Методы построения квантовых твистов Самсонов Максим Евгеньевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Построение квантовых аналогов для расширенных жордановых твистов 23

1.1 Квантование расширенных жордановых г—матриц 23

1.2 Квантовая алгебра Дринфельда-Джимбо Uq(o) 26

1.3 Квантовый жорданов твист 33

1.4 Твист Креммера-Жерве и его специализация при q —1 . 38

1.5 Квазиклассические твисты и некоммутативная геометрия . 41

2 Квантовые аффинные твисты и их рациональный предел 47

2.1 Аффинизация q—твистов 48

2.1.1 Аффинный твист для Uq(o) 51

2.1.2 Аффинный твист для Uq(s) 52

2.2 Рациональное вырождение Т г 57

2.2.1 Рациональное вырождение Т 57

2.2.2 Рациональное вырождение Т^ 58

2.3 Квантование обобщенных жордановых г—матриц 59

3 Заключение 63

Библиография 67

• Квантовая алгебра Дринфельда-Джимбо Uq(o)
• Квазиклассические твисты и некоммутативная геометрия
• Аффинный твист для Uq(o)
• Квантование обобщенных жордановых г—матриц

Введение к работе

Основные определения и необходимые сведенья

1. Роль R—матрицы в построении интегрируемых решеточных моделей и моделей спиновых цепочек

Переход от классических интегрируемых систем к квантовым в рамках квантового метода обратной задачи [19, 35] можно рассматривать как переход от классических г—матриц (со спектральным параметром) г : С —> gl_n 0 gl_n: [г_и{щ - «2),гіз(иі - «з)] + [пг(«і - гі₂),г₂з(гі₂ ~ ^мз)]+ _m + [Г13(«1 - «з)і **23(«2 - «з)] = О, {г\2{и))цЩтп = ru\_jm(u) 4п, (Пз(«))й*|ітп = П%п(") * т„(и) ' <%1 и (Л О Я)ад = i4ijB_w; к их квантовым аналогам - решениям квантового уравнения Янга-Бакстера: #12(мі-«2)Діз(«1-«з)Д2з(«2-«з) = ^2з(и2-^з)і2із("і-Мз)^12(мі-М2), (2) где Rij(u) обозначают матрицы построенные из R(u) тем же способом, которым гц{и) строились из г (к). R—матрицы позволяют строить одномерные и двумерные решеточные модели, устанавливая соответствие решеточных моделей статистической механики моделям спиновых цепочек. С точки зрения статистической механики [2, 9,12], элементы R—матрицы задают веса узлов решетки - болъцмаповские веса:

Rik\jl(ui - и'і) = где каждой строке и каждому столбцу в двумерной М X N решетке, вообще говоря, приписывается свой спектральный параметр. В случае однородной модели все спектральные параметры считаются одинаковыми. Однако, варьирование по спектральному параметру представляет самостоятельный интерес и позволяет вычислять гамильтонианы соответствующих спиновых цепочек [12].

Накладывая периодические граничные условия: (М+ 1) = 1, (ЛГ + 1) = 1, можно выразить статистическую сумму модели Z через так-называемую трансфер-матрицу Т: Z = tv_V0_N(tv_vT)^M, где tiyT задает вклад отдельной строки узлов решетки: и г₂ г'з глг-2 W-i }N h 1 h I k₂ 1 -J k_N-₂l fcjv-il k _{t t t -t T T} h h h JN-2 JN-l JN ^h...i_Nk_N\ji...j_Nh = / ^ ^iiki\jih^4₂k2\hh" ' ^4,NkN\JNkN-i fci,...,fcjv-l задает оператор: T : V^N V -+ V^N V, след которого берется по вспомогательному пространству V: (trv-t )ii...i_N\ji-JN ⁼ / j-Lii...i_Nk\ji...JNki мы опустили возможные спектральные параметры, подразумевая модель однородной.

Между трансфер-матрицами с разными спектральными параметрам выполняется следующее коммутационное соотношение [18]:

Я(щ - и₂)(Т(щ) id)(id Т(и₂)) = (id Т(и₂)){Т(щ) id)i2(«i - и₂), (3)

Т(и) = RQ_N(u)Bb_jN-i(u) Roi(u); которое приводит к семейству коммутирующих операторов [trK(T(«i)),tiv(T(tt2))] = 0.

С другой стороны, соотношение (3) можно рассматривать и в квантовом случае, как свойство квантовой матрицы монодромии:

Т(и) = LjV,_a(u)LjV-l,aM ' ' ' L^_a(u), где Ь_ща(и) (соответствует Ro_n(u)) матрицы размера (2s+l) х (2s+l) во вспомогательном пространстве V : dimV = 2s + 1 элементами которых являются операторы в гильбертовом пространстве Ті — V^N. Характерная особенность, общая для классических и квантовых интегрируемых систем, состоит в том, что у них бесконечно много коммутирующих "интегралов движения"или "законов сохранения": [Я_т, Н_п] = О,

Н_п = const I "it— ) t(ui)\_U2t~¹(u₂); и г (и) = trace^(T(w)). Hi оказывается гамильтонианом квантовой интегрируемой модели (цепочки). Так возникает, например, гамильтониан для анизотропной модели Гейзенберга: и его связь с восьмивершинной моделью, которую решил Р. Дж. Бакстер [3]. В восьмивершинной модели следующим узлам приписываются ненулевые веса выражающиеся через эллиптические функции: sn (Хц+ц) sn(/i) sn (Л//) sn(/<) fcsn (А/і) sn (A/j+/j) где sn(z) эллиптический синус Якоби: h y/(l-w²){l-k²w²) Эллиптическая квантовая і?—матрица записывается в следующей форме

О ведут к R—матрицам описывающим рациональные и тригонометрические шестивершинные модели. Таким образом, способы построения квантовых R—матриц приобретают особое значение в исследовании квантовой интегрируемсти. sn (Хц+fj,) R(k, A, /z) = і ksn (Xfi) sn (Xfj,+fj.)

