Содержание к диссертации
Введение
1 Дробовой шум в мезоскопических системах с резонансным Андреевским туннелированием 11
1.1 Введение 11
1.2 Квазиклассический подход к описанию электронного транспорта в NS-системах 13
1.3 Построение матрицы рассеяния 14
1.4 Дробовой шум в NS системах 16
2 Динамика частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей с резервуаром . 22
2.1 Введение 22
2.2 Модель Леггета 25
2.3 Резервуар, как измеритель положения частицы 29
2.4 Второй момент для вероятности локализации частицы 32
2.5 Динамика частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей со случайным классическим полем 37
3 Квантовая электронная запутанность в невзаимодействующих мезоскопических системах. 48
3.1 Введение 48
3.2 Пространственно-временная зависимость флуктуации электронного тока 54
3.2.1 Флуктуации тока в квантовом точечном контакте 54
3.2.2 Флуктуации тока в нормальной мезоскопической 'вилке'. 60
3.2.3 Корреляции тока и коллапс волновой функции 62
3.3 Неравенство Белла 73
3.3.1 Вывод неравенства Белла в терминах вероятностей совместного детектирования 73
3.3.2 Неравенство Белла в мезоскопических системах 78
3.4 Спиновая синглетная запутанность электронов в мезоскопических проводниках 83
3.4.1 Нарушение неравенства Белла 83
3.4.2 Причина возникновения электронной запутанности . 98
3.5 Спиновая триплетная электронная запутанность в мезоскопических проводниках 107
3.5.1 Эксперимент Белла с двумя поляризованными электронными источниками 108
3.5.2 Анализ спиновой запутанности 113
3.6 Контролируемое создание запутанных электронных пар 119
3.6.1 Вычисление корреляторов в нестационарном случае 121
3.6.2 Единичный импульс напряжения 123
3.6.3 Нарушение неравенства Белла 125
4 Электронный транспорт в углеродных нанотрубках 130
4.1 Введение 130
4.2 Неоднородная модель Латтинжеровской жидкости в углеродной нанотрубке 131
4.3 Корреляторы тока в формализме Келдышевских функций Грина. 135
4.4 Вычисление функций Грина 137
4.5 Флуктуации тока 140
4.5.1 Нанотрубка бесконечной длины 140
4.5.2 Флуктуации тока в ферми-жидкостных контактах 146
Заключение 152
Литература 155
- Квазиклассический подход к описанию электронного транспорта в NS-системах
- Динамика частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей со случайным классическим полем
- Вывод неравенства Белла в терминах вероятностей совместного детектирования
- Неоднородная модель Латтинжеровской жидкости в углеродной нанотрубке
Введение к работе
Измерение корреляционных функций или флуктуации электронного тока в мезоскопических электронных системах в последнее время является весьма популярной темой экспериментальных и теоретических исследований во многих научных центрах. Связано это с двумя основными обстоятельствами: во-первых, появились новые теоретические методы, такие как формализм матрицы рассеяния, интегралы по траекториям, которые оказались гораздо более подходящими для описания свойств электронного транспорта по сравнению с традиционными подходами, например с использованием формулы Кубо, функций Грина, диаграммной техники и т. д. ; во-вторых, значительный прогресс, достигнутый в последнее десятилетие в изготовлении мезоскопических наноструктур, дает возможность для экспериментального изучения квантовых флуктуации в таких системах.
Важной особенностью мезоскопических систем является то, что ввиду их чрезвычайно малого размера, флуктуации в таких системах значительно менее подавлены по сравнению с макроскопическими образцами и обладают гораздо более интересными свойствами [1]. Более того, поскольку длина когерентности электронов в наноструктурах может достигать размеров системы, электронный транспорт может обуславливаться специфическими квантовыми интерференционными эффектами, которые не проявляются при измерении средних величин, например кондактанса проводника, и могут быть обнаружены только при измерении корреляционных функций, например флуктуации электронного тока в проводнике. В целом, изучение корреляторов высоких порядков, а в переделе и полной статистики наблюдаемых величин, позволяет максимально возможным образом изучить свойства любых стохастических систем (как квантовых, так и классических).
Значительный интерес к изучению корреляционных функций обусловлен также возникновением новой науки - квантовой информатики [2, 3]. Как оказалось, вычислительные алгоритмы, в которых элементарной единицей информации является квантовое состояние произвольной двухуровневой системы - квантовый бит, могут оказаться в некоторых случаях гораздо более эффективными по сравнению с аналогичными классическими вычислительными схемами. Основное преимущество квантовой информации состоит в том, что в отличие от классического бита, который в любой момент времени может находиться только в одном из двух возможных состояний, квантовый бит может одновременно находиться в произвольном состоянии суперпозиции двух значений, что позволяет производить параллельное вычисление над каждой компонентой суперпозиции в отдельности. В общем случае, любая реально действующая квантовая вычислительная схема использует состояния суперпозиции N 1 квантовых битов, что в результате эффективно повышает скорость работы квантового алгоритма в 2м раз. При этом, как правило, такое состояние суперпозиции квантовых битов является нефакторизуемым или другими словами запутанным, т.е. не представляемом в виде прямого произведения состояний каждого бита.
