Содержание к диссертации
Введение
1 Общее введение 6
2 Приближенные симметрии для перколяции в сложных системах 9
2.1 Введение 9
2.2 Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции: обзор 11
2.2.1 Задачи перколяции на регулярных решетках 11
2.2.2 Задачи перколяции на случайных узлах 12
2.2.3 Случайно упакованные сферы: бинарные смеси 14
2.2.4 Почему топологически неупорядоченные задачи узлов обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках? 14
2.3 Локальная симметрия для многоцветных систем 14
2.3.1 Матрица связывания 15
2.3.2 Построение инварианта 16
2.3.3 Порог перколяции 18
2.3.4 Парциальные вероятности перколяции вблизи порога: критические моды 18
2.3.5 Простые примеры моделей цветной перколяции 19
2.4 Глобальная симметрия 21
2.4.1 Глобальная симметрия для цветных моделей 23
3 Перколяционные свойства полидисперсных композитных материалов 26
3.1 Введение 26
3.2 Применение идеи глобальной симметрии для описания свойств полидисперсного композита 28
3.2.1 Модель композитного материала 28
3.2.2 Статистика координации в случайной упаковке 29
3.2.3 Перколяционные свойства металлической подсистемы 31
3.3 Заключение 34
4 Использование приближенных симметрии перколяционных моделей в задачах прыжковой проводимости 37
4.1 Введение 37
4.2 Прыжковая проводимость в произвольном магнитном поле 37
4.2.1 Вычисление подбарьерного действия 39
4.2.2 Магнитосопротивление 41
4.3 Прыжковая проводимость при произвольной температуре 44
4.3.1 Общий подход, основанный на приближенной локалвной симметрии 45
4.3.2 Высокие температуры, закон Аррениуса и поправки к нему 46
4.3.3 Низкие температуры, закон Мотта 47
4.4 Првіжковая проводимоств с несколвкими сортами примесей 49
5 Прыжковая проводимость в магнитно неупорядоченных системах 52
5.1 Флуктуационный механизм прыжковой проводимости в разбавленнвіх полумагнитнвіх проводниках 52
5.1.1 Связаннвіе магнитнвіе поляронві в полумагнитнвіх полупроводниках 52
5.1.2 Првіжковая проводимоств: фононнвіе и флуктуационнвіе првіжки 53
5.1.3 Ввісокие температурві 55
5.1.4 Низкие температурві: ролв неоднороднвіх флуктуации 56
5.1.5 Эффект магнитного поля 57
5.2 Связаннвіе магнитнвіе поляронві в спиноввіх стеклах и проблема жесткой магнитной щели в првіжковой проводимости 58
5.2.1 Введение 58
5.2.2 Стандартное объяснение возврата простой активации за счет жесткой магнитной щели и его внутренняя противоречивоств 60
5.2.3 Связаннвіе магнитнвіе поляронві в спиноввіх стеклах: уникалвная возможноств классического описания при низких температурах 61
5.2.4 Полуфеноменологическая теория 63
5.2.5 Применение к полумагнитному полупроводнику Cd0.9iMno.o9Te:In 66
5.2.6 Вблизи перехода металл-диэлектрик 67
5.2.7 Другие системві 70
6 Прыжковое магнитосопротивление в полупроводниках со сложной магнитной структурой 72
6.1 Введение 72
6.2 Магнитная структура ЬагСиС^ во внешнем поле 76
6.3 Примеснвіе состояния, виброннвіе зффектві и молекулярнвіе поля 81
6.3.1 Гамилвтониан двірок и классификация акцепторнвіх конфигураций 81
6.3.2 Виброннвіе зффектві 84
6.3.3 Взаимодействие с антиферромагнитнвім окружением: молекулярнвіе поля 85
6.4 Сетка сопротивлений Миллера-Абрахамса 87
6.4.1 Туннелвнвіе интегралві перекрвітия 88
6.4.2 Поляроннвіе првіжки 89
6.4.3 Переходві с переворотом и без переворота спина 89
6.4.4 Антиферромагнитное окружение: теория среднего поля 90
6.4.5 Сопротивления переходов для различных магнитных фаз и типов упорядочения примесей 91
6.5 Обобщенная задача протекания 93
6.6 Обсуждение и сравнение с экспериментом 97
6.6.1 Магнитное поле Н || b 98
6.6.2 Магнитное поле Н ± b 98
6.6.3 Эффекты многодоменности 100
6.6.4 Эффекты магнитных флуктуации 102
6.6.5 О возможности определения молекулярных полей в оптических экспериментах 102
6.7 Заключение 103
7 Перколяционные модели пористых металлов 104
7.1 Введение 104
7.2 Модель с самозалечивающимся связями 105
7.2.1 Постановка задачи 105
7.2.2 Топологический фазовый переход: сетевидная и древовидная фазы 106
7.2.3 Блочная структура и критическое поведение вблизи перехода 109
7.2.4 Фрактальные свойства древовидной фазы 112
7.3 Заключение 114
8 Эффекты беспорядка в хорошо проводящих гранулированных металлах 119
8.1 Введение 119
8.2 Регулярные решетки: нетривиальный пример 121
8.3 Кластеризация и перколяциоииый характер перехода металл-диэлектрик в неупорядоченной системе 122
8.4 Слабые неоднородные флуктуации кондактансов 124
8.4.1 Теория возмущений: квадратная решетка 125
8.4.2 Пространственные корреляции перенормированных кондактансов 127
8.4.3 Пространственные флуктуации локальной плотности состояний 128
8.5 Умеренно сильные неоднородные флуктуации кондактансов 130
8.5.1 Приближение эффективной среды: общая формулировка 131
8.5.2 Применение к узким распределениям 132
8.5.3 Применение к "симметричным" распределениям произвольной ширины 132
8.6 Очень сильные неоднородные флуктуации кондактансов 134
8.7 Заключение 138
9 Прыжковая проводимость гранулированных металлов 139
9.1 Введение 139
9.2 Котуннелирование через одну гранулу: обзор 141
9.3 Котуннелирование через цепочку гранул 142
9.3.1 Теория возмущений: общий подход 143
9.3.2 Модель с короткодействующим кулоновским отталкиванием 149
9.3.3 Эффективная задача перколяции и вывод закона Мотта для случая короткодействующего взаимодействия 152
9.4 Магнитосопротивление 154
9.5 Заключение 156
Общее заключение 158
- Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции: обзор
- Перколяционные свойства металлической подсистемы
- Связаннвіе магнитнвіе поляронві в спиноввіх стеклах и проблема жесткой магнитной щели в првіжковой проводимости
- Туннелвнвіе интегралві перекрвітия
Введение к работе
Каждая глава этой диссертации имеет свое собственное введение, в котором подробно описан соответствующий круг проблем. Поэтому в настоящем "Общем введении" мы остановимся только на самых общих вопросах, затронутых в ней.
