Содержание к диссертации
Введение
1 Рассчет иерархии в модели с плоскими дополнительными измерениями 16
1.1 Двумерные вихри в шестимерном пространстве-врем єни 17
1.2 Численное нахождение устойчивых солитонных конфигураций 20
1.3 Фермионный сектор 26
1.4 Иерархия ферм ионных масс в четырехмерной теории . 33
1.5 Модель со смешиванием 40
2 Двумерная сфера как пример компактных дополнительных измерений 49
2.1 Векторные поля на двумерной сфере S2 49
2.2 Вихрь на сфере 52
2.3 Фермионные нулевые моды во внешнем поле вихря на сфере 56
2.4 Иерархия поколений в сферической модели 64
2.5 Взаимодействие калуца-клейновских мод калибровочных бозонов с фермионами 68
2.6 Взаимодействия в массовом базисе 74
3 Феноменологические следствия, возникающие из получения иерархии поколений 79
3.1 AG — 0: запрещенные распады каонов 80
3.2 AG = 1: нарушение мюонного числа 85
3.3 AG = 2: разница масс К і — Ks и СР-нарушение в ка-онах 87
3.4 Сигнатуры для ускорительных экспериментов 90
Заключение 96
Приложение 99
Литература 101
- Численное нахождение устойчивых солитонных конфигураций
- Иерархия ферм ионных масс в четырехмерной теории
- Взаимодействие калуца-клейновских мод калибровочных бозонов с фермионами
- AG = 2: разница масс К і — Ks и СР-нарушение в ка-онах
Введение к работе
В настоящее время основой для описания электрослабого взаимодействия является теория Глэшоу-Вайнберга-Салама [1, 2, 3]. Расширение калибровочной группы этой теории, учитывающее SUC{3)-инвариантность относительно группы цвета [4, 5, 6) приводит к Стандартной модели физики элементарных частиц. На сегодняшний момент в ее предсказаниях не существует каких-либо существенных противоречий с экспериментами, проводимыми на ускорителях.
Стандартная модель является перенормируемой квантовой теорией поля (см., напр., [7, 8, 9]), инвариантной относительно калибровочных преобразований из группы SU(3)C х SU(2)ew х Uy{l). Полезно отметить некоторые следствия из этого, достаточно общего, утверждения. Если считать, что Стандартная модель верно описывает физику элементарных частиц на всех энергетических масштабах, то она внутренне непротиворечива. Однако, в последнее время появилось большое количество работ, в которых авторы выходят за пределы нынешних представлений о физике фундаментальных взаимодействий. Это связано с тем, что несмотря на самосогласованность Стандартной модели как фундаментальной теории, в ней появляются теоретические проблемы, если ее рассматривать как эффективную теорию поля с некоторым энергетическим масштабом обрезания
Л. О неполноте описания всей физики элементарных частиц свидетельствует отсутствие квантово-полевого описания гравитационного взаимодействия. Существует энергетический масштаб, Мр\ ~ 1019 ГэВ, на котором гравитационное притяжение элементарных частиц становится сравнимым с сильным, слабым и электромагнитным взаимодействиями. При таких энергиях должны учитываться эффекты квантовой гравитации, поэтому масштаб обрезания Стандартной модели заведомо ниже Мрі. Другой, несколько меньший масштаб обрезания связан с идеей Великого объединения. В этих теориях группа SUC(3) х SU(2)ew х Uy (1) Стандартной модели вложена в более общую группу, например SU(5) [10]. Выше масштаба нарушения большой группы теория описывается одной константой связи, а ниже — константами калибровочных взаимодействий Стандартной модели. Основой для такого предположения является сближение бегущих констант связи сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий на масштабе M&jt ~ Ю16 ГэВ.
К сожалению, появление такого большого масштаба обрезания Л в теории ведет к нескольким проблемам. Первая из них возникает при описании спонтанного нарушения [11, 12] калибровочной группы SU(2)W х Uy(l) до подгруппы Uem(l). Обычно для этого вводится скалярное поле, вакуумное среднее Vew которого отлично от нуля и дает массы W- и Z-бозонам, а также полям материи. Для объяснения значений масс калибровочных бозонов необходимо использовать vew — 256 ГэВ. В квантовой теории поля квадрат этой величины перенормируется. Как известно, массовый член для скалярного поля в четырехмерном пространстве-времени получает квадратичный по масштабу обрезания Л вклад из-за квадратичной расходимости соот-
ветствующей диаграммы. Если vew «С Л, то такая расходимость приводит к необходимости точной подстройки параметров на масштабе перенормировки. Действительно, чтобы сократить поправку порядка Л2 надо, чтобы затравочное значение было равно поправке с отрицательным знаком с относительной точностью ~ (vew/A)2. Проблема заключается в отсутствии механизма, контролирующего такое точное сокращение. Описанная трудность, возникающая при большой разнице между масштабом нарушения электрослабой теории и масштабом Мсит получила название проблемы калибровочной иерархии.