Такие запутанные состояния суперпозиции нескольких битов или в общем случае нескольких квантовых частиц являются специфическим свойством квантовой механики, и изначально воспринимались на уровне парадоксов квантовой теории. Так в известной работе Эйнштейна Подольского Розена [4] на основе анализа запутанного состояния двух пространственно разделенных частиц была предпринята критика квантовой механики как неполной физической теории, противоречащей духу локальности общей теории относительности. Основной причиной возникновения подобных парадоксов является то, что, как известно, при измерении любого состояния квантовой системы, находящейся в состоянии суперпозиции относительно измеряемого наблюдаемого, происходит мгновенный процесс схлопывания или коллапса волновой функции системы только в одно из возможных собственных значений наблюдаемой величины [5]. В случае, когда имеется пространственно разделенное, запутанное состояние двух частиц, измерение состояния только одной частицы мгновенно вызывает коллапс волновой функции всей системы и тем самым мгновенное изменение состояния второй частицы, которая может находиться как угодно далеко относительно первой. Такая картина находится в глубоком противоречии с духом локальности общей теории относительности, согласно которой любое локальное воздействие на первую частицу не может вызвать мгновенного влияния на состояние второй частицы, находящейся в пространственно удаленной точке.
В дальнейшем был предпринят ряд попыток [6] обойти нелокальность квантовой теории путем введения так называемых локальных скрытых перемен ных, точное знание которых позволяет предопределить исход любого измерения. Однако, как затем строго показал Белл [7], любая теория скрытых локальных переменных не может описать все возможные исходы измерения для двух частиц, находящихся в запутанном состоянии. В своей работе Белл рассмотрел мысленный эксперимент, в котором измеряется поляризация двух фотонов, находящихся в синглетном запутанном состоянии относительно линейной поляризации, и вывел характерное неравенство на корреляционные функции значений поляризации двух фотонов, которое должно выполняться в рамках любой возможной теории локальных скрытых переменных, способной описать данный эксперимент. Однако, как оказалось, неравенство Белла не согласуется с предсказаниями квантовой теории и нарушается для корреляционных функций поляризации двух фотонов, вычисленных согласно правилам квантовой механики. В дальнейшем данный эксперимент был реализован на практике, где в явном виде было продемонстрировано нарушение неравенства Белла и тем самым доказано, что квантовая механика является по сути нелокальной физической теорией.
В настоящее время вновь возникший интерес к квантовой запутанности обусловлен в большей степени практическими соображениями, где квантовая запутанность выступает как ресурс для квантовых вычислительных и криптографических схем, а неравенство Белла выступает в роли удобного количественного критерия для оценки степени запутанности состояния нескольких квантовых битов. При этом остро встает вопрос о практическом способе реализации квантовых компьютеров и квантовых битов. Мезоскопические структуры могут выступать в качестве экспериментальной базы квантовых компьютеров [8], где в роли квантового бита может выступать, например, две возможные проекции электронного спина [9]. При этом возникает две основных сложности. Во-первых, любая электронная мезоскопическая система взаимодействует с некоторым резервуаром, например с фононами подложки на которой изготовлена такая структура, что вызывает некотролируемый процесс декогеренции состояний суперпозиции квантового бита. Вторым важным моментом является сам способ создания электронных квантовых запутанных состояний.
Все предложенные к настоящему моменту схемы создания электронной запутанности в мезоскопических системах можно разделить на два широких класса: схемы использующие эффекты взаимодействия между электронами и схемы где запутанность создается без участия взаимодействия. Во взаимодействующих схемах, как правило, используются два основных эффекта для создания спиновой запутанности между электронами: 1) эффекты Кулоновского взаимодействия в системах состоящих из двух или более близко расположенных квантовых точек в режиме Кулоновской блокады [10, 11, 12], 2) или использование парного притягивающего взаимодействия в сверхпроводниках [13, 14, 15]. При этом путем рассеяния спин-запутанные электронные пары поступают в различные контакты системы. Так в работе [13] было предложено использовать эффект близости в контактах сверхпроводник - нормальный металл, когда за счет приложенного напряжения к сверхпроводнику в нормальный металл поступают синглетно-запутанные Куперовские электронные пары. В дальнейшем эти запутанные пары электронов разделяются путем рассеяния в два других нормальных контакта системы, образуя в итоге два потока электронов запутанных между собой по спиновым степеням свободы. Для анализа спиновой-электронной запутанности в таком устройстве в работе [16] было предложено использовать неравенство Белла, сформулированное в терминах корреляторов переданного электронного заряда с заданной проекцией спина между различными контактами системы.
