Содержание к диссертации
Введение
I. Структура сингулярности в модели Венециано 14
Модель Венециано. Вопрос о сингулярности в будущем 14
Анизотропное решение в модели Венециано 21
Предел асимптотически плоского пространства - времени. Квантование 25
Структура пространства-времени в окрестности сингулярности 31
Выводы 37
II. Гидродинамика ультрарелятивистской жидкости в плоской анизотропной модели 41
Постановка задачи 41
Гамильтонов формализм в релятивистской гидродинамике 44
Случай конечного среднего импульса 50
Малые возмущения. Случай р0 = 0 51
Выводы 54
III. Стохастический разогрев 57
Параметрический резонанс в задаче о разогреве 57
Стадия инфляции 61
Разогрев: решение однородной задачи 64
Частное решение, описывающее синхронные осцилляции 71
Общий случай: ВКБ-режим 74
Компьютерное моделирование: случай к ~ 1 79
Выводы 81
IV. Квази-изотропное решение в отсутствие слабой энергодоми нантности 88
Квази-изотропное решение в случае ультрарелятивистской материи 88
Качественные соображения 93
Квази-изотропное решение для неограниченного снизу потенциала скалярного поля 95
Выводы 98
V. Ограничения на уравнение состояния Л - поля 100
Восстановление уравнения состояния Л - поля по наблюдательным данным 100
Условие отстутствия кластеризации Л - поля на малых масштабах 103
Анализ условия отсутствия кластеризации. Его применение к модели газа Чаплыгина 106
Заключение 110
Приложение 113
Литература 116
Публикации автора 122
- Анизотропное решение в модели Венециано
- Гамильтонов формализм в релятивистской гидродинамике
- Частное решение, описывающее синхронные осцилляции
- Качественные соображения
Введение к работе
Современная космология представляет собой исключительно динамично развивающуюся науку, чему способствует привлечение новых нетривиальных идей из смежных областей физики, а также совершенствование экспериментальной и методологической базы астрономии. Поскольку структура Вселенной на красных смещениях, доступных в настоящий момент к наблюдению, достаточно хорошо исследована, особенный интерес для теоретика представляет космологическая динамика, которая реализуется на ранних стадиях эволюции, в особенности, физика в окрестности космологической сингулярности. С одной стороны, здесь остается довольно много свободы для теоретических изысканий с использованием современных методов физики высоких энергий. С другой стороны, ранние стадии эволюции Вселенной задают начальные данные для последующих стадий, индуцируя косвенные эффекты, доступные современному наблюдателю. Неизбежным является тот вывод, что материя, которую описывает эффективная теория, релевантная при достаточно малых мировых временах, должна быть ультрарелятивистской.
Согласно общепринятым в настоящее время представлениям [1] - [3] можно условно выделить четыре этапа эволюции Вселенной. Первым этапом является инфляционная стадия, характеризующаяся квазиэкспоненциальным характером расширения Вселенной, когда метрика пространства - времени на больших масштабах имеет вид ds2 = dt2 - exp (2Ht) (dx2 + dy2 + dz2) , где H — медленная функция мирового времени t. Хотя продолжительность инфляционного режима расширения чрезвычайно мала, его введение необходимо для разрешения таких парадоксов классической фридмановской космологии как проблемы плоскостности, горизонта и отсутствия монополей [3]. Вся энергия сектора материи на стадии инфляции принадлежит некоторому эффективному скалярному полю. Поэтому естественно, что при t ~ 10~35 сек инфляцию сменяет также чрезвычайно короткая стадия разогрева, за время которой скалярное поле распадается на быстро термализующиеся кванты материи. За разогревом Вселенной следует этап нуклеосинтеза, характеризующийся доминантностью излучения, который на временах t ~ 300000 лет сменяется стадией доминантности нерелятивистского вещества.
