Введение к работе
В диссертации развивается новое направление квазиклассичоскот подхода в квантовой механике- зчюрия кваэикласеически-сосредоточеиных состояний.
Актуальность темы
Развитие приближенных (квазикмассических) методов расчета физических эффектов во внешних лолях остается актуальной задачей тсореїической фн.чикп и представляет одно из важных ее направлений. Универсальность кваэикласси-ческих методов проявляется, в частности, в возможности их использования для анализа квантоьо-электродинамических эффектов как в слабых, так и н сильных электромагнитных полях (естественно, п этих случаях разложение идет по разным параметрам). Поэтому аппарат квазиклассических асимптотик оказывается эффективным как при решении задач, связанных с экспериментом, так и при решении некоторых общетеоретических проблем. Разработанные для квантовой электродинамики, эти методы могут применяться при исследовании различных эффектов в нсабелевых калибровочных и гравитационных полях.
Так, например, одним из возможных путей решения проблемы создания источников интенсивного спонтанною и вынужденного излучения является использование электромагнитных полей со сложной структурой (например, полой кристаллов, периодических магнитных полей и др.), Точные решения релятивистских волновых уравнений в таких полях, как правило, неизвестны. Использование квазииласси'.еских волновых функций в этих случаях позволяет исследовать как классические, так и квантовые характеристики излучения.
Следует отметить также акту;ільность квазиклассического исследования квантовых эффектов в сильных полях, в присутствии которых эти эффекта становятся существенными. Развитие ускорительной и лазерной техники делает возможным, в недалеком будущем, создание таких полой.-.Хроме тоі-o, теоретические оценки указывают на существование полей,.близких к критическим, у поверхности пульсаров и заряженных черных дыр.
Изучение квантовых явлений и квнэмк.часси ческоы приближении нреястмш';-ст также существенный теоретический и математический интерес.
Гак', например, реимние одной из иршпшпиалгкых проблем соотв^гегкчя
результатов кьантовой и классической механики для заряда во внешнем электромагнитном поле - проблемы вывода классических уравнений движении и> уравнений движения для киантово-механичссі.их средних в пределе Л ~> О принято связывать с существованием нормированных динамических состояний квантовой системи в форме волновых пакетов, сосредоточенных и окрестности положения классической частицы. Естественно ожидать, что такие состоянии можно построить п кназиклассическом приближении, если потребовать, что бы фага волнений -функции имела, в стличне от стандартных ИКІі асимнто ткк, неотрицательную'мнимую часть, обращающуюся н нулі, ни классической траектории. Построение такого сс]>та квазиклассических асимнто і ик дает возможность продвинуться в этой старой проблеме, поставленной, по-сущестау, ея*а II. Зренфестом для нерелязивистской квантовой механики, и решить ее в общем случае - для произвольного внешнего поля, причем кик для нерелхти-вистсаой, так и для релятивистской частицы, - с учетом ее спина (ичоспина). При этом открывается возможность расширенной трактовки самой классики .как замкнутой системи обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно квантозо-механических средних паГюра наблюдаемых и получения из квантовой механики классических ураинсний для квантовых средних наблюдаемых, не имеющих классическое аналога (например, спин или июспии частит».), Указанный подход позволяет получить уравнения движения спина для произвольных электромагнитных полей и строго обосновать тот факт, что в спиновых уравнениях электромагнитные поля следует брать в точках классической траектории точечного заряда.
Цель работы
Цель диссертационной работы состоит в разработке теории каачиклассически-сосредрточешшх состояний для основных уравнеиий нерелятинистской и релятивистской квантовой мехэлмки я способов использования отих состояний для расчета коикретных физических эффектов.
Наущая новизна
Ь jja3otc ягжрвие іюлучйнн с;едууяше <>сксвьие ре^ултдаты:
'4 -''' '
І Лапо <.чі|іс;к. , .ми: квашкл-іач-іческой сосредоточенности состояний кпаи-іччіі.'\ <->к-?:>, онпп-іїш-мич уруннг-ішями Шредшігера, Днрака, К ;іоГша-Горжш.і и і І рока мі нж.-шпнх :)лсктр(!маг)іиті!і.іх и граїчітаикомимх полях. ГІ'ікч.і.ііім, і| і,», кі.ачікласеическая сосредоточенность возможна только на классччео сч"і <р;і іоной траектории.
2. Пос і рогш.і с любой степенью точности но h —> 0 асимптотически полные наборы и кнлчикл.чесичоская at имнтогиьа функции Грина (в классе квазиклас-енчески сосредоточенных состояний) для урашк-ний Шрёдннгера, Лпрака ч Клейна-Гордона.