Позднее выяснилось, что для создания запутанного состояния электронов можно использовать и невзаимодействующие схемы, где запутанность возникает в результате корреляционого измерения, когда изначально незапутанная волновая функция электронов проецируется на запутанную компоненту [17]. Способ создания квантовой запутанности путем проективного корреляционного измерения хорошо известен в квантовой оптике [18], где запутанное по поляризации состояние двух фотонов, изначально испущенных в хорошо определенном факторизуемом Фоковском состоянии, создается в результате их совместного фотодетектирования. Впервые аналогичная схема создания электронной запутанности была предложена в работе [17], где в качестве запутанных степеней свободы предлагалось использовать различные краевые состояния в квантовом эффекте Холла.
Таким образом измерение нелокальных в простанстве корреляторов электронного тока и протекшего заряда в различных контактах когерентной ме-зоскопической структуры может само по себе служить эффективным источником электронных запутанных состояний, что дает эффективный способ создания и манипулирования такими состояниями в дальнейшем. Следует также отметить, что корреляционные измерения в электронных системах позволяют исследовать такие фундаментальные аспекты квантовой теории, как редукция волновой функции и нелокальность квантовой механики.
Основные цели диссертационной работы заключаются в развитии методов описания корреляционных функций в электронных мезоскопических системах. Применение полученных результатов для изучения тонких характеристик матрицы рассеяния; локализации частицы в двухъямном потенциале, взаимодействующей с резервуаром; получение запутанных электронных состояний в квантовых проводниках; исследование степени электронной запутанности; изучение дробного заряда в сильно-взаимодействующих одномерных электронных системах.
Материал диссертации и полученные результаты организованы следующим образом. Глава 1 посвящена изучению дробового шума в баллистических NS-контактах в Андреевском режиме eV А в случае, когда матрица рассеяния контакта может зависеть от энергии и, в частности, содержать размытые Андреевские резонансы. Для вычисления дробового шума в данной системе предлагается использовать квазиклассический подход на основе состояний рассеяния, получаемых из решения уравнения Боголюбова де Женна (см. Раздел 1.2). Для нахождения явного вида матрицы рассеяния системы в Разделе 1.3 предложен способ аксиоматического построения матрицы рассеяния исходя из электронно-дырочной симметрии уравнения Боголюбова де Женна и общей теории рассеяния, что позволяет классифицировать все возможные матрицы рассеяния в таких системах и определить их явный вид не затрагивая детали микроскопического устройства NS-контакта. В результате в Разделе 1.4 будет показано, что дробовой шум проявляет ряд характерных особенностей, позволяющих определить относительную фазу амплитуд Андреевского отражения между различными резонансами NS-контакта.
Глава 2 посвящена изучению влияния макроскопического резервуара на динамику двух-уровневой системы. В Разделе 2.2 кратко описана известная модель Леггета для частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей с макроскопическим резервуаром гармонических осцилляторов. В терминах функционального интеграла по траекториям частицы в двух-ямном потенциале записан общий вид для усредннной вероятности найти частицу в одной из ям при заданном начальном состоянии и приведены известные результаты найденные в данной модели. В Разделе 2.3 данная задача рассматривается в контексте теории измерений, когда резервуар выступает в роли измерителя положения частицы между ямами. При этом показано, что для выяснения вопроса о локализации частицы в какой-либо из ям изучение только усредненных вероятностей по начальному состоянию резервуара оказывается недостаточным, и при конечной температуре резервуара возникает необходимость вычислений старших моментов для вероятности локализации частицы, как функции начального состояния резервуара. В Разделе 2.4 Главы 2 в терминах функционального интеграла по траекториям частицы получно явное выражнние для второго момента вероятности локализации частицы. При этом оказывается, что получающийся функциональный интеграл оказывается гораздо более сложным чем для усредненной вероятности (первого момента), что делает задачу о вычислении функционального интеграла исключительно сложной. В последнем Разделе 2.5 Главы 2 изучается более простая модель, когда действие резервуара на частицу моделируется случайным классическим полем. Данная модель эквивалентна модели спина 1/2, когда магнитное поле вдоль направления х фиксировано, а вдоль направления z флуктуирует случайным образом. В такой модели удается найти явный вид для первого и второго момента вероятности локализации частицы за конечное время, как функции случайного Гауссового поля, а для вероятности локализации на бесконечных временах оказывается возможным найти все старшие моменты для вероятности локализации.