Предельные случаи /і —> 0 и к - sn (Хц) sn(/*) sn (Хц) sn(/u) fcsn (А/і) sn (А/і+/і) sn (Xfi+ц) sa(fi)

2. Классификация г—матриц со спектральным параметром

Знание классификации г—матриц со спектральным параметром [14, 44] значительно упрощает построение соответствующих квантовых R—матриц. Рас- сматривая классические г—матрицы, удобно ослабить зависимость от спектрального параметра и искать решения более общего уравнения: [Гі₂(иі, U₂), Гіз(«і, Из)] + [П2(«1, Щ), Г₂з(и2, U₃)] + [гіз(«1, U₃), Г₂з(«2, Щ)] = О, рассматривая г—матрицы с точностью до эквивалентности г(щ,и₂) - ((т(щ) о-(и₂))(г(г/1,и₂)), где а(и) автоморфизм. В этом случае, когда д простая алгебра Ли и г(щ, м₂) = Ylif(^uh ^и2) ^аіЬі, а,{, Ьі Є д, любая г—матрица со спектральным параметром принадлежит одному из следующих классов [9]:

Эллиптические, когда д = sln+i: . п+1 _{(«і - «г) = —гт Е е}^чк_{Ф*(т - u2)x-iz-}^k _X^Z\ га + 1 .^-^ j,k=l где є = e^+i и Фікіи + іі) = e^j_k(u), ф]к{и + 12) = ^кФік{и) единственные мероморфные функции с простыми полюсами в узлах решетки Z71+Z72 и вычетом 1 при и = 0. _{z =}

0 є 0

0 0 є² о о о

Тригонометрические, г(щ,гі2) = — --f r(wi,M2), г(иищ) Голо ве^{1 2} — 1 морфная функция и t тензорный оператор Казимира;

Рациональные, г(щ,и2) = + f(ui,W2), r{u\,U2) ПОЛИНОМ ОТ Щ И

Щ — U2 щ не выше первой степени по каждой из переменных;

Каждый из классов г—матриц может быть связан с соответствующими классическими и квантовыми моделями, для нас главный интерес представляют рациональные и тригонометрические г—матрицы, как объекты связанные с квантованием алгебры токов д[и] или алгебры петель g[w,u^-1]. Тригонометрические г—матрицы могут быть получены из так-называемых универсальных 7?.—матриц определенных для q—деформаций универсальных обертывающих алгебр - аффинных алгебр Каца-Муди.

3. Универсальные 7^—матрицы

Квантовые R—матрицы для классических тригонометрических і—матриц естественно связывать с некоторым универсальным объектом (Н, 71) - квазитреугольной алгеброй Хопфа, порождающей матричные решения (2) после ограничения элемента 71 Є Н Н на конкретное представление (д[и, и~^г],р^у^) алгебры петель q[u, it^-1] : R(u₁-u₂) = (p^v{ui)0p^v^⁾)(7l).

Алгебры Хопфа представляют и самостоятельный интерес, не связанный с существованием универсального элемента 71, играя роль аналогичную группам классических симметрии в некоммутативной геометрии. Например, Янгиан Y(sln) - квантовая алгебра, коммутационные соотношения которой получаются из (3) при R(ui - и₂) = 1 1 + h ,

Щ — U2 где V матрица задающая оператор перестановки в С^п С^П, не обладает универсальным элементом 71.

По определению, алгебра Хопфа (не обязательно квазитреугольная): (Я, /і, т/, А, б, S) - это линейное пространство обладающее: (1) Структурой алгебры (if,/і, 77), где /і : Н <8> Н —> Н обозначает оператор умножения и к]: С —> Н оператор вложения единицы. Операторы /х и 77 позволяют записать определение ассоциативной алгебры с единицей как операторные соотношения между \i и г):

11 о (/j <8) id) = fi о (id /і), /і о (77 77) = /і; (2) Структурой коалгебры (if, А, б), где А : Н -ї Н id) о Д = (id (g) А) о А, (е <8> id) о Д = (id б) о Д = id; (3) Следующее свойство согласования выполняется:

А о /j = (id г (8> id) о (/2 /і) о Д, где т(а <8> 6) = b <8) а. (4) Существует такой линейный оператор 5 : Н —» if, что: р о (5 <8> id) о А = /і о (id (8) 5) о Д = ц о _е.

Если не требовать выполнение свойства (4), то Н называется биалгеброй.