Другая проблема иерархии появляется при рассмотрении спектра масс лептонов и кварков. Наблюдаемое отношение между массой t-кварка, 77 = 175 ГэВ, и массой электрона, те = 0.5 МэВ, превышает 105. Включение в рассмотрение нейтринного сектора приводит к увеличению значения отношения массовых параметров еще на 6 порядков. Если мы ставим задачу построить теорию, низкоэнергетическим пределом которой является Стандартная модель, то получение вышеуказанной большой величины можно сформулировать как отдельную проблему иерархии фермионных поколений. Таким образом, в настоящее время проблемы иерархий стали отдельными объектами интенсивных исследований со стороны теорий, претендующих на более полное описание природы фундаментальных взаимодействий. Помимо механизма получения иерархии фермионных масс, в теории должны восстанавливаться элементы матрицы смешивания. Рассмотрение этих ограничений является одной из основных задач настоящей диссертации.
Для решения проблем, связанных с иерархией энергетических масштабов, привлекается новая физика. Так, хорошо известно, что про-
блему квадратичных расходимостей в массовом члене для скалярных частиц можно решить при помощи суперсимметрии [13]. Суперсимметрия использовалась также для решения проблемы иерархии поколений (см., напр., [14], а также обзор [15]).
Суперсимметричные обобщения для Стандартной модели хорошо изучены (см., напр., [16, 17]). Поиск подтверждения этих теорий в настоящее время является одной из основных задач экспериментальной физики. Недостаток суперсимметричных моделей состоит в сильном увеличении числа параметров по сравнению со Стандартной моделью (подробное сравнение см. в [16]).
Сравнительно недавно, появились попытки объяснить иерархию при помощи дополнительных пространственных измерений [18, 19]. В различных моделях объясняется как иерархия поколений, так и калибровочная иерархия [18].
Модели с использованием дополнительных измерений исторически явились первыми попытками синтеза электромагнетизма и гравитации в теории Калуцы-Клейна [20, 21, 22]. Однако, несмотря на то, что они появились сразу после работ Эйнштейна по общей теории относительности, феноменологи заинтересовались ими сравнительно недавно. Проблема заключалась в том, что малый радиус компакти-фикации (~ 10-33см) приводил к значительным эффектам лишь при энергиях порядка Мр\. В последние годы появились теории, в которых компактификация происходит на расстояниях порядка нескольких миллиметров [18, 23] (см. также более ранние работы [24]), или же дополнительное измерение остается некомпактным, как в работах [19, 25, 26, 27] (см. также обзор [28]). При этом заметные отклонения от Стандартной модели могут появиться в экспериментах на
Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе (мы будем использовать для этого ускорителя более распространенную английскую аббревиатуру LHC).
Для объяснения основной идеи нам требуется определить энергетический масштаб объединения. В большинстве работ в качестве такового выбран Л ~ 1 — 100 ТеВ, несильно отличающийся от vew. Для сравнения напомним, что обычно в теории Калуцы-Клейна масштаб объединения порядка Мр\ ~ 1019 ГеВ. Рассмотрим многообразие Минковского с п дополнительными пространственными измерениями и радиусом компактификации Я. Обычный интеграл Эйнштейна-Гильберта для действия гравитационного поля на нем обезразмери-вается домножением на (Мц%+аХ где MPi(4+n) — зависящая от п величина с размерностью массы, характеризующая силу гравитационного взаимодействия в (4 Ч-n)- мерном пространстве-врем єни. Энергия притяжения двух частиц с массами т\ и ті при г -С Я будет равна
Т МР1(4+п)
где г - расстояние между телами.. Если мы заинтересуемся взаимодействием при г ;> Я, то получим обычный четырехмерный закон Ньютона:
П Т МР1(4+п)
Сравнивая два последних выражения, найдем, что обычная масса Планка выражается через Mpi(4+nj и Я по формуле
Масса Afpi(4+n) определяется энергетическим масштабом объединения Mpi(4+n) ~ А. Из формулы видно, что уже при п = 2 размер дополнительных измерений составляет десятые доли миллиметра. Закон Ньютона на таких расстояниях экспериментально еще только проверяется [29,30]. Следует отметить, что эти соображения стимулировали исследования в гравиметрии: принципиально новые явления в физике высоких энергий можно обнаружить не только на ускорителях, но и из измерений закона Ньютона на расстояниях ~ 100 мкм.