Существенно, что эволюция Вселенной на последних двух этапах может изучаться методами наблюдательной астрономии, поскольку уже при t ~ 0.01 сек Вселенная становится прозрачной для мюонных нейтрино, тогда как о космологической динамике на стадиях инфляции и разогрева можно судить лишь по косвенным эффектам.
Одним из важнейших успехов наблюдательной астрономии последних 15 лет можно считать обнаружение анизотропии реликтового излучения ([4], см. также обзоры [5], [6]) на уровне, предсказываемом простейшими инляци-онными моделями [7]. Хотя объяснение анизотропии, основанное на теории инфляции, и не является единственным, оно оказывается наиболее мотивированным. Сегодня, по-видимому, мы можем с уверенностью считать, что на ранних стадиях своей эволюции Вселенная в самом деле претерпевала квазиэкспоненциальное де ситтеровское расширение. Вместе с тем, естественной оказывается задача о построении инфляционных моделей на базе теории струн [10], [71], [72], [73] и других теорий, претендующих на роль Единой Теории Поля (см., например, [60]). При этом управляющее стадией квазиэкспоненциального расширения инфлатонное поле может иметь самое разное физическое происхождение. В этом контексте особенно интересно изучение свойств космологических решений в окрестности сингулярности, когда становятся существенными высшие члены в низкоэнергетическом разложении действия соответствующей фундаментальной теории. Недостаточно разработанной остается также теория разогрева Вселенной после окончания стадии инфляции.
Другим важным успехом наблюдательной астрономии стало обнаружение ускоренного характера расширения нашей Вселенной [49] - [52], которое становится заметным на красных смещениях z ~ 1. Этот результат еще во многом требует осмысления. Основной вывод, который здесь можно сделать, состоит в том, что современная стадия расширения Вселенной по-видимому также является приближенно де ситтеровской. На наш взгляд, это являет- ся дополнительным аргументом в пользу необходимости изучения классических и квантовых свойств инфляционных моделей, задачи об окончании инфляционной стадии и космологической динамики Вселенной, реализующейся вблизи сингулярности.
Настоящая диссертация изучению этих свойств и имеет следующую структуру.
В Главе I исследуется структура сингулярности в модели Венециано. Как показано, неминимальность взаимодействия гравитационного и скалярного полей для низкоэнергетического эффективного действия теории струн приводит к тому, что появляется новый тип сингулярностей. Он характеризуется тем, что обращается в бесконечность эффективная гравитационная постоянная, причем инварианты тензора Римана могут при приближении к такой сингулярности оставаться сколь угодно малыми. Воспользовавшись экспериментальными ограничениями на флуктуации гравитационной постоянной во времени и величину параметра ш в теории Бранса-Дикке, мы вычисляем нижнюю границу времени, которое осталось расширяющейся Вселенной до "падения" в сингулярность второго типа. Далее показано, что проблема единственности выбора начальных данных в сценарии Венециано остается нерешенной — асимптотически плоский мир, который соответствует начальному состоянию в сценарии, может быть наполнен квантами гравитационного и скалярного полей. Оказывается, что в окрестности сингулярности пространство - время описывается метрикой Казнера с казнеровскими показателями, являющимися случайными классическими величинами, зависящими от выбора начальных условий. Из вида функции распределения казнеровских показателей следует, что пространство - время в окрестности сингулярности приобретает доменную структуру, причем в каждом из доменов реализуется свой режим анизотропного расширения.
В Главе II посредством гамильтонова метода исследуется движение ультрарелятивистской идеальной жидкости на фоне пространства - времени с казнеровской метрикой. Оказывается, что в окрестности сингулярности уравнение движения для канонического импульса вообще перестает зависеть от поля относительной плотности; каждая точка жидкости, движется почти независимо от остальных. В том же пределе имеет место тенденция к образованию сильных неоднородностей в распределении материи — в пространстве могут возникать квазидвумерные области блинообразной формы, в которых плотность материи велика по сравнению с ее средним значением.
