Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Случайные блуждания: постановка и решение задачи 10
1.1 Предельный случай случайных блужданий -диффузия 15
1.2 Случайные блуждания при условии отсутствия второго и высших моментов функции распределения 17
1.3 Полеты Леви в физике 20
1.4 Случайные блуждания с непрерывным временем 24
Глава 2. Финансовые временные ряды: эмпирические данные 28
2.1 Автокорреляции на фондовых рынках 31
2.2 Автокорреляции модулей доходности на фондовых рынках 38
2.3 Функции распределения флуктуации на фондовых рынках 40
Глава 3. Модели негауссовых случайных блужданий 51
3.1 Блуждания Леви 51
3.2 Усеченные блуждания Леви 55
Глава 4. Эмпирические исследования российского фондового рынка 63
4.1 Автокорреляции доходностей и волатильности на российском фондовом рынке 63
4.2 Функции распределения флуктуации на российском фондовом рынке 70
4.3 Определение минимального масштаба случайного процесса на фондовом рынке 82
4.4 Модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией для флуктуации на фондовых рынках 87
Заключение 95
Литература 97
- Полеты Леви в физике
- Функции распределения флуктуации на фондовых рынках
- Автокорреляции доходностей и волатильности на российском фондовом рынке
- Модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией для флуктуации на фондовых рынках
Введение к работе
Актуальность темы
Случайные блуждания являются очень удобным инструментом для описания физических процессов, динамика которых имеет стохастическую природу. Случайные блуждания и диффузия, которые, по сути, являются эквивалентными процессами, исследуются уже более ста лет и являются краеугольным камнем теории стохастических процессов, которая находит применение в различных областях физики и математики, а также в социальных науках.
В последнее время все больший интерес вызывают исследования стохастических систем, не подчиняющихся Гауссовой статистике. Такие системы не подчиняются классической центральной предельной теореме (ЦПТ). Основной статистической особенностью таких систем является существенно более высокая вероятность возникновения экстремально больших флуктуаций. Зачастую в таких случаях вместо классической ЦПТ возникает ее обобщенная версия, в соответствии с которой распределение суммы независимых случайных величин описывается семейством устойчивых распределений, относящихся к более широкому классу – безгранично-делимых распределений. Негауссовские случайные блуждания наблюдаются, например, при транспорте зарядов на поверхности полупроводников [1] или в процессах диффузии в таких новых материалах, как, например, стекла Леви [2] и целом ряде других физических систем.
Необходимо отметить, что подобные процессы характерны и для большого количества нефизических систем. В частности, с ними можно столкнуться в биологических [3], социальных [4] и экономических системах, которые, безусловно, требуют тщательного исследования в условиях современного мира.
Экономические временные ряды, такие как изменения цен индексов, акций, производных инструментов или курсов валют, возникают в результате взаимодействия большого количества агентов – участников финансовых рынков и представляют собой хороший пример естественной сложной системы. Большинство используемых на практике финансовых моделей, описывающих динамику цен фондовых активов, основываются на представлениях о классическом гауссовом поведении случайного процесса. К таким моделям относятся базовые модели ценообразования опционов, модели управления рисками и модели формирования портфелей ценных бумаг. В последние годы физики обращают все большее внимание на экономические временные ряды. Раздел науки, посвященный исследованию экономических временных рядов при помощи математического аппарата, используемого в физике, получил название эконофизика [5]. Статьи по эконофизике на сегодняшний день составляют существенную часть публикаций в таких журналах как Nature, Physica A, Physical Review. Журнал Physica A имеет специальный ежеквартальный номер, который называется Econophysics, посвященный данной тематике. В свою очередь за последние годы более 30% всех диссертаций в мире по физико-математическим наукам касаются именно эконофизических исследований [6].
Экономические кризисы последних лет в полной мере выявили несовершенство используемых моделей в экономике, поэтому исследования в этой области представляют огромный интерес как для государственных органов крупнейших государств мира, так и для широкого круга коммерческих компаний. В свою очередь технический прогресс ставит все более сложные задачи, требующие исследования систем, демонстрирующих аномальные транспортные свойства.
