Введение к работе
Актуальность темы. Понятие когерентных состояний занимает одно из центральных мест в современной кванговой физике Они шракп важную роль в квантовой оптике ([1]) и в квантовой теории поля (при исследовании инфракрасных расходимостей в квантовой электродинамике ((2J)) Когерентные состояния существенно используются при определении и вычислении функциональных интегралов ([3]), а также в математической физике, теории представлений и других разделах математики После возникновения квантовой механики было естественно ожидать появления состояний, которые обеспечивали бы тесную связь между старым (классическим) и новым (квантовым) формализмами Такие состояния, как нерасплывающиеся волновые пакеты с квазиклассическим поведением, ввел в работе ([4]) Э Шредингер Позднее они получили название когерентных состояний Особенно популярными когерентные состояния стали после появления работ РГлаубера ([5],), ДжКлаудера ([6j) и ЭСударшана ([7]), применивших чти состояния к описанию коллективных явлений в квантовой оптике ([1]) Введенные для квантовомеханического осциллятора ([4]) (группа Гейзенберга), когерентные состояния определены в настоящее время для широкого класса квантовых физических систем, а также для систем связанных с другими группами (в том числе супергруппами и квантовыми группами)
Можно выделить несколько основных подходов к определению когерентных состояний
а) как собственных состояний оператора уничтожения a a\z) = z\z), z є С
Такие когерентные состояния часто называют когерентными состояниями типа
Барута- Жирардслло, т к в работе этих авторов ([8]) это определение было пере
несено на случай некомпактных групп,
б) как результат действия унитарного оператора сдвига
D(z) = ехр(го+ — za)
(здесь о, о+- операторы рождения и уничтожения) на вакуумный вектор |0) пространства Фока \z) = D(z)\0) Такие когерентные состояния чаще всего называют когерентными состояниями типа Переломова, активно изучавшего зти состояниями монографию ([9])),
в) как состояний, минимизирующих соотношение неопределенности Гейзен
берга (или Шредингера- Робертсона),
г) как состояний, удовлетворяющих некоторым естественным условиям
1) нормируемость то (z\z) = 1,
2)непрерывность по индексу г, те \\z — z'\\ —» 0 если \z — z'\ — О, 3)(оверх)полнота, т.е существование такой положительной весовой функции W(|22|) > 0, для которой имеет место следующее равенство (разложение единицы)
JJc\z)(z\W(\z\2)d2z = l, (11)
где 1 - единичный оператор
Такие состояния обычно называют когерентными состояниями типа Клаудера-Газо ([10])
Известно, что в случае обычного квантовомеханического <х:циллятора все ->ти определения порождают одпо и то же семейство когерентных состояний, т Р они эквивалентны, однако в общем случае это не так
В диссертации предлагается новый метод построения когерентных состояний, связанный с конструкцией алгебр осцилляторно-подобных систем, порождаемых произвольными ортогональными многочленами таким же образом, как обычный квантовомеханический осциллятор порождается полиномами Эрмита Именно, по заданной системе ортогональных полиномов определяются операторы "координаты", "импульса" и "квадратичный гамильтониан", а также лестничные операторы "рождения" и "уничтожения", удовлетворяющие перестановочным соотношениям, обобщающим известные перестановочные соотношения Гсйзепбер-га Тем самым определяется система, подобная осциллятору (так называемый "обобщенный осциллятор") Это позволяет осуществить построение когерентных состояний любым из указанных выше способов Подобные осциллятору системы, связанные с различными системами ортогональных полиномов, существенно используются при изучении некоторых моделей квантовой оптики, описывающих взаимодействие электромагнитного поля со средой, имеющей нелинейные оптические характеристики (так называемая среда Керра [11]) Кроме того квантово-ошические состояния, онределенные в конечномерном иространстве используются, например, в квантовой электродинамике, в томографии и квантовой теории информации с оптическими кубитами([12])
Цель работы. Построение "обобщенных осцилляторов" для основных полиномов схемы Аски - Вилсона ([19])
а) для классических полиномов непрерывного аргумента полиномов Лагерра,
Чебышева (первого и второго рода), Лежандра, Гегенбауера и Якоби,
б) для классических полиномов дискретного аргумента полиномов Мейкснера,
Шарлье и Кравчука,
в) для деформированных полиномов дискрехных q-нолиномов Эрмига(перво-
го и второго рода), непрерывных q-полиномов Эрмита
Построение спектральной меры оператора координаты для деформированных полиномов
Построение когерентных состояний всех четырех типов для рассматриваемых "обобщенных осцилляторов" и доказательство их полноты, т е построение меры, которая входит в разложение единицы
