и р 60 3.2.6 Операторы, соответствующие числам заполнения 62 3.3 Обращение с оператором у 65 3.3.1 Алгебра, генерируемая d^W{z) и dlR(z) 65 3.3.2 Интегральное представление оператора у и его степеней 66 3.3.3 Модельный пример дальнейших вычислений 67 3.3.4 Распутывание экспонент 67 3.3.5 Действие оператора у и его степеней 68 3.4 Резюме: гипотезы 70 4 Формулы разложения 71 4.1 Введение 71 4.2 Основные ингредиенты 76 4.3 Связь между уравнениями Сонга и Вирасоро 77 4.4 От квадратичного уравнения к линейному 80 5 Заключение 82 6 Приложения Понятие статистической суммы Условия Вирасоро и петлевые операторы Полные связные корреляционные функции Связь между уравнениями Сонга и Вирасоро Введение к работе Матричные модели являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. Исторически матричные модели впервые возникли в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона в 50-е годы прошлого века при описании спектров сложных атомов и молекул. С тех пор матричные модели заняли достойное место в арсенале теоретической физики. Матричные модели являются достаточно простыми и, в тоже время, богатыми по набору интересных свойств объектами, которые возникают во многих областях физико-математических наук. Особенно интересны матричные модели с точки зрения теории струн, в которой они являются базисным элементом для построения множества более сложных моделей и возникают, в частности, при описании конформных теорий, топологических теорий, двумерной гравитации, суперсимметрии, интегрируемых систем. В различных задачах возникают различные матричные модели, и изучение взаимосвязи между ними позволяет получать нетривиальные утверждения о связях различных теорий. Наиболее широко используемой является одновременно и наиболее простая матрдошая модель - эрмитова, которая описывается интегралом Z(t\U) = ~-l f гіФехр(!уЧтгФМ, где Ф - эрмитова матрица размером JV х JV, а мера интегрирования - просто произведение дифференциалов всех матричных элементов йФ = л <1Фц. Как было показано еще в работах Е.Вигнера и Ф.Дайсона, интегралы такого типа можно значительно упростить, а именно, проинтегрировав по угловым переменным, свести JV2-KpaTHbni интеграл к JV-кратному интегралу по собственным значениям. При этом мера интегрирования становится нетривиальной. В случае эрмитова интеграла эта мера равна квадрату определителя Ван-дер-Монда от собственных значений матрицы. Другим важным шагом в изучении матричных моделей было осознание того факта, что матричный интеграл удовлетворяет бесконечному набору условий, которые являются для него про- сто тождествами Уорда, и называются условиями Вирасоро ила петлевыми уравнениями. Эти условия представляются в виде дифференциальных уравнений LnZ(t\N) = О, п > -1, где операторы Ln имеют вид Ln = **fc^—+Yl s~s— и образуют подалгебру алгебры Вирасоро. Для того, чтобы доопределить расходящийся матричный интеграл, в потенциале необходимо выделить конечную затравочную часть ОО 00 531к Тг Ф* -S- ^2 tk TV Ф* - ТУ ТГ(Ф), fc=0 fc=0 где 1У(Ф) = 5^"=о^*** обычно является полиномом, и считать статистическую сумму Z(t\N) формальным рядом по константам связи &. При этом зависимость от параметров затравочного потенциала Т* может быть сложной и, вообще говоря, сингулярной. Простейшим примером потенциала является гауссов потенциал №"(Ф) = %-. Для гауссового интеграла существует диаграммная техника, которая позволяет вычислять различные корреляционные функции. Диаграммы являются толстыми графами, лежащими на римановых поверхностях. При этом, как показал т'Хофт, у статистической суммы в такой теории существует естественное разложение по родам, то есть вклады кривых старших родов подавлены по константе связи д: ZG{t[N) = ехр [ J29^2^4[S)) \h=0 / Здесь і? — т'Хофтовская константа связи. Но технически оказывается проще не вычислять вклады от отдельных диаграмм, а ввести производящие функции для бесконечного набора диаграмм, например резольвенты {Тг—Ц- ...Иг—!-_), zx-Ф zm-<5>' которые достаточно просто вычислять с помощью условий Вирасоро. Негауссовы интегралы, как обычно, сложнее и интереснее, и именно они чаще всего возникают в физических задачах. В частности, в серии работ Р-Дижкграафа и К.Вафы была обнаружена нетривиальная связь между низкоэнергетическим эффективным точным срепоте ад налом в jV = 1 четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Милса и так называемыми многоразрезными решениями (или, что тоже самое, решениями Дижкграафа-Вафы (ДВ)) эрмитовой матричной модели с размером матрицы JV —> со. Эти решения имеют интегральные представления в виде специальным образом переопределенного эрмитового матричного интеграла. А именно, матричный интеграл берется с помощью метода перевала, при этом рассматривается вклад только одного, произвольного, экстремума, а не сумма по всем экстремумам. Этот экстремум задается числами заполнения Si, і = l,...,n— 1, определяющими количества собственных значений вблизи экстремумов потенциала W{x). Таким