Цель диссертационной работы
Целью диссертационной работы является получение модели, позволяющей на микроскопическом уровне описать процесс негауссовых случайных блужданий, не обладающих пространственной или временной автокорреляцией, для случаев отсутствия моментов выше определенного порядка у функции распределения элементарных прыжков системы, а также описание при помощи полученной модели эмпирически наблюдаемых временных рядов, представляющих собой динамику цен акций и индексов на фондовой бирже.
Научная новизна
-
На основе введенного микроскопического закона прыжка степенного типа получена модель, позволяющая единообразно статистически описать системы, не обладающие длинными пространственными или временными корреляциями, но в которых наблюдаются негауссовы случайные блуждания, вне зависимости от наличия/отсутствия моментов функции распределения у закона элементарных прыжков.
-
Впервые получены точные асимптотики распределений для случая «усеченных» блужданий Леви, закон прыжка в которых не имеет моментов выше второго.
-
Исследованы статистические характеристики временных рядов, представляющих собой фиксации цен и значений российских акций и фондовых индексов.
-
Построена модель, позволяющая на основе микроскопических законов флуктуаций цен на фондовых рынках описывать макроскопические распределения флуктуаций цен на фондовом рынке.
Практическая ценность
Результаты исследований автокорреляций и распределений флуктуаций российского фондового рынка, а также модели случайных блужданий с конечной дисперсией успешно используются для управления рисками торговых операций отдельных подразделений, а также фирмы в целом в ЗАО «Финансовая компания «ИНТРАСТ». Также полученные модели случайных блужданий могут быть применены при моделировании случайных процессов, характеризующихся негауссовой статистикой, в частности задач, связанных с аномальной диффузией.
Основные результаты, выносимые на защиту
-
Введение закона прыжка степенного типа позволяет единым аналитическим образом рассмотреть как обычные случайные блуждания Леви, так и усеченные случайные блуждания Леви. Усеченные блуждания Леви асимптотически проявляют те же свойства устойчивости и масштабируемости, что и обычные, и имеют типично безмасштабное асимптотическое распределение степенного типа, характерное и для асимптот «чистых» блужданий Леви, но спадающее с ростом величины флуктуации быстрее.
-
Ряды данных относительных логарифмических приращений цен российских акций и фондовых индексов (доходностей) характеризуются короткими корреляциями, что повторяет поведение аналогичных величин на других фондовых рынках. При этом автокорреляции рядов модулей доходностей, напротив, длинные. Динамику цен акций и индексов можно представить как случайный процесс с независимыми приращениями.
-
Кумулятивные распределения вероятности доходностей российских акций и индексов, также как и у всех исследованных мировых индексов и акций, обладают свойством масштабной инвариантности, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа обратного куба.
-
Элементарным прыжком в схеме случайных блужданий на основе анализа скейлинга средних значений доходностей акций на фондовом рынке, измеренных на различных временных интервалах, является акт совершения сделки или тик цены.
-
Модифицированная схема с зависимостью свободного параметра прыжка от количества акций в единичной сделке позволяет удовлетворительно описать эмпирические распределения доходностей акций.
Апробация работы
Полученные в диссертации результаты докладывались на трех научных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (в 2008, 2009 и 2010 гг.), международной конференции по экономической науке ESHIA/WEHIA (Варшава, 2008 г.), Научной сессии Отделения физических наук РАН по эволюционной экономике и эконофизике 2 ноября 2010 г., Первом всероссийском конгрессе по эконофизике в Финансовой академии при Правительстве РФ (Москва 2009 г.), Первом российском экономическом конгрессе в МГУ (Москва, 2009 г.), семинаре в теоретическом отделе ИОФАН.