Замечательное свойство алгебр Хопфа заключается в том, что двойственное пространство (#*,A*,6*,/z*,7/*,S*) также является алгеброй Хопфа [9], где двойственные операторы определяются следующими равенствами на функционалах из Н*: A*(fg) = (/&

Квазитреугольность связана с существованием специального элемента ^кенн подчинящегося ряду условий, гарантирующих выполнение уравнения Янга-Бакстера (универсального) записываемого как равенство в Н <8> Н Н: n_l2n_lzn₂z = П₂₃П₁₃П₁₂, (4) где П = Zi К^{Р я|²⁾ и тг₂₃ = Еі і я{^1} я{²⁾.

По определению, квазитреуголъпая алгебра Хопд5а - это почти кокоммута-тивная алгебра г о Д(гс) = ПА{х)71-\ (5) такая что (А id) (тг) = 7гіз7г₂₃, (id д)(тг) = п₁₃п_г2; (б)

Из (5) и (6) автоматически следует (4).

Элементарным примером квазитреугольной алгебры Хопфа является универсальная обертывающая (U(q),1Z = 1 1), где

А (ж) = ж<8>1 + 1#, 5(ж) = -ж, є(а?) = О если х Є 0. Отображения А, б, 5 могут быть продолжены на все элементы U(q) из требования чтобы А, б были гомоморфизмами в соответствующие алгебры и S антигомоморфизмом: S(xy) == S(y)S(x), 5(1) = 1.

Теперь можно ввести понятие твиста как элемента удовлетворяющего условиям: ^i₂(Aid)(5) = «F₂₃(id

Твисты позволяют строить новые квазитреугольные алгебры Хопфа: (H,ii,r,,AdFoA,,Sj:), где Sr(x) = vS(x)v~\ v = fio(id S)(F).

4. г—матрицы, треугольные твисты и *—умножение

Классические г—матрицы без спектрального параметра г = 2_]^ri г,- являются решениями классического уравнения Янга-Бакстера: [[г, Г]] = [Гіг, Гіз] + [Гц, Г₂з] + [Гіз, Г₂₃] = О, где [ги, гіз] = Х>|^Х), rf] rf rf, [ги, r₂₃] = r₄⁽¹⁾ (8) [r<²⁾, rf] (2) rf, i,j hi

ЫЫ = ^^^] ^rf [rf\rf].

Задание структуры Пуассона-Ли на группе G приводит к появлению дополнительной операции - коскобки на алгебре Ли д = Lie(G) : билинейного функционала на двойственном пространстве $*, определяемого равенством: < 6(Х), & Ь >=< X, {d{f_lt /₂})е >, где (dfi)_e = &.

Из свойств скобки Пуассона {, } следует, что двойственное пространство д* является алгеброй Ли относительно скобки

В частном случае, когда Q полупростая алгебра Ли, 8 является кограничпым оператором:

8(Х) = [X 1 + 1 X, г] = 5^([Х, г|^1}] г|²⁾ + rf⁾ [X, г{²⁾]).

Справедливость тождества Якоби для 8* записывается как условие на 8 :

53($id)o*(X) = 0, (9) где с.р обозначает циклическую перестановку. Непосредственным вычислением для 5(Х) = [X 1 + 1 <8> X, г] убеждаемся что (9) эквивалентно свойству: ^(8 id) о 8{Х) + [Х11 + 1<8)Х<8)Ц-1<8)1Х, [[г, г]]] = 0.

Из антисимметрии коскобки, которая отражает соответствующее свойство скобки Пуассона, следует инвариантность симметричной части г : [Xl + lX,r + r₂i] = 0.

Поэтому, только антисимметричная часть г оказывает влияние на кострукту-РУ (б) ^)- Естественно считать г—матрицы антисимметричными и выделить следующие два случая: (1) Так-называемые модифицированные г—матрицы удовлетворяющие свойству: [М] Є (Л³д)» \ {0}, (10) где (Л³д)⁰ обозначает пространство инвариантных полностью антисимметричных тензоров: [Х<8>1<8>1 + 1Х<8>1 + 11Х, Л³б] = 0 (2) Антисимметричные і—матрицы: l[r,r]] = 0. (11)

Пусть q - простая алгебра Ли, тогда первое семейство кограничных коскобок можно связать с неантисимметричными решениями классического уравнения Янга-Бакстера, если мы заметим, что в случае простой алгебры Ли и тензорного оператора Казимира t: [[*, t]} Є (Л³я)*, dim(A³₀)a = 1 можно сделать соответствующий сдвиг г = Xt + r так что [[г , г ]] = 0. Таким образом, с точностью до умножения на константу г—матрицы соответствуют двум классам: (1) Неантисимметричные г—матрицы: ги + г₂\ = t, [[г, г]] = 0. (2) Антисимметричные г—матрицы:

Г21 = -Иг, [[Г, Г]] = 0.

В первом случае может быть получена полная классификация г—матриц согласно [4, 5]. Классификация основана на понятии тройки Белавина-Дрин-фельда: (Гі,Г2,т), где Гі,Г2 подмножества диаграммы Дынкина алгебры Ли д между которыми существует г изометрия, которая подчиняется условию нильпотентности: т^к(а) $. Т\ для любого корня а Є Гі и некоторого к. Пусть о будет картановская часть тензорного оператора Казимира t, тогда справедливо следующее:

Теорема 0.1 (Белавин-Дринфельд). Пусть to Є ї)<8> \) решает систему: tf + t²Q^l = t_Q, (т(а)<8>1 + 1а)(*₀) = 0, аЄГі, (12) тогда тензор а>0 а,/3>0,аур является неантисимметричной і—матрицей. Более того, всякая неантисимметричная г—матрица имеет вышеприведенную форму, для подходящего треугольного разложения g и подходящей замены базиса {Х_а}.

