Содержание к диссертации
Введение
1 Динамика стеклоподобных систем 8
1.1 Диэлектрические стекла 8
1.2 Эхо. Основные понятия и методы наблюдения 10
1.3 Спиновые стекла 13
1.4 Дроплетная модель 17
1.5 р-спиновая сферическая модель 21
1.6 Неравновесная медленная динамика квантовых стеклоподобных систем 22
2 Эхо-явления в стеклоподобных системах 26
2.1 Механизм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле 26
2.1.1 Механизм релаксации через быстрорелаксирующие центры 25
2.1.2 Псевдоспиновая диффузия тепловых двухуровневых систем 32
2.2 Фононное эхо взаимодействующих туннельных состояний в стекле 33
2.3 Дроплетное эхо в спиновом стекле 39
3 Флуктуационно-диссипативная теорема в стекло подобных системах 46
3.1 Флуктуационно-диссипативная теорема в квантовом спиновом стекле 46
3.2 Флуктуационно-диссипативная теорема в низкотемпературном стекле 50
4 Медленная динамика и старение в квантовом спиновом стекле, связанном с квантовым внутренним окружением и внешним переменным полем 53
4.1 Модель спинового стекла 54
4.2 Динамические уравнения для корреляции и отклика 59
4.3 Исследование поведения симметризованной автокорреляционной функции C{t + tw,tw) и функции линейного отклика R(t + tw,tw) 61
5 Неравновесное динамическое поведение сферической р-спиновой модели стекла в переменном поле 77
5.1 Динам и кар-спиновой сферической модели 79
5.2 Анализ поведения функций корреляций и отклика 80
Заключение 98
- Эхо. Основные понятия и методы наблюдения
- Фононное эхо взаимодействующих туннельных состояний в стекле
- Флуктуационно-диссипативная теорема в низкотемпературном стекле
- Анализ поведения функций корреляций и отклика
Введение к работе
Актуальность исследования. В последнее время значительный интерес вызывают исследования поведения сложных систем, к которым относятся стеклоподобные системы. Стеклоподобные системы (стекла, спиновые стекла и т.п.) имеют очень медленную эволюцию с нестационарной динамикой при температурах ниже критической температуры. Например, на экспериментально доступных временах стекла не достигают равновесия при температурах ниже температуры стеклования, и наблюдается эффект старения, поэтому стеклоподобные системы называют еще неравновесными. Среди известного в настоящее время большого числа спиновых стекол можно встретить металлы, разбавленные и концентрированные сплавы, диэлектрики и полупроводники, кристаллические и аморфные вещества. Особый интерес вызывает изучение в таких системах нестационарной, медленной динамики и старения, наблюдаемых при очень низких температурах. Такие факторы, как влияние квантовых флуктуации, роль связи системы с квантовым термотсатом, а также влияние периодической внешней силы на динамические свойства стеклоподобных систем изучаются как по отдельности, так и совместно.
В физике когерентных квантовых процессов особый интерес представляют эхо-явления, в которых используется фундаментальное свойство вещества самопроизвольно генерировать отклики за счет энергии и информации, заложенной в систему предшествующим процессом возбуждения. Особенностью этих откликов является появление их в такой момент времени, когда и образец, и приемная аппаратура не испытывают внешнего воздействия, и система свободно эволюционирует. Суще-
ствует довольно широкий класс эховых явлений в стеклоподобных системах, в числе которых можно выделить фононное и дроплетное эхо.
Эхо-метод - это мощный метод, дающий различные виды информации относительно туннельных характеристик двухуровневых систем (ДУС), дипольных моментов, времен релаксации и диполь-дипольного взаимодействия между двухуровневыми туннельными системами. Наблюдение предсказанных особенностей формирования эха в стекле дает возможность получить важную информацию относительно различных параметров в этих материалах.
Различные теоретические методы по исследованию стеклоподобных систем находят применение при практическом решении сложных задач во многих областях науки.
Целью работы является исследование низкотемпературной релаксации и затухания эхо-откликов двухуровневых систем в стекле при его возбуждении импульсами, имеющими различную природу.
Также поставлена задача изучения неравновесных динамических свойств квантового спинового стекла при очень низких температурах (порядка нескольких градусов Кельвина и ниже) с использованием квантовой дроплетной модели ир-спиновой сферической модели.
Научная новизна работы состоит в том, что в ходе проведенных исследований впервые получены следующие основные результаты:
-предложен механизм энергетической релаксации туннельных состояний в стекле;
- рассчитано низкотемпературное коллективное фононное эхо в диэлектрическом стекле;
-аналитически проверено выполнение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) в дроплетной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле при низких температурах;
-рассмотрено влияние внешнего переменного поля на низкотемпературную динамику связанной системы из туннельных двухуровневых систем, находящуюся в контакте с внутренним квантовым окружением;
-проведено исследование низкотемпературной неравновесной динамики и старения в сферической/7-спиновой модели стекла во внешнем переменном поле.
