Содержание к диссертации
Введение 4
Обзор литературы 4
Цели исследований 7
Краткое содержание 7
Актуальность 13
Научная новизна 15
Положения, выносимые назащиту 16
Список публикаций 17
1 Гомогенизация слоистых систем 19
1. 1 Обзор литературы 19
1. 2 Постановка задачи 23
1. 3 Периодическая среда 24
Волноводный метод определения seff и Heff 24
Резонаторный метод определения е„ и /л~ 37
Определение эффективных параметров
методом теории эффективной среды 38
1. 4 Случайная среда 41
1. 5 Аналитическое решение задачи гомогенизации
для периодической среды 47
Заключение к главе 1 52
2 Зонная теория локализации электромагнитных волн 55
2. 1 Обзор литературы по локализации 55
2. 2 Постановка задачи 72
2. 3 Свойства Г-матриц и дисперсионное уравнение 74
2. 4 Ассоциированная зонная структура
неупорядоченных систем у о
Длина локализации 80
Эволюция "запрещенных" зон
при усложнении периода о-з
Локализованные состояния 87
2. 5 Брэгговское отражение как механизм
локализации волн on
Заключение к главе 2 96
3 Частотная зависимость длины локализации 97
3. 1 Постановка задачи 97
3. 2 Частотные свойства длины локализации для
двухкомпонентной системы 101
3. 3 Частотные свойства длины локализации для
N-компонентной системы 102
3. 4 Частотные свойства длины локализации для
систем с непрерывным распределением параметров 105
Заключение к главе 3 107
Заключение 108
Литература 111
Введение к работе
Обзор литературы
Задачи, рассматриваемые в диссертации, касаются проблемы распространения электромагнитных волн в неоднородных средах. Общепризнанно, что в случае, когда масштаб неоднородности меньше длины волны, распространение электромагнитных волн можно описывать при помощи материальных уравнений Максвелла, в которые входят эффективные параметры [1]. Нахождение эффективных параметров, так называемая теория гомогенизации, обычно сводится к получению формул смешения, связывающих свойства среды и эффективные параметры. В подавляющем числе случаев рассматривается потенциальное взаимодействие полей с неоднородностями (статическое или квазистатическое приближение). Однако для удовлетворения запросов современной техники необходимо рассматривать случаи непотенциального взаимодействия (искусственные магнетики, киральные материалы, среды Веселаго, и т.п.). Данная диссертация посвящена исследованию влиянию эффектов непотенциальности (интерференции) на макроскопические свойства неоднородных (слоистых) сред.
Существенной особенностью рассматриваемой проблемы, отличающей ее от статики, где поля всегда потенциальны, является ее многомасштабность. Если в статике мы имеем только масштаб неоднородности \ и размер системы L, и все величины могут зависеть от их безразмерного отношения, то в случае переменных полей, появляется дополнительный масштаб - длина волны Я. Поведение системы начинает зависеть от соотношения между этими тремя параметрами.
Рассмотрим принятую в литературе картину эволюции поведения электромагнитных волн в неупорядоченной системе при увеличении ее размера L. Ключевым моментом здесь является результат, полученный для случая L = oo в работах Татарского [2, 3], Филькинберга [4] и Бреховских [5], где было показано, что даже в случае, если в системе нет диссипации энергии, эффективная диэлектрическая проницаемость обладает мнимой частью (^г) (которая обратно пропорциональна Я-3). Мнимая часть диэлектрической проницаемости описывает перекачку энергии из когерентной составляющей волны в диффузионную. До тех пор пока
ЫХ<\1\тЛб^, преобладает когерентная составляющая и композит можно описывать, как однородный, с помощью эффективных параметров.
В области, где L/Z>\/lmJe^ когерентная часть электромагнитной волны становиться меньше диффузионной составляющей и описание распространения волн материальными уравнениями Максвелла с какими-либо эффективными материальными параметрами становиться невозможным. В этой области распространение энергии электромагнитного поля описывается уравнением диффузии. Из-за поправок, связанных с обратным когерентным рассеянием, коэффициент диффузии (D), являясь мезоскопический величиной, уменьшается с ростом размера системы и в ряде случаев может стремиться к нулю [6]. Это явление принято связывать с андерсоновской локализацией [6]. При локализации электромагнитное поле, распространяясь в случайной системе, экспоненциально ослабляется. Характерный масштаб этого экспоненциального затухания называется длиной локализации Lloc [6].