Структура и объем диссертации
Полеты Леви в физике
В физике полеты Леви в чистом виде встречаются довольно редко. Одним из ранних примеров супердиффузии, связанной с отсутствием конечных моментов распределения, является диффузия флюоресцентых трейсеров в растворе СТАВ-полимеров при достаточно высоких концентрациях [71]. При этом было получено, что функция распределения положения трейсера имеет асимптотику Леви. Еще одним примером аномальной диффузии в физической системе является диффузия частиц-трейсеров в движущейся жидкости [96]. Оказывается, что адвекция частиц в потоке жидкости приводит к существенному изменению характера транспорта, при этом в зависимости от характера потока это может приводить как к субдиффузионному поведению, так и к супердиффузии. В частности, экспериментально наблюдаются полеты Леви и супердиффузионный транспорт для двухмерного потока жидкости во вращающемся кольце [87]. Аномальные диффузионные свойства наблюдаются и в лазерном охлаждении методом селективного по скоростям когерентного пленения заселённостей [14]. В работе [16] рассматривается процесс диффузии абсорбированных молекул на границе раздела жидкость-твердое тело. Для сильных абсорбентов обнаруживается аномальная диффузия молекул в форме блужданий Леви из-за воздействия на них жидкой фазы. В работе [55] предлагается и анализируется механизм атомарной диффузии нанокластера золота, абсорбированного на поверхности графита и демонстрирующего диффузионного поведение, для которого характерно распределение прыжков типа Леви.
Одним из наиболее интересных достижений последних лет в области исследования супердиффузии является получение так называемого стекла Леви [18]. Стекло Леви представляет собой оптический материал, который явно определяет функцию распределения прыжков для света, проходящего через него. В частности, созданы образцы, диффузия света в которых определяется полетами Леви. Можно предположить, что для реализации такой задачи необходимо создание самоподобных структур. Однако, как выясняется, это не дает ожидаемых результатов, что связано с зависимостью сечения рассеяния от размера частицы. Оказывается, для достижения необходимых характеристик материала необходимо модифицировать не размеры отражающих частиц, а их плотность. Такую задачу удалось решить за счет использования частиц с высоким показателем рассеяния (диоксид титана), интегрированных в стеклянную или полимерную [19] матрицу. Модификация локальной плотности рассеивающих частиц обеспечивалась за счет интеграции в образец стеклянных микросфер, распределение по размерам которых имеет определенный вид Ps(d), которые, однако, не участвуют в рассеянии света, так как имеют такой же показатель преломления, что и основная стеклянная матрица. В нормальном диффузионном материале длина прыжка описывается распределением Гаусса
Для экспериментальных исследований был выбран вариант полетов Леви с показателем а = 1, так как это один из немногих вариантов при которых распределение Леви выражается в простой аналитической форме, а именно в виде распределения Коши. Был создан набор образцов толщиной от 50 до 350 мкм. Коллимированный лазерный пучок направлялся на образец, а на выходе из образца измерялась пропускаемость света. При условии гауссовой диффузии пропускаемость света определяется законом Ома, то есть линейно зависит от обратной толщины образца. Достаточно широкий пласт исследований полетов Леви и супердиффузии связан с нефизическими моделями. Полеты Леви, в частности, были обнаружены в поведении муравьев, занимающихся поисками пищи [88], мух дрозофил [26], а также альбатросов, ищущих корм на поверхности океана [91]. Пяти птицам, обитающим в Южной Атлантике, к ногам были прикреплены датчики перемещения. Оказалось, что траектории птиц обладают свойствами масштабной инвариантности. Кроме того, плотность распределения временных интервалов между взлетами и посадками альбатросов имеет вид степенной функции с показателем степени у. и 2, при этом места посадки птиц распределены, как если бы птицы совершали полеты Леви. Оказывается, что такое поведение альбатросов вызвано биологической оптимизацией процесса поиска пищи, так как в условиях стаи такое поведение позволяет птицам покрыть большие пространства. Так, если бы стая совершала броуновские случайные блуждания, за время t стая, состоящая из N птиц, посетила бы tln(N/Int) точек, в то время как стая, в которой птицы совершают блуждания Леви, посетила бы Nt точек. Аналогичные эффекты были обнаружены и в исследованиях путешествий людей, выявленных на основании перемещения банкнот [17]. Поскольку процессы перемещения людей тесно связаны с распространением инфекций, их моделирование является важным аспектом для науки. Оказывается, что плотность распределения расстояний, на которые путешествуют люди, имеет степенной вид, характерный для полетов Леви (рис. 1.5). При этом процесс хорошо описывается двухпараметрической моделью случайных блужданий с непрерывным временем (которая описывается в следующей главе) с масштабно-инвариантной функцией распределения прыжков и длительными интервалами ожиданий между отдельными прыжками.