Научная ценность и практическая значимость состоит в получении аналитических выражений, описывающих псевдоспин-решеточную релаксацию и позволяющих учесть влияние псевдоспиновой диффузии на формирование эха в стекле; в получении аналитического выражения для первичного фононного эха на коллективных модах в диэлектрическом стекле. Использованные в работе теоретические методы, позволяющие учитывать влияние различных параметров системы и внешнего воздействия на неравновесную динамику спиновых стекол, могут найти приложения при изучении различных неупорядоченных сложных систем, а также во многих областях науки; в развитии теории нейронных сетей мозга, комбинаторики, квантовых компьютеров.
Содержание диссертации. Работа состоит из пяти глав. В первой главе дан обзор моделей стеклоподобных систем, в том числе спиновых и квантовых спиновых стекол. Рассмотрены используемые в диссертации теории и методы расчета. Во второй главе рассмотрен механизм энергетической релаксации двухуровневых систем, фононное эхо на упругих диполях, а также дроплетное эхо в квантовом спиновом стекле. В третьей главе проведена аналитическая проверка выполнения флуктуа-ционно-диссипативной теоремы (ФДТ) в дроплетной модели квантового спинового стекла и в диэлектрическом стекле. В четвертой главе рассмотрено низкотемпературное динамическое поведение стеклоподобной неупорядоченной квантовой системы, находящейся во
неупорядоченной квантовой системы, находящейся во внешнем осциллирующем поле и связанной с квантовым окружением (термостатом из квантовых гармонических осцилляторов). Пятая глава посвящена изучению неравновесной динамики среднеполевойр-спиновой модели стекла.
Положения, выносимые на защиту.
1 .Энергетическая релаксация туннельных состояний и исследование формирования эхо-сигналов в стеклоподобных системах.
2.Теоретическое рассмотрение флуктуационно-диссипативной теоремы (ФДТ) в квантовом спиновом стекле и в диэлектрическом стекле.
3.Исследование медленной динамики и старения в квантовом спиновом стекле, связанном с квантовым внутренним окружением и внешним переменным полем.
4.Аналитическое и численное изучение низкотемпературного неравновесного динамического поведения сферической /7-спиновой модели стекла в переменном поле.
Апробация работы. Результаты работы были доложены на следующих конференциях и семинарах: XXIX Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Кунгур, 2002), XV Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2003" (Казань, 2003), всероссийская школа-семинар "Физика фазовых переходов" (Махачкала, 2003), Молодежная научная школа"Новые аспекты применения магнитного резонанса" (Казань, 2003), XVII конференция "Фундаментальная атомная спектроскопия" (Звенигород, 2003), XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков "Коуровка-2004" (Кыштым, 2004), Восьмая Международная научная молодежная школа "Актуальные проблемы магнитного резонанса и его применений" (Казань, 2004).
Эхо. Основные понятия и методы наблюдения
Эхо - это сигнал, самопроизвольно генерируемый системой в результате процесса оперативной обработки информации, заложенной в систему в предшествующие моменты времени внешними воздействиями. Обычно возбуждение сигналов эха производится двумя импульсами электромагнитного или звукового поля, либо их комбинацией (Рис. 1.2). Длительность импульсов должна быть короче всех времен релаксации в иссле- Наглядное описание механизма образования сигналов спинового эха можно получить с помощью векторной модели при действии 90 и 180-ного импульсов с длительностью tx и(2, разделенных интервалом времени х (/,, /2 « г). Пусть система спинов находится в постоянном магнитном поле Но, параллельном оси z. Намагниченность системы спинов также параллельна оси z. Схема движения векторов намагниченности представлена на рисунке 1.3. Первый импульс поворачивает суммарный вектор намагниченности в плоскости на угол 90 вокруг оси д: (рис. 1.3, а). После действия импульса происходит свободная прецессия отдельных спинов с различными скоростями вокруг оси z, в результате чего суммарная намагниченность уменьшается до нуля. Различные скорости прецессии спинов обусловлены разбросом частот вследствие не-однородностей внешнего постоянного магнитного поля и внутренних локальных полей. Затухание намагниченности системы индуцирует сигнал свободной индукции, наблюдаемый непосредственно по окончании первого импульса (рис. 1.3, б). Второй импульс в момент времени г поворачивает каждый спин вокруг оси д: на угол 180 (рис. 1.3, в). Последующая свободная прецессия спинов приводит к восстановлению суммарной намагниченности системы в момент времени 2г (рис. 1.3, г). Намагниченность индуцирует сигнал спинового эха и затем опять исчезает. Этот сигнал называют еще первичным сигналом эха (ПСЭ). Амплитуда сигнала спинового эха для простейшего случая 5-1/2 описывается формулой [4, 5] (энергетической) релаксации, восстанавливающей равновесное значение продольной компоненты намагниченности. В частности, эта релаксация включает спин-решеточную релаксацию. Т2 — время обратимой поперечной (фазовой) релаксации, характеризующее установление равновесного значения поперечной компоненты намагниченности и обусловленное наличием неоднородностей внешнего и внутренних локальных полей.
