Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Переходное излучение маіштогидродинамических волн
1.1 Основные уравнения и граничные условия .
1.2 Переходное излучение равномерно движущегося заряда, пересекающего плоскую границу раздела вакуум - проводящая среда .
1.3 Переходное излучение, возбуждаемое термоакустическим источником, пересекающим границу проводящей среды
1.4 Излучение термоакустического источника, сканирующего по свободной поверхности проводящей среды
ГЛАВА II Переходное излучение и переходное рассеяние упругих волн
2.1 Основные уравнения и граничные условия теплового возбуждения упругих волн в твёрдом теле
2.2 Переходное излучение упругих волн, возбуждаемое термоакустическим источником .
2.3 Переходное рассеяние звука в неоднородной жидкости .
2.4 Переходное рассеяние звука на пространственно взволнованной поверхности однородной ярщкости 68
ГЛАВА III Переходное излучение и переходное рассеяние внутренних гравитационных волн 74
ЧАСТЬ I Переходное излучение внутренних волн на границе экспоненциально стратифицированных сред 76
3.1 Основные уравнения и граничные условия 76
3.2 Поля переходного излучения внутренних волн при вертикальном пересечении границы раздела точечным источником массы 79
3.3 Переходное излучение внутренних волн при наклонном пересечении границы раздела 85
3.4 Энергия переходного излучения внутренних волн 89
ЧАСТЬ II Переходное рассеяние внутренних волн 93
3.5 Переходное рассеяние внутренних волн на горизонтальных крупномасштабных неодно-родностях 93
3.6 Переходное рассеяние внутренних волн при учёте тонкой вертикальной структуры поля плотности 98
ГЛАВА ІV Излучение электромагнитных волн осцилжто-ром с модулированной амплитудой 106
4.1 Излучение покоящегося осциллятора с моду лированной амплитудой 107
4.2 Излучение осциллятора с модулированной амплитудой, движущегося в однородной среде
4.3 Излучение осциллятора с модулированной амплитудой, движущегося в периодически неоднородной среде 121
Заключение 129
Литература
- Переходное излучение равномерно движущегося заряда, пересекающего плоскую границу раздела вакуум - проводящая среда
- Переходное излучение упругих волн, возбуждаемое термоакустическим источником .
- Поля переходного излучения внутренних волн при вертикальном пересечении границы раздела точечным источником массы
- Переходное рассеяние внутренних волн при учёте тонкой вертикальной структуры поля плотности
Введение к работе
Пересечение источником границы раздела двух сред, как известно, приводит к генерированию излучения, вызванного перестройкой поля источника вследствие различий в физических параметрах этих сред. Впервые на возможность появления переходного излучения электромагнитных волн при влете заряда из вакуума в среду было указано В.Л.Гинзбургом и И.М.Франком . В дальнейшем развитие теории переходного излучения определялось, в основном, вопросами создания генераторов электромагнитного излучения и детекти-рования частиц высоких энергий *» .
Формирование переходного излучения происходит всякий раз, когда вдоль траектории источника возникает какая-либо неоднородность в пространстве или во времени. В последнем случае речь идёт о так называемых нестационарных средах . Когда пространственная неоднородность имеет периодический характер, говорят о переходном рассеянии , либо о резонансном переходном излучении заряженных частиц . Однако общефизический характер переходного излучения не исчерпывается излучением электромагнитных волн. Переходное излучение имеет место и в акустике: оно возникает при
пересечении силовым источником границы раздела двух газообразных
7 сред с различным импедансом ; для двух жидкостей, граница ко-
торых пересекается термоакустическим источником , а также при
переходе движущейся дислокации через границу зёрен в поликрис-
9 талле .
Универсальный характер переходного излучения и переходного рассеяния, а также возможность непосредственной экспериментальной проверки полученных результатов, делает актуальным теоретическое рассмотрение указанных явлений в самых разнообразных фи-
с; зических ситуациях .
Актуальность исследований переходного излучения и переходного рассеяния волн различной природы обосновывается не только растущим научным интересом к разнообразным теоретическим моделям переходного излучения, но и возможностью рассмотрения новых, нетрадиционных источников генерации волн самой разнообразной природы в различных средах. К числу последних, в первую очередь, можно отнести термоакустические источники , солитоны различ-
ТТ 12 ТЯ
ной природы ' , электромагнитные волны , и т.п.