С другой стороны, экспериментально известно, что все остальные взаимодействия обладают четырехмерными законами вплоть до расстояний порядка l/vew~10~16 см, поэтому для них должен быть разработан специальный механизм компактификации. Требование локализации калибровочных полей также продиктовано законами сохранения энергии, электрического заряда, барионного и лептонного чисел, которые выполняются в четырехмерной теории с высокой точностью.
Наиболее естественными представляются модели с локализацией на одномерных солитоноподобных объектах, впервые предложенные Рубаковым и Шапошниковым [25]. В подобных моделях локализация полей материи происходит за счет их специального взаимодействия с полем кинка. Максимумы профилей фермионных волновых функций в дополнительном измерении оказываются на различных гиперплоскостях (бранах) [31]. При этом появляется иерархия масс, возникающих за счет перекрытия решений для полей материи, которые убывают по гауссову закону в обе стороны от браны по пятому измерению. Различие в расположении фермионных бран достигается введением сравнительно большого числа различных, но мало отли-
чающихся друг от друга (пятимерных) масс.
Уменьшить число параметров удалось в работах [32, 33], где три поколения киральных фермионов Стандартной модели естественным образом возникают из одного поколения в шестимерной теории. Возможность такого упрощения фермионного сектора была продемонстрирована при помощи локализации полей материи на вихре (о локализации гравитации на вихре см. работу [34]). Количество четырехмерных поколений равно числу нулевых мод [35] оператора Дирака во внешнем поле и по теореме Атиа-Зингера в применении для вихря [36] совпадает с топологическим индексом дефекта*. В этом случае иерархия получается за счет различного степенного поведения фер-мионных решений вблизи вихря. Предполагалось, что в окончательный ответ для масс фермионов эффективной четырехмерной теории войдет безразмерный параметр S, зависящий от константы д юкав-ского взаимодействия фермионов с вихрем и размер вихря. Тогда соотношение между массами первого, второго и третьего поколений выглядит следующим образом
54:52: 1, (1)
Из экспериментальных данных видно [39], что массы разных поколений и лептонов, и кварков по порядку величины удовлетворяют (1) при <5 — 0.1.
В статье автора [40] (совместно с М. В. Либановым) проведены аналитический и численный рассчеты для масс эффективной четырехмерной теории в модели [33]. Для сравнения была посчитана иерархия в случае глобального и калибровочного вихря. Как обнаружилось
'Надо отметить, что теорема Атиа-Зингера является более общим геометрическим утверждением, которое имеет широкое применение в современной физике [37, 38].
из рассчетов на компьютере, в случае глобального вихря иерархии между первым и вторым поколением нет, в то время как для случая с калибровочным полем она появляется. Как оказалось, в последнем случае параметр 5, входящий в соотношение (1) пропорционален у/д.
Структура матрицы смешиваний Кабибо-Кабаяши-Маскавы [41, 42], полученная путем численного рассчета, находится в согласии с [39], при этом число фитируемых параметров модели меньше числа восстановленных параметров Стандартной модели. Рассмотрение нейтринного сектора было проделано в работе [43].
Успешное объяснение иерархии поколений стимулировало авторов включить в рассмотрение взаимодействие фермионов с калибровочными полями. Существует несколько подходов к решению этого вопроса. Можно обойти проблему локализации калибровочных полей, рассмотрев компактные дополнительные измерения [18]. Тогда уравнения для свободных безмассовых векторных полей можно свести к уравнению Лапласа на компактном многообразии. У него существует единственное решение с нулевой энергией, которое постоянно на всем многообразии. В эффективной четырехмерной теории, получаемой интегрированием по дополнительным измерениям, этой нулевой моде соответствует калибровочное поле Стандартной модели. Следствием независимости нулевой моды от координат, описывающих дополнительные измерения и нормированности нулевых мод фермионных полей является универсальность зарядов для всех трех поколений.
Пример конкретной реализации в модели с двумя дополнительными измерениями, образующими сферу S2, приведен в [44]. Там же приведен анализ появления иерархии поколений. Этой модели посвящена вторая глава настоящей диссертации.