Спад сигнала свободной индукции определяется временем Т2 . Т2 -время необратимой поперечной релаксации, связанной с перераспределением энергии между спинами. Наличие этой релаксации приводит к необратимому уменьшению амплитуды сигнала спинового эха. Наряду с диэлектрическими стеклами наблюдается повышенный интерес к исследованию неупорядоченных систем, к которым относятся и спиновые стекла. Спиновыми стеклами называют неупорядоченные магнетики, в которых энергия обменного взаимодействия случайным образом меняет не только величину, но и знак. В таких системах с конкурирующими взаимодействиями, в отличие от ферромагнетиков, с понижением температуры дальнего магнитного порядка не возникает. Но не происходит и медленного постепенного замораживания спинов. Ниже некоторой, достаточно хорошо фиксируемой на эксперименте температуры Tg магнетик переходит в новое состояние, не имеющее аналогов в упорядоченных системах, в котором спины упорядочены в случайных направлениях. Характерным свойством спиновых стекол является чрезвычайно медленная релаксация, обусловленная тем, что в системе имеется много состояний, которые обладают одинаковой энергией, но отличаются друг от друга переориентацией большого числа спинов. Переход из одного такого состояния в другое требует преодоления очень больших энергетических барьеров. Времена релаксации и корреляционная длина в спиновом стекле расходятся при Т , сигнализируя о фазовом переходе, усреднение по времени заменяется статистическим усреднением и определяется статический параметр порядка для спинового стекла [7] который отличен от нуля при температуре ниже Tg. Здесь { )„ означают статистическое усреднение, [ ]av— конфигурационное усреднение по случайным взаимодействиям. Спинстекольное упорядочение не является уникальным: существует большое число вырожденных термодинамических состояний с одинаковыми макроскопическими свойствами, но с разными микроскопическими конфигурациями. Вырождение основного состояния связано с тем, что в магнетике с конкурирующими обменными взаимодействиями неизбежно возникают фрустрации (неудовлетворенные связи), т.е. пары спинов, энергия взаимодействия которых не соответствует минимуму.
Следствием этого является метастабильность фрустрированной магнитной системы, которая характеризуется гистерезисными явлениями, медленной релаксацией или зависимостью образца от его магнитной или термической предыстории [8]. Итак, основными свойствами, определяющими принадлежность того или иного вещества к спиновым стеклам, являются: 1) неупорядоченное строение системы; 2) наличие конкурирующих взаимодействий, приводящее к фрустрации; 3) статическая линейная восприимчивость в нулевом магнитном поле имеет острый максимум (или излом) в точке фазового перехода; максимум размывается слабым магнитным полем, а нелинейная восприимчивость расходится в этой точке; 4) процессы релаксации протекают очень медленно; 5) теплоемкость при низких температурах линейно зависит от температуры. В настоящее время известно огромное число спиновых стекол — металлов, диэлектриков и полупроводников; разбавленных и концентрированных сплавов; кристаллических и аморфных веществ [9-12]. Квантовые спиновые стекла имеют интересную особенность, связанную с тем, что переход системы к фрустрированному беспорядку с конкурирующими взаимодействиями можно осуществить либо тепловыми флуктуациями, либо увеличивая квантовые флуктуации. Квантовые спиновые стекла могут быть двух типов: векторные спиновые стекла, представленные Бреем и Муром [13] или классические спиновые стекла, измененные квантовыми флуктуациями, которые вызваны приложением поперечного поля [14]. Модель поперечного Изинговского спинового стекла - возможно самая простая модель, в которой в случайной системе могут быть квантовые эффекты и которые стали недавно интенсивно и систематически изучаться. Интересной особенностью таких моделей квантовых спиновых стекол является возможность туннелирования сквозь барьеры между минимумами свободной энергии за счет квантовых флуктуации (поперечного поля), как например в модели Шеррингтона-Киркпатрика [15]. Квантовые флуктуации способствуют туннелированшо через барьеры со скоростью, не исчезающей при Т- 0, поэтому эти флуктуации начинают преобладать при достаточно низких температурах. В квантовом спиновом стекле упорядоченная фаза ограничена областью достаточно слабых тепловых и квантовых флуктуации. Переход в неупорядоченную фазу происходит при возрастании каких-либо флуктуации (тепловых или квантовых). Критические флуктуации около точки перехода остаются классическими до тех пор, пока они происходят при критической температуре Тс 0. Рассмотрим модель квантового изинговского спинового стекла с коротким радиусом взаимодействия. Эта модельная система может приближенно описать, например, разбавленный дипольный магнетик Li HoxYj.xF4 [16], протонные стекла [17], релаксоры и щелочногалоид-ные кристаллы с большой концентрацией туннелирующих электроди-польных примесей [9]. Гамильтониан d- мерного квантового изинговского спинового стекла в поперечном поле описывается выражением где St — матрицы Паули для спина в узле і, Г - сила поперечного поля. Суммирование в (1.6) выполняется по ближайшим соседям, взаимодействия Jv между которыми являются независимыми случайными пере- менными с нулевым средним и дисперсией J = {Jу).