Глава 3 посвящена изучению спиновой электронной запутанности в различных невзаимодействующих электронных мезоскопических системах. В первом Разделе 3.2 в рамках формализма матрицы рассеяния изучаются пространственно нелокальные разновременные корреляторы электронного тока на примере двух различных мезоскопических проводников: баллистического квантового точечного контакта и трех-контактной мезоскопической "вилки"в режиме когда к одному из контактов системы приложено постоянное напряжение. Полученные результаты интерпретируются в терминах коллапса волновой функции электронов в результате корреляционного измерения токов. В Разделе 3.3 будет дана общая схема эксперимента Белла и получено соответсвующее неравенство для мезоскопических систем. В Разделе 3.4 будет проанализировано нарушение неравенства Белла и описан механизм возникновения запутанных синглетных состояний в мезоскопической "вилке". В Разделе 3.5 анализируется эксперимент Белла на примере четырех-контактного баллистического проводника, в режиме когда в два различных контакта системы поступают противоположно поляризованные по спину потоки электронов. В такой системе можно строго показать, что причиной возникновения электронной запутанности является сам процесс корреляционного измерения токов. В последнем Разделе 3.6 Главы 3 предложен способ создания спин-синглетного запутанного состояния электронов между двумя контактами мезоскопической "вилки в режиме когда к третьему контакту прикладывается импульс переменного напряжения. При этом оказывается, что импульс напряжения соответствующий целому кванту магнитного потока инжектирует в систему строго два электрона в синглетном спиновом состоянии, что позволяет экспериментально контролируемым образом создавать запутанные электронные состояния.
В последней Главе 4 диссертационной работы изучается процесс туннелиро-вания электронов из иглы сканирующего электронного микроскопа с конечным приложенным напряжением в углеродную нанотрубку. При этом считается, что нанотрубка имеет конечную длину и своими концами присоеденена к двум различным нормальным контактам. Для описания электронного состояния в нанотрубке и нормальных контактах используется неоднородная модель Латтинжеровской жидкости с координатно зависящим параметром взаимодействия. В рамках теории возмущений по туннельному Гамильтониану, изучается флуктуации электронного тока в одном контакте (авто-корреляции) и между различными контактами (кросс-корреляции). Как оказывается, из измерений авто- и кросс-корреляций тока в контактах на конечной частоте можно экспериментально определить параметр взаимодействия Латтинжеровской модели. Полученные результаты интерпретируются в терминах Латтинжеровских квазичастиц с дробным электронным зарядом, возникающими в результате локального туннелирования электрона в нанотрубку.
Квазиклассический подход к описанию электронного транспорта в NS-системах
Дробовой шум в нормальных и сверхпроводящих мезоскопических системах является пристальным объектом исследований в настоящее время. Еще в начале прошлого века Шоттки вывел [19] соотношение, связывающее дробовой шум термических электронов, испущенных из нагретого катода электронной лампы, и среднего тока электронов: что позволяет экспериментальным образом измерить величину электронного заряда. Уже в настоящее время Лесовиком [20] был получен квантовый аналог формулы Шоттки для электронов, рассеивающихся на квантовом точечном контакте: где Т - прозрачность контакта.
Данный результат послужил началом для исследования дробового шума и квантовых флуктуации во многих других системах, см. например обзор [21]. В целом, такой интерес к изучению дробового шума вызван тем, что дробовой шум проявляет ряд характерных свойств, которые нельзя извлечь только из измерения кондактанса системы. Дробовой шум является прямым следствием гранулярности электронного заряда. В частности, из измерений дробового шума можно определить заряд и статистику частиц, учавствующих в транспорте, а также получить информацию о характерных энергетических масштабах в изучаемой системе.
Например, в работе [22] показано, что спектральная плотность шума, S(u), нормального квантового проводника имеет особенность на частоте и = eV/h, определяемой напряжением на контакте. В работе [23], где изучался дробовой шум в нормальном квантовом точечном контакте при наличии постоянного, V, и переменного, Vac(t) = VocosOt, напряжений, были обнаружены особенности спектральной мощности шума на нулевой частоте, S(0, V) при eV = пНП, что позднее было подтверждено экспериментально [24].
Сверхпроводящие системы проявляют похожие свойства, однако основное их отличие состоит в том, что в режиме eV А, где А - величина сверхпроводящей щели, электронный транспорт описывается процессом туннелирования Куперовских пар в нормальный металл, чему соответствует удвоенный электронный заряд. Так дробовой шум идеального NS-контакта в режиме eV А имеет особенность уже при huj = 2eV. Аналогично, в присутствии переменного напряжения, S(0, V) также обладает особенностями при 2eV = пНП. Более того, в режиме eV А в шуме появляются дополнительные особенности на частотах ho = 2A, eV ± А (см. работу [25]).
В работах [22, 23, 25] шум изучался в терминах матрицы рассеяния системы, которая, однако, считалась не зависящей от энергии рассеивающихся частиц. Здесь мы рассмотрим дробовой шум в сверхпроводящих системах в Андреевском режиме eV А при нулевой температуре, когда в системе могут присутствовать дискретные Андреевские уровни энергии, и тем самым матрица рассеяния системы может явно зависеть от энергии. В Разделе 1.2 мы кратко опишем основные черты квазиклассического подхода к описанию электронного транспорта в NS-системах, на основе уравнений Боголюбова-де-Женна [27]. Детальное изложение данного подхода изложено в работе [25]. В Разделе 1.3 мы построим матрицу рассеяния NS-контакта исходя из общих соображений условия унитарности матрицы рассеяния и электронно-дырочной симметрии уравнений Боголюбова-де-Женна. В последнем Разделе 1.4 мы изучим дробовой шум в одноканнальном мезоскопическом NS-контакте с произвольной матрицей рассеяния и покажем, что спектральная мощность дробового шума как функция частоты проявляет ряд характерных особенностей на частотах, соответствующим положению Андреевских резонансов в системе.