Другой способ получить локализованную нулевую моду для калибровочных полей заключается в рассмотрении некомпактных дополнительных измерений, образующих многообразие с нетривиальной метрикой. Впервые эта идея была реализована для полей гравитации в [19, 27]. В нашем подходе с использованием сферы, эффективные взаимодействия фермионов через старшие калуца-клейновские моды калибровочных бозонов несущественно зависят от способа локализации калибровочных полей. Таким образом, радиус сферы (на который в Главе 3 будут получены экспериментальные ограничения) можно рассматривать не как параметр дополнительных измерений, а как масштаб локализации калибровочных полей в моделях, где существует динамический механизм такой локализации. Сферу же при этом удобно вводить как наиболее простой способ регуляризации теории, а размер дополнительных измерений может быть произвольным.
Еще одна возможность локализовать калибровочные поля на бране заключается в использовании некоммутативных дополнительных измерений [45, 46, 47] (см. также обзор [48]). В теории поля на некоммутативном пространстве существуют солитоноподобные решения, локализующие фермионные моды [49, 50, 51, 52]. Альтернативные способы реализованы в [53, 54].
В диссертации также исследуются ограничения, накладываемые на модель [33] из существующих экспериментальных данных. Основные ограничения на масштаб новой физики возникают из экспериментов по поиску редких процессов — процессов, которые сильно подавлены или вообще отсутствуют в Стандартной модели. Таковыми являются процессы, нарушающие точные или слабо нарушенные симметрии Стандартной модели. Ограничения, получаемые из отсут-
ствия барионной или лептонной симметрии обычно настолько сильны, что эти симметрии стараются сохранить при построении феноменологических моделей. Поэтому ограничения на масштаб теории приходят из процессов с нарушением аромата, которые происходят в Стандартной модели с участием заряженных И^-бозонов. Наиболее существенными являются пределы, получаемые из каонной физики. Так, вклад в параметр нарушения СР-инвариантности % происходит только в петлевой поправке [55], поэтому вклад от дополнительных бозонов будет сразу заметен. В модели [33, 44] дополнительные бозоны появляются из старших калуца-клейновских мод калибровочных полей Стандартной модели. Их масса, характеризующая масштаб новой физики М, пропорциональна 1/Я, где R — радиус сферы S2, образованной в результате компактификации двух дополнительных измерений. Наиболее сильное ограничение на масштаб М в этой модели возникает при рассмотрении распада К і —+ /і±ет. Это связано с тем, что в таких теориях приближенно сохраняется номер поколения участвующих в реакции частиц, так как в шестимерной теории он отвечает приближенной симметрии. Поясним роль этой симметрии в моделях с двумя и более дополнительными измерениями. Нулевые моды фермионов являются решениями уравнения Дирака во внешнем поле со л итона в пространстве дополнительных измерений (для малого числа измерений эти уравнения были исследованы в [35, 56]). Инвариантность потенциала приводит к вырождению уровней. Независимые фермионные решения с одинаковой, нулевой, энергией соответствуют разным поколениям полей материи Стандартной модели. В модели с двумя дополнительными измерениями есть только одно квантовое число, при помощи которого можно различить поколения.
Оно соответствует вращениям относительно оси вихря, дополненными калибровочными преобразованиями. Если бы эта симметрия была точной, то номер поколений в эффективной четырехмерной теории сохранялся. В нашей модели, однако, эта инвариантность нарушена смешивающими членами, следствия из введения которых можно исследовать на эксперименте. Заметим, что этот механизм локализации фермионов позволяет рассматривать и некомпактные дополнительные измерения. Надо только воспроизвести универсальность зарядов, которая для компактных многообразий получается автоматически.
В настоящее время существуют возможности для усовершенствования экспериментов по поиску редких распадов каонов [57]. Наблюдение распада Кь —* і^е* в отсутствии сигнатур для других редких процессов было бы свидетельством в пользу моделей с сохранением поколений.
Процессы с нарушением аромата, особенно с лептонами в конечном состоянии, могут быть исследованы на коллайдерах. Для модели [33, 44] возможности поиска таких процессов были оценены в [58].
Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и Приложения.
В Главе 1 описана модель, в которой иерархия поколений объясняется при помощи двух плоских дополнительных измерений. В разделе 1.1 описывается солитон, используемый для локализации нулевых мод фермионов. В разделе 1.2 приводится численное решение для внешних полей. В этой главе не рассматриваются калибровочные поля Стандартной модели. Такое упрощение обосновано тем, что взаимодействия фермионов с калибровочными полями электрослабой теории учитывается по теории возмущений. В разделе 1.4 проводит-
ся рассчет масс для фермионов эффективной четырехмерной теории. при помощи аппроксимции для внешних бозонных полей, формирующих солитон показано, что иерархия поколений контролируется одним малым параметром J, для которого находится численное выражение. В разделе 1.5 описана модель, восстанавливающая массовые параметры лептонов и кварков, а также структуру матрицы смешиваний Кабибо-Кабаяши-Маскавы. При этом для получения девяти параметров кваркового сектора (шести масс и трех углов смешивания) используются семь параметров этой модели. Для массовых матриц нижних и верхних кварков получаются следующие выражения
/ 64 ed53 0 \ ( б4 0 о\
Мц ос
ejz б2 О
\ 0 и6 1 )
(2)
МD ОС
О 62 ed5 \0 0 1 у
где си,са - параметры смешивания (вообще говоря комплексные).
