Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнения диффузии космических лучей в галактической среде фрактального типа 12
1.1 Уравнение аномальной диффузии в модели случайных блужданий Монтролла-Вейса 14
1.2 Уравнение аномальной диффузии в модели Учайкина 1,7
1.3 Уравнение аномальной диффузии космических лучей 20
1.4 Основные результаты главы 21
2. STRONG Функция грина и концентрация космических лучей в галактиче
ской среде фрактального типа STRONG 22
2.1 Функция Грина частицы в галактической среде фрактального типа 22
2.2 Концентрация космических лучей 27
2.2.1 Точечный мгновенный источник 28
2.2.2 Точечный импульсный источник 35
2.2.3 Концентрация космических лучей для режима диффузии 35
2.3 Уравнение супердиффузии космических лучей с учетом потерь энергии . 36
2.4 Основные результаты главы 39
3. Спектр космических лучей в галактической среде фрактального типа от точечного стационарного источника 41
3.1 Стационарная модель аномальной диффузии без учета потерь энергии 42
3.2 Модификация спектра частиц при переходе от нестационарного спектра
к стационарному при а = 1 44
3.3 Решение стационарного уравнения супердиффузии с учетом потерь энергии 47
3.4 Спектр частиц в стационарной модели аномальной диффузии с учетом энергетических потерь 48
3.5 Основные результаты главы 52
4. Спектр и массовый состав космических лучей в модели аномальной диффузии 55
4.1 Оценка параметров модели аномальной диффузии 55
4.2 Энергетический спектр и массовый состав космических лучей 62
4.3 Анизотропия космических лучей в модели аномальной диффузии 77
4.4 Энергетический спектр и массовый состав космических лучей в модели с двумя типами источников 78
4.5 Основные результаты главы 82
Заключение 85
А, Расчет плотностей сферически-симметричных и односторонних устойчивых распределений 88
АЛ Представление устойчивых распределений интегралами и рядами , 89
А.2 Численный расчёт плотностей сферически-симметричных устойчивых распределений 91
А.З Численный расчёт плотностей одномерных односторонних устойчивых распределений 97
Литература
- Уравнение аномальной диффузии в модели Учайкина
- Точечный импульсный источник
- Решение стационарного уравнения супердиффузии с учетом потерь энергии
- Энергетический спектр и массовый состав космических лучей в модели с двумя типами источников
Введение к работе
Проблема происхождения и ускорения космических лучей является предметом исследований в течение многих десятилетий. Ключевое место в решении этой проблемы занимает вопрос о характере распространения космических лучей в Галактике [1]. В принятом сегодня подходе прохождение космических лучей в межзвездной среде описывают в рамках нормальной (гауссовой) диффузионной модели [2-4]. В этой модели неявно предполагается, что среда, в которой происходит диффузия частиц, является квазиоднородной неоднородной в малых масштабах и однородной - в больших.
Эксперименты последних лет, однако, убедительно показывают, что неоднородности в пространственном распределении вещества и магнитного поля, обуславливающие хаотическое движение космических лучей, наблюдаются на разных масштабах 4 (см., например, [4-14]). Так в [6] на основании детального анализа остатков ряда сверхновых делается вывод, что сосуществование в одном остатке сверхновой газовых компонент с сильно различающимися физическими параметрами (Гє (5-гЮ6)ІС, пе (0,1-н103)см 3) может быть понято только в рамках предположения о неоднородности невозмущенной межзвездной среды с резкими контрастами плотности. В [15,16] сделаны оценки фрактальной размерности межзвездной галактической среды.
Нерегулярность распределения вещества и, в силу связи плотности р с магнитным полем Н ос pq, q (1/2 -н 1/3) [7], магнитного поля Галактики по крайней мере в масштабах / (100 4-150) пк и неприменимость, строго говоря, диффузионного приближения (2) для описания распространения частиц в средах с резкими контрастами плотности [17,18] (см. также обсуждение этого вопроса в [2]) стимулируют разработку новых моделей распространения космических лучей в межзвездной среде.