Будем считать, что к изучаемой мезоскопической системе (например, сверхпроводнику) присоединен один контакт из нормального металла, к которому можно прикладывать постоянное и переменное напряжение. Процесс рассеяния электронов в нормальном контакте мы будем описывать матрицей рассеяния 2 х 2 в пространстве электрон-дырка:
Пусть в нормальном контакте открыт только один канал, сверхпроводящая щель постоянна и равна А внутри сверхпроводника (х 0), а в нормальном контакте (х 0) равна нулю: А(х) = А9(—х). Воспользовавшись преобразованием Боголюбова (диагонализирующее гамильтониан Боголюбова-де Жена), оператор уничтожения электрона в контакте можно записать в виде: где ua(va) -волновые функции электрона (дырки) с заданной энергией, возникшие вследствие рассеяния частицы типа а (электрона или дырки a = e,h), а -спиновый индекс (а = ±1), сао-(є) и сао-(є)+ - фермиевские операторы уничтожения и рождения электронов/дырок с энергией є соответственно. В терминах матрицы рассеяния системы, состояния рассеяния в нормальном контакте можно записать как: причем энергия є отсчитывается от уровня Ферми (є = 0) в контакте. Записывая оператор тока в контакте через операторы рождения и уничтожения, мы можем найти спектральную мощность шума по формуле: где при усреднении считалось, что (с+ (бі)с (б2) = 5a 8(ei-e2)fa(ei), fa(e) = /FD( Т eV) для a = e, h соответственно, /FD(C) - функция распределения Ферми-Дирака. Если в ограниченной области [х\, я ] внутри контакта помимо постоянного напряжения, V, приложено переменное электромагнитное поле с векторным потенциалом Ax(t,x) = Ax(x)smQt, то проходя через эту область электроны и дырки будут набирать дополнительную фазу [23] ф() = E sinQ, где Ф = 27г JJ2 (1хАх(х)/фо, а фо = hc/e - квант магнитного потока. Если считать, что переменный потенциал слабо меняется за время пролета электроном области [х\, Х2\: О VF/XI, ТО вдали от места приложения переменного потенциала нестационарность задачи можно учесть в адиабатическом приближении следующей заменой амплитуд рассеяния: seh — seht 2% \ She — Shee2% t .
Динамика частицы в двух-ямном потенциале, взаимодействующей со случайным классическим полем
В этой главе мы рассмотрим задачу о динамике квантовой частицы, находящейся в двухямном потенциале, взаимодействующей с макроскопическим резервуаром. Данная задача будет рассмотрена нами в контексте общего вопроса о процессе квантового измерения, когда макроскопический резервуар рассматривается как измеритель (детектор) положения частицы в двухямном потенциале.
В настоящее время широко распространенным подходом к вопросу о квантовом измерении является так называемая концепция декогеренции, см. например обзор [30], в рамках которой рассматривается, например, процесс измерения состояния квантового бита, взаимодействующего с макроскопическим детектором [8]. Здесь мы кратко сформулируем общие черты данного подхода.
Как правило, при моделировании любого реального измерения приходится рассматривать задачу об эволюции квантовой измеряемой системы (частица), взаимодействующей с некоторым детектором, который рассматривается также как квантовая система и в общем случае является макроскопической системой с огромным количеством внутренних степеней свободы. Следуя логике рассуждений известного курса теоретической физики Ландау и Лифшица [31], будем считать, что в начальный момент времени квантовая система находится в некотором состоянии с волновой функцией Ф(д), а детектор в некотором состоянии с волновой функцией Ф(Х).
В результате взаимодействия между двумя системами в некоторый последующий момент времени волновую функцию частицы и детектора можно разложить по собственным функциям детектора Фп(Х), соответствующим различным результатам измерения (индекс п):
Как показал фон Нейман [5], для двух квантовых систем (частица+детектор) всегда существует гамильтониан взаимодействия, такой что в результате унитарной эволюции волновая функция полной системы может быть представлена в виде (2.1), где An(q) = апфп(у), фп{я) - волновая функция частицы, соответствующая измеренному состоянию п, а ап - соответствующая амплитуда вероятности:
Формально, данное состояние представляет собой суперпозицию различных макроскопически различимых состояний детектора, соответствующих различным результатам измерения. Более того, в суперпозиции (2.3) состояния частицы и детектора однозначно скоррелированы между собой по результату измерения: если экспериментатор посмотрит на показания детектора и обнаружит его в состоянии п, то он может однозначно утверждать, что частицы находится в соответсвуюшем измеренном состоянии фп{д).