В Главе 2 соотношения (2) воспроизводятся в модели с двумерной сферой в качестве дополнительного пространства. Параметр 5 определяется другим соотношением, что вызвано изменением зарядов фермионов по отношению к калибровочной группе локализующего солитона. Использование компактных дополнительных измерений позволяет исследовать взаимодействие локализованных фермионов с калибровочными полями Стандартной модели, приведенное в разделе 2.5.
В Главе 3 анализируются возможные способы экспериментальной проверки модели. Выражения (2) для массовых матриц и соотношения раздела 2.6 позволяют найти наиболее строгое ограничение на масштаб теории из рассмотрения редких процессов. Этому' анали-
>
зу посвящены разделы 3.1 — 3.3- В разделе 3.4 рассмотрены обобщения модели, появляющиеся при изменении расположения и профилей фермионных волновых функций в дополнительных измерениях. Тогда ограничения из редких процессов можно представить в виде условий на массы старших калуца-клейновских мод обычных калибровочных бозонов и константы связи этих частиц с фермиона-ми. При небольших массах дополнительные взаимодействия можно искать в ускорительных экспериментах. Анализ сигнатур для протон-протонных коллайдеров проведен в разделе 3.4.
В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
В Приложении приведены обозначения и соглашения, используемые в основном тексте.
В основу диссертации положены работы, выполненные в 2001-2004 годах в Отделе теоретической физики ИЯИ РАН. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на научных семинарах ИЯИ РАН, 30 Зимней школе ИТЭФ (Москва, 2002) и опубликованы в работах [40, 44, 58, 59, 60].
Численное нахождение устойчивых солитонных конфигураций
Другой способ получить локализованную нулевую моду для калибровочных полей заключается в рассмотрении некомпактных дополнительных измерений, образующих многообразие с нетривиальной метрикой. Впервые эта идея была реализована для полей гравитации в [19, 27]. В нашем подходе с использованием сферы, эффективные взаимодействия фермионов через старшие калуца-клейновские моды калибровочных бозонов несущественно зависят от способа локализации калибровочных полей. Таким образом, радиус сферы (на который в Главе 3 будут получены экспериментальные ограничения) можно рассматривать не как параметр дополнительных измерений, а как масштаб локализации калибровочных полей в моделях, где существует динамический механизм такой локализации. Сферу же при этом удобно вводить как наиболее простой способ регуляризации теории, а размер дополнительных измерений может быть произвольным.
Еще одна возможность локализовать калибровочные поля на бране заключается в использовании некоммутативных дополнительных измерений [45, 46, 47] (см. также обзор [48]). В теории поля на некоммутативном пространстве существуют солитоноподобные решения, локализующие фермионные моды [49, 50, 51, 52]. Альтернативные способы реализованы в [53, 54].
В диссертации также исследуются ограничения, накладываемые на модель [33] из существующих экспериментальных данных. Основные ограничения на масштаб новой физики возникают из экспериментов по поиску редких процессов — процессов, которые сильно подавлены или вообще отсутствуют в Стандартной модели. Таковыми являются процессы, нарушающие точные или слабо нарушенные симметрии Стандартной модели. Ограничения, получаемые из отсут ствия барионной или лептонной симметрии обычно настолько сильны, что эти симметрии стараются сохранить при построении феноменологических моделей. Поэтому ограничения на масштаб теории приходят из процессов с нарушением аромата, которые происходят в Стандартной модели с участием заряженных И -бозонов. Наиболее существенными являются пределы, получаемые из каонной физики. Так, вклад в параметр нарушения СР-инвариантности происходит только в петлевой поправке [55], поэтому вклад от дополнительных бозонов будет сразу заметен. В модели [33, 44] дополнительные бозоны появляются из старших калуца-клейновских мод калибровочных полей Стандартной модели. Их масса, характеризующая масштаб новой физики М, пропорциональна 1/Я, где R — радиус сферы S2, образованной в результате компактификации двух дополнительных измерений. Наиболее сильное ограничение на масштаб М в этой модели возникает при рассмотрении распада К і —+ /і±ет. Это связано с тем, что в таких теориях приближенно сохраняется номер поколения участвующих в реакции частиц, так как в шестимерной теории он отвечает приближенной симметрии. Поясним роль этой симметрии в моделях с двумя и более дополнительными измерениями. Нулевые моды фермионов являются решениями уравнения Дирака во внешнем поле со л итона в пространстве дополнительных измерений (для малого числа измерений эти уравнения были исследованы в [35, 56]). Инвариантность потенциала приводит к вырождению уровней. Независимые фермионные решения с одинаковой, нулевой, энергией соответствуют разным поколениям полей материи Стандартной модели. В модели с двумя дополнительными измерениями есть только одно квантовое число, при помощи которого можно различить поколения. Оно соответствует вращениям относительно оси вихря, дополненными калибровочными преобразованиями. Если бы эта симметрия была точной, то номер поколений в эффективной четырехмерной теории сохранялся. В нашей модели, однако, эта инвариантность нарушена смешивающими членами, следствия из введения которых можно исследовать на эксперименте. Заметим, что этот механизм локализации фермионов позволяет рассматривать и некомпактные дополнительные измерения. Надо только воспроизвести универсальность зарядов, которая для компактных многообразий получается автоматически.