Среди возможных направлений обобщения модели (2) главным является отказ от предположения о статистически однородном распределении неоднородностей. Поскольку сегодня хорошо известно, что вследствие наличия турбулентных потоков распределение вещества и магнитного поля в Галактике имеет резко неоднородный характер фрактального типа, то естественно предположение о статистической однородности распределения неоднородностей заменить на более общее утверждение о фрактальном характере их распределения. Важным следствием этого предположения является степенное распределение пробегов частиц X в среде такого типа Р{Х х} ос х а, х — со, а 2 (так называемые "полеты Лёви" [19]), показатель которого определяется фрактальностью среды. Имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные позволяют предполагать, что "полеты Лёви" могут иметь важноезначение, по крайней мере, в масштабах г 300 пк [20].
Так как нельзя исключать и сильную запутанность силовых линий магнитного поля в неоднородиостях, вследствие чего вероятность длительного пребывания частиц в них отлична от нуля, то наделение неоднородностей свойствами "ловушек" может быть следующим направлением обобщения модели. Если случайное время пребывания частиц Т в "ловушках" описывается распределением Р{Т t} -/3, і —І оо, 0 1, то среднее время пребывания в таких ловушках, называемых нами далее "ловушками Лёви", равно бесконечности. Понятно, что нельзя исключать из рассмотрения неоднородности, среднее время пребывания космических лучей в которых конечно.
Переход от диффузии в однородной или квазиоднородной среде к диффузии в среде фрактального типа, характеризующейся наличием пустот и сгущений на разных масштабах, приводит к необходимости включения в модель распространения "полетов Лёви" и "ловушек Лёви". Сегодня установлено, что учет фрактальных свойств среды может быть осуществлен заменой операторов д/dt и лапласиана Д в уравнении нормальной диффузии операторами дробного дифференцирования по временной и пространственной переменным (см, обзоры [19,21-31]). Дробные операторы, отражающие наличие больших пробегов частиц в пустотах и длительное "застревание" частиц в неоднородностях-ловушках, делают процесс блуждания немарковским [29].
Уравнение аномальной диффузии в модели Учайкина
Другой подход к описанию аномальной диффузии частиц был недавно предложен Учайкиным [61]. В подходе [61] блуждание частицы также представляет собой последовательную смену двух состояний: состояния покоя, обозначаемого далее индексом (0), и состояния диффузии — (1), Времена пребывания частицы в этих состояниях считаются независимыми случайными величинами, распределения которых описываются плотностями qo(r) и qi(r). Предполагается также, что среднее время Ті между выходом частицы из "ловушки Лёви" и последующим попаданием в другую такую ловушку конечно, т.е.
В данной работе, в отличие от [61], считается, что диффузия частицы между "ловушками Лёви"(состояние (1)) описывается плотностью вероятности р(ж,), трансформан-та Фурье которой при к — 0 имеет вид
Параметр D является коэффициентом диффузии частицы между "ловушками Лёви". Возможность такого режима диффузии между ловушками допускалась в [61].
Можно показать, что условие (1.22) описывает режим диффузии между "ловушками Лёви", когда частица, совершая "полеты Лёви", пребывает конечное время в неоднородностях, не входящих в класс "ловушек Лёви".
В [61] показано, что пространственное распределение р0(сс,) частицы в момент /;, начавшей свою историю в момент t = 0 с попадания в ловушку в точке х — 0, связано с пространственным распределением pi(x,t) частицы, начавшей свою историю с выхода из ловушки в точке х = 0, системой интегральных уравнений
Обратное преобразование Фурье-Лапласа выражения (1.25), совпадающего с (1.15), снова приводит к уравнению аномальной диффузии (1.20).
Новым элементом кинетики аномальной диффузии, полученным в изложенном выше выводе, является утверждение о том, что при диффузии частицы в среде с "ловушками Лёви" включение дополнительного изотропного рассеяния на не одно родн остях, не входящих в класс "ловушек Лёви", с "полетами Лёви" между ними не влияет на пространственное положение диффундирующей частицы при х —» со, t — со.