Антисимметричные г—матрицы не могут быть так эффективно классифицированы, их классификация сводится к классификации так-называемых квазифробениусовых подалгебр Ли в g :

Определение 0.1. Квазифробениусова подалгебра Ли f С Q - это подалгебра Ли f с невырожденной антисимметричной 2—формой В, такой что:

В{[х, y],z) + В([у, *],*) + B([z, х],у) = 0;

Подалгебра f называется фробениусовой подалгеброй Ли, если существует линейный функционал / : В(х, у) = f([x, у]).

Рассматривая В как линейный оператор: B*:f-»f*; (В*(х))(у) = В(х,у), можно показать что г — YLifa (-^*)^_1(//) является решением (11). Согласно результату Дринфельду [15], всякая антисимметричная г—матрица может быть непосредственно связана с некоторым бидифференциальным оператором позволяющему деформировать умножение в С(Л4), алгебре функций на пуассоновом многообразии на котором определено действие U(j). Новое *—умножение согласовано с пуассоновой структурой в следующем смысле: hm = {/i,/₂}, где /i*_A/₂ = ЕД^Г¹ > /0-((^)-¹ > /2) и ^ = Е^^1}^²⁾- В случае когда Л1 = G, согласно [15], можно построить такие твисты в i/(fl)[[^]], что: ^=101- -Пг-\ , где г—матрица соответствует 5 : 5{х) = [х 1 + 1 х, г].

Простейшая иллюстрация связи *—умножения и деформации при помощи твистов, может быть дана на примере умножения Мояла, когда соответствующий твист может быть найден явно. Явная формы твиста позволяет вычислить *—умножение и применить его для построения некоммутативных теорий поля, это одна из мотиваций для поиска более сложных решений уравнения Дринфельда (7). Для этого мы рассмотрим квантование Вейля и простейший случай когда Л4 = Ж² и скобка Пуассона дается своим обычным выражением _{it f\ = ?Mh.^^hEh} Ul,/2J- _{др дд др dq}-

Переход к квантовой механике осуществляется путем представления наблюдаемых алгеброй эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве %, так чтобы канонические коммутационные соотношения в пуассоновой алгебре были согласованы с коммутацией операторов: [Р, Q] = -Ш id_w. (13)

Задавшись (13) мы можем построить представление трехмерной алгебры Гейзен-берга-Ли: [{х_ъ х₂, а), (уь ?/2, Ь)] = (0,0, х\у2 ~ х₂у\) при помощи отображения ф(х\, х₂, а) = х\ Р + Х2 Q — гНа id%.

От алгебры Гейзенберга-Ли можно перейти к соответствующей группе Ли, где закон умножения определяется как //((#!, х₂,а), (г/і, г/2, Ь)) = (xi + г/_ь х₂ + г/₂, а + Ь + хгу₂), и от представления ф к представлению Ф группы Гейзенберга в гильбертовом пространстве %. Квантование Вейля сопоставляет каждой функции f(p,q) оператор построенный следующим образом:

Ф(/) = ff /К,*?)Ф(ехр(г t-P + iri-Q)) dtdr,, /(^^)=(2^) / f(p,q)exp(-i-p-iri-q) dpdq и

Ф(ехр(г * Р + * Ц Q)) = ехр(0(г, irj, 0)).

Дж. Моял [39] интерпретировал процедуру квантования Вейля как деформацию умножения в С(Ж²) удовлетворяющую свойству:

Ф(/і*/₂) = Ф(/і)-Ф(/₂), (14) где правая часть задается выражением f J J J fi(Ci,m)Mb,V2)exp(i & -Р + г щ -Q)x х ехр(г ₂ * Р + і Щ Q) d^idrjid&dfy. Используя формулу Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа: exp(Xi) ехр(Х₂) = ехр(Х! + Х₂ + Ї [Х_и Х₂]), приходим к

III АКь»/і)/2К2,%)ехр(^Кі»72 -6^)/2) х X ехр(г Р + г ті Q) dZxd'qxd&d^, где = i + ₂, V = т + »?2. /i(6, шШб, »/2) ехр(г'Й (6т/2 - 6^)/2) = _{(?У+8 ^f ^ *>#« -&»- *>} r,s=0 ^ '

Сравнивая подынтегральные выражения в обеих частях (14), получаем явное выражение для *—умножения: %) (-%) ^Mp'^q)- х І —г

Если ввести бидифференциальный оператор (К д д h д д\ то *—умножение может быть записано как (Л *п /з)(р, g) = її {Т > (/і h)) (р, д), где бидифференциальный оператор .F соответствует абелевому твисту [41].

5. Содержание диссертации

В данной диссертации рассматривается проблема построения (квантовых) твистов и их квазиклассических аналогов в пределе q —» 1, когда в качестве квантовой алгебры Хопфа Н берется квантование алгебры петель sl„[«]. Среди возможных квантований такие известные квантовые алгебры как Ян-гиан Yi^sln) и U_q($ln), имеющие непосредственное отношение к квантовым интегрируемым моделям. Кроме того, всякий твист Т в U(q) определен и для Y(g) D U(q) и ведет к деформированным Янгианам У-р(б) [28, 36].