Хотя вышеописанная картина общепринята, она обладает внутренним противоречием: она хороша для 2-х и 3-х мерных систем, но ее трудно применить к одномерным (слоистым) системам, где сложно различать когерентную и диффузную составляющие излучения (в пределах одного слоя поле всегда когерентно). Более того, как будет показано далее, подход Татарского (то есть усреднение поля по ансамблю) в ряде случаев дает принципиально неверный результат. Тем не менее, именно для одномерного случая, получены основные математически строгие результаты, приведшие к формированию этой картины [7, 8].
Данная диссертация посвящена изучению взаимодействия электромагнитного поля с 1-мерной неупорядоченной системой и построению непротиворечивой физической картины явлений.
Исторически сложилось, что двумя основными эффектами в композитных средах (гомогенизацией и локализацией) занимались различные не пересекающиеся научные коллективы. Это связанно с тем, что эффект локализации пришел в электродинамику из квантовой механики, в то время как задача гомогенизации (пришедшая в электродинамику из теории упругости) существовала в электродинамике задолго до открытия андерсоновской локализации. Таким образом, задача локализация и задача гомогенизация имеют различные предыстории. По этой причине Глава, посвященная гомогенизации, и Главы, посвященные локализации, будут начинаться с собственного введения и обзора литературы.
В качестве реализации одномерных сред в диссертации рассмотрены слоистые системы, описываемые локальными значениями диэлектрической проницаемости. Предполагается, также, что волновой вектор перпендикулярен слоям (нормальное падение). Для упрощения изложения и приводимых формул в диссертации будут рассматриваться преимущественно немагнитные ингредиенты, однако результаты, приведенные в работе, абсолютно верны и для случая наличия в системе локальных //, отличных от единицы.
Цели исследований
Целями данной диссертации являются: во-первых, теоретическое исследование возможности гомогенизации уравнений Максвелла для одномерных сред, как случайных, так и периодических; во вторых, выяснение механизма возникновения локализации и построение физической картины локализации; в третьих, исследование существования (выяснение необходимых и достаточных условий) высокочастотного предела длины локализации
Краткое содержание
Первая глава посвящена теоретическому исследованию гомогенизации уравнений Максвелла для одномерных сред в длинноволновом приближении, когда период или корреляционная длина много меньше длины волны. В случае неупорядоченных сред вторым условием, принятым в первой главе, является малость размера системы по сравнению с длинной локализации.
В данной главе была снята идеализация бесконечности системы и рассмотрены конечные системы. В ходе численного эксперимента рассмотрены различные методы определения эффективных параметров: волноводный, резонаторный и метод эффективной среды.
По отношению к изменению направления падения волны на противоположное, для периодической системы, существует два принципиально разных случая: количество слоев четно (целое число периодов, система несимметрична); количество слоев нечетно (полу целое число периодов, система симметрична).
В случае, когда число слоев четно, симметрия задачи не позволяет корректно ввести эффективные параметры, и получаемые в ходе численного эксперимента значения зависят от размера системы. При этом эффективный показатель преломления стремиться к рытовскому значению при увеличении размера системы (но на любой конечной толщине имеет отличную от нуля мнимую часть), а эффективный адмитанс осциллирует с периодом полдлины волны. Эффективные материальные параметры, будучи функциями, как эффективного показателя преломления, так и адмитанса, проявляя комбинированное поведение, не стремятся к какому либо пределу при увеличении размера системы.
В случае, когда число слоев нечетно, эффективный показатель преломления действителен и стремится к рытовскому значению. Эффективный адмитанс также действителен, но в отличие от показателя преломления, испытывает периодические всплески различной амплитуды. Амплитуда всплесков не затухает с ростом толщины системы. Следствием сказанного является то, что эффективные материальные параметры могут сколь угодно отличаться от рытовского решения.
Если возможно локальное поглощение энергии, величина пиков эффективного адмитанса, которые наблюдались в случае нечетного числа слоев, уменьшается с толщиной образца, а он сам стремится к некоторому значению отличному от рытовского. Предельное значение достигается на толщине, когда образец становится непрозрачным, и эффективный адмитанс становится равным входному адмитансу.
Для случайных систем численный эксперимент показал, что показатель преломления самоусредняется и стремится к некому пределу с ростом размера системы. Характеристический адмитанс, и, как следствие, эффективные параметры не самоусредняются, и их значения при любом способе усреднения имеют неограниченный разброс при изменении толщины образца.