Фононное эхо взаимодействующих туннельных состояний в стекле
Проблема туннельных состояний в низкотемпературной области в аморфных средах возникла сравнительно недавно [1,6, 37-44]. Но она привела к пересмотру теоретических представлений о тепловых и других свойствах аморфных тел, наблюдаемых при низких температурах. В области температур Т OAK большая теплоемкость стекла пропорциональна температуре Т и зависит от химического состава стекла. При этом теплопроводность стекла много меньше теплопроводности кристалла и (приближенно) квадратично зависит от температуры. Изучение низкотемпературных особенностей теплоемкости и теплопроводности стекла стимулировало дальнейшее исследование тепловых и акустических свойств аморфных материалов различными методами, одним из которых является мощный спектроскопический метод фотонного и фононного эха [40] Эхо в стеклах на изолированных двухуровневых туннелирующих дефектах при низких температурах интенсивно исследовалось как теоретически, так и экспериментально [6, 37, 44]. Эхо в случае взаимодействующих туннельных состояний в стекле, насколько нам известно, не рассматривалось до сих пор, хотя само взаимодействие между ДУС исследовалось, и была показана необходимость учета этого взаимодействия при очень низких температурах и высоких концентрациях дефектов [1, 37, 42, 43]. В последнее время интерес к изучению эха в стеклах не ослабевает. В частности, в недавних экспериментах найдена удивительная зависимость поляризационного эха в стеклах от магнитного поля [40, 41]. Происходит возрастание амплитуды эха в магнитном поле, что объясняется связью туннелирующих частиц с ядерными спинами исследуемого вещества, В этом параграфе рассчитано низкотемпературное коллективное фононное эхо в диэлектрическом стекле. Это эхо обусловлено туннели-рующими упругими диполями, взаимодействующими друг с другом и с упругими акустическими колебаниями стекла.
Рассмотрим ансамбль упругих туннелирующих дефектов с двумя степенями свободы в упругом континууме стекла [42] где S"(a = x,y,z) - матрицы Паули, є,- - начальная асимметрия двухъ-ямного потенциала с туннелирующим дефектом, Д(. — туннельный параметр, у. — деформационный потенциал, еі — деформация в узле /. Предполагается сильная дефект-фононная связь. Н h представляет гармоническую часть колебаний упругого континуума (учитываются только при низких температурах); Н h = J ha)kalak , где к — волновой вектор аку- стических колебаний; а и ак — операторы уничтожения и рождения фонона, б)к — частота фонона с волновым вектором к [1]. В работе [42] показано, что при низких температурах Т(Т\К) и достаточно высоких концентрациях ДУС в рассматриваемой нами системе происходит ориентационный фазовый переход из неупорядоченной фазы в упорядоченную фазу стекла; там же приведена фазовая диаграмма и оценена температура фазового перехода Тв (при разумных параметрах системы Т 0.94/0 В этой системе имеются упругие коллективные возбуждения, подобные спиновым волнам в магнитных спиновых стеклах [43]. Был найден спектр связанных туннельных псевдоспин-фононных возбуждений в виде [43] где є2 = w2 -сАитх) Jk, и =3cy2w(crz) [mv2j , vs — средняя скорость звука, m — параметр порядка упорядоченной фазы, оас — акустическая фононная частота. Видно, что мода v2 может быть мягкой [43]. постоянная упругого диполь-дипольного взаимодействия, J.. л73, где rtj - расстояние между диполями / wj. Вследствие диполь-дипольного взаимодействия резонансная частота коллективной моды отличается от резонансной частоты одиночного туннелирующего дефекта (ДУС). Вообще говоря, спектр коллективных возбуждений эквидистантен. Эхо, связанное с переходами дипольного типа, невозможно в системе с эквидистантным спектром. Поэтому принимаем, что спектр является почти эквидистантным с малым параметром неэквидистантности Г. Тогда коллективное эхо с переходами дипольного типа возможно; оно описывается динамикой ангармонического осциллятора 0 [44]. Гамильтониан, описывающий коллективные возбуждения, имеет вид [44] Спектр собственных значений ангармонического осциллятора является неэквидистантным: Еп обозначает энергетический уровень. Первичное фононное эхо на коллективных модах возбуждается двумя короткими импульсами внешнего акустического поля. Пусть длительность импульса / (/= 1,2), интервал между первым и вторым импульсами - г12, импульсная амплитуда — е0, частота акустического поля - о и волновой вектор звуковой волны - к. Гамильтониан взаимодействия с внешним импульсным полем имеет вид где у — деформационный потенциал, г — радиус-вектор местоположения частицы. Для наблюдения эха должны быть выполнены следующие условия: t Т1,Т2,Т2 и Т2 тп TVT2, где Тх — время продольной релаксации, Т2 и Т2 - времена обратимой поперечной и необратимой поперечной релаксаций ДУС. Интенсивность первичного эха равна где Г = 30Г2/Л va, N - число испускаемых квазичастиц. Г0 — интенсивность спонтанного излучения в направлении к для одного кванта энергии коллективного возбуждения в единицу телесного угла, 10=у2и \\б7гри 5) , ву - площадь /-импульса, 6г(у - [,2)-Н гуе0, Л,- длина звуковой волны, 50 - площадь поперечного сечения образца. Из-за различной температурной зависимости резонансных частот коллективных мод имеется различная зависимость интенсивности эха от температуры. При температуре фазового перехода имеется аномальное поведение. Когда частота мягкой моды становится приблизительно равной нулю, эхо имеет экстремальное значение.