Цель настоящей диссертации заключается в следующем:
1. Развить теорию переходного излучения на случай, когда
по обе стороны от границы может возбуждаться одновременно нес
колько различных ветвей свободных колебаний: электромагнитные
и магнитогидродинамические, упругие объёмные продольные и поперечные и поверхностные волны.
Исследовать переходное рассеяние звуковых волн, генерируемых при сканировании распределённого в пространстве источника вдоль свободной поверхности неоднородной жидкости, или вдоль взволнованной поверхности однородной жидкости.
Получить решение задачи о переходном излучении и переходном рассеянии внутренних волн в стратифицированных покоящихся жидкостях при движении в них источников массы.
Рассмотреть переходное рассеяние электромагнитных волн от источников, обладающих спектром собственных частот.
Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем:
I. Впервые рассмотрено переходное излучение заряда и термоакустического источника, когда по обе стороны от границы раздела могут возбуждаться одновременно волны различной природы.
Именно, исследовано переходное излучение электромагнитных волн в вакуум и магнитогидродинамических волн в проводящую среду при пересечении источником плоской границы раздела вакуум - проводящая среда, при наличии магнитного поля, нормального к границе.
Впервые исследовано одновременное возбуждение поперечных и продольных объёмных и поверхностных волн термоакустическим источником, пересекающим поверхность твердого тела.
Решена задача о переходном рассеянии звуковых волн при сканировании термоакустическим источником по свободной поверхности пространственно-неоднородной жидкости, а также при движении этого источника вдоль взволнованной поверхности однородной жидкости.
Построена теория переходного излучения внутренних гравитационных волн, возбуждаемых движущимся источником массы на границе раздела двух экспоненциально стратифицированных жидкостей.
Решены задачи о переходном рассеянии внутренних гравитационных волн в пространственно-неоднородной жидкости.
5. Получены решения задач об электромагнитном излучении
движущегося осциллятора с модулированной амплитудой.
Практическая ценность полученных в диссертации результатов заключается в том, что последние обобщают и развивают теорию переходного излучения заряда и термоакустического источника на случаи излучения различных типов волн.
В п ервой главе диссертации показывается, что угловое распределение интенсивности переходного излучения электромагнитных волн в вакууме, возбуждаемое на границе с проводящей жидкостью в магнитном поле, зависит от скорости альфве-новской волны, что даёт основание говорить о возможности диагностики проводящих сред по переходному излучению электромагнит-
ных волн в вакууме.
Рассмотрение переходного излучения упругих волн в твёрдом теле, возбуждаемых термоакустическим источником, проведённое во втором параграфе второй главы, создаёт принципиальную основу как нового метода генерации волн в твёрдом теле, так и акустического способа детектирования высокоэнергетических нейтральных частиц.
Результаты, полученные в четвёртом и пятом параграфах второй главы по переходному рассеянию звуковых волн при сканировании термоакустического источника по поверхности жидкости, подтверждают резонансный характер переходного рассеяния и дают возможность оценить масштаб неоднородностей по спектральному распределению излучения.
Известный практический интерес представляют также результаты исследования переходного излучения и переходного рассеяния внутренних гравитационных волн, изложенные в третьей главе диссертации, которые могут быть использованы в прикладной космической физике и в физике атмосферы и океана для диагностики стратифицированных сред.
Решения задач об электромагнитном излучении движущегося осциллятора с модулированной амплитудой, изложенные в четвертой главе диссертации, могут быть применены при расчетах электродинамических систем типа ондуляторов, а также в кристаллофизике, при расчетах излучения каналируемых в поле звуковой волны заряженных частиц.
Основные положения, выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:
I. Постановка задачи о переходном излучении электромагнитных волн в вакуум и низкочастотных магнитогидродинамических волн в проводящую среду при пересечении границы раздела вихревыми и ди-
вергентными источниками.
Результаты анализа пространственно-временного импульса переходного излучения в вакуум и в проводящую среду.
2. Постановка задачи о переходном излучении упругих волн
пространственно ограниченным проникающим излучением, за счет
неоднородного теплового расширения твёрдой среды. Результаты ре
шения этой задачи, сводящиеся к тому, что при пересечении термо
акустическим источником гауссовой формы свободной границы твёр
дого тела в последнем возбуждаются переходные пространственно -
временные импульсы как объёмных поперечных и продольных смещений
сферической формы, описываемых формулой (2.23)t так и поверхно
стных смещений цилиндрической формы, описываемых формулой (2.29).