В настоящее время существуют возможности для усовершенствования экспериментов по поиску редких распадов каонов [57]. Наблюдение распада Кь — е в отсутствии сигнатур для других редких процессов было бы свидетельством в пользу моделей с сохранением поколений.
Процессы с нарушением аромата, особенно с лептонами в конечном состоянии, могут быть исследованы на коллайдерах. Для модели [33, 44] возможности поиска таких процессов были оценены в [58]. Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и Приложения.
Иерархия ферм ионных масс в четырехмерной теории
Прежде чем приступить к решению краевых задач (1.7) и (1.8) выясним области допустимых параметров для получения нетривиальных конфигураций. Как видно из уравнения на хиггсовское поле, существует решение Н = 0, но оно не всегда устойчиво. Устойчивость вихря с одной намоткой является следствием нетривиальной топологии. Вихри с большим числом намоток могут при некоторых параметрах дробиться с сохранением топологического числа. Поэтому после получения численного решения необходимо проверить его на устойчивость.
При выборе параметров мы исходили из соображения, что в шестимерной теории нет иерархии, т.е. все безразмерные параметры модели имеют одинаковый порядок величины.
Для случая глобальной группы ограничение на параметры Л, А, к, v, fj. системы (1.7) можно получить из следующих соображений [64]. Пусть Fo и Щ решения уравнений (1.7). Рассмотрим малое возмущение Н{х) хиггсовского поля. Уравнение на него линеаризуется. Переменные разделяются и решение можно искать в виде Тогда зависимость от дополнительных измерений содержится Б решении уравнения Шредингера Здесь потенциал V{x х5) = V(r) выражается через решения системы (1.7) по формуле Если в системе с таким потенциалом есть отрицательный уровень (о;2 0), то решение Но(г) неустойчиво. В работе [64] было предложено условие искать устойчивые нетривиальные решения в области h v — Kfi2 0. Действительно, если h2v2 — кр? — 0, то потенциал (1.9) обращается в нуль на бесконечности и отрицателен в начале координат. В двумерной квантовой механике для любого такого потенциала существует связанное состояние с отрицательной энергией. При увеличении h этот уровень будет подниматься и при некотором значении ho (ho 10 в случае глобального вихря) уровень станет положительным. Тогда тривиальное решение Н$(г) — 0 станет устойчивым. Все задачи решались релаксационным методом Ньютона [65] для уравнений первого порядка, разрешенных относительно старшей производной. В этом методе система дифференциальных уравнений заменяется системой (нелинейных) алгебраических уравнений на решетке. Нерациональное использование памяти при обращении матриц методом Гаусса вынуждает использовать более усовершенствованные схемы. В нашем случае использовался метод, подробно описанный в [66]. Нетривиальное устойчивое решение представлено на рисунке 1.1. Значение параметров вихря мы выбрали так, чтобы его обратный размер ( y/Xv) был порядка единицы массы, 1 М = 105 ТэВ, и все величины будем измерять в этой системе. Выбор такого масштаба будет обоснован позже, после рассмотрения масс ферм ионов. При значении h = 3 численное исследование на устойчивость не представляет труда, так как V(r) положительна для всех г. При увеличении h хиггсовское поле становится уже, углубляя потенциальную яму. Когда появляется отрицательный уровень [h 10) решение становится неустойчивым. Численно это заметно, так как при решении на компьютере метод начинает сходится к тривиальному решению Щ(г) — 0. Низший уровень, соответствующий наиболее неустойчивой моде, является цилиндрически симметричным решением, т.