Функции распределения флуктуации на фондовых рынках
Особый практический и теоретический интерес в задачах о случайных блужданиях финансовых величин представляют исследования функций распределения флуктуации доходностей финансовых инструментов. Если исходить из того, что все флуктуации доходностей акций на фондовом рынке являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с конечным вторым моментом, то в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом количестве суммируемых доходностей их распределение должно сходиться к гауссову виду. Это было эмпирически показано в 1960 году на основе имевшихся на тот момент данных для временных рядов низкой частоты [72]. Именно на предположении о нормальности распределения флуктуации доходности, в силу его простоты, построено большинство финансовых моделей, в частности широко известная теория ценообразования деривативов [22].
Несмотря на это, довольно давно стало понятно, в первую очередь на основе интуитивного опыта, что плотность распределения флуктуации доходностей на фондовых рынках не подчиняется нормальному распределению. В первую очередь, было очевидно, что большие флуктуации возникают гораздо чаще, чем это предполагает нормальное распределение. Бенуа Мандельброт в своих работах, посвященных исследованиям распределений флуктуации цен хлопка [64,65], обнаружил, что случайные блуждания на финансовых рынках негауссовы, но при этом обладают свойством масштабной инвариантности для большого диапазона временных интервалов: от 1 дня до 1 месяца. С учетом наличия тяжелых хвостов в функции распределения и ее скейлинга, а также помня о том, что флуктуации являются независимыми случайными величинами, Мандельброт эмпирически показал, что флуктуации на фондовом рынке должны описываться устойчивым симметричным распределением Леви (рис. 2.9). В этом случае, как отмечалось ранее, выполняется обобщенная версия центральной предельной теоремы, которая предполагает сходимость суммы случайных величин именно к такому распределению. Мандельброт вычислил параметр распределения Леви ju «1,7, что соответствует случаю отсутствия у функции распределения второго момента, а следовательно все статистические показатели для такого процесса теряют всякий смысл. Этот факт является существенным недостатком использования распределения Леви в плоскости моделирования реальных физических или экономических временных рядов.
Одной из попыток решения проблемы отсутствия второго момента у функции распределения доходностей финансовых активов стала попытка описания процесса при помощи распределения Стьюдента
Функция P{z) имеет конечные моменты для значения параметра к п. Управляя параметром п, который определяет конечность к-то момента распределения, можно получить достаточно хорошую аппроксимацию распределения доходностей финансовых активов на определенных временных масштабах [15]. Однако распределение Стьюдента не является устойчивым, таким образом, не выполняется условие возникновения масштабной инвариантности распределений, обнаруженное Мандельбротом. Еще один подход, попытки применения которого предпринимались для описания эмпирических данных, который, однако, также не позволяет описывать свойства масштабной инвариантности функций распределения - это использование смешения набора нормальных распределений с различными параметрами [25].