Квантовые твисты также позволяют лучше понять квантование антисимметричных г—матриц и построить соответствующие твисты Дринфельда, которые получаются в пределе q —> 1 из квантовых, в явной форме. Таким способом нам удалось построить некоторые из обобщенных жордаповых г—матриц типа Креммера-Жерве, которые явно задаются в базисе Картана-Вейля формулой п-1 j-i—1 ^rP==z2^DP^ ^ЕР,Р+1 + 2_/ X/ ^EiJ-m+l Л Ejj_+m, (15) р=\ ip+l,p+l + -Б_р+2,р+2 Н Н ^шг)- /і fv

Известно, что некоторые антисимметричные г—матрицы могут быть связаны с вырождением модифицированных г—матриц, решений так называемого модифицированного уравнения Янга-Бакстера: [П2, Пз] + [Г12, Г2з] + [ПЗ, Г₂з] = С W, (16) где ш есть #—инвариантный элемент вдЛдЛдис^О. Для этого, следуя [21], необходимо подействовать на обе части (16) оператором Ad(exp(#) ехр(ж) ехр(ж)) (выбирая х ad—нильпотентным), и заметить, что в силу произвольности , г_т возникающее из Adexp(fa?)(r) = г + f n + f ^тг_ш, будет решением обыкновенного уравнения Янга-Бакстера.

Эту связь между различными классами г—матриц можно проследить на уровне соответствующих квантовых твистов. А именно, квазиклассические твисты можно рассматривать как предельные случаи квантовых когда q —> 1. В Главе 1 мы рассматриваем случай жордановых твистов и их q—аналогов, мы показываем, что q—аналоги могут быть естественно определены для жордановых твистов сконструированных в [22, 32] и являются кограничными твистами, то есть представимыми в форме: (WW)A{W~¹). 18

Также мы обсуждаем вычисление предела q —> 1 и его корректное определение.

Одной из мотиваций для изучения квантовых твистов было то, что многие вычислительные проблемы встречающиеся при построении твистов [32], такие как необходимость каждый раз анализировать возникающие деформированные коумножения и использовать формулу Кемпбелла-Хаусдорфа для непосредственной проверки (7), могут быть разрешены, когда мы работаем с квантовыми алгебрами вроде /g(s)[[]] вместо классических. Таким образом, квантовые твисты - это источник универсальных деформационных формул в терминологии [22]. R—матрицы и твисты могут рассматриваться с точки зрения некоммутативной геометрии. Так с матричными решениями уравнения Янга-Бакстера можно связать соответствующие пространства ковариантные относительно кодействия квантовой группы [23]. В связи с тем, что некоммутативная геометрия является также самостоятельным источником твистов в Главе 1 мы также рассматриваем вопрос о приложении q—твистов к построению q—аналога твиста встречающегося в некоммутативной геометрии А. Конна [7], который тесно связан со скобками Ранкина-Коэна для модулярных форм веса к и I. Напомним что модулярная форма веса к преобразуется под действием модулярной группы PSLii$), дискретной группы дробно-линейных преобразований, следующим образом: (/ о g)(z) = / (^) = (cz + dff(z), где g = ^±| Є PSL₂(Z).

Скобки Ранкина-Коэна могут быть получены из PSLiifi)—инвариантных псевдодифференциальных операторов. Так, согласно [10], каждой модулярной форме / веса 2к б Z+, можно поставить в соответствие инвариантный псевдодифференциальный оператор: \^п ) \ ^п ) г(п)як-п (~^к *>-* =

ILJLZ/W^k-», ( Л ₌ (_!)»*(* + х)... _{(fc +} і _ _1)/П; "=о V я У то есть такой что выполняется свойство

Умножение псевдодифференциальных операторов определяет семейство билинейных операций на множестве модулярных форм веса 2к и 21: (/і,/2)-*Лп согласно равенству U(/i)D_,(/₂) = Х]^-*-«-п(Л»), и /г_п модулярная форма веса 2к + 21 + 2п. Модулярные формы /i_n пропорциональны скобкам Ранкина-Коэна: RC„(f, д) н [/, <,]<*<> := (-1)' (" ⁺ " ~ ^ (" ⁺ ? " ') W-

Можно связать скобки Ранкина-Коэна с универсальной деформационной формулой [22] для жорданова твиста Tqz'- _{*& = е5Е(-і)'Ох*(2Г+&)"-*х""':(2Г+п~а)ь(і7)} п>0 ' к=0 (а)к := а(а+ 1) (« +Аг—1); заданного на классической подалгебре Бореля: [У, X] = X, А(Х) = X 1 + 1 X, Д(У) = У 1 + 1

Известно,[7], что подалгебра Бореля действует на пространстве модулярных форм при помощи следующих операторов: где / имеет вес к и A(z) = (2тг)¹²т7²⁴М = (2тг)¹²д П^=і(1 - Qⁿ?\ Q = e^2nz. Тогда относительно этого действия мы имеем: RCnifu /2) := (-1)* Q X^k(2Y + k)_n-_k(h)Xⁿ-\2Y + n - k)_k(f₂).