Периодически-неоднородная жидкость со свободной плоской границей, так же, как и однородная жидкость со свободной периодически-взволнованной поверхностью, при сканировании термоакустического источника по свободной поверхности создают качественно одинаковую картину переходного рассеяния.
Постановка задачи о переходном излучении и переходном рассеянии внутренних гравитационных волн в экспоненциально стратифицированных жидкостях источником массы и результаты анализа основных характеристик (частотное распределение давления, частотно-угловое распределение энергии и др.) излучения.
Результаты анализа переходного рассеяния электромагнитных волн в периодически неоднородных средах, излучаемых движущимся осциллятором с модулированной амплитудой.
Нумерация формул в диссертации - сквозная по главам. При ссылке на формулу из другой главы указывается номер главы.
Основные результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на Ш-й Всесоюзной конференции "Взаимодействие электромагнитных излучений с плазмой" (Алма-Ата, 1982 г.), на 11-м Симпозиуме по переходному излучению частиц высоких энергий (Ереван, 1983 г.), на семинарах Ереванского физического института "Взаимодействие заряженных частиц с веществом" (руководитель - академик АН Арм.ССР Г.М.Гарибян), на теоретических семинарах ФИАН СССР, руководимых профессором Б.М.Болотовским, на семинаре ИКИ АН СССР по прикладной космической физике, руково-водимом профессором С.С.Моисеевым, на общеинститутских семинарах ИРФЭ АН Арм.ССР и ОН АН Узб.ССР.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах ^-- 130
- II -
Переходное излучение равномерно движущегося заряда, пересекающего плоскую границу раздела вакуум - проводящая среда
После работы В.Л.Гинзбурга и И.М.Франка теория переходного излучения электромагнитных волн, возникающего при прохождении заряженной частицей границы раздела двух сред с различными показателями преломления, развивалась Г.М.Гарибяном I4 17 , В.Е.Пафомовым 18 , А.Ц.Аматуни, Н.А.Корхмазяном, Б.М.Бо-лотовским, К.А.Барсуковым 22 , М.Л.Тер-Микаеляном 8 23 , В.Я.Эйдманом 24 , Я.Б.Файнбергом и Н.А.Хижняком 25 и другими. В этих работах, однако, не учитывалась пространственная дисперсия диэлектрической проницаемости. Как известно, учёт последней приводит к появлению дополнительных волн , которые при определённых условиях могут трансформироваться в электромагнитные на границе раздела.
Задачи о переходном излучении заряда с учётом пространственной дисперсии для изотропных сред рассматривались в работах 2 -\
В работе пространственная дисперсия вводится феноменологически, что потребовало привлечения дополнительных граничных условий. В статьях 29, 30 пространственная дисперсия учтена на основе гидродинамического описания поведения среды., а в работе переходное излучение заряда исследовано методом кинетического уравнения.
Учёт плазменных свойств второй среды в указанных работах сводился, в основном, к изменению частотно-углового распределения интенсивности переходного излучения в первой среде (вакууме) за счёт преломления черенковского излучения дополнительных плазменных волн.
Переходное излучение в анизотропных и магнитоактивных средах с учётом пространственной дисперсии изучалось рядом авторов как методом кинетического уравнения , так и феноменологически, путём введения тензора диэлектрической проницаемости, моделирующего магнитоактивную плазму как одноосный гиротропный крис-та 33"35 .
В перечисленных работах не затрагивались вопросы, связанные с возбуждением во второй среде низкочастотных ветвей плазменных волн. Мезду тем, если описывать плазмоподобную проводящую среду во внешнем магнитном поле уравнениями магнитной гидродинамики, ос р7 ЯК Я7 то, как известно ло»й- » 00 t в ней могут распространяться различные типы слабых низкочастотных возмущений: альфвеновские волны, быстрые и медленные магнитозвуковые волны.
Впервые вопрос об излучении движущегося источника в безграничной проводящей среде, описываемой уравнениями магнитной гидродинамики в одножидкостном приближении, был рассмотрен В.П.Доку-чаевым . Им было показано, что магнитозвуковые волны возбуждаются только источниками дивергентного вида, а альфвеновские волны - вихревыми источниками.