Неупорядоченные материалы - самые широко распространенные в природе системы, поэтому необходимость их изучения никогда не вызывала сомнений. Долгое время, однако, исследование неупорядоченных систем происходило по двум, очень мало пересекающимся, линиям. Физики, в особенности теоретики, старались исследовать как можно более простые системы (такие, как модель Андерсона, стандартные перколяционные модели и т.п.) и интересовались в основном общими, универсальными их свойствами. Инженеры подробно изучали важные для приложений сложные системы на чисто эмпирическом уровне, так что накопленные в их исследованиях конкретные результаты физику даже довольно трудно "переварить"и использывать. Только в последнее время появилась тенденция проникновения серьезной "физической культуры" в науку о реальных сложных неупорядоченных материалах.
Одной из задач данной лиссертации является разработка приближенных полуфеноменологических методов, которые, будучи, с одной стороны, физически прозрачными и убедительными, позволяли бы, с другой стороны, опираясь на эмпирические данные, описывать сложные реальные системы и предсказывать их свойства. Приближенность этих методов искупается сложностью доступных для них задач, которая не дают даже возможности надеяться на применение каких-либо точных схем.
Большой интерес представляют искусственные неупорядоченные материалы с заданными свойствами, создаваемые в сильно неравновесных технологических процессах. Стандартные простые модели часто оказываются не в состоянии адекватно описать такие вещества. Это, в частности, относится к пористым материалам, которые обычно описывают с помощью перколяционных моделей, не учитывающими важных топологических ограничений, накладываемых условиями механической устойчивости материала. В диссертации мы рассматриваем модели, в которых этот недостаток устранен и обсуждаем важные физические последствия, к которым приводят топологические ограничения.
Чрезвычайно важны и интересны квантовые эффекты в неупорядоченных системах, проявляющиеся, как правило, при низких температурах. Сюда относятся, в первую очередь, транспортные явления, прыжковая проводимость. Эти явления очень много исследовались, начиная с пионерских работ Мотта, Андерсона, Шкловского и Эфроса 60-х и 70-х годов прошлого века. Тем не менее, многие аспекты прыжковой проводимости, особенно в сложных системах, оставались непонятыми. Некоторые их таких проблем, связанные с присутствием в системе дополнительных степеней свободы (магнитных, решеточных и других) решены в этой диссертации. Для исследования возникающих в процессе решения этих физических задач нестандартных перколяционных моделей оказываются полезными приближенные методы, о которых говорилось выше.
В последние годы возникло понимание важности квантовых эффектов и эффектов электрон-электронного взаимодействия для описания низкотемпературных свойств гранулированных металлов. В диссертации мы исследуем специфику этих эффектов, связанную с беспорядком. Беспорядок оказывается очень важным не только потому, что гранулированные материалы, как правило, изначально являются существенно неупорядоченными. Оказывается, что эффекты беспорядка имеют тенденцию усиливаться при приближении к переходу металл-диэлектрик, даже если изначальная степень беспорядка была небольшой.
План диссертации следующий:
• В главе 2 предложен приближенный общий метод решения "цветных" задач перколяции, применимый ко многим практически важным системам. Он основан на приближенной "симметрии" классов перколяционных моделей, позволяющей находить решение для всех моделей класса, если оно известно хотя бы для одного его представителя.
• В главе 3 этот метод последовательно применяется для исследования перколяционных свойств смеси металлических и диэлектрических гранул со случайными размерами (полидисперсный композит). Изучается влияние дисперсии размеров гранул на порог перколяции.
• В главе 4 приближенные симметрии перколяционных моделей используются для решения некоторых важных задач прыжковой проводимости: в магнитном поле, в режиме кроссовера между простой активацией и законом Мотта, а также при наличии в системе нескольких сортов существенно различающихся примесей.
• В главе 5 исследуется прыжковая проводимость в магнитно-неупорядоченной среде: парамагнетике или спиновом стекле. Конкретные вычисления делаются для случая полумагнитных полупроводников. Дается объяснение известному явлению возврата от закона Мотта (или Эфроса-Шкловского) к простой активации при самых низких температурах в этих системах.