образом, получившаяся производящая функция (решение ДВ) зависит от дополнительного набора параметров. Эти параметры вместе с параметрами затравочного потенциала задают гиперэллиптическую кривую у (г)2 = W'{z)^ — f(z), играющую важную роль в построении статистической суммы. В частности, резольвенты являются мультидифференциалами на этой римановой кривой, а числа заполнения равны контурным интегралам на ней Si= <Ь y(z)dz. Для планарного и первого непланарного вклада в свободную энергию также существуют выражения в терминах контурных интегралов на этой кривой. У определенного таким образом решения ДВ и исходного матричного интеграла есть важное общее свойство - они удовлетворяют условиям Вирасоро. Таким образом возникают вопросы: какие еше решения есть у условий Вирасоро, как устроены эти решения, что между ними общего и чем решения ДВ выделены. Интересным классом решений являются решения, имеющие разложение по родам. Оказывается, что при построении таких решений тоже возникают гиперэллиптические кривые, и свойства резольвент на этих кривых универсальны. В настоящее время исследование свойств решений условий Вирасоро для эрмитовой матричной модели, в частности, решений ДВ, является важной и активно разрабатываемой темой в теории струн. Еще одним важным примером матричной модели является модель Концевича, возникшая в 90-е годы при исследовании связи двумерной топологической теории гравитации и интегрируемой иерархии Картевега де Вриза (КдВ), которая является представителем важного класса обобщенных моделей Концевича: ZK = [ (We-^W+TVA*. Здесь Л - произвольная эрмитова матрица, следы от отрицательных степеней которой играют роль констант связи, а У(Ф) - потенциал, который для модели Концевича просто равен Ф3. Модель Концевича может быть получена из эрмитовой матричной модели в специальном (двойном скейлинговом) пределе. Но в литературе, в частности, в работах Л.Чехова и Й.Костова есть указания на то, что существует нетривиальная точная связь между двумя этими моделями. Эта связь должна основываться на формулах разложения, являющихся аналогами формул разложения, которые известны в топологической теории струн. Топологические теории поля и струн активно изучались в конце 80-х - начале 90-х годов прошлого века, в частности, в работах Э.Виттееа и Р Лижкграафа были получены важные результаты, которые определяют связь топологических теорий с геометрией пространств модулей римановых кривых и интегрируемыми иерархиями. Топологические теории образуют важный класс моделей теории струн, многие общие свойства которых очень похожи на свойства матричных моделей. В некоторых случаях известно явное отождествление, в частности, для простейших топологических теорий струн — теорий для точки и для многообразия О" і— статистические суммы задаются матричными интегралами. Формулы разложения позволяют выразить статистические суммы нетривиальных теорий через произведение т-функций Концевича, связанных друг с другом некоторыми дифференциальными операторами. Существование формул разложения в топологических теориях является нетривиальным и до конца не понятым фактом, который позволяет вычислять корреляционные функции в этих теориях. Эти корреляционные функции являются важными геометрическими инвариантами пространств модулей римановых кривых с отмеченными точками и их отображений. Содержание диссертация Введение обосновывает актуальность изучения рассматриваемых задач, содержит обзор литературы и методов решения. В первой главе описывается общая конструкция построения статистической суммы эрмитовой матричной модели. Излагается новый подход к матричным моделям, а именно, предлагается рассматривать матричную модель как U-модуль, описывающий все решения условий Вирасоро со сложной структурой ветвей, особенностей и т.д. Такая конструкция основывается на решении уравнений Вирасоро, которые являются тождествами Уорда для матричного интеграла. Эти условия приводят к рекуррентным соотношениям на вклады отдельных родов в мультирезольвев-ты. В диссертации представлено несколько первых шагов рекурсии и получены выражения для мультирезольвент младших родов. Исследована иерархическая структура решений и показано, что для физически важного класса решений, а именно для решений, обладающих т'Хофтовским разложением по родам, произвол в решении определяется функцией от коэффициентов потенциала и константы связи д: Z(0\T) = exp (Sa^oS2*~7F^hHT)), удовлетворяющей двум условиям сог ласованности: X_iZ(0|T) = 0, loZ{Q\T) = 0. То есть, решение, статистическая сумма которого имеет разложение по родам, задается произвольной функцией от п — 1 коэффициента затравочного потенциала. Для важного подкласса решений (решений Дижкграафа-Вафы, возникающих при описании Af = 1 суперсимметричной теории Янга-Милса в d = 4) получена формула разложения, нетривиальным образам связывающая статистические суммы этих решений со статистическими суммами простейших (гауссовых) эрмитовых матричных моделей: *g~ > {т)=n-e;')VoVw п