В более поздних работах (см., например, [66, 68]) подробно исследовались распределения доходностей американского фондового индекса S&P500 на временном интервале с января 1984 года по декабрь 1989 года. Было обнаружено, что центральная часть распределения на временных масштабах отличающихся на три порядка хорошо описывается устойчивым распределением Леви с параметром а = 1.4. Однако на масштабах флуктуации превышающих шесть стандартных отклонений наблюдается отклонение от распределения Леви и экспоненциальное падение хвостов (рис. 5а)
Вследствие наличия экспоненциального усечения, данное распределение в отличие от устойчивого распределения Леви имеет конечный второй момент, что в соответствии с ЦПТ должно давать сходимость к распределению Гаусса. В работе [67] было введено понятие о новом классе случайных процессов, так называемом усеченном блуждании Леви (truncated Levy flights). Усеченные блуждания Леви это процесс, характеризующийся следующей плотностью распределения вероятностей
Авторами показано, что распределение суммы независимых случайных величин, подчиняющихся закону Т(х), сходится к гауссовому распределению только при суммировании очень большого количества случайных величин (iV 104). Таким образом, в системах с конечной дисперсией сумма достаточно большого количества независимых случайных величин может сходиться к распределению очень близкому к распределению Леви, но отличающемуся от него для больших флуктуации. В работе [67] показано, что переход распределения доходностей финансовых инструментов к виду распределения Гаусса должен происходить на временных масштабах порядка 1 мес. Таким образом, усеченное распределение Леви, наблюдаемое экспериментально для индекса S&P500, является промежуточной асимптотикой случайного процесса, описывающего флуктуации значений индекса.
Наиболее актуальные исследования распределений доходностей подтверждают, что центральная часть распределения доходностей акций и фондовых индексов действительно достаточно точно описывается устойчивым симметричным распределением Леви, в то же время достаточно надежно показано, что поведение функции на хвостах несколько отличается от результатов, полученных ранее. В работе [38] в частности исследовались распределения доходностей индекса S&P500 на различных масштабах времени At, где At изменялось теперь уже на четыре порядка - с 1 минуты до более чем 1 месяца. Анализировались три базы данных. База данных (і) содержала приблизительно 1200000 записей значения индекса с интервалом времени 1 минута в течение 13-летнего периода 1984-1996 годов, база данных (ii) - 8686 ежедневных записей в течение 35-летнего периода 1962-1996 годов, и база данных (iii) - 852 ежемесячных записей в течение 71-летнего периода 1926-1996. При этом доходности были нормированы на величину так называемой волатильности
Кумулятивная функция распределения (первообразная плотности вероятности) хорошо асимптотически сходится к степенному закону плотности вероятности с вышеуказанным показателем (рис. 2.11). При этом в диапазоне малых флуктуации 0.5 g 3 хорошо описываются при помощи более низких показателей а, попадающих в диапазон Леви ( 0 а 2). В свою очередь, было не очень надежно продемонстрировано, что распределение для At = 16 дней переходит к гауссову распределению.
Аналогичные результаты были получены и для японского фондового индекса NIKKEI и гонконгского Hang-Seng ( 2 = 3.05 ± 0.16 и а = 3.03 ±0.16). Аналогичным образом были исследованы и доходности акций отдельных компаний в разных странах [29, 37, 39, 60, 69, 73, 78, 85]. В частности были исследованы три базы данных, содержащие временные ряды цен 1000 отдельных акций с трех крупнейших бирж в США. В общей сложности объем исследованных данных превысил 40 миллионов точек для 5-минутных ценовых данных 1000 ведущих американских компаний за период с 1994 по 1995 годы и 35 миллионов точек, описывающих цены 16000 американских акций с частотой фиксации 1 день за 35-летний период с 1962 по 1995 годы. Для 5-минутных данных в диапазоне флуктуации 2 g 80 кумулятивное распределение доходностей (рис. 2.12) хорошо аппроксимируется степенной функцией с показателем
Параметры распределения, очевидно, не попадают в диапазон, характерный для распределения Леви. На следующем этапе исследовались более низкочастотные данные с At 1 день. В этом случае некоторую ошибку вносит тот факт, что определение волатильности, используемой для нормировки доходностей, выполняется по значительно меньшему количеству точек. Для того чтобы избежать связанных с этим проблем, был использован отличный от описанного способа метод определения волатильности. Он основан на том факте, что волатильность варьируется в зависимости от размера компании. Более маленьким компаниям свойственна более высокая волатильность. На базе этого наблюдения были сформированы группы по капитализации компаний и соответственно исследовались функции распределения доходностей групп сходных акций. Так, для 30-минутных данных асимптотика хвостов распределений хорошо описывается функцией
Автокорреляции доходностей и волатильности на российском фондовом рынке
Временные ряды относительных изменений цен акций, фондовых индексов и других инструментов, как было показано в главе 2, представляют собой пример естественной реализации негауссовых случайных блужданий. Исследования соответствующих статистических характеристик ценовых временных рядов для российских финансовых инструментов ранее в полной мере не осуществлялись. Российский фондовый рынок не имеет столь длительной истории как многие зарубежные рынки. Однако в связи с тем, что в России фондовый рынок появился уже в период широкого распространения электронных торгов, объем исследуемых данных достаточно велик. Все данные были получены из базы, расположенной в Интернете по адресу wvAv.finam.ru. Российский фондовый индекс РТС, который отражает средневзвешенную стоимость 50 крупнейших российских компаний, ведет свою историю с 1 сентября 1995 года. Таким образом, длина ряда данных его 1-дневных фиксаций составляет около 4300 значений, а ряд 1-минутных фиксаций состоит из 2x106 точек. Полностью пересекающихся по времени с этим диапазоном рядов данных по отдельным акциям, к сожалению, получить невозможно.