• В главе 6 предлагается микроскопический механизм прыжкового магнитосопротивления в полупроводнике со сложной магнитной структурой, таком, как слабо легированный ЬагСиО Этот механизм объясняет скачки и изломы в зависимости сопротивления от магнитного поля, экспериментально наблюдаемые в точках магнитных фазовых переходах. Сравнение с экспериментом позволяет выделить наиболее подходящую структуру примесного состояния из множества вариантов, допускаемых симметрией.
• В главе 7 предложена и исследована модель процесса образования пористого металла. На простой модели показано, что запрет на образование отдельных кластеров, не связанных с основным массивом (в реальности такие кластеры, очевидно, должны снова прилипать к массиву, так что связность восстановится) приводит к необычным свойствам системы. При увеличении пористости в ней может происходить фазовый переход в "квазидревесное" состояние, в котором проводимость и упругость системы обращаются в ноль.
• В главе 8 исследовано влияние замороженных флуктуации межгранульных кондактансов на проводимость и туннельную плотность состояний гранулированого металла (в случае, когда эти кондактансы велики). Показано, что роль этих флуктуации возрастает с понижением температуры, так что переход металл-диэлектрик всегда происходит в существенно неоднородном режиме. Исследованы как ситуация, когда исходный (определенный при высокой температуре) уровень беспорядка мал, так и обратная, когда он экспоненциально велик.
• В главе 9 построена теория прыжковой проводимости в гранулированном металле с малыми межгранульными кондактансами. Показано, что перенос осуществляется путем множественного последовательного котуннелирования электронов по цепочкам гранул, а проводимость описывается модифицированным законом Эфроса-Шкловского (с дополнительной логарифмической зависимостью от температуры). Рассмотрен вопрос о магнитосопротивлении такой системы, связанном с интерференцией вкладов различных цепочек.
• В Заключении приведены основные результаты диссертации.
• В Приложение вынесены громоздкие технические вычисления и некоторые "вставные сюжеты", использованные для доказательства приведенных в основном тексте утверждений.
Локальные симметрии в стандартных задачах перколяции: обзор
Идея того, что мы называем локальной симметрией, была впервые введена Домом и Сайксом [23] (см. также [24, 25]), которые заметили, что для всех перколяционных "задач связей" (т.е., таких задач, в которых различные связи разрываются с некоторой фиксированной вероятностью независимо друг от друга) на решетках с фиксировванной пространственной размерностью d порог перколяции рсг приближенно обратно пропорционален координационному числу Z. Другими словами, среднее число В = Zp связей, соединяющих данный узел с соседями является инвариантом, т.е. принимает в точке перколяционного перехода приближенно одно и то же значение Всл для всех решеток фиксированной пространственной размерности d. Более того, из анализа данных для d = 1, 2, 3, они заключили, что BCT(d) d/(d — 1). Позднее Шер и Заллен [26] предложили другой инвариант - "объемную долю" & - для задачи узлов (в которой случайно выбранные "черные" узлы с вероятностью 1-х перекрашиваются в белый цвет и отсоединяются сразу ото всех своих соседей). Этот инвариант определяется следующим образом: нарисуем сферы с центрами в каждом узле решетки и с радиусами, равными половине расстояния между ближайшими узлами (так что соседние сферы касаются). Теперь сосчитаем плотность упаковки рр - отношение суммарного объема всех сфер к полному объему решетки. Инвариант выберем в виде & = Рр х, где х - доля оставшихся в системе черных узлов. Иными словами, # имеет смысл средней плотности упаковки черных узлов. Величина $сг (значение & в точке протекания) также оказывается одинаковой для различных решеток одной и той же размерности. Приближенная инвариантность $сг и Вст иллюстрируется рисунком Рис.2.1. Подробное обсуждение перколяционных моделей на регулярных решетках можно найти в класическом обзоре Шанте и Киркпатрика [27]. 2.2.2 Задачи перколяции на случайных узлах Скал и Шкловский [28] и, независимо, Пайк и Сигер [29] предложили инвариант для модели перколяции на случайных узлах (известной также, как "модель швейцарского сыра", см. книгу [30]). В этой модели рассматривается сплошная среда со случайно расположенными одинаковыми кавернами (случайными узлами) обычно (но не обязательно) имеющими сферическую форму.