В Главе III изучается резонансная структура стандартной теории разогрева Вселенной после инфляции. Оказывается, что в том случае, если взаимодействие инфлатонного поля с полями материи не слишком велико, на стадии инфляции имеет место стохастический рост среднего значения поля материи. В однородной задаче о стадии разогрева вследствие этого возникает явление перемежаемости. Решение же задачи о квантовой динамике разогрева приобретает новую качественную особенность: возникновение явления тахионной неустойчивости для достаточно больших значений постоянной взаимодействия инфлатона и поля материи и длинных волн возбуждений. Подобная нестабильность представляет собой серьезную опасность для стандартной модели разогрева. Общий вывод состоит в том, что свойства разогрева не меняются, если константа взаимодействия инфлатона с полем материи мала по сравнению с 1 или оказывается много больше ее.
В Главе IV найдено квази - изотропное решение Лифшица - Халатникова для вселенной, наполненной скалярным полем, потенциал которого неограничен снизу. Оказывается, что оно имеет общий характер в том смысле, что всякое решение уравнений Эйнштейна с сингулярностью в окрестности ее выходит на найденную асимптотику типа Лифшица - Халатникова. В то же время это не означает отсутствия существования в данной ситуации общего решения уравнений Эйнштейна без сингулярности, поскольку для уравнений в частных производных нет теоремы о существовании и единственности общего решения. Построенное решение типа Лифшица - Халатникова также является асимптотикой общего решения задачи о падении двух .D-бран для индуцированной метрики на одной из .D-бран. Область применимости этой асимптотики лежит при малых t, которые все же не настолько малы, чтобы перестало быть применимым низкоэнергетическое эффективное действие.
В Главе V найдены ограничения на эффективное уравнение состояния лямбда - члена, отвечающего за современный ускоренный характер расширения Вселенной, следующие из условия отсутствия его кластеризации на масштабах меньших, чем космологический горизонт. Эти условия затем применяются к модели газа Чаплягина. Показано, что постоянная п в уравнении состояния газа Чаплыгина не может быть слишком велика по сравнению с 1.
В Заключении сформулированы результаты работы.
В Приложении рассматривается задача о стадии инфляции, динамика которой управляется двумя скалярными полями.
Цель работы заключалась в изучении структуры космологической сингулярности, возникающей в мембранных моделях и моделях типа Pre-Big-Bang, основанных на непер-турбативных эффектах теории струн изучении поведения материи гидродинамического типа в окрестности казнеровской космологической сингулярности исследовании свойств стандартной теории разогрева при не слишком больших константах связи инфлатона и поля материи нахождении ограничений на уравнение состояния эффективного лямбда - члена, отвечающего за современный ускоренный характер расширения Вселенной
Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии Наук.
Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях Joint European and National Astronomical Meeting, г. Москва (2000), V International Conference on Cosmoparticle Physics, г. Москва (2001), на Все- российской Астрономической Конференции, г. С.-Петербург (2001), а также на научных семинарах Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН и Исследовательского центра Canadian Institute for Theoretical Astrophysics г. Торонто (Канада).
По теме диссертации опубликованы 3 научных работы, список которых приведен в конце диссертации.