В первую очередь, практический интерес представляют временные ряды цен для наиболее ликвидных (имеющих максимальный торговых оборот) российских акций. Для исследований были выбраны данные по акциям компаний ОАО «Газпром», ОАО «Сбербанк России», ОАО «ГМК «Норильский никель», ОАО «Лукойл», ОАО «Сургутнефтегаз». По акциям Газпрома в базе доступны тиковые, 1-минутные, 5-минутные, 15-минутные, 30-минутные, 60-минутные, 1-дневные, 1-недельные и 1-месячные ряды фиксаций, начиная с 23 января 2006 года, для акций Сбербанка - с 1 июня 1999 года, для акций ГМК «Норильский никель» - с 31 октября 2001 года, для акций Лукойла - с 29 мая 1997 года, для акций Сургутнефтегаз - с 30 мая 1997 года. Для этих финансовых инструментов далее могут использоваться их сокращенные биржевые обозначения - так называемые тикеры. Таблица соответствия приведена ниже (табл. 4.1).
Прежде чем перейти к анализу процесса, необходимо преобразовать цены акций и значения индекса РТС в относительные доходности G для всех интересующих нас временных масштабов, определяемые по формуле (2.1). Мы остановились на 1-минутных, 15-минутных, 1-часовых и 1-дневных данных для всех исследованных активов, и кроме того, тиковых и 1-месячных данных для индекса РТС. Далее все доходности нормируются на соответствующее этому временному масштабу значение стандартного отклонения (волатильности)
Известно, что временные ряды доходностей западных акций и фондовых индексов имеют короткие автокорреляции. Необходимо проверить, наблюдается ли аналогичная ситуация и для российских акций и индексов, то есть можно ли считать доходности набором независимых случайных величин. Только в этом случае мы сможем моделировать ценовые ряды в терминах случайных блужданий. Для этого построим автокорреляционные функции рядов доходностей для разных интервалов фиксации данных: Д/=1 мин, 15 мин, 1 час, 1 день, а также для тиковых данных.
Исследование автокорреляционной функции доходностей акций и индексов на российском фондовом рынке, выполненное в программном продукте Origin Pro для разных масштабов фиксации значений At [3-6, 83, 90], показало, что процесс флуктуации доходностей на российском фондовом рынке G(t) является дельта-коррелированным во времени
Исследование автокорреляций доходностей российских акций на одноминутной базе данных за весь доступный период наблюдений показало, что время корреляции всегда короче одной минуты. Аналогичные результаты получены для всех исследованных временных масштабов. Во всех случаях был получен следующий результат: значение корреляционной функции (2.1.1) стремится к нулю на первой ненулевой измеренной точке At (рис. 4.2). Автокорреляционная функция ряда доходностей индекса РТС имеет несколько отличный вид. Функционально автокорреляционная функция для индекса РТС описывается выражением (2.1.3), то есть имеют место короткие автокорреляции. При этом, как известно, время автокорреляции для американского индекса S&P500 составляет порядка 4 мин. В нашем же случае для российского индекса РТС было получено значения времени автокорреляции тсогг=0Я5 мин [90] (рис. 4.1). Аналогичные результаты получены и для тиковых доходностей российских акций и индексов.