Необходимо обратить внимание на различные времена релаксации одиночной ДУС и коллективной моды. "Коллективное" время релаксации более длинное, чем время релаксации изолированного дефекта. Коллективное туннелирование увеличивает время релаксации системы взаимодействующих ДУС. Оценим интенсивность эха. Трудно определить число N. Принимаем N 1014САГ3. При va = 7 тегральная интенсивность в направлении к = 2кг-к должна иметь максимум в момент времени г = 2г12 и равна / Ю-2эрг!с. Таким образом, сигнал эха достаточно интенсивен и может наблюдаться. Итак, рассмотрено коллективное фононное эхо в стекле, на основании чего можно сделать следующие выводы: а) Имеются различные фазы в ансамбле взаимодействующих упругих двухуровневых систем. Существование этих фаз зависит от концентрации дефектов. В этих различных фазах исследована темпера турная зависимость сигналов эха. Температурная зависимость коллективного и "одиночного" эха различна. Можно получить информацию относительно фазового перехода, подобного ориентационному фазовому переходу при низкой температуре, так как имеется аномальная Г-зависимость коллективного эха в точке фазового перехода. б) В отличие от "одиночного" эха частота излучения коллек тивного эха отличается от резонансной частоты "изолированного" дипо ля благодаря диполь-дипольному взаимодействию между упругими ди- польными моментами ДУС, изменяющими резонансную частоту. в) Времена релаксации одиночной ДУС Ts и времена релакса ции коллективных мод га различны: та Ts из-за коллективного движе ния системы (коллективное туннелирование) взаимодействующих дипо лей. С помощью эхо-метода можно определить, например, частоты коллективных возбуждений (а, следовательно, туннельный параметр и асимметрию двухъямного потенциала), концентрацию дефектов и деформационный потенциал, параметр неэквидистантности и времена релаксации в системе, которые определяются по спаду (затуханию) сигналов эха и по спектральной ширине сигналов эха [I, 44]. Интенсивность сигналов, а также их импульсная площадь зависят от асимметрии двухъ-ямного потенциала. Измеряя амплитуду эха при максимальном значении импульсной площади, можно найти величину упругого дипольного момента ДУС. Расщепление энергетических уровней может быть найдено при измерении резонансной частоты [6,44]. В последнее время возрастающий интерес вызывают теоретические и экспериментальные исследования изинговских спиновых стекол в поперечном поле.
Флуктуационно-диссипативная теорема в низкотемпературном стекле
Проведем аналитический расчет равновесных функций релаксации и корреляции диэлектрического стекла при очень низких температурах в квантовом режиме. Для этого используем феноменологическую теорию двухуровневых, невзаимодействующих между собой квантовых систем с модельным гамильтонианом (1.2) и общую теорию линейного отклика системы на слабое внешнее возмущение (осциллирующее электрическое или звуковое поле) Согласно работе Кубо [46] двухвременная корреляционная функция определяется следующим образом Функция релаксации в слабом осциллирующем электрическом или звуковом поле имеет вид Следуя феноменологической теории двухуровневых, невзаимодействующих между собой квантовых систем и общей теории линейного отклика, проверим выполнение равенства (3.5). Для удобства вычислений будем использовать единицы, в которых % = 1. Вклад Ф одной ДУС в функцию релаксации равен Соответствующий вклад у/ одной ДУС в функцию корреляции равен Теперь выражения (3.13)-(3.14) для функций релаксации и корреляции нужно усреднить по стекольным параметрам. До усреднения удобно перейти к новым переменным Е вида (1.1) и г = А20/2 с функцией распределения, описываемой следующим выражением Запишем в новых переменных фурье-образы функций корреляции и релаксации Произведя во время усреднения выражений (3.16)-(3.17) некоторые алгебраические преобразования и приближения, находим следующее условие тах ш, при котором приближенно имеет место равенство (3.5), где Етак — максимальное энергетическое расщепление двух нижних уровней ДУС. Выполнение ФДТ означает, что в системе ДУС в стекле при некотором условии достигается состояние равновесия. Однако в общем случае эта теорема модифицируется, и выполняются флуктуационно-диссипативные соотношения, аналогичные тем, которые недавно найдены в спиновом стекле и других стеклоподобных системах, характеризующихся медленной низкотемпературной релаксацией [20]. Медленная динамика и старение в квантовом спиновом стекле, связанном с квантовым внутренним окружением и внешним переменным полем Рассмотрим низкотемпературное динамическое поведение стеклоподоб-ной неупорядоченной квантовой системы, находящейся во внешнем осциллирующем поле и связанной с квантовым внутренним окружением (тепловой баней из квантовых гармонических осцилляторов). Обычные методы равновесной квантовой статистической механики не годятся для описания нестационарной динамики стекло подобных квантовых систем.