Анизотропное решение в модели Венециано
Уравнения движения, следующие из четырехмерной теории с действием (здесь мы ввели константу As, чтобы обезразмерить действие) имеют следующий вид: Анализ этих уравнений можно сильно упростить, если заметить, что теория (1.25) конформно-эквивалентна ОТО со скалярным полем В самом деле, если метрика д Е) является решением уравнений Эйнштейна, то g s) — дци(Е)е является решением уравнений (1.26 , 1.27). Также верно обратное (в дальнейшем мы будем называть д (Е) метрикой в эйнштейновском фрейме, a g s) метрикой в струнном фрейме). Попробуем выйти за рамки однородной задачи и построить точное решение, отвечающее в эйнштейновском фрейме классической сильной гравитационной волне, распространяющейся на некотором однородном фоне, и сильным неоднородным возмущениям скалярного поля. Очевидно, что в общем случае найти такое решение невозможно, поэтому попытаемся ограничиться исследованием квазидвумерной задачи — пусть все компоненты метрики и скалярное поле будут зависеть только от координат t и х. Оказывается, что такая задача решается до конца (см., например, [16]), и ответом является аксиально-симметричная метрика Эйнштейна-Розена. Будем искать соответствующее решение в виде где А, В, С, у,Ф — функции только tux. Поскольку уравнения Эйнштейна инвариантны относительно калибровочных преобразований t = t(t,x), х — x(t,x), то можно положить goo = — #11, Рої = 0, т.е., A(t,x) = C(t,x).
Уравнения Эйнштейна накладывают на функции Л, В, С, 7, ф следующие связи: Наконец, уравнение движения поля 0 выглядит следующим образом: Из (1.33) легко найти, что где , = t — х, 7) = t -\- х, a /i52 — произвольные функции своего аргумента. Теперь воспользуемся оставшейся калибровочной инвариантностью относительно преобразований = Н\(),т) = #2(17)) и положим Б = ln(—;}, после чего уравнения (1.34) и (1.35) легко решаются: Выражение для A(t, х) можно найти, воспользовавшись уравнениями Удобно разделить A(t, х) на однородную и неоднородную части. Первая легко находится из (1.39) и оказывается равной Неоднородный вклад в A(t, ее) проще найти из уравнения (1.40): Прежде всего рассмотрим однородный ( cak = 0, Va, fc) предел. В струнном фрейме метрика пространства-времени имеет вид Она стремится к нулю при t — — оо для любой точки в параметрическом пространстве (ф,(3). Если /? = 0, -02 = 3, пространство-время (а в неоднородной задаче — фоновое пространство-время) является изотропным. В этом случае метрика (1.29) совпадает с решением Венециано, при t — —оо асимптотически эквивалентным плоской вселенной Минковского. В дальнейшем нас особенно будет интересовать именно такой выбор параметров. Предел асимптотически плоского пространства -времени. Квантование Ниже мы увидим, что моды в (1-37) и (1.38) можно интерпретировать, как дилатоны и гравитоны, распространяющиеся на фоне искривленного пространства - времени.
Начальные условия выберем следующим образом: зададим некоторый достаточно ранний момент времени ti (именно это время оно фигурирует везде в (1.37), (1.38), (1.41)) и выбросим все моды, не удовлетворяющие условию k\ti\ 1. Это соответствует тому, что мы пренебрегаем в начальном состоянии модами с длиной волны большей, чем космологический горизонт. Однако, существование таких мод противоречит причинности, если только таким образом определенное "начальное" состояние само не возникло в результате инфляции. Далее, под пределом t — — оо будем понимать все t такие, что \t\ \U\. В этом случае для всех без исключения мод годится асимптотика Отсюда следует, что "правильными" (соответствующими положительно - частотным решениям) являются моды егп/4Щ (—Ы)е гкх и е17Т Щ (—kt)elkx, что соответствует замене Займемся теперь квантованием. Построим скалярное произведение (ф: ф) (для отвечающего гравитону поля j процедура аналогична). Для этого зарядим поле ф по некоторому абелеву калибровочному полю и затем вычислим SA0 (здесь интегрирование dV ведется по некоторой по некоторой простран-ственноподобной гиперповерхности, от которой на вследствие справедливости теоремы Гаусса результат не зависит; будем считать, что в /—де вклад