к. возможная зависимость от угловой переменной может только поднять уровень. Для доказательства устойчивости была написана программа, отыскивающая собственные числа цилиндрически симметричного оператора Штурма-Лиувилля в двух измерениях. Можно пытаться решать уравнение для хиггсовского бозона во внешнем поле вихря, что существенно уменьшает требования к машинным ресурсам. Однако, это привело бы к неверным результатам. Наличие хиггсовского поля уширяет вихрь, что особенно сильно проявляется при h близких к единице, см. рис. 1.2. При увеличении h размер обоих полей уменьшается. Однако, рост вихря в нуле при этом слабее, чем в случае без поля хиггса. Поэтому, в области h 1 решать задачу для хиггса во внешнем поле вихря нельзя. Разница между свободным вихрем и вихрем в системе (1.7) при h — 1.2. В случае калибровочной группы можно исследовать еще одну неустойчивость решений. Топологическое число является инвариантом, но это не мешает вихрю с тремя намотками распасться на три вихря с одной намоткой. Возможность проверяется подстановкой обоих решений (с к — 1 к — 3) в выражение для энергии. Для численного интегрирования при этом использовалась формула трапеций, так как функции не осциллируют и не содержат особенностей. Устойчивое решение представлено на рисунке 1.3.
Взаимодействие калуца-клейновских мод калибровочных бозонов с фермионами
Как видно из (1.20), поведение фермионных мод в нуле описывается разными степенными законами. На бесконечности они спадают экспоненциальным образом. Если хиггсовское поле не очень широкое по сравнению с фермионами, то при взятии интегралов (1.24) получатся разные значения для каждого поколения. Для того, чтобы получить настоящую массу, надо учесть нормировки спиноров.
Иерархия фермионных масс экспериментально обнаружена как для трех поколений лептонов, так и для трех поколений кварков. В обоих случаях получены соотношения, которые представимы в виде где cj, С2 по порядку равны единице. Наибольший разброс параметров сі, С2 обнаружен у лептонов. Возможность получения подобной иерархии и является основной задачей этой главы.
Для получения масс мы возьмем взаимодействие (1.21) в простейшем виде, положив Легко вывести уравнения для спинора, содержащего правые ферми оны. Их нормированные решения можно искать в виде (1.14), причем отличны от нуля только компоненты /(!), /(4), см. (1.22). Уравнения на ненулевые компоненты будут такими же, как и уравнения на ненулевые компоненты левого спинора. Пусть fp, р = О,1,2 - базис нормированных нулевых мод, причем функции fp ведут себя в нуле как гр. В четырехмерной теории дираковский массовый член дается выражением (1.23). При интегрировании по угловой переменной для четырехмерных масс разных поколений получаем выражение
В таком рассмотрении неважен тип локализованных частиц. Массы и лептонов (массивных), и кварков даются выражением (1.29), вычисленном при разных Yu, д. Заметим, что формула (1,29) верна как для случая глобальной, так и случая калибровочной группы. Для нахождения иерархии нам осталось решить численно уравнения для нулевых мод. Условие равенства констант взаимодействия с вихрем для левых и правых (шестимерных) спиноров облегчает задачу, так как остается только одна из двух систем.
Правильность численного метода можно проверить прямым способом. Если в уравнениях (1.26) положить F = г3, А = 0, то существуют три нормируемых решения, выражающиеся через функции Мак-дональда, имеющие правильное поведение в нуле. Сверка численных решений с табличными выражениями для функций Макдональда показала их полное совпадение.