Используем метод, основанный на приближении Швингера-Келдыша к нестационарным системам [50, 51], для решения замкнутой системы динамических уравнений для корреляционной функции и функции отклика применительно к квантовой сферической р-спиновой модели. Главной характерной чертой этой модели является то, что она имеет динамический фазовый переход при температуре Td + со. Выше Td система находится в равновесии со своим окружением; ниже Td равновесные времена расходятся, двухвременные функции корреляции и отклика за очень длинные времена устремляются к нулю, проявляя эффект старения. Рассматривается следующая постановка эксперимента. Образец охлаждается бесконечно быстро в нулевом постоянном внешнем магнитном поле от температуры T Tg (Tg — температура перехода в спин-стекольную фазу) до температуры 7J Т в момент времени f, который принимается равным нулю. В течение некоторого времени ожидания tw система находится при температуре 7J в отсутствие возмущения (внешнего поля). В момент t -1„ к образцу прикладывается малое внешнее осциллирующее поле. Эволюция системы далее происходит в изотермических условиях, и магнитная восприимчивость измеряется при фиксированной угловой частоте а как функция времени, прошедшего с момента достижения образцом температуры 7 , т.е. с момента t=0 [20]. Теперь рассмотрим модель взаимодействующих между собой (в общем случае сильно) туннелирующих двухуровневых систем (ДУС), связанных с квантовым окружением (термостатом квантовых гармонических осцилляторов) и находящихся во внешнем периодическом осциллирующем поле. Взаимодействия между ДУС являются хаотическими, имеющими разные знаки, и длиннодействующими. Отметим, что такого типа взаимодействия реализуются, например, в одноосных спиновых стеклах в поперечном магнитном поле [20]. В отсутствии взаимодействий между ДУС система локализована в случае ее связи с термостатом [26]. Физика изолированных туннельных систем хорошо описывается спин-бозонной моделью. В этой модели два вырожденных состояния ДУС представляются двумя собственными состояниями а, = ±1 изинговского псевдоспина, а туннельный матричный элемент Г связан с матрицей Паули сгл. Когда "включаются" взаимодействия между ДУС, локализация исчезает, и система претерпевает фазовый переход в фазу стекла. Положение критической линии, разделяющей неупорядоченную и упорядоченную (фаза стекла) фазы, сильно зависит от величины связи системы с термостатом.
Чем сильнее эта связь, тем предпочтительнее стекольная фаза. Многие интересные результаты, полученные для одиночных ДУС, не могут быть применены к ансамблю сильно взаимодействующих между собой ДУС. В работе [44] было показано, что в отсутствие внешнего переменного поля в ансамбле взаимодействующих между собой тунне-лирующих двухуровневых систем возможен фазовый переход в фазу стекла, если квантовое туннелирование меньше спин-спинового взаимодействия, температура достаточно низка, а константы взаимодействия имеют хаотический знак [42]. Как "обменное" взаимодействие между ДУС, так и взаимодействие ДУС с термостатом приводят к разрыву симметрии между вырожденными состояниями ДУС в любом узле. Поэтому оба взаимодействия конкурируют с туннельным членом в гамильтониане системы. Ввиду сложности модели взаимодействующих ДУС решим более простую модель (в приближении среднего поля) — квантовую хаотичную р-спиновую сферическую модель [26], связанную с термостатом квантовых гармонических осцилляторов и внешним осциллирующим полем. Эта модель, тем не менее, отражает характерные черты более реалистических моделей. Если связь системы с термостатом стабилизирует упорядоченное спин стекольное состояние, то связь системы с возмущающим внешним полем может привести к исчезновению этой фазы в случае сильного поля. Таким образом, эти два взаимодействия конкурируют друг с другом. Квантовая система, состоящая из TV взаимодействующих между собой двухуровневых систем (ДУС), связанных с