Перколяция возникает, когда образуется бесконечная система перекрывающихся каверн, так что возникает возможность путешествовать по бесконечному лабиринту связанных между собой пещер, пронизывающему все пространство. Эта модель играет важную роль в теории прыжковой проводимости неупорядоченных полупроводников, см. [31]. Интересно, что физический смысл инварианта В = nVcav ( где п - концентрация узлов, а Kav объем одной каверны) для класса задач перколяции на случайных узлах оказывается в точности таким же, как и для класса задач связей на регулярной решетке: это среднее число каверн, перекрывающихся с любой выделенной каверной. Свойство локальной симметрии для это случая заключается в приближенной независимости величины Bcr(d) от формы каверн. Заметим, однако, что величины Bcr(d = 2) и 4 и Bcr(d = 3) 2.7 для случайных узлов заметно отличаются от соответствующих величин Bcr(d = 2) и 2 и Bcr(d = 3) 1.5 для задачи связей на регулярной решетке. Рассмотрим смесь шариков двух сортов: т (металлических) - с радиусами Rm, и і (диэлектрических) - с радиусами Rjt. Поскольку все металлические шарики в этой системе идентичны, к ней также могут быть применены идеи локальной симметрии. Согласно наблюдениям и аргументам, представленныым в работах [4, 32, 33, 15, 18], эта система принадлежит к классу В-инвариантных, так что среднее число Втт связей, соединяющих данный металлически шарик с другими металлическими шариками, должно быть инвариантом. Убедительное подтверждение такому предположению было получено в очень важной численной работе Бувара и Ланге [10], где было показано, что перколяция в системе возникает приближенно при одном и том же значении Втт = Всл » 2 для различных значений параметра асимметрии р = Rm/Ri в интервале 1/3 5 Р 5 3. Вне этого интервала (т.е., при сильной асимметрии) точность локальной симметрии становится низкой. Итак, бинарные смеси из шариков с не очень сильно различающимися размерами обладают приближенной локальной симметрией с инвариантом Втт. Все топологически неупорядоченные модели - как перколяция на случайных узлах, так и перколяция на случайных упаковках - рассмотренные в предыдущих подразделах, демонстрируют симметрию, описываемую инвариантом В-типа. Почему эти системы, на первый взгляд явно принадлежащие к классу моделей узлов, обладают симметрией, характерной для задач связей на регулярных решетках? Следующее качественное объяснение этого факта было предложено Киркпатриком [34]. Сосредоточимся только на проводящих гранулах и рассмотрим все связи между ними. Из-за случайного окружения, обусловленного топологическим беспорядком, можно приближенно считать, что все эти связи устанавливаются или разрываются независимо друг от друга.
Это обстоятельство отличает задачи узлов на топологичесски неупорядоченных сетках от стандартных задач узлов на регулярных решетках (где различные связи одного и того же узла сильно скоррелированы) и делает их похожими скорее на задачи связей (где такая корреляция отсутствует по определению). 2.3 Локальная симметрия для многоцветных систем Задача построения инварианта значительно усложняется в случае так называемой цветной системы (см., например, обзор [35]), т.е., такой, в которой каждый узел характеризуется случайным параметром (или набором параметров) а, с априорными вероятностями па (естественно, номированными, так что 2апа = 1). Вероятность связывания раа -вероятность установления связи между двумя соседним узлами, один из которых имеет цвет а, а другой - а , является, вообще говоря, произвольной функцией параметров а, а . Как и в стандартной "задаче узлов и связей" (см., например [30]), в обобщенной многоцветной задаче протекания имеется два сорта беспорядка: узлы могут случайным образом приобретать тот или иной цвет, а связи между узлами тоже устанавливаются случайным образом. Существенным усложнением по сравнению со стандартной задачей узлов и связей является, однако, нетривиальный характер матрицы рааг. связи могут, вообще говоря, устанавливаться и между узлами различного цвета. В топологически неупорядоченных системах ситуация дополнительно усложняется из-за флуктуации локальной координации. Класс многоцветных задач перколяции чрезвычайно широк, достаточно сказать, что он включает в себя в качестве подклассов как задачу связей, так и задачу узлов. Следовательно, обобщенный инвариант / для многоцветной перколяции (если только он существует), должен в предельных случаях сводиться, соответственно, к В и к #. Характер локальных корреляций в этих двух предельных случаях, однако, чрезвычайно различен, поэтому придумать разумную интерполяцию между Bit? очень трудно: насколько нам известно, никто до сих пор этого не сделал. Как и в работах [19, 20], мы ограничимся рассмотрением множества "связе-подобных" моделей, в которых возникает инвариант В-типа. Вопрос о том, является ли данный подкласс моделей цветной перколяции связе-подобным, строго говоря, можно выяснить только a posteriori, путем сравнения результатов теории с данными численного эксперимента. Однако, принимая во внимание аргументы, приведенные в конце предыдущего раздела, можно надеяться, что топологически неупорядоченные цветные модели (которые мы собираемся применять для описания конкретных физических систем) как раз являются связе-подобными. Постулат о связе-подобности системы сам по себе еще не фиксирует структуру инварианта. Для того, чтобы однозначно определить эту структуру, необходимо привлечь дополнительные физические соображения.
Перколяционные свойства металлической подсистемы
Вернемся теперь к задаче о перколяции в металлической подсистеме. Мы должны ответить на вопросы: 1. Каково число В(г\) связей (т.е., контактов с другими металлическими гранулами) данной металлической частицы с радиусом г{1 2. Каково их распределение B(ri,r2) по партнерам с радиусами г2? Используя формулу (3.12), и подставляя в нее концентрацию металлических частиц хтпт(г2) вместо полной концентрации п(г2), получаем: Таким образом, можно заключить, что (в рамках сделанных многочисленных приближений) проблема перколяции поолидисперсного композита сводится к непрерывному варианту связе-подобной модели с матрицей связывания Более того, так как матрица (3.15) факторизуется, то можно применить результаты соответствующего подраздела предыдущей главы. В соответствии с введенной там терминологией, активность металлической гранулы с радиусом г есть Заметим, что для того, чтобы определить критическую концентрацию, нужно знать только два низших момента функции распределения площадей поверхности: (S)m и (S2)m. В случае смеси двух компонент с фиксированными размерами (без дисперсии) имеем Ат = 0, и результат (3.20) сводится к критерию перколяции, предложенному Буваром и Ланге [10]. Наличие дисперсии площадей поверхности металлических гранул понижает порог Хт , т.е., облегчает перколяцию. Дисперсия же диэлектрических гранул вообще не влияет на величину Хт , т.к. Aj не входит в уравнение (3.20). Эффект дисперсии особенно легко проследить в "симметричном случае", рассмотренном ниже. Симметричный случай Во многих практически важных системах функции распределения пт(г) и ПІ(Г) не сильно отличаются друг от друга, так что предположение об их тождественности является неплохим приближением. При этом Итак, мы убедились в том, что в полидисперсной системе (с А ф 0) перколяция в металлической подсистеме наступает при более низкой концентрации металла, чем в монодисперсной (с А = 0). В чем физическая причина этого эффекта? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим систему, характеризуемую функцией распределения п(г) и концентрацией металла чуть ниже порога перколяции: хт хт {п{г)}. Можно показать, что с помощью небольшой вариации функции распределения, увеличивающей дисперсию, но не меняющей концентрацию металла, можно перевести систему в режим перколяции.