Результат любого измерения над частицей может быть описан в терминах матрицы плотности частицы. Как видно, матрица плотности частицы в состоянии (2.3) оказывается диагональной. Действительно, поскольку, как правило, детектор является макроскопической системой с множеством внутренних степеней свободы, то состояния, соответствующие различным показаниям прибора, Фп(Х) практически ортогональны друг другу:
В итоге говорят, что в результате произошло измерение состояния частицы и она локализована в одном из возможных состояний п с вероятностью Рп = \ап\2. Смысл данного утверждения состоит в следующем: пусть, например, индексу п = ±1 соответствует локализованное состояние частицы в левой (п = — 1) или правой (n = +1) ямах двухямного потенциала. Тогда, если считать частицу классическим шариком, который находится либо в левой, либо в правой ямах с вероятностями Р-ь соответственно, то матрица плотности такого классического состояния будет описываться выражением (2.5). Тем самым, поскольку любое измерение над частицей описывается в терминах матрицы плотности, то состояние (2.3) с точки зрения экспериментатора неотличимо от классического состояния частицы, распределенной между двумя ямами.
В действительности такой взгляд на процесс квантового измерения оставляет открытым вопрос [30, 32] о том как происходит процесс схлопывания волновой функции (2.3) (или, другими словами, редукция волнового пакета) в одну из возможных альтернатив. В работе [33] было высказано предположение о том, что процесс коллапса состояния (2.3) может быть описан в рамках унитарной эволюции всей системы (частица+детектор) в результате которого, начальное состояние Ф(д)Фо(Х) переходит в одно из возможных состояний и(і)Ч (д)Ф0(Х) = гІ)п(д)Фп(Х) т.е. в определенное локализованное состояние относительно наблюдаемого п. Причем то в каком из конечных состояний п окажется ситема, зависит от начального состояния резервуара Ф0(Х), а вероятностная картина результатов измерения возникает вследствие нашего незнания (с микроскопической точностью) начального состояния детектора ФоРО вследствие его макроскопической природы. Хотя формально такая возможная картина процесса измерения в результате даст то же самое выражение для матрицы плотности частицы, и тем самым экспериментатор не в состоянии сделать различие между такими альтернативами процесса квантового измерения, тем не менее, данный вопрос по прежнему остается интересным в контексте теоретической проверки согласованности квантовой теории.
В данной главе мы будем придерживаться точки зрения на процесс квантового измерения предложенной в работе [33]. В качестве модели для процесса измерения мы воспользуемся известной моделью Леггета [34], основные черты и интересующие нас результаты, полученные в рамках данной модели, изложены в Разделе 2.2 этой главы. В разделе 2.3 мы покажем как модель Леггета может быть рассмотрена в контексте теории измерений, где бозонный резервуар мо жет последовательно выступать в роли изготовителя и измерителя состояния частицы в двухямном потенциале. При этом, для изучения вопроса о локализации частицы в двухямном потенциале и чувствительности конечного состояния частицы к начальному состоянию резервуара в Разделе 2.3 мы покажем необходимость вычисления старших моментов вероятности локализации частицы, {PS L) В одной из ям, усредненных по начальному состоянию резервуара. В Разделе 2.4 мы получим общее выражение для второго момента вероятности локализации частицы, выраженное в виде четырехкратного функционального интеграла по траекториям частицы от функционала влияния бозонного резервуара. К сожалению, полученный функциональный интеграл оказывается чрезвычайно сложным для дальнейшего вычисления и в последнем Разделе 2.5 мы рассмотрим более простую модель, где влияние бозонного резервуара моделируется действием случайным гауссовым классическим полем, действующем на частицу. В рамках такой упрощенной модели нам удасться полностью изучить вопрос о динамике частицы в двухямном потенциале.
Вывод неравенства Белла в терминах вероятностей совместного детектирования
Таким образом, в данной модели функция распределения для вероятностей в конечном состоянии через очень большое время не зависит от начального состояния. Тем не менее, в каждом конкретном случае финальное состояние зависит от исходного. Для определения чувствительности к начальному состоянию подобным образом можно вычислить следующий коррелятор:
Рассмотрим в качестве примера случай, когда для одного начального состояния а = Ъ (основное состояние), а для второго а1 = —У (возбужденное состояние). Тогда ((PS L(OO) — PS L(OO))2) = 1/3. Заметим, что полученное типичное отклонение в финальных вероятностях 1/л/З, что больше средней вероятности 1/2.