,'і. Показано, чіп для релятивистских волнопмх уравнений ь квачикляссичеоком приближении .можно разделить положительно- и отрицательно-частотные решения. И с любой степенью точности но ft —* С на классе положительно-часто і iM.ix (от рииателыю-чнетотнмх) квачм классически сосредоточенных со -стояний выделить з'амильтоииаіі одночастичнон теории.
А. Получена кпачиклассическая асимптотика члра Шпіг.ігсра до Пита для урап-нсний Клейна Гордона и Прока п пространстве Римаиа- Картами (в классе кваликлассически сосредоточенных состояний).
5. Показало.-по для матричных волновых уравнений (Дирахз. Прока) средние клашопо-мпханические епипово'о оператора - псевдонскгора поляризации Гарі манна 5'1 - в пределах при ft —* 0 япляютея решениями классического релятивистского урэпненн;! движения /4(111 уравнения Нартманна Мишсля-Толсг.ти.
(і. Полу-іеннью регулы аш позволяют ри-лїить новий подход п кьазикле"Х-сичеп.ом приближении, псіюнлдш.п; на описаний кпантовой споены (ь і;рнбли;кс!і,ін ро /' --> 0) в терминах новых, дополнительных, классических линами- >ч-.ки.\ переменных (количество переменных зависит от точности приближения). Получена система уравнений (система Г.'шильтоьа-Эренфесга;, опнемпаклцач толтоцик: зтих иоременных. Докачано, что на классе кка.ніклд.:сически-<осрр,догочснньгх состояний она с любой степенью го-тост и по ft --" 0 .жнивадентна (и смысле вычисления кэантоных средних) соотнетс.тіглоіі'ему квантово-механическому уравнению (Шрёдинп.ра, Дчра-ка. Кл.':йна-Гор.-юнн).
7. Пос-'р.-.сны новью кналиі-лакичсские спектральные серии out-разора Дирака. їм іі'к -1.,1,1 . ;.i i^v t аксиальной симметрией, отьочаюише двумерным (пепол-
номерным) лагранжавым торам. В рассматриваемой ситуации, в известных' условиях квантования устой чирых фзловых кривых методом комплексного, ростра, выделена из показателей Флокс целая часть, являющаяся индексом Мисчоза замкнутых'орбит на приведенном фазовом пространства. Описана структура волновых функций в окрестности фокальйых точек.
-
Предложен метод вычисления квазиклассических уровней энергии из системы Гамильтон а-Эренфеста {системы уравнений для квантовых средних). В случае устойчивых к линейном приближении" точек покоя ь опбиталіко-устойчивых фазовых кривых полученные условия квантования совпадают с условиями квантования. замкнутых орбит комплексным методом ВХБ-Маслова для уравнений Шрёдишера1 и Длрака [14].
-
Получены расчетные формулы для фазы Берри волновых функций (Шрёдин-гера и Дирака), отвечающих адиабатической эволюции устойчивой в линейном приближении течкії покоя гамильтоновой CJK *емы.
10. Получена первая квантовая, поправка к характеристика» спонтанного излучения релятивистской заряженной частицы в виде функционала от классической траектории частицы. Полученные выражения для полной излученной энергии и вероятности изл., -іения с переворотом спина рассмотрены в ультра- релятивистском, нёрелятивистском приближениях и приосевом приближении, при квазипериодическом движении.
И. В мощности излучения выделены два сорта квантовых поправок, связанных с отдачей излучаемого фотона и с квантовым характером движения частицы. Показано, что в нёрелятивистском и приосевом приближении вклад последних существен, в то время как хорошо известно, что в ультрарелятивистском приближении ими можно пренебречь.
Теор этическая и практическая ценность работы
Результаты, приведенные е диссертации, имеют общетеоретический характер и ичлюсгрируют высо"ую эффективность метода квазиклассически сосредоточенных состояний для решения широкого класса з тдч квантовой мехачи-
Г'абнч Б.М. Собственные функции, сосредоточенные вблизи геодезических // Матеііатиче-ctHc вопросы теории распространения волн: Запьсюс науч. секин. ЛОМИ. Т. 9. — Л., 1968. — С. 15-ЬЗ.