Таким образом, динамика фондового индекса РТС и цен российских ликвидных акций представляет собой случайный процесс с независимыми приращениями, то есть случайные блуждания. Иначе говоря, подтверждается известная гипотеза эффективного рынка [34].
Особый интерес представляет собой исследование других нелинейных функций доходностей, в частности модулей доходностей, которые в финансовой терминологии также зачастую используют как одну из формулировок понятия волатильность. С практической точки зрения волатильность является неотъемлемым параметром моделей риск-менеджмента [46] и ценообразования опционов [22]. Известно, что волатильность активов на западных фондовых рынках имеет длинные автокорреляции (см., например [92]). Нами были исследованы автокорреляции модулей доходностей для российского фондового индекса РТС и российских акций. Как и в случае зарубежных индексов и акций, модули доходностей российских активов характеризуются наличием длинных корреляций для абсолютных значений доходностей вида
Модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией для флуктуации на фондовых рынках
Форма распределения усеченного блуждания Леви, получающегося в результате реализации схемы с законом единичного прыжка (3.1.3) при fi =2 соответствует выражению (3.2.6), однако в этом случае имеются различия для разных значений N, что, однако, не наблюдается в действительности для экспериментальных данных (см. раздел 4.3). Для устранения этого несоответствия исходную модель следует скорректировать.
Первая возможность модификации модели - это попытка применения схемы случайных блужданий с непрерывным временем (CTRW) [84]. В самом деле, временные интервалы между двумя последовательными тиками могут варьироваться в широком диапазоне. Распределение этих временных интервалов для американского рынка известно [40], его функция спадает с уменьшением At как (At)4 4. По всей видимости, учет времени между транзакциями не позволяет получить новые результаты в силу наличия математического ожидания величины временного интервала между тиками. Другой возможностью для модификации схемы усеченных случайных блужданий Леви является использование связи стандартного отклонения z и среднего объема сделки при помощи степенного закона.
Известно, что распределение количества акций торгуемых в одной биржевой сделке (одном тике) Q(x) определенно попадает в диапазон Леви, то есть асимптотическая (хвостовая) часть распределения хорошо описывается законом вида Xя, где 2 0, если рассматривать кумулятивную функцию распределения (см. [79-81]). Параметры 1.63 с 1.45 были получены при помощи различных статистических методов для одной и той же выборки акций крупнейших американских компаний [41], -1.58 для акций 85 крупнейших компаний, торгуемых на Лондонской фондовой бирже (LSE) в 2001-2002 годах, и д-—-1.53 для акций 13 компаний, входящих в индекс Парижской биржи САС 40.
Для российских «голубых фишек» мы получили показатели в диапазоне 1.7 1.6 в зависимости от рассматриваемой ценной бумаги. На рис. 4.16 показано кумулятивное распределение объема торгов в одном тике для акций Сбербанка 21.11.2007 г.
Естественно, данные зависимости справедливы только для акций. Ситуация с доходностями индексов несколько сложнее. Очевидно, что доходности индекса могут зависеть от объема торгов акциями, входящими в индекс. Однако это предположение довольно сложно проверить экспериментально.
Наша модификация ограничивается предположением о том, что каждое стандартное отклонение z в схеме (см. закон прыжка (3.1.3)) является случайной величиной z, пропорциональной объему сделки в z -ой транзакции (/-ом тике). Практически, мы используем широко распространенное биржевое правило о том, что «объем торгов двигает цену» [23, 36, 50].