Гамильтонов формализм в релятивистской гидродинамике
Пусть уравнение состояния є = є(п) связывает плотность є энергии жидкости, измеренную в локально сопутствующей системе отсчета, с плотностью п числа сохраняющихся частиц [21]. Скаляр п представляет собой модуль 4-вектора тока пг = n{dxl/ds) [22]. Определим относительную плотность p(t, г) таким образом, чтобы для нее тождественно выполнялось уравнение непрерывности в стандартной форме где поле 3-скорости v(t, г) = va = (vx, vv, vz) определено естественным образом как dxa/dt на мировой линии точки жидкости, проходящей через (t, г). Уравнение (П.3) следует из уравнения п\ = 0, выражающего закон сохранения вещества [21], если связать рип соотношением [26]: где д = det jfc - детерминант метрического тензора. Функционал действия S = J Cdt релятивистской гидродинамики в заданном гравитационном поле определяется через лагранжиан С = {р, v} следующим образом [25],[26]: Уравнение движения для поля скорости v(t,r) имеет в трехмерном представлении структуру (обобщенное уравнение Эйлера [28]) Это есть не что иное как вариационное уравнение Эйлера-Лагранжа, выражающее собой принцип экстремальности действия S по отношению к вариациям мировых линий частиц жидкости. Трехмерный вектор p(t,r) = (l/p)(6/Sv), представляет собой канонический импульс жидкой частицы в точке (, г). Мы видим, что определение канонического импульса в релятивистской гидродинамике зависит нетривиальным образом от уравнения состояния. Соотношение (II.7) позволяет в принципе найти обратную зависимость скорости от импульса и плотности: v = v{p,p}. Из уравнения (II.6) применением оператора rot получается важное уравнение для поля завихренности ft(r,) — votp(t, г): которое означает, что завихренность вморожена в жидкость и справедлива теорема Кельвина о сохранении циркуляции поля р вдоль произвольного замкнутого контура 70О переносимого потоком:
Если перейти к представлению течений в терминах полей р и р, то после определения гамильтониана 7і{р,р} по формуле уравнения движения жидкости принимают вид [28] В частности, для потенциальных течений, когда завихренность равна нулю и р = Vcp, динамические переменные р и ip образуют каноническую пару: Уравнения (11.12) будут использованы далее (в линеаризованном виде) для анализа динамики акустических мод. Другой интересный динамический режим может иметь место, когда в системе есть равновесное решение р = po(r), р = р0 = Const, не зависящее от времени. Если вихревая компонента течения мала и звуковые колебания возбуждены слабо, то возмущения плотности пренебрежимо малы по сравнению с ее равновесным значением. В этих условиях медленная динамика завихренности описывается уравнением [29],[26] в котором гамильтониан завихренности "Н {0} получается из квадратичной по возмущениям Sp = р — р0 и Sp = р — ро части Ti {Sр, 5р} полного гамильтониана системы путем фиксации потенциала ср условием неизменности плотности 6H/8ip = 0: Подчеркнем, что хотя равновесное решение должно быть независимым от времени, сам гамильтониан может содержать явную зависимость от t. Именно такая ситуация реализуется в пространстве - времени с казнеровской метрикой (И.1). Отметим, что в данной метрике возможны однородные по пространству равновесные решения вида р = pQ = const, р = р0 = const [22], что легко увидеть из уравнений движения (II.3) и (II.6). Перейдем теперь собственно к вычислениям. Будем считать, что материя подчиняется ультрарелятивистскому уравнению состояния в соответствии с тем, что п — оо при t — 0 [22] — это естественно с физической точки зрения.