При моделировании прохождения заряженных частиц через галактическую среду фрактального типа скачкообразным случайным процессом следует принимать во внимание, что распределения свободных пробегов ("полеты Лёви") и времени её пребывания в неоднородмостях ("ловушках Лёви") должны зависеть от величины R — pc/Z, которую будем называть, несмотря на опущенный элементарный заряд е[, жесткостью частицы с импульсом р и атомным номером Z. В рассматриваемой в работе области Е 103 ГэВ жесткость R « E/Z. Обозначая эти распределения как р(т, R) и q(t. R), будем считать, что при г — со, і — со они описываются выражениями р(г,ії) А(і?,а)гГ0-\ 0 а 1, (1.26) q(t,R) B(R,p)rP-\ 0 р 1. (1.27)
Повторяя выкладки п.1.2 при условиях (1.26)-(1.27) и пренебрегая потерями энергии и ядерными взаимодействиями космических лучей, приходим к следующему уравнению для функции Грина: ВС = -D(R,aJ)Dl (-/\y G t,B.-R0) + 6(i-)5(t)5(R-R0). (1.28)
В этом уравнении коэффициент аномальной диффузии D(R,a,f3) определяется константами A(R,a) и B(R,/3) распределений (1.26)-(1.27):
В случае источников, описываемых плотностью S(v,t.R), из (1.28) получаем обобщённое уравнение аномальной диффузии для концентрации космических лучей вида
При а — 2, 13 — 1 это уравнение совпадает с уравнением нормальной диффузии (2). При а 2, [3 — 1 получаем уравнение супердиффузии космических лучей которое впервые исследовалось в [32,33]. Анализ решения этого уравнения при степенном спектре генерации частиц позволил установить, что в этой модели спектр космических лучей имеет излом. При о: — 2, 0 I из (1.29) получаем уравнение, описывающее субдиффузионный режим = D(R,P)D] AN(T,-LR.)+S(T,t,R.). Этот режим распространения космических лучей, как промежуточная асимптотика, впервые обсуждался в [62].
Точечный импульсный источник
Показатель спектра Н() (2.18) в зависимости от скейлинговой переменной в случае точечного мгновенного источника при различных режимах диффузии определяется лишь показателем энергетической зависимости коэффициента диффузии 5. Следует заметить, что при получении данных о потоках частиц при эВ для основных групп ядер этот результат открывает возможность измерения 5; положение точки излома и форма спектра не существенно зависят от режима диффузии. Роль масштабного множителя, который модифицирует спектр, играет
Вместе с тем, следует отметить, что в случае- отсутствия аномально больших пробегов, т. е. в чисто субдиффузионном режиме {а == 2, j3 1), излом в спектре отсутствует. Аналогичная картина наблюдается и в режиме нормальной диффузии
В этих режимах показатель спектра наблюдаемых частиц ? резко убывает при (). Отсутствие излома в спектре при этих значениях а, 0 приводит к выводу, что нормальный и субдиффузионный режимы модели не могут быть использованы для описания распространения космических лучей в галактической среде фрактального типа.
Для точечного импульсного источника моделирующего спектр частиц, ускоренных в астрофизических объектах, решение имеет вид
Повторяя выкладки п. 2.2.1, легко убедиться, что спектр (2.25) также имеет излом. В частном случае a = 1,0 = 1, когда Фд ()-) есть распределение Коши, решения (2.13),(2.25) могут быть записаны с использованием элементарных функций. Так в случае точечного мгновенного источника имеем случае точечного импульсного источника после интегрирования находим
Проведенные автором исследования и многочисленные консультации с проф. В.В.Учайкиным приводят к выводу, что в принятой модели диффузии космических лучей — модели скачкообразного случайного процесса с "полетами Лёви" и "ловушками Лёви" — невозможно получить уравнение в дробных производных вида (1.29), включающее непрерывные потери энергии частиц при их пребывании в "ловушках Лёви". Использование подхода п.1.2 в этом случае приводит к системе интегральных уравнений для трансформант Фурье функций р0. Рі. что делает неэффективным с вычислительной точки зрения аналитический подход. Вместе с тем, исследования показали, что уравнение аномальной диффузии в аналитическом виде может быть получено в случае диффузии космических лучей в среде фрактального типа с "полетами Лёви", но с ловушками с конечным временем удержания (Т) (/? = 1).
1. Получено решение уравнения для функции Грина, описывающего диффузию космических лучей в галактической среде фрактального типа с "полетами Лёви" и "ловушками Лёви", Показано, что решение выражается через плотность дробно-устойчивого распределения, введенного недавно Учайкиным и Королевым [29]. Приведены выражения для супердиффузионного (а 2, 0 = 1) и субдиффузионного (а = 2, 0 1) режимов диффузии частиц.
2. Найдены решения уравнения аномальной диффузии для точечного мгновенного и точечного импульсного источников.
3. Выполнен детальный анализ поведения энергетической зависимости концентрации космических лучей от точечного мгновенного источника. Показано, что спектр, как и в исследованном ранее случае супердиффузии [33], имеет излом. В точке излома R = R!z показатель спектра равен показателю спектра генерации частиц в источнике.
