Введение к работе
В диссертации развивается новое (траекторно-когерентноэ) направление квазиклассического подхода в квантовой теории. В ражая зтого направления построены асимптотические pei«e-ния конкретных- квачтовомеханических эволюционных уравнений-и реализована строгая процедура получения соответствуших классических уравнений. Предложено описание квантовой системы, альтернативное уравнению Шредингера. Показано, что квазиклассическоэ ' приближение в квантовой механике эквивалентно (в смысла вычисления средних значений наблюдаемых) замене уравнения Шредикгера конечной заькнутой системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
АКТУАЛЬНОСТЬ. ТЕМЫ. Метод построения квазиклассических асимптотик является одним из 'наиболее мощных, а зачастую и единственным методом исследования широкого класса задач,-для который, как правило, невозможно построение явных формул для точных решений.
Математическая сторона квазиклассического подхода в кванто-зоя механике состоит в том* . что рсновные уравнения теории [уравнение їііредингера, Дирака и т.п.) могут быть рассмотрены tax уравнения с малым параметром п (формально .пропорциональным постоянной Планка Ь ) и, следовательно, их решения Можно іскать з виде разложений по этому параметру. 3 связи с зтам в сонкретных задачах долиен быть проведен анализ и найдена рб-іасть значений параметров, для которых квазиклассическое причинение корректно, т.е. безразмерный параметр разложения мал.
Другой взгляд на квазиклассическое- приближение» лредстазля-
щийся' более глубоким и плодотворным,. состоит в том, что тре-
іуется не только.искать приближенные решения кзантовомехани-
іеских задач, но и устанавливать физическое соответствие
эезультатов квантовой и классической механик. Именно этот
юдход, включающий" построение асимптотик как существенную
іасть, развивается в диссертации.
_ 4 -
Іак. например, решение одной мз принципиальных проблем соответствия результатов квантовой м классической механики для заряда во внешнем электромагнитном поле - проблемы вывода классических уравнений движения из уравнений движения для квентово-механичэскик средник в пределе ПРИ Ь -»0 принято связывать с существованием нормированных динамических состояний квантовой систему в Форме валковък пасетов, сосредоточенных б окрестности полохання классической частицы. Естественно ожидать, что такие состояний можно построить в квазиклассическом приближении, если потребовать чтобы Фаза волновой Функции имела, в отличие от стандартных 8КБ асимптотик, неотри-цательнув мнимую часть, обрааажіїуися в нуль на классической траектории. Построение такого сорта квазиклассических асимптотик дае'т возможность продвинуться в зтой старой проблеме. поставленной по-существу еще П.ЭренФестом для нерелятавистс-кой квантовой механики, и решить ее в общем случае - для произвольного внешнего поля, причем,как для. нерелятивкстскоя, так и для релятивистской частицы с учетом ее спина (изоспи-на). При этом открывается возможность расширенной трактов.ки самой классики как замкнутой система обыкновенным дифференциальных уравнения (ОДУ) относительно квантово-механических средних набора наблюдаемых, и получения.из квантовой механики классических уравнения для квантовых средних наблюдаемых, не имещих классического аналога (например, спин или изоспин частицы). Указанный подход позволяет получить (В.Г. Багров. В.В. Белов) уравнения двикекия спина для произвольных электромагнитных полей и строго обосновать, тот йакт, что в спиновый уравнениях 'электромагнитные поля следует брать в точках классической траектории точечного заряда. Другой подход для получения квазиклассических аналогов уравнения БИТ из уравнений Гейзенберга, основанный на собственновременном представлении уравнения Дирака использовался в работах В;А. Бордови-цина, И.М. Тернова. Проблема получения замкнутой системы ОДУ относительно квантовых средних особенно актуальна при рассмотрении квантовых теорий в неабелевых калибровочных полях.
где подчас не ясно, что понимать пол классикой, и поэтому сана постановка вопроса о соответствии квантовой теории классике является проблематичной. Например, такая ситуация имеет место в квантовой механике релятивистской частицы с изотопическим спином во внешнем неабелевом калибровочном поле с группой SU(2), где к настоящему времени нельзя считать установленной окончательно саму концепцию классического описания неабелева заряда. Эта проблема, начиная с работ Вонга, интенсивно обсуждается и . в настоящее время С В. Дрешлер, Г. Ародц, В.Хейни, А.И.Алексеев, Б.А.Арбузов. В.Г.Багров, А.С.Вшившв. Р. Монтгомери).
Следует отметить также, что решения указанного вида для уравнения Шредингера со скалярным потенциалом строились в работам В.М.Бабича, Ю.П.Данилова, Г. Хагедорка, Е.Хеллера, М. Ни-ето. Для произвольных (в том числе и релятивистский гамильтонианов) во внешнем электромагнитном поле разработан и реализован общий ыетод построения квазиклассичэских асимптотик (В.Г.Багров, В.В.Белов. И.М.Тернов. А.Г.Караваев, А.Ю.Трифонов), основанный на теории.комплексного ростка В.П.Маслова. Построенные этим столом волновые Функции получили' название "Кваэиклассические траекторно-когерентные состояния СКТКС). В случае квадратичных гамильтонианов КТКС являются точными решениями квантовой задачи и совпадают с (сжатыми) когерентными состояниями.
ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является развитие методов построения квазиклассических асимптотик с комплексными Фазами для ' динамических квантовых систем и их применение к решению конкретных Физический задач и проблем, в частности проблемы получения классических уравнений движения из квантовой теории.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. 1. Реализован общий метод построения динамических асимптотических решений уравнения Шредингера (в Форме'волновых пакетов, локализованных в окрестности классической траектории
частицы в Фазовом пространстве) - квазиклассических траектор-но-когерентиых состояний для задачи о квантовом ангармоническом осцилляторе и задачи о движении электрона в однородном электромагнитном поле в присутствии соленоида. Проведен анализ расплывания пакетов и зависимости невязки от времени. Указана область параметров задачи, для которых квазиклассическое приближение применимо.
2. Построены новые асимптотические С с любой степенью точ
ности по параметру ft — 0) Формулы - КТКС для задачи о движе
нии мзоспиновой частицы в произвольном пол Янга-Миллса с ка
либровочной группой SIK2) как в нерелятивистском так и в ре
лятивистском случаях.
-
В рамках волнового Формализма решена проблема предельного перехода п — 0 из квантовой механики частицы в произвольном- хромоэлектромагнитном поле в классическую в духе подхода ЭренФеста: показано, что для квантовой системы с гамильтонианом Дирака (Шредингерэ) с калибровочной группой SIX 2) кванто-во-механические средние, рассчитанные по КТКС для операторов координат, импульсов и изоспина частицы, в пределе при п -* О являются решениями конечной замкнутой системы обыкновенных диіМерекииальньк уравнения, совпадающих с уравнениями Вонга.
-
Разработан новый асимптотический подход к проблеме вывода классических уравнений движения из уравнений квантовой ье-ханики. Классические уравнения определены как система обыкновенных дифференциальных уравнения, зависящих от п и замкнутая относительно квантовых средних некоторого набора наблюдаемых. Установлена иерархия классических в этом новом смысле уравнений движения, градуированная точностью по параметру п, с которой вычисляются средние набора наблюдаемых и соответственно точностью, с которой построенные КТКС аппроксимируют решение квантовой, задачи.
С другой стороны эта конечные классические системы ОДУ могут рассматриваться как квазиклассическое приближение соот-ветстЕуодей квантовой задачи, а их источник - полученная в диссертации замкнутая система с бесконечным числом уравнений
переменных - как описание квантовой системы, альтернативное равнению Шредингера. Это означат, что квантово-механическсе реднее любой наблюдаемой (заданной самосопряженным операто-эм в пространстве состояний квантовой задачи) вычисляется очно по решениям бесконечной системы ОДУ или С НЄКОТОРГІ очностью по параметру Ь — 0 по решениям соответствующей коечной системы ОДУ. Такой метод вычисления средних является льтернативой решению уравнения Шредингера (точно или прибли-екно по h -*0) с последуюдим усреднением оператора по полу-енным волновым Функциям.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ ДИССЕРТАЦИИ. Полученные в работе тео-етические результаты дают возможность зФіективно применять азвитую технику квазиклассического траекторно-когерентного риближения для решения принципиальный вопросов, связанный с остроением классической теории движения заряже: ных частиц, заимодействуших с калибровочными полями. Материалы диссертации могут найти применение в работах, ведущихся по сходной вматике на кафедре теоретической физики МГУ, квантовой тео-ш поля Томского госуниверсихета и других вузах и науч-го-исследовательских' институтах.
Предложенное в диссертации квазиклассическое описание квантовой задачи конечной замкнутой системой ОДУ, позволяет дру-им способом рассчитывать квантовые характеристики системы, в іастности квантово-механические средние наблюдаемых (с любой :петенью точности по п *0).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.
ШРОБАЩЯ РЕЗУЛЬТАТОВ. Материалы диссертации докладьвались на ручных семинарах кафедр теоретической Физики Физического фа-сультета. МГУ, прикладной математики МИЭМ, на школе молодых /ченых МГУ "Элементарные частицы и внешние поля" (Ярославль, L992 г.), на Всесоюзной конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической Физики" (Тернополь, 1989 г.), на региональной конференции молодых ученых "Фізика
конленсовенного стани" (Львов, 1990 г.), на школе "Секреты кзаитовой и математической интуиции" (Дубна. 1993 г.), на 6-й Ломоносовской конференции по Физике элементарных частиц "Cosmomlcrophvsics end geufie fields" (Москва, 1993 г.).
ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на страницах маши-
нописного тексте. Слисок использованной литературы вкличает наименований.