Данная глава посвящена исследованию переходного излучения волн, возникающих при пересечении дивергентными и вихревыми источниками плоской границы раздела вакуум - проводящая среда, при наличии внешнего магнитного поля, перпендикулярного к границе раздела.
Задачу о нахождении полей переходного излучения, возбуждаемого^ в такой среде внешними источниками, будем решать в МГД -приближении, справедливом при выполнении неравенства характерный временной масштаб модели. Это предположение, являющееся фундаментальным для магнитной гидродинамики, позволяет пренебречь током смещения и конвекционным током по сравнению с током проводимости в четвёртом уравнении системы (I) и в уравнении (3). В этом приближении линеаризированная система (I), справедливая для малых возмущений плотности Р = Р~Р » давления О = Р-ft t скорости Y- V и магнитного поля невозмущённые плотность и давление, напряжённость постоянного внешнего магнитного поля) сводится к следующей:
Переходное излучение упругих волн, возбуждаемое термоакустическим источником .
Для получения углового распределения энергии переходного излучения в вакуум введём угол наблюдения г% (к,і)сотла.жо e&cAv= Ип Ф . Производя замену переменной в выражении (41), получим окончательно следующую формулу для полной энергии переходного излучения, выраженной через угловое распределение энергии излучения: О О
Аналогично выписывается выражение для полной энергии электромагнитного поля, излученного в проводящую среду: (Г
Определим длины зон формирования переходного излучения в вакууме и в проводящей среде, исходя из того, что на этих расстояниях поля, увлекаемые источником, и поля излучения будут отде 44-46 лены друг от друга .
Примечательно, что зона формирования переходного излучения альфвеновских волн в проводящей среде (45) резко сокращается по сравнению с преломляющими средами и определяется лишь частотой излучаемых волн и не зависит от направления излучения.
Рассмотрим переходное излучение альфвеновских волн в идеально проводящей среде (& ) в случае наклонного пересечения зарядом плоской границы %=о её раздела с вакуумом. Плотность тока источника в этом случае примет вид v J л (46) где ІХІ - скорость заряда вдоль направления магнитного поля - вдоль— - угол влёта заряда, отсчитываемый от оси
Имея ввиду излучение только альфвеновских волн, задачу о переходном излучении источника (46) будем решать в приближении несжимаемой проводящей среды, что соответствует формальному предельному переходу С - -с 0 39»40 , и уравнение (6) принимает вид
В приближении (47) в безграничной проводящей среде распространяются две поперечные алъфвеновские волны разной поляризации . Используя преобразование (14), можно записать Фурье-компоненты магнитного и электрического полей в проводящей среде в следующем виде:
Для нахождения неизвестных амплитуд Яг и Д необходимо воспользоваться граничными условиями, которые в данном случае заключаются в непрерывности тангенциальных к границе составляющих магнитного и электрического полей. Тогда для амплитуд волн Альфвена получим значения
Проделав обратное преобразование Фурье (14), для магнитного поля первой альфвеновскои волны получим пространственно-временное распределение в виде -/" /2 V ч Рґ Р „/ „ У ) Г . . л Л 3А. / л -3/Лп (53) где введены обозначения ot. - Для частотно- углового распределения поля переходного излучения второй альфвеновскои волны получим:
Из формулы (53) следует, что распределение магнитного поля первой альфвеновскои волны в пространстве и во времени аналогично импульсу переходного излучения в случае нормального пересечения (39). Из выражения (54) видно, что вторая альфвеновская волна распространяется в виде сферической волны и качественно отличается от импульса переходного излучения первой алъфвеновской волны.
В заключение приыедём формулы частотно-углового распределения энергии переходного излучения альфвеновских волн:
Из этих формул следует, что угловое распределение энергии существенно зависит от поведения знаменателей (55) и (56). Особен появляются в связи с тем, что в нашей постановке задачи о переходном излучении его энергия собирается с бесконечной траектории источника, на которой имеет место черенковское излучение альфве-новских волн. В действительности, однако, в проводящей среде всегда имеется малое поглощение, вследствие чего длина траектории, на которой происходит когерентное суммирование альфвенов 16 44 45 ских волн, будет конечной хи w .