внутренним окружением и термостатом из независимых квантовых гармонических осцилляторов и находящаяся под действием внешнего переменного осциллирующего поля (например, звукового или электромагнитного), имеет гамильтониан следующего вида где гамильтониан ансамбля взаимодействующих двухуровневых систем Я5, гамильтониан термостата Яв, гамильтониан взаимодействия ДУС с термостатом HSB и гамильтониан взаимодействия ДУС с внешним полем HSF определяются следующими выражениями где га — матрица Паули, a = xtz; N - число двухуровневых систем, Nb - число осцилляторов термостата, Й-,Д — туннельная частота двухуровневой системы. Потенциал взаимодействия выберем, учитывая диагональные р-спиновые взаимодействия между ДУС, в виде где (у2 = (о/,...,о/ ), хаотические связи Ji ; возьмем распределенными по Гауссу с нулевым средним и дисперсией вида где черта означает усреднение по беспорядку. В гамильтонианах Нв и HSB Xf и pi - координата и момент импульса 1-го осциллятора, т( и o)t - масса и частота 1-го осциллятора, с\ - константа связи между /-ой ДУС и /-ым осциллятором. Термостат представляет, например, фононы решетки образца. Внешнее переменное поле h{t) характеризуется своей амплитудой (в энергетических единицах) ht и угловой частотой coQ. Мы пренебрегаем взаимодействием между термостатом и внешним переменным полем, которое будем считать достаточно малым. Используя обычные методы [52], можно избавиться от осцилляторных степеней свободы посредством интегрирования по ним и получить функцию распределения системы в виде
Анализ поведения функций корреляций и отклика
Перейдем к исследованию временного поведения автокорреляционной функции C{t + twitw), функции отклика R(t + tw,tw) и интегрированного отклика %(t + tw,tw). Система уравнений для С и R (5.2)-(5.3) решается с помощью вычислительных методов (метод конечных разностей и формулы приближенного интегрирования) с использованием численного алгоритма, реализованного на Фортране, с шагом h = 0,04. Для расчета вы-браны следующие значения параметров: Г = 0.2, J = 0.5;l;2, времена ожидания tw =3; 6; 15; 24, амплитуда Л, =0.1; 1; 2 и частота внешнего магнитного поля Из анализа поведения автокорреляционной функции C(t + tw,tw) видно, что в отсутствие внешнего поля (рис. 5.1, a) C(t + iwitw) монотонно убывает со временем /, обнаруживая зависимость от времени ожидания t„ (обычный эффект старения), система находится в спинсте-кольной фазе. Приложение слабого переменного поля ht = 0,1; (о \ сохраняет медленную спинстекольную динамику (рис 5.1, б). Но уже при амплитуде поля ht— 1 и Ф- 1, (рис. 5.1, г), мы наблюдаем, начиная с некоторого момента времени (/ 10), осцилляции функции C(t + tw,tw). При большей амплитуде поля ht 2 и т 1, начиная с некоторого момента времени (t 10), медленная динамика подавляется, корреляционная функция, осциллируя, быстро стремится к нулю (рис. 5.1, д), и система выходит из спинстекольной фазы. При некотором значении амплитуды поля, промежуточном между k,= 1 и /г,= 2, происходит динамический переход (при фиксированных Т = 0.2; J = 1 и = I). Если оставлять амплитуду поля фиксированной (А,= 1) и увеличивать частоту внешнего поля от о =0,1 (рис. 5.1, в) до о = 1 (рис. 5.1, г), то видно, что: при небольшой частоте (рис. 5.1, в) автокорреляционная функция, начиная с некоторого малого момента времени /, осциллирует около нулевого значения, что свидетельствует о подавлении старения и выходе системы из спинстекольной фазы. При дальнейшем росте частоты (рис. 5.1, г) наблюдается осциллирующее (с меньшей амплитудой) поведение функции C(t + tw,tw) с медленным монотонным убыванием и эффектом старения, т. е. система перешла из неупорядоченной парамагнитной фазы в спинстекольную фазу на частоте между й)=0,1 и й=1. При частоте о 10 (рис. 5.1, е) осцилляции функции C(t + tw,tw) сжимаются в полосу, причем характер поведения C(t + tw,tw) напоминает поведение C(t + tw,tw) при А(= 0,1; о= 1 (рис. 5.1, б).