Действительно, предположим, что мы ввели в систему небольшое количество "допирующих" частиц с радиусами rdop, много меньшими, чем радиус г0, характерный для начального распределения частиц "матрицы" (см. Рис.3.3). Тогда новая функция распределения п(г) дается выражением с малым q. Допирующие частицы по большей части оказываются в порах исходной системы, поэтому прямые контакты между частицами матрицы практически никогда не будут разрушаться вследствие допирования. С другой стороны, мелкие допирующие частицы будут устанавливвать контакты с частицами матрицы (как правило) и друг с другом (изредка). В результате возникнет небольшое, но конечное число непрямых контактов между частицами матрицы через допирующие, что должно привести к некоторому улучшению условий для перколяции. Допирование, очевидно, влечет за собой увеличение дисперсии: Рассмотренный специальный случай ясно демонстрирует наличие корреляции между понижением порога перколяции и увеличением дисперсии. Чем сильнее дисперсия размеров, тем выше плотность; в плотной системе существует некоторая иерархия связей: прямые связи между самыми крупными частицами практически не чувствуют наличия мелких, в то время как более мелкие создают новые дополнительные связи; еще более мелкие опять создают новые связи, не разрушая старых, и т.д. Эта идея иллюстрируется Рис.3.3 Наиболее яркий результат этой главы — уравнение (3.20) для порога перколяции и следующее из него правило: чем сильнее дисперсия размеров гранул, тем ниже порог перколяции. Выше порога вероятность того, что гранула размера г окажется принадлежащей бесконечному кластеру, описывается формулой (3.17). Для простого случая одинаковых распределений по размерам для обоих сортов частиц в смеси решение (3.17) приводит к выражению (3.26). Этот простой закон, также, как и исходное уравнение, с хорошей точностью справедливы при А/4 1, они количественно несправедливы, если распределения по размерам очень широки. Все выводы настоящей главы основаны на ряде эвристических принципов и зависимостей, которые (хотя и выглядят весьма правдоподобно) не могут быть строго обоснованы. Поэтому практический критерий применимости полученных формул может быть найден только с помощью их сравнения с данными прямой численной симуляции. Указанные выше эвристические зависимости наблюдались в численных экспериментах со смесями, "приготовленными" с помощью описанного выше метода наискорейшего спуска. Можно представить себе и другие способы приготовления, при которых, вообще говоря, эти Как хорошо известно (см., например, книгу [31]), все задачи прыжковой проводимости сводятся к различным вариантам моделей иерколяции на случайных узлах.
В простейшем случае прыжковой проводимости по ближайшим узлам (NNH - Nearest Neighbor Hopping) для электронов с невырожденным изотропным спектром, это - стандартная "задача о щвейцарском сыре со сферическими дырками" (см. раздел 2.2.2), в случае многодолинного или анизотропного спектра дырки становятся несферическими [39], также искажается форма дырок и при наложении внешнего магнитного поля [40, 41]. При очень низких температурах, когда проводимость осуществляется в Моттовском режиме переменной длины прыжка (VRH -Variable Range Hopping), возникает перколяционная задача в d + 1-мерном пространстве [42]. Во всех этих случаях (и в особенности в промежуточных ситуациях: при температурах в области кроссовера между режимами NNH и VRH или в магнитном поле, отвечающем области кроссовера между асимптотиками сильных и слабых полей) форма "дырок" оказывается сложной и характеризуется многими параметрами. Точное решение соответствующих перколяционных задач невозможно, однако использование приближенных симметрии позволяет найти приближенное решение. Зависимость прыжковой проводимости (в режиме NNH) от магнитного поля была найдена в работах Шкловского [40, 41] для двух предельных случаев: случая "слабого" (Я С Яс) и "сильного" (Я 3 Яс) поля, где критическое поле Яс Nl ch/ea, N - концентрация доноров, а - боровский радиус связанного состояния электрона на доноре. Вместе с тем, многие экспериментальные результаты относятся как раз к области полей Н Нс и не подчиняются предсказанным в [40, 41] асимптотическим зависимостям. Поэтому представляет большой интерес теория, способная описать прыжковое магнитосопритивление во всей области полей: как слабых, так сильных и промежуточных. В настоящем разделе, основанном на результатах нашей работы [43], такая теория строится на основе двух основных предположений: О квазиклассическом характере подбарьерного движения электрона при его туннелировании между двумя центрами, О справедливости приближения локальной инвариантности для соответствующей задачи перколяции Первое из этих предположений всегда выполнено при условии слабого легирования, когда интеграл перекрытия волновых функций на соседних донорах экспоненциально мал (для типичной пары соседей). Второе предположение проверялось численно: оно является точным (в главном порядке по полю) в области слабых полей, где форма дырок в соответствующей задаче перколяции представляет собой эллипсоид вращения. В области сильных полей эта поверхность представляет собой симметричную выпуклую фигуру из двух склеенных параболоидов; как было показано в работе [28], для всех выпуклых фигур предположение о локальной инвариантности выполняется с большой точностью (возможны отклонения в единицы процентов).