4. Сформулирован алгоритм определения показателя спектра генерации частиц источниками космических лучей, основанный на значении показателя спектра космических лучей в точке излома: показатель спектра генерации 7 равен показателю спектра основных групп ядер (в районе Солнечной системы) в точке излома. Применение этого алгоритма к последним данным коллаборации Тибет по спектру протонов [66] дает 7 (2, 80 — 2,85).
5. Показано, что в случае точечного мгновенного источника частиц изменение показателя спектра Дт? определяется лишь показателем энергетической зависимости коэффициента диффузии 8. При получении данных о потоках частиц при Е 3 1015 эВ для основных групп ядер этот результат открывает возможность измерения 5.
Решение стационарного уравнения супердиффузии с учетом потерь энергии
Исследуем, теперь, влияние на форму спектра космических лучей непрерывных потерь энергии при их распространении в межзвездной галактической среде фрактального типа. Для описания диффузии частиц будем использовать стационарный вариант уравнения супердиффузии (2.29), учитывающего потери энергии частиц в приближении непрерывного замедления:
Соответствующая (3.U) функция Грина удовлетворяет уравнению ад)а)(-ДГ/2С(г, Л;г0) Ло) - 9{B{R)GMT0M) = = $(г-г0)5(Д-До). (3.12) Уравнение (3.12) удобно упростить, используя замену ф, R; г0) До) = B{R)G{r, R; Г0, R0). (3.13) В результате получаем = B(R)5{TQ)5{R-RQ). (3.14) Переходя от переменной R к новой переменной X(R-.RQ), л и учитывая, что преобразование Фурье для оператора Рисса, как отмечалось выше, получаем при нулевых начальных условиях на бесконечности решение уравнения (3.12):
Под интегралом снова, как и в случае без потерь энергии, можно выделить выражение, соответствующее трехмерному сферически-симметричному устойчивому распределению. После преобразования, имеем
Для точечного импульсного источника со степенным по жесткости спектром ин-жекции частиц (2.24) решение (3.18) приводит к следующему выражению для концентрации частиц:
Выражение (3.19) позволяет провести численный анализ модификации спектра космических лучей, обусловленный непрерывными потерями энергии. Для нуклона или ядра с полной энергией Е, массой покоя М и зарядом Z, движущихся в среде атомов водорода, потери энергии иа возбуждение и ионизацию атомов составляют {в
Здесь v— скорость частицы, Ne — концентрация электронов среды, т — масса электрона, J — потенциал ионизации. Средняя концентрация водорода в 1 см3 для гало и диска Галактики составляет, соответственно, 10 2 и 1 атом. В силу слабой зависимости выражения (3.20) от энергии частицы, при анализе модификации формы спектра (3.19) за счет энергетических потерь будем их считать постоянными.
Для разных групп ядер в разных областях Галактики характерная величина В(Е) составляет В 1СГ10 -=-10 5 ГэВ/год. Именно для этих значений В(Е) и были проведены численные расчёты спектра космических лучей в стационарном приближении. Алгоритм расчета частиц и, таким образом, описывают ситуацию с.большим числом аномалы-ю длинных свободных пробегов — так называемых "полетов Лёви". Другими словами, меньшим показателям соответствует более быстрый режим распространения частиц и энергетические потери для таких случаев будут менее существенны.
На рис.14-16 показано поведение формы спектра при фиксированном показателе а и разных значениях величины непрерывных энергетических потерь. При всех а модификация спектра существенна в области низких энергий до 102 ГэВ для тяжелых (Н) и очень тяжелых {VH) ядер, распространяющихся в среде со средней концентрацией ( 1 см-3), характерной для диска Галактики. Для легких групп ядер потери энергии несущественны для энергий больших 1 ГэВ. плотности устойчивого распределения, необходимой для вычисления концентрации, приведен в Приложении А.
Энергетический спектр и массовый состав космических лучей в модели с двумя типами источников
На рис. 18 показаны примеры фрактальных множеств, полученных описанным выше способом. Отметим, что для обеих реализаций, приведенных на рис. 18, при фиксированном радиусе области моделирования R = 100, значение параметра х0 распределения по пробегам (4.2), было выбрано таким образом, чтобы получить приблизительно одинаковое количество узлов траекторий ( 105). Хорошо видно, что для среды с меньшим значением фрактальной размерности характерны более высокая плотность вещества (и, соответственно, поля) в компактных скоплениях и одновременно с этим большие по размеру пустоты.