Получение явных формул для вычисления некоторых существенных параметров для когерентных состояний, на примере так называемого параметра Манделя
Научная новизна. Разработанный в диссертации метод и полученные результаты являются принципиально новыми К наиболее существенным результатам дисс ертации можно отнести следующие
1) Дана общая схема конструкции "обобщенного осциллятора"для любой си-
етемы многочленов, ортогональных относительно положительной меры на вещественной оси, имеющей все конечные моменты
-
Дана конструкция спектральной меры "оператора координаты "для "обоб-щеппого огциллятора"в случае ноопредолоппой степошюй проблемы моментов для соответствующей матрицы Якоби Эти результаты существенно уточняют общие результаты, приведенные в известной монографии А И Ахиезера (113))
-
Получены достаточные условия на коэффициенты рекуррентных соотношений для рассматриваемой системы ортогональных полиномов, при которых можно записать уравнение на собственные значения для гамильтониана соответствующего "обобщенного осциллятора"в виде дифференциального или разностного уравнения Доказано, что во всех исследуемых случаях это уравнение сводится к известным дифференциальным или разностным уравнениям второго порядка для даппых полипомов
-
В рамках предложенного подхода получены обобщенные осцилляторы для всех классических полиномов непрерывного (полиномы Лагерра, Чебышева, Ле-жандра, Гегенбауера и Якоби) и дискретного(полиномы Мейкснера, Шарлье и Кравчука) аргумента, а также для "деформировавных"полиномов Эрмита (дискретные q-полиномы Эрмита первого и второго рода и непрерывные q-полиномы Эрмита)
-
Получены явные формулы, выражающие когерентные состояния различных гидов через известные специальные функции математической физики, для всех рассмотренных в работе обобщенных осцилляторов Для этих когерентных состояний построены меры в пространствах Баргманна-Фока, которые дают соотношение полноты
-
Для когерентных состояний типа Барута - Жирарделло получена вычислительная формула для хорошо известного в оптике параметра Манделя, которая является обобщением соответствующей формулы Клаудера- Пенсона- Сиксденье ((14]) С помощью этой формулы исследован знак параметра Манделя для всех рассмотренных систем ортогональных полиномов Отметим, что параметр Манделя в задачах квантовой ошики характеризує! статистику квазивозбуждений в формализме вторичного квантования Фока С математической точки зрения знак параметра Манделя позволяет ввести некоторую нестандартную классификацию систем ортогональных полиномов
-
Для всех рассмотренных в работе систем ортогональных полиномов доказано, что когерентные состояния Барута - Жирарделло минимизируют соотношение неопределенности для операторов "координаты" и "импульса"соответствующего обобщенного осциллятора Получены алгебраические неравенства для коэффициентов рекуррентных соотношений соответствующих полиномов, эквивалентные соотношениям неопределенности
Практическая значимость работы. Представленный метод и полученные в работе конкретные результаты могут быть полезны в задачах квантовой физики при вычислении корреляционных функций, при рассмотрении некоторых нели-
нейных моделей квантовой оптики, (например, модель Джойнса- Камингса [11]) при изучении характера различных статистик квазивозбуждений в формализме вторичного квантования, при построении и исследовании функциональных интегралов в голоморфном представлений
Апробация работы. Представленные в диссертации результаты докладывались на научных семинарах по математической физике Санкт-Петербургского отделения Математического института им В А Стеклова РАН и Санкт-Петербургского государственного университета в 2003 г и 2006г, на научных семинарах по диффракции Санкт- Петербурского отделения Математического института им В А Стеклова РАН в 2001г, 2003г, 2004г и в 2006г, на семинарах Стокгольмского университета ( Стокгольм, Швеция) в 1995г., на семинаре Ренского университета ( Рен, Франция) в 2001г., на международной конференции по дифференциальным уравпепиям, поспящеппой памяти В Ф Лазуткина п 2002г, па международных конференциях "День Диффракции" (International Seminar Days on Diffraction) ( Санкт- Петербург) в 2002г 2006г, на международных конференциях "Математические идеи П Л Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания "(гОбнинск) в 2002г, 2004г и в 2006г, а также на общегородском оптическом семинаре на кафедре теоретической физики Российского государственного педагогического университета им А.И Герцена в 2006г, на научном семинаре кафедры вычислительной физики Санкт-Петербургского государственного университета в 2007і
Публикации. Всего по теме диссертации опубликована 21 работа, список работ приведен в конце реферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы Общий объем диссертации составляет 223 страниц, библиография содержит 152 работы