В рамках теории возмущения результаты численного эксперимента были подтверждены. Показано, что возможность введения эффективных параметров связана с симметрией Г-матрицы. В частности симметрия Г-матрицы не позволяет ввести эффективные параметры для четного числа слоев, что провидит к зависимости эффективных параметров от метода измерения.
Резюмируя полученные выше результаты, можно сказать, что введение эффективных параметров для описания одномерных сред возможно только в квазистатическом пределе, когда работают статические формулы смешения.
Вторая глава посвящена исследованию локализации электромагнитных волн в одномерных системах. Необходимо отметить, что электромагнитные поля - идеальный объект для изучения локализации Андерсона. В электронных системах в силу кулоновского взаимодействия, его практически невозможно отделить от перехода Мотта-Хаббарда.
Для упорядоченных систем физический механизм возникновения локализации (запрещенных зон) хорошо известен - это брэгговское отражение. Для неупорядоченных систем точные математические результаты, основанные на теореме Фурстенберга и носящие характер "теорем существования", предсказывают полную локализацию волн на всех частотах. К сожалению, формальный характер этих рассуждений делает их мало пригодными при разработке прямых экспериментов по наблюдению локализации электромагнитных волн.
Явление локализации электромагнитных волн описано на привычном в физике твердого тела языке зонной теории. Введено понятие ассоциированной зонной структуры неупорядоченной системы, показано, что при увеличении размера системы происходит тотальный рост запрещенных зон, отождествляемый нами с локализацией электромагнитных волн.
Для случайных, а тем более для конечных, систем трансляционная инвариантность отсутствует, поэтому непосредственное построение зонной структуры затруднено. В диссертации введено понятие ассоциированной зонной структуры, которая является зонной структурой сверхрешетки, где конечный образец случайной системы выступает в качестве периода.
Рассмотрена эволюция зонной структуры при усложнении периода. При фиксированной толщине каждого слоя усложнение периода неизбежно ведет к увеличению его толщины. Формальное увеличение периода путем объединения одинаковых ячеек, конечно же, не вносит изменения в зонную картину. Показано, что после объединения соседних ячеек в новую, большую ячейку при нарушении в ней порядка слоев, возникают дополнительные запрещенные зоны.
С ростом числа запрещенных зон происходит их сужение, поэтому нельзя просто отождествить локализацию с увеличением числа запрещенных зон. Необходимо рассмотреть меру, занимаемую запрещенными зонами. В численном эксперименте удобнее следить за поведением меры зон прозрачности. В ходе численного эксперимента обнаружено, что при увеличении толщины случайной реализации, мера зон прозрачности стремиться к нулю. Найден закон этого стремления.
Ассоциированная зонная структура обладает счетным числом бесконечно узких разрешенных зон, причем нами показано, что групповая скорость в разрешенной зоне экспоненциально убывает с ростом толщины системы. Таким образом, разрешенные состояния не могут переносить энергию.
Появление запрещенных зон обусловлено брэгговским отражением. Так как мы отождествляем локализацию электромагнитных волн с глобальным ростом запрещенных зон, то естественно предположить, что именно брэгговское отражение является механизмом, обеспечивающим локализацию. Остается вопрос: от чего происходит это брэгговское отражение, если в системе нет периода?
При детальном рассмотрении распределения поля в неупорядоченной системе можно заметить, что есть участки, где поле спадает очень резко, в оставшихся областях амплитуда поля почти не меняется. В среднем наблюдается экспоненциальное убывание. Расчеты показывают, что участки убывания поля, которые мы будем называть брэгговскими отражателями, имеют Г-матрицы со следом по модулю превосходящим 2 и, следовательно, обладают мнимым показателем преломления.
В ходе численного моделирования найдена реализация случайной системы не содержащая ни одного брэгговского отражателя. Оказывается, что волна в такой системе не локализована, примечательно, что известные системы с ближними и дальними корреляциями, демонстрирующие делокализацию волн не содержат брэгговских отражателей.
Для получения репрезентативных результатов мы рассмотрели алгоритм удаления брэгговских отражателей из произвольной случайной системы. Численный эксперимент показал, что удаление брэгговских отражателей из системы приводит к резкому росту длины локализации. Иными словами, в отсутствии брэгговских отражателей локализации электромагнитных волн нет, то есть наличие брэгговских отражателей необходимо для возникновения локализации.