Следующее умножение ассоциативно на множестве модулярных форм: М. = Y\i>qMi, где М.1 пространство модулярных форм веса Z: a*_tb = ^2tⁿRC_n(a,b).

В качестве бесконечномерного обобщения алгебры Бореля Ь₂ в некоммутативной геометрии возникает следующая алгебра Хопфа обозначаемая %\ : \Y,X\=X, [Y,6_n] = n6_n, [Х,6_п] = 6_п+Ъ [4,(5_Z] = 0, *,/>! д(у) = уі + іу, д(<у = ^ о і +1 Si (18) Д(Х) = X 1 + 1 X + 4 У;

Если на алгебре Л определено действие Ц\ такое, что элемент 6'₂ = 6₂ — \&\ действует внутренним образом:

6'₂(а) = [П,а] [4, П] = 0; тогда, согласно [7], следующее выражение задает универсальную деформационную формулу вводящую новое умножение на Л:

,_п п _{rc = Е і El-}¹₎⁴ _{(I) ^(}^2У_+Ч"-^ ^В_«-^^2У₊^п _- ^fc_)b п>0 ^П' Ь=0

А_т+1 = S(X)A_m - mQ_R(Y - ^)Л_т__ь B_m+i = ХВ_т — mQ(Y — ^п~)В_т-і, где Qr оператор правого умножения на Q.

В частном случае когда Q централен в А, например когда ( = \${, мы получаем элемент Тем-, который как было показано в [7] является твистом :

Тем = Е '" Ё ^(^2У + *)-* її<^2У + ^п - *)* <¹⁹' n>0 k=0 ' \ >' где S{X) = -Х + SiY.

Как приложение квантового жорданового твиста, мы показываем, что существует гомоморфизм: где ^ является жордановым твистом, і позволяет связать Тем с квазиклассическом твистом Ф в ^(-5) [И]- Квантование позволяет ввести квантовый аналог i_q, который приводит к квантовой алгебре являющейся q—аналогом для %\ когда 8'₂ — 0. Соответствующие q—соотношения имеют форму: кхк~^х = q² х, kzk~^l = q² z, q²xz — zx = —tz²; ^0) A(k) = k0k, A(z) = zk + lz; (21) A(x) = xk~¹ + lx + tz - —-. (22)

1 — q^l

В Главе 2 рассматривается построение аффинных твистов, и приложение к построению аффинных версий твистов типа Креммера-Жерве в случае U_q(s\2) и U_q(sis), которые мы обозначаем как J⁷^ , затем исследуется рациональное вырождение, так-называемый янгианный предел в смысле [27, 45] и строится квантование (15) для 5Із и sU. Для этого мы конструируем гомоморфизмы ₂,з такие, что (t₂,3 Чз)№$) ^твист Д^ля ^^Фз'⁴(⁵^з,4), где Ф₃,4 расширенный жорданов твист для ?7(й1з) ^или U(sU). Окончательно, квантование Гр определяется следующей формулой: (^3 0^3)(^)-^3,4.

Квантовая алгебра Дринфельда-Джимбо Uq(o)

В данной диссертации рассматривается проблема построения (квантовых) твистов и их квазиклассических аналогов в пределе q —» 1, когда в качестве квантовой алгебры Хопфа Н берется квантование алгебры петель sl„[«]. Среди возможных квантований такие известные квантовые алгебры как Ян-гиан Yi sln) и Uq($ln), имеющие непосредственное отношение к квантовым интегрируемым моделям. Кроме того, всякий твист Т в U(Q) определен и для Y(g) D U(Q) и ведет к деформированным Янгианам У-р(б) [28, 36].

Квантовые твисты также позволяют лучше понять квантование антисимметричных г—матриц и построить соответствующие твисты Дринфельда, которые получаются в пределе q — 1 из квантовых, в явной форме. Таким способом нам удалось построить некоторые из обобщенных жордаповых

Известно, что некоторые антисимметричные г—матрицы могут быть связаны с вырождением модифицированных г—матриц, решений так называемого модифицированного уравнения Янга-Бакстера: где ш есть #—инвариантный элемент вдЛдЛдис О. Для этого, следуя [21], необходимо подействовать на обе части (16) оператором Ad(exp(#) g ехр(ж) ехр(ж)) (выбирая х ad—нильпотентным), и заметить, что в силу произвольности , гт возникающее из будет решением обыкновенного уравнения Янга-Бакстера.

Эту связь между различными классами г—матриц можно проследить на уровне соответствующих квантовых твистов. А именно, квазиклассические твисты можно рассматривать как предельные случаи квантовых когда q — 1. В Главе 1 мы рассматриваем случай жордановых твистов и их q—аналогов, мы показываем, что q—аналоги могут быть естественно определены для жордановых твистов сконструированных в [22, 32] и являются кограничными твистами, то есть представимыми в форме: Также мы обсуждаем вычисление предела q — 1 и его корректное определение.

Одной из мотиваций для изучения квантовых твистов было то, что многие вычислительные проблемы встречающиеся при построении твистов [32], такие как необходимость каждый раз анализировать возникающие деформированные коумножения и использовать формулу Кемпбелла-Хаусдорфа для непосредственной проверки (7), могут быть разрешены, когда мы работаем с квантовыми алгебрами вроде /g(s)[[]] вместо классических. Таким образом, квантовые твисты - это источник универсальных деформационных формул в терминологии [22].