Связаннвіе магнитнвіе поляронві в спиноввіх стеклах и проблема жесткой магнитной щели в првіжковой проводимости
Обнаружение в работах [68, 69] простого активационного закона для проводимости в нескольких различных полупроводниковых соединениях при низких температурах оживило интерес к старой проблеме "жесткой магнитной щели" (magnetic hard gap), наблюдавшейся в целом ряде веществ (см. [70, 71, 72, 73]). В этом разделе мы излагаем теорию [74], в общих чертах разрешающую эту проблему. Суть феномена "жесткой магнитной щели" заключается в следующем. Как хорошо известно, при не слишком низких температурах, когда транспорт в неупорядоченной системе определяется прыжками электронов между соседними локализованными состояниями (NNH - nearest neighbor hopping), ее проводимость ег(Т) описывается простым активационным законом (законом Аррениуса [31]): При низких температурах проводимость ег(Т) контролируется прыжками между далекими резонансными состояниями (VRH - variable range hopping, [52, 31]) приводящими к закону где а = 1/4 (закон Мотта [51]) или а = 1/2 (закон Эфроса-Шкловского [170]), в зависимости от формы плотности N(EF) СОСТОЯНИЙ на уровне Ферми. Закон Мотта относится к случаю N(EF) = const, а закон Эфроса-Шкловского предполагает наличие мягкой кулоновской щели N(ep) ос (є — Єр)2, см. [75, 76]). Оба эти закона экспериментально наблюдались во множестве материалов [52, 31]. Однако в некоторых случаях [68, 69, 70, 71, 72, 73, 78] при очень низких температурах наблюдается возврат к закону Аррениуса с некоторой новой энергией активации Ец С єз- В большинстве случаев (см., однако, [78]) это явление исчезало при включении достаточно сильного магнитного поля [68, 69, 77], и в сильном поле закон (5.19) соблюдался во всем интервале исследованных температур, вплоть до самых низких. Жесткая щель в плотности состояний: что это такое и для чего это важно? При интерпретации закона (5.20) его обычно связывают с наличием жесткой щели N(ep) 0 в плотности состояний при самых малых энергиях \є — EF\ Ая- Кулоновское взаимодействие, действительно, должно приводить к возникновению жесткой (по-видимому, экспоненциальной) щели в плотности одночастичных состояний (см. [75, 79, 80, 81]). При численной симуляции [76] такую щель, впрочем, не удалось выявить вплоть до энергий 0.1 Ас, где Ас - ширина обычной (мягкой) кулоновской щели. В работе [75], однако, были приведены аргументы в пользу того, что для проводимости существенна не плотность одночастичных состояний, а плотность состояний "электронных поляронов" (т.е., электронов, перенормированных за счет перестройки окружающих электронных же состояний), и что последняя плотность состояний имеет только квадратичную, мягкую, щель. Кроме того, непонятно, почему кулоновская жесткая щель (даже если предположить, что она существенна для низкотемпературной проводимости) могла бы подавляться магнитным полем.
Поэтому здесь мы рассмотрим эффекты взаимодействия электрона не с дипольными электрическими (как в случае электронного полярона), а с магнитными степенями свободы. Эти степени свободы могут быть "заморожены" магнитным полем, и последнее, таким образом, может управлять эффектом. Как мы увидим ниже, однако, простая идея о жесткой магнитной щели в плотности состояний далеко не проста, она вызывает серьезнейшие возражения, которые, кстати сказать, можно было бы предвидеть, если не забывать об аргументах работы [75] о различии в одночастичной и поляронной плотностях состояний. Кажется скорее удивительным, что этот сценарий, по весьма нетривиальной причине, действительно работает в некоторых случаях (хотя и в модифицированном виде). Для определенности мы будем в основном аппелировать к результатам эксперимента [68] в котором иссследовался полумагнитный полупроводник Сс!і_жМпжТе:Іп (с х = 0.09) для которого эффект возврата простого активационного закона при температурах Т 1К наблюдался в широком диапазоне концентраций доноров (индия). По-видимому, это вещество является простейшей модельной системой для исследования интересующего нас явления. активации за счет жесткой магнитной щели и его внутренняя противоречивость Обычное объяснение данных работы [68] использует упомянутый выше сценарий с жесткой магнитной щелью. Электрон, связанный с определенным донором, поляризует спины ионов Мп2+ на расстояниях а (где а -радиус локализованного состояния), образуя связанный магнитный полярон. Существование связанных магнитных поляронов в этом соединении надежно установлено, см. [82]. Добавление в систему дополнительного голого электрона (или его изъятие, или перенос электрона на другой донор, где спины не поляризованы), всегда требует дополнительной энергии: энергии спиновой релаксации ESR- В результате электронная плотность состояний приобретает жесткую щель (ее ширина как раз равна этой энергии релаксации), а проводимость описывается законом (5.20) с Ец = ESR... Уже сама чрезвычайная общность представленной выше картины делает ее подозрительной. Действительно, она в равной степени применима к любому связанному полярону: и к "электронному", и к обычному решеточному (см. [75, 76, 83, 84, 85]). Все эти поляроны приводят к образованию щели в одночастичной электронной плотности состояний Nsp(e).