Для удобства изменим определение показателей: ЗЛа = 2/, сделаем замену переменной 2/3 = т в действии 5, а также выберем подходящим образом масштабы пространственных координат и относительной плотности р, чтобы получить Чтобы по данному лагранжиану вычислить гамильтониан Н{р,р}, необходимо сначала разрешить соотношение р = (l/p)(S/5v), т.е., относительно скорости v, а затем подставить в (П.9). Введем обозначения Определим вспомогательную функцию h(Q) условиями Явное выражение h(Q) можно написать, используя формулу Картано для корней кубического многочлена. Обозначив для краткости
Частное решение, описывающее синхронные осцилляции
Предположим, что амплитуда фоновой составляющей поля ф пропорциональна амплитуде фоновой составляющей поля . Фактически на стадии разогрева это условие не выполняется никогда, хотя начальные условия можно выбрать так, чтобы оно имело место на стадии инфляции (см. Приложение). Тем не менее, как мы увидим ниже, соответствующее частное решение уравнений движения правильно передает все особенности их общего решения. Из уравнений (III.15), (III.16) легко заметить, что если ф = а, постоянная а оказывается фиксированной: мы получаем следующее уравнение для поля ф: Его решение выглядит следующим образом: и рактера динамики, который имеет место в общем случае. Рассмотрим флуктуации полей ф и над их фоновыми составляющими. Раскладывая, как обычно, возмущение по базисным модам, имеем
В том случае, если 6фк — и (- моды сильно взаимодействуют друг с другом, остается неясным, каким образом следует определять число частиц и индексы Флоке [43]. Можно однако перейти к новым, независимым, модам: где Л, Б, С, D — некоторые константы, значения которых будут найдены ниже. Подставляя представление (III.28), (III.29) в уравнения (III.26), (III.27), можно легко найти, что (уравнения на постоянные С и D выглядят аналогично) Константы A,B,C,D можно выбрать так,5, что преобразования (III.28), (III.29) будут задавать вращение в пространстве мод. Уравнения для повернутых мод имеют следующий вид: Обсудим теперь смысл найденных уравнений и некоторые свойства их решения. Во-первых, мы выяснили, что в присутствии нетривиального фонового поля правильными с физической точки зрения являются именно повернутые моды; следует заметить, что определение полей Е , А сильно зависит от параметра к, поэтому в ситуации общего вида нельзя построить диаграмму типа карты устойчивости, полностью характеризующую динамику системы.
Во-вторых, поле Е& можно интерпретировать как "инфлатонную" моду с волновым вектором К, поскольку уравнение (III.34) имеет тот же вид, что и уравнение на инфлатонную моду при () = 0. Наконец, можно видеть, что если постоянная к достаточно велика, при некоторых А; имеет место тахионная неустойчивость по отношению к рождению возбуждений, соответствующих модам Ak- Это означает лавинообразный характер рождения таких возбуждений, однако сами возбуждения оказываются весьма не похожими на обычные частицы. 5Поскольку оба уравнения (Ш.ЗО), (111.31) можно одновременно умножить на некоторое произвольное число. Интересно заметить, что для частного решения с синхронными осцилля-циями существует возможность исследовать поведение системы возле границы тахионной неустойчивости. Эта граница в данном случае оказывается весьма резкой — при к 2 все моды оказываются в указанном смысле устойчивыми. Перейдем теперь к рассмотрению общего случая — будем считать фоновые составляющие полей ф и независимыми и не равными нулю. Оказывается, что теперь нельзя построить такое линейное преобразование мод 8фк и 6 , под действием которого уравнения (III.26), (III.27) станут независимыми. Таким образом, неясно, как в данной ситуации должно быть определено число частиц (а, следовательно, и вакуум теории!). Подсказка состоит в следующем: всегда необходимо помнить, что число частице-подобных возбуждений некоторого осциллятора с переменной частотой определено корректно лишь в том случае, если осциллятор находится в ВКБ-режиме, поэтому будем искать ВКБ-решение уравнений (III.26), (III.27). Эти уравнения в матричном представлении имеют следующий вид:
Качественные соображения