В зависимости от поведения в нуле мы будем различать тяжелую /о, среднюю /і и легкую моды /г, чтобы отличать их от функций / . Иерархии масс для глобальной и калибровочной групп сильно отличаются, поэтому анализ результатов мы проведем для каждого случая в отдельности. В случае глобальной группы возьмем бозонные поля, полученные в разделе 1.2. Решение представлено на рисунке 1.4. Как видно, максимумы нулевых мод находятся далеко за пределами вихря (напомним, что ширина вихря 5 для выбранных параметров). Из рисунка 1.1 мы можем определить область, дающую вклад в массу, определяемую интегралом (1.36). Численно она меньше 10. На рисунке 1.5 представлены нулевые моды в этом интервале. поля легкая мода лишь незначительно меньше средней. Численное интегрирование приводит к следующей иерархии масс которая сильно отличается от экспериментально известного выражения (1.28) и оценок в работах [32, 33]. Для объяснения результата воспользуемся следующей моделью. Пусть вихрь и хиггсовское поле задаются следующими функциями: Тогда мы можем решить уравнение для нулевых мод аналитически. Нагляднее взять точное решение вне вихря и сшить его в г = 1 с Заметим, что вне вихря легкая и тяжелая моды пропорциональны ОДНОЙ И ТОЙ ЖЄ КОНСТаНТе С, Т.К. ОНИ ЯВЛЯЮТСЯ решениями /(2), /(3) одной системы (1.16). Кроме того, подчеркнем, что легкая и средняя моды имеют одинаковую зависимость от г вне вихря. Максимумы функций, стоящих под нормировочными интегралами (1.25) находятся далеко от вихря, поэтому основной вклад даст область г 1. Тогда из нормировки получим связь Ст С 1. Сшив функции в единице, получим выражение для Ср через д. Тогда подставив решения в формулу (1.36), получим иерархию по константе связи в виде: 1:1:-. (1.30) Эта зависимость была проверена численно. Хорошее совпадение получалось вплоть до д = 0.2. Видно, что эта зависимость не описывает соотношений между массами первого, второго и третьего поколений (1.28). Из графика 1.5 видно, как можно получить правильную иерархию: профили легкой и средней мод должны различаться не только поведением в начале координат, но и численными значениями внутри вихря с учетом нормировочных условий.
AG = 2: разница масс К і — Ks и СР-нарушение в ка-онах
Численные результаты немного отличаются от (1.46). Это связано прежде всего с тем, что калибровочное поле А локализовано слабее скалярного поля вихря, см. рис. 1.8. Отношение точных значений 77 и оценок (1.46) для дя — ди = дъ зависимости от д приведены на рис. 1.9. Мы видим, что (1.46) достаточно хорошо описывает зависимость элементов массовой матрицы от д.
Теперь мы готовы представить набор параметров (У, е, д) нашей модели, воспроизводящий параметры фермионного сектора Стандарт ной модели. Для этого прежде всего необходимо найти собственные значения массовой матрицы как функции констант взаимодействий, например гПр3(Уп,єи,дя,ди). В полученные выражения надо подставить массы верхних кварков и решить полученные три уравнения (с четырьмя неизвестными). Однако, решить эти уравнения тяжело даже численно. Причина заключается в том, что получение матрицы ти в некоторой области параметров подразумевает численное решение уравнений на нулевые моды для каждого значения константы связи.
К счастью, существует более простой способ. Заметим, что параметры yUt(d,i) входят в массовую матрицу линейно, поэтому их можно исключить из уравнений, связывающих два отношения масс (тзз/т22, тзг/тпц) и три параметра еи, gq, ди. Второе упрощение состоит в использовании (1.46).
В кварковом секторе, помимо масс, мы должны восстановить элементы матрицы смешиваний Кабибо-Кабаяши-Маскавы. К более подробному анализу этой матрицы мы вернемся в Главе 3, а сейчас приведем результат для модели с плоскими дополнительными измерениями. Из иерархии в кварковом секторе имеется семь уравнений (четыре отношения масс и три угла смешивания) на пять параметров () 9и, gd, Стх, ) При фитировании мы использовали пять из семи уравнений для получения правильных отношений масс и одно — для получения элемента U KM- Для значений
Заметим, что безразмерные параметры этой модели порядка 1, например, ди /\/Л = 0.4, Yu і Эй = 1-3, и т.д. При этом девять параметров кваркового сектора Стандартной модели (шесть масс и три угла смешивания) получаются варьированием семи параметров: трех констант gu,d,qi ДВУХ параметров еи и двух юкавских констант связи Yu4.
В этой главе мы рассмотрим локализацию фермионов в модели [44], где два дополнительных измерения компактифицированы в сферу S2. Мы воспроизведем аналитические оценки Главы 1 для этого случая и покажем, что иерархия поколений сохранится и в этой модели. Но сначала мы опишем калуца-клейновское разложение для векторных полей на S2. Как отмечалось во Введении, рассмотрение компактных дополнительных измерений позволяет обойти проблему локализации калибровочных полей. В этом разделе мы приведем основные формулы для калуца-клейновского разложения на S2 радиуса R, задающего энер гетический масштаб модели. По прежнему, координаты дополнительных измерений будем обозначать (х4, % ), рассматривая многообразие М4 х S2 (М4 - обычное четырехмерное пространство Минковского). Наши результаты, однако, не зависят от количества плоских измерений. Введем на сфере углы в, ф, тогда метрика определяется выражением (обозначения см. в Приложении)