R—матрицы и твисты могут рассматриваться с точки зрения некоммутативной геометрии. Так с матричными решениями уравнения Янга-Бакстера можно связать соответствующие пространства ковариантные относительно кодействия квантовой группы [23]. В связи с тем, что некоммутативная геометрия является также самостоятельным источником твистов в Главе 1 мы также рассматриваем вопрос о приложении q—твистов к построению q—аналога твиста встречающегося в некоммутативной геометрии А. Конна [7], который тесно связан со скобками Ранкина-Коэна для модулярных форм веса к и I. Напомним что модулярная форма веса к преобразуется под действием модулярной группы PSLii$), дискретной группы дробно-линейных преобразований, следующим образом:

Квазиклассические твисты и некоммутативная геометрия

В то время как методы построения квантовых твистов для неантисимметричных і—матриц соответствующих тройкам Белавина-Дринфельда вполне позволяют ответить на вопрос как построить твист определяющий универсальную ТІ—матрицу для соответствующей классической [24], в квазиклассическом случае проблема связана с тем, сможем ли мы определить соответствующую контракцию квантовой алгебры так, чтобы получить коалгебраи-ческую структуру деформированной классической универсальной обертывающей алгебры при помощи квазиклассического твиста. В случае расширенного жордапового твиста оказалось, что можно рассматривать кограничный твист вида и основное свойство J{e\) - это несингулярность 3{е\) как целого, тогда как тривиализация W сингулярна. Несингулярность J{e\) непосредственно связана со свойствами коумпожения в Uq(o), поэтому естественно смотреть на q—экспонен-циальиый анзатц, присоединенное действие которого определяет соответствующие замены базиса ведущие к контракциям квантовой структуры t/g(g), как на основой ингредиент задающий соответствующие тривиали-зации для расширенных жордановых твистов или их цепей, и исследовать в дальнейшем более общие твисты с q—экспоненциальной тривилизацией U: что гипотетически должно привести к квантованию цепей расширенных жор дановых твистов для простых алгебр Ли [1, 33]. Кроме того, как показывают вычисления для параболического твиста, q—экспоненты хорошо приспособ лены к #—экспоненциальному анзатцу для твистов соответствующих кван тованию троек Белавина-Дринфельда [24]. Кроме того, интересно провести связь q—экспоненциальной формы q—жорданового твиста и q—твиста из [37], в определении которого q—функции функции не присутствуют явно. Рас смотрим Uq(sl2), генератор еа и W — ехр?2(- еа): Квантовые аффинные твисты и их рациональный предел Рассмотрев твисты для неаффинных Uq(o), которые могут быть использованы для конструирования новых R—матриц описывающих модели q—осцилляторов и интегрируемых спиновых цепочек со спектральным параметром вводимым через процедуру бакстеризации [8], мы перейдем к твистам определенным для Uq(sln), которые представляют непосредственный интерес для конструирования анизотропных моделей, таких как деформированные XXZ цепочки, а также их рациональные пределы описывающие деформированные XXX цепочки. Беря рациональные вырождение аффинных твистов [27, 45] можно получить твисты для деформированных Янгианов, более общие чем жордановы твисты [28]. Кроме того, с точки зрения интегрируемых моделей естественно мыслить универсальную обертывающую алгебру, как подалгебру Янгиана и Uq(o) как подалгебру Uq(g): в связи с этим, интересно задаться вопросом о продолжении неаффинного твиста из Uq(g) до некоторого аффинного твиста в Uq(o) нетривиальным образом, то есть не сводящимся к простому вложению или переходу к эквивалентному. Такая точка зрения интересна тем, что позволила бы иметь индуктивную процедуру построения твистов, похожую на метод построения цепей расширенных жордановых твистов [1, 33]. Кроме того проверка уравнения Дринфельда также упрощалась бы кардинальным образом, и концептуально идея конструкции твиста при помощи аффиннизации близка к методу построения расширенных q—жордановых твистов, где выбор элемента W был необходим. При построении аффинных твистов мы задаем элемент ш Є g(-sln)[[]] и Для неаффинного твиста Т строим выражение

Аффинный твист для Uq(o)