Мы можем теперь рассмотреть вопрос о чувствительности конечного состояния к изменениям внешнего поля. Сформулируем задачу в терминах спина во внешнем магнитном поле. Будем рассматривать коррелятор вида ((Pb[H(t)] — Pb[H(t) + 5Hz(t)])2). В общем случае задача осложняется тем, что гамильтониан H(t)a в различные моменты времени некоммутативен. Мы можем однако рассмотреть частный случай, когда поле SHz(t) действует в течении короткого интервала времени (такого, что поворотом спина относительно оси х в меру малости Нхах можно пренебречь) в самом начале эволюции состояния частицы. В этом случае данная задача сводится к предыдущей, если мы определим состояние а Фь) + Ь Фя) как
Отсюда следует, что система бесконечно долго "помнит"некоторое определенное изменение поля 5ф(Ь), приложенное в начальный момент времени. Более того, как видно, дополнительный импульс поля (на фоне случайного поля) меняющий фазу частицы на величину порядка 7г/2, меняет, в типичном случае, вероятность обнаружить частицу в одной из ям на величину более 1/2.
Таким образом, в модели, где действие реального резервуара на частицу имитируется действием случайной классической силы, локализации частицы в одной из ям не происходит (Pb b(t)PL R(t)) — 1/6 0 при t — сю. Тем не менее, недиагональные элементы матрицы плотности частицы (Ф ь( )Ф д( )} затухают со временем. Следует отметить, что формально, в данной задаче частица, взаимодействуя с классическим полем, всегда обладает чистой матрицей плотности. Это естественно, поскольку частица не может воздействовать на классическое поле, и поэтому не возникает квантовых запутанных состояний. Тем не менее, в практическом смысле разница между наличием реального "резервуара1 случайного классического поля невелика, так как, чтобы доказать, что частица находится в некотором чистом состоянии, необходимо проделать серию измерений. Для того, чтобы, например, с определенностью за одно измерение получить определенный результат, следует иметь весьма точные данные о величине флуктуирующего классического поля / (), мониторинг которого прямо в точке расположения частицы проблематичен. Кроме того, динамика поведения во времени вероятностей (Р_ ()) идентична в обоих случаях.
Отметим также, что если в рассмотренной задаче в двух-ямном потенциале к классическому полю добавить квантовый резервуар, то в этом случае на больших временах должна наблюдаться локализация частицы. Качественно этот процесс выглядит так: в каждый момент времени классическое поле обеспечивает разность уровней в ямах, достаточно большую для того, чтобы для мгновенного значения Гамильтониана его собственные состояния были бы локализованы в каждой из ям, а в процессе испускания фотонов происходит переход в нижайшее (и локализованное) состояние.
В заключение данной главы мы рассмотрим вопрос об экспериментальной измеримости старших моментов вероятности локализации частицы. Данный вопрос возникает вследствие того, что величины {Pg L R(t)) непосредственно не выражаются через матрицу плотности системы. Тем не менее, хотя бы на мысленном уровне предложить данный эксперимент возможно. Как обсуждалось ранее в Разделе 2.3 в величине (P$ L R(t)) учавствствуют два различных типа усреднения: квантово-механическое усреднение, возникающее при вычислении вероятности локализации частицы в одной из ям в результате унитарной эволюции при некотором начальном состоянии резервуара п: Ps- L,ii(t, п) и усреднение по начальному состоянию резервуара п: (PS L R( )) = J2H (п)Р$ ь R(n, t). Тем самым для измерения величины {P$ L R(t)) необходимо иметь контроль над начальным состоянием резервуара (детектора). При каждом заданном состоянии п необходимо в результате многих повторных измерений определить величину Ps L,R.(t,n), а затем усреднить полученные вероятности по начальному состоянию резервуара. В действительности, если предлагаемая картина квантового измерения окажется верной и частица действительно локализуется в указанном ранее смысле в одной из ям, то практически для любого состояния п резервуара должно выполняться условие Ps L,R(n, t) = 1 или 0 (более точно вероятностная мера таких состояний, для которых это условие не выполняется, должна стремиться к нулю), и тем самым достаточно проверить выполнение данного условия для нескольких возможных п.
В упрощенной модели, когда влияние резервуара моделируется случайной классической силой, задача о нахождении старших моментов вероятности локализации частицы, например (P L(t)), формально эквивалентна следующей задаче [39]: пусть имеется набор п невзаимодействующих между собой спинов 1/2 приготовленных в начальный момент в одинаковом состоянии с проекцией спина вдоль оси z, например равной + 1/2 (все частицы находятся в правой яме). Пусть на данный ансамбль частиц действует одинаковая случайная сила ф(Ь) (согласно гамильтониану 2.42), тогда вероятность обнаружить в момент времени t все спины в состоянии az = 1, усредненная по случайному полю ф(ї), и будет равна величине (P L(t)) в задаче о частице в двухямном потенциале.