Данная модификация означает, что мы вводим зависимость функции распределения вероятности единичных флуктуации г,(г/) от другой случайной величины z,. В данном случае схема снова напоминает модель CTRW. Проблема прямого применения CTRW состоит в том, что конечная функция распределения для R будет зависеть от набора случайных величин {z,}. Например, функция распределения усеченных случайных блужданий Леви для р =2 получается в виде
Так как все величины {z,} имеют функцию распределения х с при больших Z,-, где S 2.5-2.7 (д = д-\) возможно усреднение (4.4.1) по каждой z;-. Тем не менее, этот результат будет неверным, так как конечный вид усредненной таким образом функции (4.4.1) не будет соответствовать экспериментально наблюдаемым данным, а именно не будет пропорционален К4 при больших R.
Поэтому метод CTRW необходимо обобщить на случай отсутствия условного среднего (случайной величины Hz І в (4.4.2)), для случая наличия условного среднего см. [86]. Как и в случае распределения Леви (3.1.6), выражение (58) может быть исследовано на предмет зависимости от N, т.е. перенормировки. Если перенормировать величину R в (4.4.1) или соответствующее асимптотическое кумулятивное распределение
Установленная зависимость от N имеет место только в случае доходностей акций. Возможная зависимость доходностей индекса от объема торгов акциями, входящими в индекс может иметь другой вид (по сравнению с законом л:"5). Если этот закон не попадает в диапазон Леви 2 0, и д (немного) больше 2, кумулятивное распределение доходностей индекса на больших временных интервалах (16 дней как для индекса S&P500, положительные месячные доходности индекса РТС на рис. 4.5: последние две точки) может сходиться к гауссовому случаю (см. (4.4.3) при 5 3-4). Эти распределения будут выглядеть аналогично показанным на рис. 3.3 при больших N, а не так, как эти же кривые на рис.4.17.
Подведем короткие итоги главы 4. Российские акции и индексы с точки зрения автокорреляций и распределений демонстрируют поведение аналогичное своим западным аналогам. В частности, в индексе РТС как и в случае других мировых индексов имеют место короткие автокорреляции доходностей с временем корреляции менее 1 минуты. Акции же, как и их западные аналоги, и вовсе дельта-коррелированы во времени. Таким образом, можно утверждать, что доходности российских акций и индексов являются независимыми случайными величинами и совершают случайные блуждания. Напротив, автокорреляции абсолютных доходностей - длинные, что опять-таки характерно для западных рынков. Кумулятивные распределения доходностей российских акций и индексов также как и все исследованные мировые индексы и акции обладают скейлингом, а асимптотика при больших флуктуациях описывается законом типа - 1 / х3.
Можно предположить, что закон = 1/л 3 для кумулятивной функции распределения флуктуации акций и индексов является универсальным. Такое распределение может быть получено при помощи схемы случайных блужданий (прыжков) с законом единичного прыжка (3.1.3) только при /7=2. Это означает, что закон прыжка при таком значении
По всей видимости, существование строгих законов единичного прыжка (4.4.5) возможно по двум причинам. Во-первых, распределения вероятности флуктуации доходности должны обладать вторым моментом, т.е. дисперсией. Это требование обусловлено, в конечном счете, ограниченностью денег. Во-вторых, функция распределения должна иметь ту же асимптотику, что и закон прыжка, то есть должна существовать вероятность возникновения больших флуктуации посредством одного прыжка. Все функции Леви удовлетворяют второму требованию, но не первому. Только функция распределения (3.1.6) при /?=2 удовлетворяет обоим условиям.
Простое определение величины z, как некоторой характерной величины прыжка не позволяет дать точного объяснения зависимости нормированных функций распределения и кумулятивных распределений от N. Модификация схемы случайных блужданий обеспечивается за счет введения зависимости {z,} от количества акций, торгуемых в одной сделке (тике), так как факт соответствия одного тика одному прыжку проверен экспериментально (см. также [9]). В этом случае функция распределения величины Xz,3 сходится к функции Леви с индексом Леви (/М)/3. Конечная зависимость кумулятивных функций распределения от количества тиков (прыжков) попадает в диапазон от Vм до №27. Российские акции демонстрируют более слабые зависимости по сравнению с акциями из США и акциями, торгуемыми на LSE и Парижской бирже. Таким образом, конечная схема случайных блужданий выглядит как схема CTRW при отсутствии условного среднего (для величины 2,z,3).