ки. С одной кюроны, использование кзази классически сосредоточения состояний лозтюляот достичь Солее глубокого понимания структуры само)'; кьпнтозэй теории. Это достигается, например, при решении проблемы соответствия результате-; кпан юлой и хл.тсенчегкой механик, а именно, козеоляет по новому взглянуть на къаликлассическое приближение :<.<.'.: на приолнл-'ен'юе описание кзанювой системе: и терминах новых классических динамических иеремсн-ных. В классе квазихлассичоски сосредоточенных состоянии іюз>:о;хна стандарті! а і крачтосо-гехакическая интерпретация волновых уравнений а нсг-рк-зленьом .іространсіве-времсни ir т.д.
С друге1.! стороны, к"Всіличла.сскчр«а осред.оточенные .осгояния удобно ис-пользоинть дл? анализа конкретных ф. .ичееігкх эффектов но внесших нолях. Тза, обіцне формула для хараї .сристнх спонтанного излучения рел.;тивлсг-ской заряженной частицы, полученные методом чг-азикласепчески сосредоточенных состояний, могут быть нспользоБаїїьт а теоретических я экспериментальных исследованиях квантовых яффектоь, вочиикаюших, например, при дн;;же-нми и излучеьич заряженных частиц в ондуляторах и каналах мококристаллоз.
Предложенный в работе новый метод расчета квазиклассичсских уровней
энергии, а также-новые конкретные форід'дн для хвазикласенческих спектраль
ных серий оператора Дирака, отвечающих частично интегрируемым га.мильто-
новын системам, югут иметь важное прикладное значение в спектроскопии и
астрофизике. '- ;
Полученные в работе общие формулы для фа_>ы Берри волновых функций оператора Шрёдингсра и Дирака могут оказаться ьолеишми как для прояснения статуса квантовых фаз в теоретической фияике, так и для постановки Экспериментов по их измерению.
Основные положения, выносимые в а защиту:
-
Определение квазиклассической сосредоточенности состояний для квантовых систем, описываемых уравнениями Шрёдингера, Дирака, Клейна-Гордона я Прока, во внешних электромагнитных и гравитационных полях.
-
Теоремы о квэ.зикласепческок сосредоточенности.
-
Теорема о5 эквивалентности (в смысле еьршслсвия квантовых срезднх) яг-даниого квантово-механического уразнйиия. соответствующей системе IV
юілмона-Зренфеста в классе кваміклассическк сосредоточенных состояний.
-
Метод вычисления квачиклассичсских уровней энергии из системы Гамильтона- Эренфеста.
-
Метод вычисления квантовых поправок к адиабатической фазе Берри и к характеристикам споитанпого излучения релятивистской заряженной частицы.
Апробация диссертации и публикации
Результаты лиссертадаи докладывались ка:
Ш школе молодых ученых МГУ "Элементарные частицы и внешние ноля" (2Ь сентября - '2 октябри 1989 г., Майкоп);
Ш Всесоюзной школе-семинаре "Основания физики" (27 апреля - 5 мая 1991 г., Сочи);
V Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц "Элементарные частицы и внешние поля" (20-25 влреля 1992 г., Ярославль): - VJ Ломоносовской конференции по физике элементарных частий "Космофи-зика и калибровочные прля" (24 31 августа 1993 г., Москва, МГУ);
Международной конференции Теометризацня физики - истоки, развитие и современные направления" (1-5 ноября 1993 г., Казань);
Международной конференции "Киаатовыс системы 94: Новые тенденции и методы" (23-29 мая 1994 г., Минск);
Международной донфоренции "'Калибровочные поля и гравитация" (22-28 августа 1994 г., Томск);
Международном геометрическом семинаре "Современная геометрия и ее приложения'', посаяшешюм 1С(|-петию со дня рождения П.А. Широкова (31 января - 2 февраля 1S95 г., Казань),
& также на научных семинарах лаборатории теоретической физики Объединенного игстиг/та ядерных исследований, кафедры теоретической физики Московскою госуниверситета, кафедры квантовой теории поля Томскою госуяиверси-тста. кафедре прикладной математики Мосховсколо института электроники и ыатема .ткші, ка Томском общегородской семинаре до теоретической физике
До теме диссертации олублихст.ано 23 работ в отечественной и зарубежкой научной пяоиоднке.
Структ\\ .їй объем диссертации
y^c:-'-tiі;іі'і!ч .(4)01:1 мч вкулчіия. семи глав, заключения и списка цитируе
мой 'іиіср:! і> !! і, >іг;-"р.-каіисг(і . (шО'лиогра.фическчх семіток. Общий объем
і'.Гііхсіпйііі:!! составляет ....__ страшні.