Тем не менее, хорошо известно (см. [52]), что в случае решеточных поляронов, при низких температурах Т Тс Шф (где шръ_- характерная фононная частота) поляронные прыжки происходят в основном за счет туннелирования, а не за счет активации. Частота переходов между примесями г и j где Wij - высота барьера в конфигурационном пространстве, разделяющего начальное и конечное (отрелаксировавшие) состояния. Активация, конечно, тоже остается необходимой, но только в меру того, что исходное и конечное релаксированные состояния все-таки несколько различаются по энергии (т.е., Ajj = Е- — Е- 0), хотя и находятся в резонансе. Именно за счет этой остаточной активации и возникает температурная зависимость в законе (5.19) для случая поляронов. Константа с в формуле (5.21) зависит от деталей устройства полярона. Итак, одночастинная плотность состояний Nsp не имеет отношения к делу, так как прыгающим объектом при низкой температуре является не голый электрон, а полярон. В дополнение к теоретическим аргументам также можно упомянуть, что закон (5.19) экспериментально наблюдается во многих системах, где существование поляронов надежно установлено [52]. По сути дела, те же самые аргументы были распространены в работе [75] на случай электронных поляронов. Здесь нужно отметить, что законченной многочастичной теории VRH до сих пор не существует. Сама идея далеких одноэлектронных (или одно-поляронных) прыжков во многих работах подвергается сомнению (см. [79, 80, 81, 86, 87]). По-видимому, окончательный выбор между сценарием длинных одноэлектронных [170, 75] и коротких многоэлектронных коррелированных прыжков [88, 89] сделать еще нельзя. Хотя разрешение этого выбора представляет существенный интерес, оно совершенно некритично для проблемы жесткой магнитной щели. Поэтому ниже мы будем, где возможно, полностью пренебрегать всеми многоэлектронными эффектами. Случай магнитного полярона в регулярном антиферромагнетике не слишком отличается от случая решеточного полярона. Формула (5.21) также справедлива и здесь, причем роль Шф играет характерная магнонная частота mag TN. ЗаКОН (5.19) был Экспериментально Проверен При Т Т/у во многих антиферромагнитных полупроводниках, где существование связанных магнитных поляронов не вызывает сомнений [52, 90, 91]. Итак, во всех рассмотренных выше примерах поляронный эффект приводит к образованию жесткой щели в одноэлектронной плотности состояний, но эта щель никак не проявляется в температурной зависимости проводимости. стеклах: уникальная возможность классического описания при низких температурах Как мы увидим, активационный сценарий может быть спасен, если магнитная подсистема сильно неупорядоченна, т.е. является спиновым стеклом.
Туннелвнвіе интегралві перекрвітия
Эксперименты [107, 108, 114, 121] проводились на монокристаллах ЬагСиС +у с небольшим избытком кислорода (у 0). В работе [121] приведены аргументы, свидетельствующие о разделении фаз (неоднородном распределении избыточного кислорода) при у I — 1.5% по его однородном распределении при у 1 — 1.5%. Температура Нееля TN быстро падает с увеличением у [122, 126]. Высокие значения Т для образцов, на которых измерялось магнитосопротивление в работах [107, 108], позволяют предположить, что им отвечают малые значения у и однородное распределение кислорода. Знаки коэффициента Холла и термоэдс свидетельствуют о том, что добавочные кислороды играют роль акцепторов. Расположение добавочных кислородов в решетке однозначно не установлено. Возможно, они группируются в молекулярные ионы 0 (см. [127]). При низких температурах (Т 50К) дырки связаны со своими акцепторами, о чем свидетельствует прыжковый характер проводимости [120, 121]. По различным оценкам (см. [120, 128]) радиус состояния ЮЛ сравним с периодом решетки. В такой, промежуточной, ситуации определить структуру примесного состояния не представляется возможным. Ниже мы классифицируем возможные типы глубоких нейтральных акцепторов и выделим те из них, которые удовлетворяют требованиям 1 и 2, сформулированным во Введении. 6.3.1 Гамильтониан дырок и классификация акцепторных конфигураций Если считать, что движение дырки по СиОг-плоскости описывается моделью Эмери [130] с большим кулоновским отталкиванием на меди, то гамильтониан системы (дырка в потенциале примеси Vi, и Cu-спины) имеет вид (см. формулу где a+, аг - дырочные операторы, pW - оператор Дирака, переставляющий местами спин дырки и спин г-ой меди. Индекс / нумерует кислородные, а і - медные узлы; {ill ) - тройка из меди і и двух ближайших к ней кислородов / Ф l \ t - амплитуда процесса, в котором сначала дырка с меди і переходит на кислород / , а затем дырка с кислорода / прыгает на медь г; г - то же в случае I = V (т t вследствие кулоновского отталкивания на кислороде). В модели глубокой примеси \V\ — V2I 3 t, где V\t2 - потенциалы на ближайших к примеси (первая оболочка) и следующих за ними кислородных узлах. Тогда движение дырки будет ограничено первой оболочкой.