Резюмируя полученные данные можно сказать, что локализация электромагнитных волн обусловлена эффектом брэгговского отражения и может быть описана как тотальный рост меры запрещенных зон. Таким образом, локализация в одномерной неупорядоченной системе, с нашей точки зрения, означает, что частоты либо принадлежат к запрещенным зонам либо, соответствуют состояниям с нулевой групповой скоростью.
Третья глава посвящена исследованию высокочастотного предела длины локализации (условиям теоремы Джоноса-Хуберда-Таулесса). Показано, что многообразие поведения зависимости длины локализации от частоты в одномерных системах связано с нарушением гипотезы скейлинга. Что связанно с появлением иной, помимо длины волны, характерной длины. В качестве таковой может выступать, например, средняя толщина слоя.
Оказывается, что принципиальным является число значений, которые может принимать диэлектрическая проницаемость. Следует различать системы, где это число конечно и системы, где множество значений имеет мощность континуума.
Простейшим случаем случайной системы первого класса является бинарная система, набранная из двух различных типов слоев. Для бинарной системы наше численное моделирование указывает на отсутствие высокочастотного предела длины локализации. По индукции показано, что для любой, конечно-компонентной, смеси ке существует высокочастотного предел длины локализации.
Рассмотрим бесконечно компонентную систему. Г-матрица отдельного слоя определяется оптическим путем по слою и импедансом слоя. Т. к. Г-матрица всего образца есть произведение Г-матриц, то она и все величины, полученные на основе усреднения, ее элементов определяются распределениями величин адмитанса и оптических путей отдельных слоев. Заметим, что от частоты зависит только оптическая толщина слоя, причем эта зависимость одинакова для всех слоев (мы пренебрегаем частотной дисперсией материальных параметров ингредиентов). Зная функцию распределения на какой-либо частоте можно построить ее для любой частоты. При увеличении частоты максимум функции распределения оптических путей сдвигается в область больших значений, а сама функция распределения в силу нормировки расплывается. Отметим, что изменение оптического пути на І7Г не меняет Г-матрицы, поэтому важно лишь распределение оптических путей по модулю 2ж (редуцированное распределение в область [0,2л-]). Следствием сказанного является стремление редуцированной функции распределения оптических путей к константе, не зависящей от распределения значений импеданса. Таким образом, для бесконечно-компонентных смесей существует высокочастотный предел длины локализации.
Актуальность
В связи с возросшим количеством приложений, в последнее время особой интерес вызывают среды, в которых взаимодействие поля с элементами, образующим среду (инородными включениями в матрице, ячейками фотонного кристалла, молекулами и т.д.) не может быть описано в рамках только квазистатического приближения. Однако нет ясности относительно возможности описания различных сред эффективными параметрами и корректности учета в материальных параметрах пространственной и временной дисперсии.
Интерес, вызванный к таким средам (фотонными кристаллами, нанокомпозитами, лазерами на случайных структурах, и т.д.), порожден с одной стороны новой физикой, привносимой непотенциальным характером полей, и проявляющейся в интерференционных и резонансных явлениях (Андерсоновская локализация света, аномальное пропускание света при плазмонном резонансе, возможность наблюдения нелинейных эффектов за счет возникновения гигантских флуктуации поля, возникновение запрещенных зон в фотонных кристаллах и т.д.) с другой стороны возможностью создания новых приборов и устройств, использующих уникальные свойства таких сред.
С фундаментальной точки зрения оптические системы являются идеальными для изучения таких чисто интерференционных явлений как андерсоновская локализация. Действительно в широких пределах интенсивности можно пренебречь влиянием излучения на систему существующих уровней, что в силу кулоновского взаимодействия электронов оказывается невозможным. Причем несмотря на открытие андерсоновской локализации для неупорядоченных электронных систем еще в 50-х годах прошлого века и существенное упрощение исследование этого эффекта в оптических системах, до сих пор не найден механизм возникновения локализации.
В то же известен время механизм локализации в упорядоченных системах - экспоненциального затухания падающей волны в запрещенной зоне и экспоненциального затухания собственного состояния в кристалле с дефект модой известен — это брэгговское отражение.
Указанные выше эффекты (гомогенизации и локализации) вызывают значительный интерес, однако, как правило, в литературе они рассматриваются по отдельности, вне связи друг с другом. Особенность подхода, предлагаемого в настоящей работе, является рассмотрение такой связи.
Данная диссертация посвящена изучению взаимодействия электромагнитного поля с 1-мерной неупорядоченной системой и построению физической интерпретации известных строгих математических теорем.