Квантование квазиклассических твистов, определяющих универсальные 71— матрицы для расширенных жордановых и параболических г—матриц, может рассматриваться как продолжение на случай твистов связи, наблюдаемой между антисимметричными и модифицированными г—матрицами посредством контракции. Так во Введении 5 отмечалось, что обобщенные жор-дановы г—матрицы получаются при помощи контракции из модифицированных г—матриц типа Крем-мера-Жерве: и Тр задает параболический твист из [38]. Заметим, что при таком подходе аффинизация при помощи элемента ш і не была использована, и элемент Ws конструируется ad hoc. Для построения Тр нам с самого начала необходимо знать выражение для TcGzi ЧТО В ВЫСШИХ размерностях представляет большую трудность. Использование элемента 0 и неаффинного TCG% — 2 в Утверждении 10, позволило избежать непосредственного построения твиста Ted и привело естественным образом к его аффиннизированому варианту Ф, благодаря возможности вложить твист Креммера-Жерве из Uq{s\±) в Uq{s[z). Можно предположить, что в дальнейшем, найдя 0 4 Є 7д(-5І4)[М]) можно продолжить этот индуктивный процесс и от возникшего аффинно-го твиста Креммера-Жерве в Uq{sl$) перейти к неаффинному в Uq(sU) и, вложив его тождественно в Uq(sU), построить аффинный твист Креммера-Жерве используя 6J4, который предположительно должен оказаться вложением неаффинного твиста Креммера-Жерве из Uq{sl ) и так далее. Таким способом мы сможем сконструировать индуктивно все твисты Креммера-Жерве в высших размерностях при условии, если мы располагаем выражениями для шп, параллельно мы должны также получать Т . Хотя мы проследили эти закономерности вплоть до sU, мы надеемся получить явные формулы для всех шп в дальнеших публикациях. При построении квантовых твистов мы исходили из квантования Дринфельда-Джимбо Uq(g), даже пример квантования алгебры Конна-Московичи % lq приводит к подалгебре Хопфа в Uq(o). % lq можно рассмотривать и как подалгебру в q—квантовании Янгиана [45], поэтому естественно задаться вопросом какие типы алгебр Хопфа можно использовать для получения новых твистов для классических универсальных обертывающих алгебр предельным переходом их сооветствующих квантовых алгебр и твистов для них.

Чтобы дать наглядную иллюстрацию, рассмотрим абелеву алгебру Хопфа и(Ж2) : Элемент Т = ехр(А А Е) задает абелев твист, который некограничный. Однако, мы можем подобрать такое расширение C/(R2), что Т может быть получен предельным переходом из некоторого кограничного твиста Т в /(К2). Кроме того, интересно рассматривать и другие алгебры (не обязательно алгебры Хопфа) с целью реконструкции твистов из их алгебраической структуры [13]. Подводя итог, основные результаты полученные в работе могут быть сформулированы следующим образом: 1. Получены квантовые аналоги жордановых твистов для серий простых неисключительных алгебр Ли. Исследован переход к пределу в случае q - 1 в алгебрах вида /д (б) [[]]. Сконструирован q—аналог для твиста Конна-Московичи и соответствующая q—алгебра 7ilq. 2. Разработан метод построения аффинных твистов при помощи "о;—аффини-зации", метод применен к конструированию аффинных версий твистов Крем-мера-Жерве для Uq(s\2$). 3. Исследовано рациональное вырождение полученных аффинных твистов и продемонстрирована их связь с обобщенными жордановыми г—матрицами типа Креммера-Жерве.

Квантование обобщенных жордановых г—матриц

Каждый из классов г—матриц может быть связан с соответствующими классическими и квантовыми моделями, для нас главный интерес представляют рациональные и тригонометрические г—матрицы, как объекты связанные с квантованием алгебры токов д[и] или алгебры петель g[w,u-1]. Тригонометрические г—матрицы могут быть получены из так-называемых универсальных 7?.—матриц определенных для q—деформаций универсальных обертывающих алгебр - аффинных алгебр Каца-Муди.

Квантовые R—матрицы для классических тригонометрических і—матриц естественно связывать с некоторым универсальным объектом (Н, 71) - квазитреугольной алгеброй Хопфа, порождающей матричные решения (2) после ограничения элемента 71 Є Н Н на конкретное представление (д[и, и г],ру ) алгебры петель Q[U, it-1] :

Алгебры Хопфа представляют и самостоятельный интерес, не связанный с существованием универсального элемента 71, играя роль аналогичную группам классических симметрии в некоммутативной геометрии. Например, Янгиан Y(sln) - квантовая алгебра, коммутационные соотношения которой получаются из (3) при билинейного функционала на двойственном пространстве $ , определяемого равенством: В первом случае может быть получена полная классификация г—матриц согласно [4, 5]. Классификация основана на понятии тройки Белавина-Дрин-фельда: (Гі,Г2,т), где Гі,Г2 подмножества диаграммы Дынкина алгебры Ли д между которыми существует г изометрия, которая подчиняется условию нильпотентности: тк(а) $. Т\ для любого корня а Є Гі и некоторого к. Пусть о будет картановская часть тензорного оператора Казимира t, тогда справедливо следующее: является неантисимметричной і—матрицей. Более того, всякая неантисимметричная г—матрица имеет вышеприведенную форму, для подходящего треугольного разложения g и подходящей замены базиса {Ха}.

Антисимметричные г—матрицы не могут быть так эффективно классифицированы, их классификация сводится к классификации так-называемых квазифробениусовых подалгебр Ли в g : можно показать что г — YLifa (- )_1(//) является решением (11). Согласно результату Дринфельду [15], всякая антисимметричная г—матрица может быть непосредственно связана с некоторым бидифференциальным оператором позволяющему деформировать умножение в С(Л4), алгебре функций на пуассоновом многообразии на котором определено действие U(j). Новое —умножение согласовано с пуассоновой структурой в следующем смысле.

Похожие диссертации на Методы построения квантовых твистов

Построение ионной оптики третьего порядка методом функций ГринаАндреев, Валерий Вадимович

Построение точных решений некоторых двумерных интегрируемых нелинейных уравнений методом Z-одеванияФормусатик Игорь Борисович

Построение точных решений с функциональными параметрами (2 + 1)-мерных нелинейных уравнений методом -одеванияТоповский, Антон Валерьевич