Возможные варианты геометрии возникающих при этом локализованных состояний изображены на рис.6.5. Амплитуды t,r $ J (см. [125, 131]), поэтому спины ионов Си2+, прилегающих к первой оболочке, взаимодействуют с дыркой значительно сильнее, чем со спинами остальной магнитной подсистемы. Это позволяет выделить кластер из конечного числа медных и кислородных узлов, спектр состояний которого может быть найден точно. Одноузельные акцепторы В простейшем случае имеется только один кислородный узел, ближайший к акцептору. Тогда первая оболочка состоит из одного этого узла, кластер изображен на рис.6.5, а. Основному состоянию кластера отвечает полный спин S = 1/2 [124]. Двухузельные акцепторы Кластер, отвечающий двум ближайшим к акцептору кислородным узлам, показан на рис.6.5, б. Спин его основного состояния S = 0. В этом легко убедиться непосредственным вычислением. Заметим, что этот результат также следует и из строгой теоремы Либа и Матисса [132], так как кластер на рис.6.5, f является одномерным. Четырехузельные акцепторы Существуют две ситуации, в которых имеется четыре ближайших к акцептору кислородных узла. Кластер (рис.6.5, в) изучался в работе [129]: его основное состояние обладает спином S = 0. Кластер (рис.6.5, а) изучался в работах [122, 129] (в связи с вопросом о структуре состояния дырки, связанной с примесным ионом Sr2+). Основное состояние имеет спин S = 1/2 и двукратно орбитально вырождено, так как преобразуется по Е -представлению точечной группы симметрии C±v. Кластеры (рис.6.5, б, в) не удовлетворяют требованию 1, поэтому в дальнейшем они не рассматриваются. Отметим, что во всех кластерных расчетах (по крайней мере при t = т) спин основного состояния системы (дырка + медные спины) получается минимальным: равным нулю для нечетного числа медей в кластере и равным 1/2 для четного. Этим модель Эмери существенно отличается от моделей магнитных полупроводников [59] и модели Хаббарда [123], в которых образуется магнитный полярон с максимальным спином. Мы думаем, что в модели Эмери (t = т) утверждение о минимальности спина справедливо для любого кластера. Для бесконечного кластера эта гипотеза была сформулирована в работе [125]. Ее строгого доказательства до сих пор не существует, показано только, что магнитный полярой, во всяком случае, не является насыщенным. Двухузельные двухплоскостные акцепторы Мы рассмотрели способы локализации дырки в одной плоскости. Возможно, однако, симметричное расположение акцептора между двумя соседними плоскостями (см. рис.6.5, д), при котором первая оболочка состоит из двух кислородных узлов из соседних плоскостей. Так как кластер содержит четное число медей (четыре), спин основного состояния полуцелый, т. е. Выше классифицированы состояния системы в жесткой решетке. Однако в перовскитах, к классу которых относятся ЬагСиО часто оказывается существенным вибронное взаимодействие, приводящее к поляронному эффекту [133]. В ЬагСи04 ромбическая Е4-мода, ответственная за структурный фазовый переход, остается мягкой в широком интервале температур [113, 134]. Эта двукратно вырожденная мода (Qi, Q2) отвечает альтернированным вращениям кислородных октаэдров относительно осей а и с, соответственно.
По-видимому, именно эта мода наиболее существенна в формировании локальной деформации вблизи примеси. Одноузельные акцепторы Пусть сначала дырка локализована на одном узле (рис.6.5, а). В этом случае имеются две локальные нормальные моды типа Qi ± Q2, построенные из мягкой ромбической моды. Обе они нечетны относительно отражения в СиОг-плоскости и связаны с дыркой квадратичным вибронным взаимодействием. К искажению связей того кислородного узла, на котором локализована дырка, приводит только одна из нормальных мод. Вибронное взаимодействие с ней может быть сильным и вызывать локальную деформацию решетки. Четырехузельные акцепторы Вибронные эффекты в случае симметрии акцептора, отвечающей кластеру (рис.6.5, г), подробно изучались в работе [122]. Вырожденная локальная мода типа Qi,2 приводит к смешиванию основного и низколежащего возбужденного состояний (псевдоэффект Яна - Теллера). При этом возможны две ситуации: "двухкомпонентная конфигурация", когда минимуму энергии отвечает Qi = \Q2\ ф 0, либо "однокомпонентная конфигурация" с Qi ф О, Q2 = 0. В первом случае дырка в основном находится на одном кислородном узле, а во втором -на двух. Двухузельные двухплоскостные акцепторы В двухплоскостной конфигурации (рис. 6.5, д) также может возникать локальное усиление ромбичности. При этом симметрия между плоскостями может быть спонтанно нарушена вследствие псевдоэффекта Яна - Теллера, если межплоскостной туннельный интеграл if не слишком велик (не превышает поляронного сдвига). Тогда мы возвращаемся к ситуации с одним кислородным узлом (рис.6.5, а). Если же if велик, то симметрия между плоскостями может сохраниться. Если вибронное взаимодействие очень сильно, то образуется полярон малого радиуса - дырка локализуется на одном узле. Тогда все случаи (рис.6.5, б, в, г, д) эффективно сводятся к одной и той же ситуации (рис.6.5, а). Более того, при сильном поляронном эффекте расположение акцептора в решетке (т. е. примесный потенциал) уже не столь существенно, оно лишь выбирает узел, на котором локализуется полярон. Итак, во всех случаях вибронное взаимодействие может приводить к локальному усилению ромбичности [122].