Система находится в фазе стекла, наблюдается медленная динамика и старение. Таким образом, при увеличении частоты внешнего переменного поля Ф при фикси- рованной амплитуде система испытывает переход в спинете кол ьное состояние. Изменялось значение константы спин-спинового взаимодействия J (J =0.5;I;2 при фиксированных ht= 2, а = 1, Г = 0.2), см. рисунки 2, а; 1,д; 2, б. Анализ численных расчетов показывает, что при умень-шении J от J = I (рис. 5.1, д) до J =0,5 (рис. 5.2, а) не происходит качественного изменения в поведении автокорреляционной функции, уменьшение J вызывает увеличение амплитуды осцилляции у C{t + tw,tw) и система остается в парамагнитной фазе. В то время как увеличение J (J = 2, рис. 5.2, б) приводит к противоположным изменениям: мы наблюдаем убывание функции C(t + tw,tw) с наложенными осцилляциями меньшей амплитуды. При этом у автокорреляционной функции обнаруживается зависимость от времени ожидания (эффект старения), следовательно система перешла в спинстекольное состояние. Отсюда мы заключаем, что для фиксированных параметров ht= 2, а = 1, Т = 0.2 существует значение J, промежуточное между J = 1 и J = 2, при котором происходит фазовый переход. Функция отклика R(t + tw,tw) в отсутствие поля (рис. 5.3, а) и в слабом внешнем поле при А,= 0,1 и ht- 1 (рис. 5.3, б и рис. 5.3, в) монотонно убывает, обнаруживая эффект старения, причем при й,= 1 появляются слабые осцилляции функции R(t + tw,tw). Система находится при этом в спинстекольной фазе. При большей амплитуде внешнего поля kt= 2 и частотах 6)= ОД и 1 (рис. 5.3, г и рис. 5.3, д), начиная с некоторого момента времени / 20, функция отклика R(t + tw,tw) равна нулю, т.е. не зависит от времени ожидания tw, старение прекращается, система находится в парамагнитной фазе. Если увеличить частоту внешнего поля до со - 10 (при фиксированной амплитуде ht- 2), наблюдаем старе- ние, и спиновая система вновь оказывается в фазе спинового стекла (рис. 5.3, е). Это является подтверждением вывода, сделанного из анализа поведения автокорреляционной функции на большой частоте. При изменении константы спин-спинового взаимодействия J (У=0.5;1;2 при фиксированных ht =2, )=1, Т = 0.2) происходят изменения масштаба амплитуды осцилляции и скорости убывания функции R(t + twitw). При J = 0.5 (рис. 5.4, а) и J = 1 (рис. 5.3, д), начиная с некоторого момента времени / (t 10), функция R(t + tw,tw) обращается в нуль, медленная динамика подавляется, старение прекращается, т. е. система находится в парамагнитном состоянии. При J = 2 снова наблюдается эффект старения, следовательно система находится в спинсте-кольном состоянии (рис. 5.4, б). Переход в это состояние происходит при значении J, промежуточном между J = 1 и J = 2 при фиксированных ht=2, о)= 1 и Г = 0.2. Рассматривалось также поведение интегрированного отклика X(t + tw,tw) в фазе спинового стекла и парамагнитном состоянии.
Получены графики зависимости х от С которые демонстрируют отклонения от классической флуктуационно-диссипативной теоремы (5.1) в рассматриваемой системе. Если сравнивать данные, полученные для разных значений амплитуды hh частоты со и величины спин-спинового взаимодействия J у то можно заметить, что в отсутствие поля (рис. 5.5, а) и в слабом магнитном поле (рис. 5.5, б) отклонение от ФДТ носит характер излома прямой линии. Включение магнитного поля средней и большой величины ht 1 (рис. 5.5, в и рис. 5.5, г) и ht= 2 (рис. 5.5, д) меняет характер зависимости % от С следующим образом: линейная зависимость исчезает, появляются осцилляции и самопересечения кривой. Отметим, что увеличение частоты внешнего переменного поля при фиксированной амплитуде приводит к уменьшению амплитуды осцилляции и сжатию их в линию (рис. 5.5, е), так же как и для С, так что поведение %(С) становится похожим на поведение %(С) в слабом поле. Отметим, что изменение величины спин-спинового взаимодействия J (У = 0.5;1;2 при фиксированных ht = 2, т= 1, 7 = 0.2) меняет поведение интегрированного отклика х(С% Ри = ш$ (Рис- 5.6, а) мы наблюдаем самопересечения кривой Х,(С) с большим размахом, чем при J = I (рис. 5.5, д). Увеличение J до J —1 (рис. 5.6, б) сжимает петли кривой в полосу. Анализ поведения %(С) на рисунках 5.5, в; 5.5, д и 5.6, а при различных tw свидетельствует о том, что спиновая система не находится в спинстекольной фазе, имеется сильное нарушение ФДТ и эффективная температура не может быть определена (система «атермальна»). Наоборот, поведение %(), изображенное на рисунках 5.5, б; 5.5, г; 5.5, е и 5.6, б говорит в пользу спинстекольной фазы и подобно поведению х(0 в нулевом поле (рис. 5.5, а). Обычно в отсутствии внешнего поля начальная часть кривой %(С) имеет наклон, тангенс угла которого равен (— 1/JT), тогда как вторая часть имеет наклон с тангенсом угла равным (-1/Гэфф). В нашем случае для спин-стекольной фазы эффективная температура в принципе еще может быть определена, она зависит от ряда параметров, в том числе от используемых в данной работе амплитуды и частоты внешнего переменного поля и константы спиновой связи. Имеется критическое значение амплитуды поля h » разделяющее два режима: с малыми амплитудами и большими амплитудами. Переход между состояниями представляет собой динамический фазовый переход. Явление старения наблюдается при не слишком сильном поле А, = 0.1. При увеличении амплитуды внешнего поля обнаруживается, что крити- ческое значение h зависит от частоты со, например, 1 /гкр 2 для о= 1. Также для каждого фиксированного значения амплитуды внешнего поля существует критическое значение частоты с р, выше которого система снова обнаруживает эффект старения.