Переходное излучение, возбуждаемое термоакустическим источником, пересекающим границу проводящей среды Выберем в качестве излучателя дивергентных возмущений проводящей среды термоакустический источник, движущийся вдоль оси со скоростью z= &гі Распределение плотности мощности термоакустического источника зададим в виде гауссовой функции где (Sia мощность термоакустического источника в его центре, СС и ( - его поперечный и продольный размеры.
Отметим, что уравнения (5) и (6) получены в предположении, что температурные изменения параметров проводящей среды незначительны, и движение термоакустического источника является дос 47 таточно быстрым, чтобы не вызывать эффектов теплопроводности . Будем искать Фурье-компоненты (14) полей скоростей, возбуждаемых термоакустическим источником (57) в проводящей среде согласно уравнениям (5), в виде X M±e где 1K. - поле скоростей, связанное с термоакустическим источ ником,
Поля переходного излучения внутренних волн при вертикальном пересечении границы раздела точечным источником массы
Исследования в области внутренних гравитационных волн занимают важное место в физике атмосферы и океана. Основным фактором, обуславливающим существование этих волн в средах, находящихся в поле тяжести является, как известно, устойчивая стратификация, соответствующая увеличению их плотности по направлению силы тяжести. Если в такой покоящейся среде возникает возмущение, выводящее её частицы из состояния равновесия, то под действием возвращающих архимедовых сил и сил тяжести в среде возникают колебания, которые и распространяются в виде внутренних волн 89"91 .
Стратификация, приводящая к возникновению внутренних волн, может иметь не только гравитационную природу. Например, внутренние волны могут иметь место в ферромагнитных жидкостях в неоднородном магнитном поле; при этом их появление обусловлено магнитокалорическим эффектом, сжимаемостью и магнитной силой .
Механизмы возбуждения внутренних волн весьма разнообразны. Обычно в качестве источников внутренних волн задаётся распределение давлений на свободной поверхности или на дне слоя жидкости, а также некоторые распределения точечных источников (или стоков) массы в жидкости .
С другой стороны, представляют самостоятельный интерес вопросы генерации внутренних.волн движущимися заданным образом источниками . Однако до последнего времени не обсуждались вопросы переходного излучения и переходного рассеяния внутренних волн. Отметим, что переходное излучение акустико - 75 гравитационных волн в случае пересечения границы двух сред вертикально движущимся точечным источником массы было рассмотрено в работе u . Однако в этой работе остались в стороне вопросы возбуждения поверхностных внутренних волн, а также вопросы поведения амплитуд полей переходного излучения. С другой стороны, представляется более естественным подход к изучению переходного излучения внутренних волн без учёта акустической ветви колебаний, так как в линейном приближении, как это показано в х , акустические и гравитационные возмущения в стратифицированной среде разделяются.
Данная глава посвящена анализу переходного излучения внутренних волн, возбуждаемых равномерно движущимся точечным источником массы, пересекающим горизонтальную поверхность раздела двух различных экспоненциально стратифицированных жидкостей, как в случае нормального, так и для наклонного пересечения границы. Рассмотрено также переходное рассеяние внутренних волн, имеющее место при движении источника в неоднородно стратифицированных средах.
Раздельно исследовано переходное рассеяние внутренних волн вертикально движущимся источником при наличии тонкой вертикальной структуры поля плотности, и переходное рассеяние от горизонтально движущегося источника на крупномасштабных неоднород-ностях, в горизонтальном направлении.
Линейные уравнения гидродинамики, описывающие малые возмущения плотности ,р , полей скоростей 1Ґ/Л и давлений Я/,2. в стратифицированных средах, при наличии источников массы qt, , on 1 имеют следующий вид : dt к JJ (2) Здесь а - ускорение силы тяжести, Р t - невозмущённое распределение давления по глубине. В дальнейшем рассматривается только случай экспоненциально стратифицированных сред, для ко торых у невозмущенное давление, Ж і я. - шкалы высот, , -скорости звука в экспоненциально стратифицированных средах, - плотности и давление на поверхности = ? , которая является границей раздела. При этом полупространство г о занимает первая среда (индекс I), а оставшееся полупространство заполнено второй средой. Далее, предполагаем, что ось 2Ь направлена вертикально вверх, так что сила тяжести имеет компоненты ( 0, 0, - ).