Такая интерпретация в случае гауссова случайного поля ф(і,) позволяет быстро найти все моменты величины (P L(t)) на бесконечных временах. Рассмотрим, например, вычисление второго момента вероятности локализации частицы (P L(oo)}. Пусть имеются два невзаимодействующих между собой спина 1/2 со следующим гамильтонианом:
Неоднородная модель Латтинжеровской жидкости в углеродной нанотрубке
В данной главе мы рассмотрим вопрос о создании спин-запутанных состояний двух электронов в нормальных мезоскопических квазиодномерных проводниках. Значительный интерес к созданию электронных запутанных состояний в мезоскопических системах обуславливается возможностью использования нелокальных квантовых корреляций в квантовых вычислительных алгоритмах [40, 41]. Поскольку, в отличие от фотонов, электроны являются заряженными частицами со спином 1/2, то орбитальная и спиновая компоненты электронной волновой функции могут быть изменены контролируемым образом эффектами Кулоновского взаимодействия и внешними магнитными полями соответственно. Более того, последние эксперименты [42] показывают, что в полупроводниковых системах электронный спин может обладать значительными временами декогеренции ІОО/іт, что потенциально позволяет использовать мезоскопические квантовые структуры в качестве элементарной базы квантовых компьютеров, где элементарной единицей информации является электронный спин.
В настоящее время предложено большое количество разнообразных схем создания электронных запутанных состояний в мезоскопических электронных системах. В целом, все предложенные схемы можно разделить по двум основным критериям: 1) степень свободы электронов, которая выступает в роли запутанной величины, и 2) способ создания запутанного состояния нескольких электронов. В качестве запутанных степеней свободы, может выступать проекция электронного спина, т.е. спиновая компонета электронной волновой функции, либо орбитальная часть волновой функции электронов, например появление электронов в том или ином контакте системы.
Первоначально, в роле запутанных степеней свободы электронов, было предложено использовать электронный спин, а запутанность создавалась путем Ку-лоновского взаимодействия электронов, помещенных в систему пространственно разделенных квантовых точек, находящихся в режиме Кулоновской блокады [43, 11, 12]. Так в работе [43], запутанное по спину состояние пары электронов создавалось в системе двух квантовых точек, соединенных туннельным контактом. В режиме Кулоновской блокады в каждой квантовой точке может находиться не более одного электрона, и основное т.е. низшее энергетическое состояние пары электронов, распределенных между двумя квантовыми точками, является синглетом, а первое возбужденное - трехкратно вырожденным триплетным состоянием. В случае, если такая система присоединена к двум ферми-резервуарам с некоторой приложенной разностью потенциалов и помещена в магнитное поле, то, в зависимости от спинового состояния электронов, распределенных между точками, осцилляции Ааронова-Бома в среднем туннельном токе, обладают различными амплитудами для синглетных и триплет-ных состояний.
Основным недостатком схемы, предложенной в работе [43], является то, что запутанные электроны остаются локализованными в квантовых точках, тогда как для потенциального использования запутанных состояний, помимо их создания, необходимо иметь возможность передать созданное запутанное состояние из одной точки пространства в другую. Данное обстоятельство было учтено в последующих схемах [11, 12], где путем специально подобранной геометрии и параметров квантовых точек (амплитуд туннелирования и Кулоновской энергии) были предложены динамические схемы создания спин-запутанных пар электронов, в которых локализованные в квантовых точках запутанные по спину электроны туннелировали в различные нормальные контакты системы и в дальнейшем распространялись баллистическим образом внутри проводников.
В других работах [13,10, 44, 15] пространственно разделенные спин-запутанные состояния электронов было предложено создавать за счет парного взаимодействия электронов внутри сверхпроводника. Основные черты предложенных схем мы рассмотрим на примере работы [13]. Рассмотрим сверхпроводник, присоединенный к нормальному металлическому контакту. Вследствие эффекта близости, куперовские пары из сверхпроводника могут туннелировать в нормальный металл, причем протуннелировавшая пара электронов оказывается запутанной как по спину (в синглетном состоянии для сверхпроводника с s-спариванием), так и по энергии: один электрон имеет энергию є выше уровня Ферми в системе, тогда как второй имеет энергию —є и, тем самым, может рассматриваться как дырка. В случае, если к сверхпроводнику приложено конечное напряжение, то в нормальный металл поступают избыточные запутанные электронно-дырочные пары, которые распространяются со скоростью Ферми вглубь нормального металла. В дальнейшем, путем упругого рассеяния такие пары распределяются в два других нормальных контакта системы, причем в каждом из контактов находится по одной квантовой точке, пропускающие электроны с энергией выше и, соответственно, ниже уровня Ферми. Тем самым процесс рассеяния, когда запутанные электроны туннелируют в один и тот же контакт, подавлен и в результате мы имеем устройство, в котором в двух нормальных контактах баллистическим образом распространяются пространственно разделенные синглетные электронные пары.
Помимо создания электронных запутанных состояний, возникла естественная необходимость предложить реалистичный эксперимент, которой позволил бы детектировать и измерять степень запутанности электронов в твердотельных устройствах. Первоначально в работе [45] было предложено детектировать наличие запутанных по спину электронных пар путем измерения дробового шума электронов.