На рис. 19 приведены зависимости размерности Хаусдорфа d# и массовой размерности сім от показателя а фрактальных блужданий (4.2). Видно, что в области 0 а 1 значения dH и dM совпадают между собой и равны а . С увеличением а рост обеих размерностей замедляется. При этом массовая размерность оказывается заметно больше размерности Хаусдорфа. Значение &м = 2 является предельным значением массовой фрактальной размерности, которое можно получить в рамках данного алгоритма моделирования (см. [25,76]).
Для исследования распределения свободного пробега частицы, распространяющейся во фрактальной среде, были использованы результаты следующего численного эксперимента.
Согласно алгоритму, описанному выше, моделируется случайная реализация среды. Частица начинает движение из начала координат в изотропно выбранном направлении. Затем находится ближайшая к началу координат точка среды, расположенная на расстоянии d р от полупрямой, задающей траекторию частицы. Расстояние от найденной таким образом точки до начала траектории принимается в качестве длины первого пробега. Параметр р, очевидно, задает сечение а тгр2 взаимодействия частицы с элементарными неоднородностями среды. Другими словами, точечные элементарные неоднородности исходной среды заменяются шарами заданного радиуса р, после чего определяется расстояние от начала координат до центра шара, с которым частица совершает первое столкновение.
В наших расчетах для каждой реализации среды, моделировалось 104 траекторий. Затем проводилось усреднение полученного распределения пробегов по 500 реализациям среды при фиксированных значениях параметров а , В,/х0 и P/XQ.
Анализ результатов расчетов показал, что плотность распределения длины первого пробега имеет степенную асимптотику
На рис. 20 показаны зависимости показателя а + 1 от массовой фрактальной размерности среды dM при R/XQ = 100 и P/XQ = 0.01,0.25,1.0,2.0,10.0. Видно, что при р -С х0 связь между показателем асимптотики распределения длины первого пробега и массовой фрактальной размерностью среды имеет вид а+ 1 = 3 - им- Этот результат совпадает с результатом работы [79], где распределение длины свободного пробега частицы во фрактальной среде было получено аналитически для случая среды с неперекрывающимися неоднородностями (р Sm-m/2, где 5min - характерное
Рост параметра р приводит к нарушению линейной зависимости a{dM), что, как показано в [79], связано со слабыми отклонениями от степенной асимптотики (4.5), проявляющимися при конечных размерах среды.
При дальнейшем увеличении р элементарные неоднородности, рассматриваемые как мишени радиуса р для распространяющейся в среде частицы, могут перекрываться, образуя пространственные конфигурации сложной формы. Формально это приводит к нарушению скейлингового свойства фрактальной среды (4.3) на масштабах г 2р. Следует заметить, что для данного алгоритма моделирования среды минимальное расстояние между элементарными неоднородностями ограничено сверху значением хе (см. (4.2)). Отсюда следует верхняя оценка границы применимости приближения неперекрывающихся неоднородностей: р х0/2. Расчеты показывают, что степенная асимптотика распределения по пробегам сохраняется и при больших значениях р вплоть до р 0.1R, однако имеет место значительное укручение распределения по сравнению со случаем малых сечений. Зависимость a(dM) становится резко нелинейной и содержит отчетливый минимум (см. рис.20).
Полученные результаты удовлетворительно согласуются с данными работы [76] (см. рис.20), в которой использовался тот же алгоритм моделирования среды и расчета пробега при р ха, а распределение пробегов усреднялось по различным точкам среды, принимаемым в качестве источников частиц.
Представленные выше результаты позволяют оценить параметр а в случае галактической среды с фрактальной размерностью dM = 1,7 [16]. При р С Же а = 0,3. Верхней оценкой, как видно из рис. 20, является значения показателя а — 0,8.
В силу отсутствия каких-либо оценок параметров распределения времени пребывания частиц высокой энергии в неоднородностях Галактики, в первом приближении используется модель ловушки с конечным временем удержания (Р = 1) и оценка /3 = 0,8, сформированная результатами анализа диффузии магнитных элементов в солнечной фотосфере [80]. Кроме того, расчеты спектров основных групп ядер и спектра всех частиц проведены для разных значений показателя /3, соответствующих разным режимам диффузии (см. рис. 22-27). Видно, что влияние этого параметра на форму спектров невелико.