Поймем прежде всего из качественных соображений, как устроена космологическая динамика вселенной в том случае, когда потенциал скалярного поля оказывается неограниченным снизу. Если изучать лишь однородную динамику гравитационного и скалярного полей, то, как легко видеть, имеется эквивалентное описание космологии в терминах гидродинамики. В самом деле, в результате интегрирования (численного или аналитического) уравнений движения мы найдем выражения для масштабного фактора а и скалярного поля ф как функции от мирового времени t. Можно представить себе, что найденный закон космологического расширения осуществляется благодаря тому, что вселенная заполнена некоторой материей с тензором энергии-импульса гидродинамического типа Tik = (р + щщ — pgik-
Решая обратную космологическую задачу (т.е., восстанавливая параметры теории по известной зависимости а — a{t)), мы находим уравнение состояния этой материи р = /(б), что и означает эквивалентность описания однородной космологии в терминах полевых и гидродинамических переменных [75]. Разумеется, на уровне флуктуации никакой эквивалентности между полевым и гидродинамическим языками нет. Если потенциал скалярного поля не ограничен снизу, легко понять, каково будет поведение масштабного фактора а как функции от мирового времени t. В самом деле, имеем и в окрестности сингулярности, когда значение скалярного поля неограниченно растет, осуществляется режим р є. Если для простоты считать, что уравнение состояния для гидродинамического описания космологической динамики имеет вид р = ке, то расширение вселенной осуществляется по закону a(t) = ao 3(1+fc) [76], и в случае неограниченного снизу потенциала скалярного поля мы имеем режим расширения a(t) — aota с а С . Очевидно, что таким же образом будет зависеть от времени ведущий член в квази - изотропном решении Лифшица-Халатникова. В этом режиме гравитационные волны начинают играть для динамики вселенной возле сингулярности важную роль. В самом деле, в однородной космологии фридмановского типа имеем следующее уравнение для амплитуды гравитационной волны Возле сингулярности второй член в правой части мал по сравнению с первым, и приближенное общее решение уравнения (IV.3) можно записать в виде
Таким образом, в режиме a(t) — aota с а С амплитуда любой гравитационной волны может оказаться сравнимой с фоновым полем. Как мы увидим ниже, это приводит к тому, что квази - изотропное решение Лифши-ца - Халатникова возле сингулярности для систем с неограниченным снизу потенциалом становится общим решением уравнений Эйнштейна. Квази-изотропное решение для неограниченного снизу потенциала скалярного поля Будем снова искать решение для гравитационного поля в синхронной системе отсчета и скалярного поля в виде разложения по степеням мирового времени t: Обратная матрица jaP оказывается зависящей от t следующим образом: Подставляя в общее выражение для тензора Риччи разложения (IV.5) и (IV.7), мы найдем, что где тензор Pp — трехмерный тензор Риччи, построенный по компонентам аа/3 как по компонентам метрического тензора. Будем считать, что потенциал скалярного поля имеет вид Li Такой его выбор является типичным с точки зрения космологических приложений М-теории (см., например, [71]). Введем следующий тензор: Тогда имеем: Перейдем теперь к анализу соответствующих уравнений Эйнштейна, положив К — STTG. ИЗ (0, 0)-компоненты легко найти, что Из (0, а)-компоненты уравнений Эйнштейна следует, что Кроме того, можно видеть, что jQ = 0, поскольку в левой части уравнения Эйнштейна нет членов, пропорциональных І/t. Наконец, анализируя (а, /3)-компоненту уравнений Эйнштейна, мы получим, что Таким образом, d = 1 — q. Сопоставляя уравнения (IV. 17) и (IV.24) легко убедиться в том, что q = 2КХ 2 — f-. Итак, окончательный ответ оказывается следующим: Здесь мы ввели дополнительные вклады — dap в 7а/3 и 0з(ж) в / (#). С одной стороны, их учет необходим, поскольку имеют место неравенства 2(1 — q) и 2(1 — 3g) 2(1 — g), с другой стороны, они никак не влияют на общность решения, поскольку полностью восставливаются по известным зависимостям аар и сар. По этой причине мы не станем здесь приводить явные выражения для тензора dap и функции фч.