Используя приближение Буссинеска , которое означает і 1А;А - CijX. ИЛИ LitJL « % ,А (5) где Л, І я. - характерные масштабы изменения гидродинамических полей, из системы уравнений (I) - (4) легко получить уравнения, описывающие возмущения давлений в обеих средах при наличии источников массы: - частота Вяйсяля-Брента в первой и во второй среде .
Для нахождения полей излучения, описываемых уравнениями (6), небходимо сформулировать граничные условия на поверхности раздела экспоненциально стратифицированных сред.
На границе раздела 0 должны совпадать вертикальные смещения жидкостей (кинематическое условие):
Переходное рассеяние внутренних волн при учёте тонкой вертикальной структуры поля плотности
Вопросам излучения движущихся осцилляторов в последнее время уделяется много внимания, что прежде всего связано с целым рядом случаев, в которых реализуется аналогичное излучение. Отметим некоторые из них: излучение быстро летящих возбуждённых атомов, молекул и ядер; излучение, возникающее при движении заряженной частицы в магнитном поле с очень малыми "питч" - углами; излучение различных ондуляторных устройств излучение, возникающее при каналировании быстрых заряженных частиц в крис II? ТТ4 таллах и т.д.
Одновременно широкое развитие получила теория излучения таких источников в неоднородных и периодических средах 115 . Однако до настоящего времени рассматривалось излучение от осцилляторов (диполей), обладающих одной собственной частотой.
В настоящей главе приводятся результаты исследования электромагнитных полей и энергии излучения, возбуждаемого осциллятором с модулированной частотой (источник с двумя собственными частотами) .
В первом параграфе, в целях отыскания возможных механизмов преобразования частоты рассматривается излучение кусочно-непрерывного осциллятора с собственной частотой І2 , который в течение промежутка времени Т=-ЯЖпл/$1 движется, а время Т-Т= = ЛЯ(МгМя.)/ - покоится. Такая ситуация, очевидно, имеет место в какой-либо нелинейной системе, в которой происходит взаимодействие собственной частоты с частотами системы. В этом же параграфе приводятся результаты вычисления энергии излучения осциллятора, амплитуда которого промодулирована непрерывным образом.
Во втором параграфе рассматриваются поля излучения, возникающие при движении осцилляторов с модулированной амплитудой в однородной диэлектрической среде.
В третьем параграфе рассмотрено переходное рассеяние электромагнитных волн в периодически-неоднородной среде от движущегося осциллятора с модулированной амплитудой.
Проделав вычисления, аналогичные предыдущим для поля и энергии излучения кусочно-непрерывного осциллятора, для коэффициента преобразования частоты в случае осциллятора с модулированной амплитудой получаем: /Р)
Из последнего выражения следует, что коэффициент деления частоты при &у= О , что соответствует пределу \4 —- , стремится к нулю, причём имеет место асимптотическая оценка Л /V .Из сравнения соотношений (13) и (17) можно сде лать вывод, что при подходящем подборе параметров колебания кусочно-непрерывного осциллятора (соотношение (14)) более эффективное деление частоты достигается при кусочно-непрерывном движении. Для гармоник S-O ъ точности верны все результаты, полученные для кусочно-непрерывного осциллятора, в частности, условие на излучаемые частоты выглядит так: Из (44) видно, что в этом случае происходит уменьшение основной частоты J20= Sl-Sz . Гармоника S о , я-о даёт нам излучение равномерно движущегося со скоростью V точечного заряда. Энергия, излученная на единице пути, даётся обычной формулой: Отметим, что здесь при интегрировании по со необходимо учитывать ограничения на излучаемые частоты (27), (38). Выражение тот (45) переходит при /у=0 в известную формулу для плотности излучения гармонического осциллятора. Целью настоящего параграфа является нахождение поля излучения осциллятора с модулированной амплитудой, движущегося в безграничной периодически неоднородной среде, диэлектрическая проницаемость которой имеет вид
В силу малости переменной составляющей диэлектрической проницаемости по сравнению с её средним значением, можно воспользо тто ваться теорией возмущений х± и представить электрическую компоненту электромагнитного излучения в виде суммы
Если в уравнениях Максвелла для среды с диэлектрической проницаемостью (46) и с правыми частями для плотности тока и заряда, отвечающим траектории (36), перейти к трансформантам Фурье (3), то для членов ряда (47) можно записать рекуррентное соотношение
