Введение к работе
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности
В настоящее время вопросам математического описания распространения света в нелинейных средах уделяется большое внимание, в частности, в связи с необходимостью совершенствования оптических систем передачи и обработки информации. Интерес к нелинейным оптическим системам начал расти в первой половине 20 века, и их свойства были описаны во многих трудах, например [1, 2]. Такие системы обладают существенным преимуществом над электронными аналогами, поскольку они позволяют существенно повысить скорость передачи данных. Современное развитие технологий еще не позволяет осуществлять активное управление оптическими сигналами без помощи электронных устройств. Это делает необходимым неоднократное преобразование оптического сигнала в электрический и обратно. Электрические контроллеры снижают скорость передачи данных на несколько порядков, поэтому возникла идея разработки их оптических аналогов, обладающих большим быстродействием. В качестве таких контроллеров могут выступать оптические системы с областями усиления и потерь, которые распределены в пространстве определенным симметричным образом. Возникает необходимость теоретического анализа подобных систем.
Из квантовой механики известно, что все наблюдаемые параметры системы должны описываться вещественными величинами. Однако недавно было показано, что физические системы, описываемые неэрмитовыми гамильтонианами, могут обладать полностью вещественным спектром собственных значений, если они удовлетворяют условию VT- симметрии [3]. В работе [4] было показано, что необходимым условием VT- симметрии системы является следующее свойство потенциала, связанного с данной системой: V(x) = V*(—x). В оптике роль такого потенциала может играть комплексный показатель
преломления. Таким образом, фотонные структуры с областями усиления и потерь, расположенными специальным образом, могут обладать свойством VT- симметрии, что дает принципиально новые возможности управления оптическими импульсами по сравнению с консервативными структурами [5]. Уникальные отличительные особенности VT- симметричных систем обусловлены нетривиальной интерференцией волн и возможностью переключения режима от устойчивого к неустойчивому, связанному с нарушением VT- симметрии [6, 7].
Простейшим VT- симметричным оптическим элементом является пара волноводов с потерями в одном из них и усилением в другом. Такой элемент принято называть "РТ-каплером. Недавно опубликованные результаты [8] показывают, что РТ-каплеры могут использоваться для усиления линейных и нелинейных волн в оптических системах, в качестве переключателей режимов системы, а так же в качестве фильтров сигналов. Дизайн и теоретический анализ свойств оптических систем, включающих VT каплеры или состоящих из них, является актуальной задачей, решение которой поможет осуществить переход к технологиям хранения и передачи информации, использующим только оптические системы, и обладающим на порядки большим быстродействием, чем электронные системы.
Целью диссертационной работы являлось теоретическое изучение распространения линейных и нелинейных оптических сигналов в системах, содержащих VT- каплеры или состоящих из них, и выяснение перспектив использования таких систем для фильтрации, усиления или ослабления сигналов. Для достижения данной цели решались следующие задачи:
-
Разработка математических моделей, описывающих распространение световых сигналов в системах оптических волноводов с VT- каплерами.
-
Исследование устойчивости полученных математических моделей по
отношению к линейным волнам, иными словами, определение порога нарушения VT- симметрии.
-
Изучение рассеяния линейных волн на дефектах периодичности систем оптических волноводов с VT- каплерами. Построение линейных решений, локализованных на дефектах.
-
Математическое описание нелинейных мод в рассматриваемых системах. Изучение устойчивости, определение порога нарушения "РТ-симметрии.
-
Численное исследование рассеяния оптических солитонов друг на друге и на дефектах периодичности рассматриваемых систем.
Методы исследования. Для линейных систем использовались аналитические методы исследования. При анализе устойчивости систем решались задачи на нахождение собственных значений и собственных векторов соответствующей спектральной задачи.
Для систем, описываемых дискретными нелинейными уравнениями Шредингера, аналитическими методами были построены приближенные солитон-ные решения, проведен анализ устойчивости некоторых нелинейных мод. Численные методы применялись для изучения распространения и взаимодействия волн солитонного типа. Расчеты проводились с помощью неявной, безусловно устойчивой схемы Кранка-Николсона четвертого порядка.
Научная новизна
В работе впервые предложен и проанализирован ряд оптических систем, включающих VT- каплеры, описываемых системой дискретных нелинейных уравнений Шредингера. Значительным элементом новизны данной работы является рассмотрение дискретных нелинейных оптических систем, в то время как в большинстве опубликованных к настоящему времени работ изучались континуальные VT- симметричные модели.
Для рассмотренных систем показана возможность гибкого управления
распространением света. В частности, продемонстрировано, что в оптических системах с VT- каплерами можно добиться усиления или ослабления световых сигналов. Показано, что дефекты периодичности рассматриваемых дискретных систем могут быть использованы для фильтрации сигналов, а также для переключения режимов системы.
Обнаружены новые эффекты, не свойственные консервативным оптическим системам, например, выявлен нелокальный характер влияния типа граничных условий на устойчивостьсистемы, а так же описано нетривиальное рассеяние волн на дефекте типа доменной стенки.
Практическая значимость
К настоящему моменту экспериментально были изучены лишь несколько линейных VT- симметричных моделей. В тоже время, при распространении оптических сигналов большой интенсивности начинают проявляться эффекты нелинейности в данных средах, связанные с зависимостью показателя преломления среды от интенсивности светового сигнала. Поэтому теоретическое исследование нелинейных VT- симметричных оптических систем является важным шагом, предваряющим постановку соответствующих экспериментов. Результаты данного диссертационного исследования могут быть использованы при разработке VT- симметричных оптических контроллеров, которые заменят существующие электронные аналоги, что позволит повысить скорость передачи данных на несколько порядков.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
-
Дискретные нелинейные модели, описывающие распространение оптических сигналов в системах волноводов с VT- каплерами.
-
Результаты моделирования рассеяния линейных и нелинейных волн на дефекте, представляющем собой "РТ-каплер, внедренный в массив кон-
сервативных оптических волноводов.
-
Результаты исследования влияния VT- каплера, внедренного в массив консервативных оптических волноводов, на устойчивость системы по отношению к блоховским волнам.
-
Результаты изучения рассеяния линейных волн на дефекте в виде доменной стенки в модели взаимосвязанных VT- каплеров.
-
Построение и анализ приближенных решений, описывающих локализованные нелинейные моды, распространяющиеся в цепочке VT- каплеров. Изучение взаимодействия солитонных решений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: CLEO/Europe EQEC Conference (2011, Munich); International workshop "Nonlinear Photonics: Theory, Materials, Applications" (Saint-Petersburg 2011); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании"(Уфа, 2011); "Дни дифракции 2012"(Санкт-Петербург 2012); Международная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании "(Уфа, 2012); International workshop "Tacona photonics" (2012, Bad Honnef, Germany); МЕТА 2013, the 4th International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics (2013, Sharjah, Emirates).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них б статей в журналах из списка ВАК и 4 тезиса докладов конференций.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Все численные эксперименты были проведены лично автором,
также как и большинство аналитических рассуждений. Также автор принимал непосредственное участие в постановке задач и обсуждении результатов исследования. Подготовка публикаций проводилась совместно с соавторами, причем, вклад диссертанта был определяющим для большинства из них. Все представленные в диссертации результаты получены автором в сотрудничестве с соавторами опубликованных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, трех основных глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 125 страниц, включая 43 рисунка. Библиография включает 101 наименование.