Научная новизна
1. Впервые показано, что при описании материальных параметров слоистых сред нельзя учесть эффекты запаздывания на масштабе слоя (даже в длинноволновом пределе). Иными словами учет пространственной дисперсии при расчете материальных параметров (связанной с неоднородностями масштаба толщины слоя или более) для слоистых материалов является превышением точности. Путем компьютерного моделирования и аналитически показано, что попытка введения эффективных параметров приводит к тому, что они зависят от размера системы и разброс их значений для разных L может быть сколь угодно большим.
2. Построена зонная теория локализации света в одномерных неупорядоченных системах. Впервые показано, что локализация обусловлена эффектом брэгговского отражения, а вовсе не эффектом когерентного обратного рассеяния [6] или рандомизацией фазы [9, 10] , и может быть описана как тотальный рост меры ассоциированных запрещенных зон. Локализованные состояния в бесконечной неупорядоченной системе соответствуют разрешенным состояниям ассоциированной зонной структуры, имеющим меру ноль и характеризующихся нулевой групповой скоростью. Таким образом, локализация означает, что частоты либо принадлежат к запрещенным зонам либо, соответствуют состояниям с нулевой групповой скоростью. Показано, что эффект локализации обусловлен случайной организацией в системе специфических частей — брэгговких отражателей.
3. Впервые найдены необходимые и достаточные условия существования высокочастотного предела (теорема Хуберда-Джоноса-Таулеса [6]) длины локализации в случайной одномерной слоистой среде. Показано, что высокочастотный предел существует лишь в системах, где диэлектрическая проницаемость может принимать любые значения из какого-либо интервала.
Положения, выносимые на защиту
При описании материальных параметров слоистых сред нельзя учесть эффекты запаздывания на масштабе слоя (даже в длинноволновом пределе), то есть вне квазистатического приближения слоистые системы не могут быть адекватно описаны в рамках seff и д^.
Локализация электромагнитных волн (как в упорядоченных, так и в неупорядоченных слоистых системах) обусловлена эффектом брэгговского отражения.
Локализация может быть описана как тотальный рост меры ассоциированных запрещенных зон. Локализованные состояния в бесконечной неупорядоченной системе соответствуют разрешенным состояниям ассоциированной зонной структуры, имеющим меру ноль, и характеризующихся нулевой групповой скоростью.
Эффект локализации обусловлен случайной организацией в системе специфических частей - брэгговких отражателей.
Высокочастотный предел длины локализации существует тогда и только тогда, когда в случайной системе существует непрерывный набор оптических путей (когда мера дискретной части функции распределения оптических путей равна нулю).
Список публикаций
Виноградов А. П., Мерзликин А. М. ДАН 281, стр. 1 (2001)
Виноградов. А. П., Мерзликин А. М. "К вопросу о гомогенизации одномерных систем" ЖЭТФ 121 вып. 3, стр. 565-572 (2002) Vinogradov А. P., Merzlikin А. М. "On electrodynamics of one-dimensional system beyond homogenization approximation" in "Advanced in Metamaterials" ed. By A. Sikhvola and M. Zouhdi, NATO BOOK series, Kluwer Academic Publishers Dordrecht 2002, p.341-361. Vinogradov A. P., Merzlikin A. M. "Electromagnetic properties of super-lattice in the long wavelength regime" SPIE Proc. v. 4806 p. 307-316, Seatlle USA, 2002 Vinogradov A. P., Merzlikin A. M. Book of Abstracts of the International Conference ETOPIM 6, "The frequency dependence of the localization length in one-dimensional system" p. 180 Snowbird Utha, July 15-19, 2002, University of Utha, Salt Lake City, UT, USA, 2002
6. Vinogradov A.P., Merzlikin A. M. Electromagnetic Properties of Superlattice in the Long Wavelength Regime Proc. Of PIERS 2001, July 18-22, 2001, Osaka, Japan
Принято в печать в Physica В: Vinogradov А. P., Merzlikin A. M. «Frequency dependence of localization length of an electromagnetic wave in the one-dimensional system»
Находиться на рецензии в Phys. Rev. E Vinogradov A. P., Merzlikin «Localization of electromagnetic waves in an one-dimensional system»
Апробация Результаты докладывались на международных конференциях и на семинарах ИТПЭ, Общемосковском радио семинаре (ИРЭ-IEEE), на семинарах теоретических отделов ИВТАН и Физического института им. Лебедева, Института Кристаллографии, Курчатовского института, Хельсинского технологического университета.
