Содержание к диссертации
Введение
1 Расходимости и перенормировки 12
1.1 Расходимости фейнмановских интегралов 12
1.2 Перенормировки и регуляризация обобщенных функций . 19
2 Определение алгебры Хопфа 22
2.1 Линейное пространство графов 22
2.2 Алгебра Хопфа графов и R-операция Боголюбова 25
2.2.1 Л-операция Боголюбова 26
2.2.2 Алгебра Хопфа графов 28
2.2.3 Алгебраическая Я-операция 30
2.3 Алгебра Ли графов и ренормгруппа 33
3 Лидирующие логарифмы в симметричной точке 38
3.1 Вычисление лидирующих логарифмов 38
3.2 Двухпетлевой интеграл 40
3.3 Прямая оценка фейнмановских интегралов 45
3.4 Обощенные уравнения РГ в теории ср4 51
3.5 Использование рекурсии и древесной формулы 59
3.6 Связь с диффеоморфизмами 65
3.7 Многозарядные теории 69
4 Ведущие логарифмы в произвольной точке и паркетное при ближение 71
4.1 Ренормгрупповое вычисление 71
4.2 Паркетное приближение 74
4.3 Паркетное приближение и главные логарифмы 75
4.4 Суммирование главных логарифмов в несимметричных точках . 78
5 Алгебра Хопфа ленточных графов 82
5.1 Ленточные графы и 1/N разложение 82
5.2 Ленточные графы и поверхности 87
5.3 Алгебра Хопфа поверхностей 93
5.4 Функции на поверхностях и перенормировки 99
5.5 Приложения 103
Литература 112
- Перенормировки и регуляризация обобщенных функций
- Алгебра Хопфа графов и R-операция Боголюбова
- Двухпетлевой интеграл
- Паркетное приближение
Введение к работе
Одна из самых неприятных проблем в квантовой теории поля - расходимость фейнмановских интегралов. Эта проблема была разрешена Боголюбовым и Парасюком в виде і?-операции [1, 2, 3]. С физической точки зрения возможность разрешения проблемы расходимостей связана с существованием ренормгрупповой инвариантности [1,4]. Эта инвариантность была открыта в работах Штюкельберга - Петермана [5] и Гелл-Манна - Лоу [6]. А всеобщее признание метод ренормгруппы получил после работ Боголюбова и Ширко-ва, которые исследовали структуру ренормгруппы с математической точки зрения, а также дали более прозрачную физическую интерпретацию [1, 7]. Именно их работы позволили связать проблему устранения расходимостей и ренормгрупповую инвариантность, т.е. представить вычитание расходимостей в виде ненаблюдаемых перенормировок [1, 4, 8]. Позднее доказательство о перенормируемости было усовершенствовано Хеппом [9]. Рекуррентные соотношения для контрчленов были разрешены Завьяловым и Степановым [10], а затем представлены Циммерманом в виде суммы по лесам [11].
К. Вильсон предложил альтернативную интерпретацию ренормгруппы, основанную на аналогии с преобразованием Каданова в статистической физике [12]. Изменение масштаба теории аналогично преобразованию подобия, а уравнения РГ описывают системы с самоподобием [13].
Ренормгруппа наиболее эффективна при изучении асимптотических свойств теорий. Так, с использованием уравнений РГ была найдена асимптотическая свобода в теориях Янга-Миллса [14, 15]. В квантовой теории поля точные от-
веты получить очень сложно, поэтому, как правило, изучаются либо асимптотические пределы, либо разложения по малым параметрам. В теории возмущений физические величины представляют в виде рядов по константе связи. Если константа связи не мала, необходимо искать другие параметры разложения. Например, в теориях с матричными полями можно использовать l/N-разложение [16]. Но даже если константа связи мала, может встретиться другая проблема - большие логарифмы отношений импульсов. При этом произведение константы связи на логарифм становится величиной порядка единицы. В теориях с ренормгрупповой инвариантностью можно перейти в новую точку нормировки, где нет больших отношений импульсов [1, 4, 17]. Эта процедура эквивалентна суммированию ведущих логарифмов [1, 18].
Ведущие логарифмы - объект достойный изучения со многих точек зрения. С точки зрения эксперимента они вносят основной вклад в амплитуды рассеяния при больших энергиях. С точки зрения теории это довольно простой объект, который можно вычислить либо непосредственно, либо с помощью ренормгруппы. Ведущие логарифмы - это своего рода теоретическая лаборатория, которая позволяет тестировать различные методы вычислений и сравнивать ответы с предсказаниями ренормгруппы. Недостаток уравнений ренормгруппы в том, что они фиксируют поведение только суммы диаграмм данного порядка. В диссертации показано, что обобщенные уравнения РГ, следующие из алгебры Хопфа графов, являются более сильными и позволяют находить асимптотики отдельных фейнмановских диаграмм. При этом результаты ренормгрупповых вычислений совпадают с прямыми оценками фейнмановских интегралов.
Нахождение асимптотик фейнмановских интегралов - это одна из наиболее важных проблем в квантовой теории поля. Общие оценки на степени импульсов и логарифмов для фейнмановских интегралов были установлены в знаменитой теореме Вайнберга [19]. В силу своей общности оценки на
степени логарифмов довольно грубы, поэтому в каждой отдельной теории необходимо дополнительное рассмотрение. Например, в теории мезонов точные асимптотики фейнмановских интегралов можно найти по топологии диаграмм [20]. Наряду с асимптотиками фейнмановских интегралов при больших импульсах, физический интерес представляют также разложения по малым импульсам и массам частиц [21]. Кроме ультрафиолетовых расходимостей в теориях с безмассовыми полями существуют инфракрасные расходимости. Они приводят к появлению дополнительных больших логарифмов, так называемых двойных логарифмов Судакова. Суммирование судаковских логарифмов можно найти в [4, 22, 23], а определение процедуры устранения инфракрасных расходимостей было дано в работах [24, 25]. Модификация R-операции на случай инфракрасных расходимостей была найдена Смирновым и Четыркиным [26]. Общие результаты об асимптотических разложениях в пространстве Минковского, а также нахождение судаковских логарифмов методом областей можно найти в работах [27, 28, 29]. Среди современных методов в многопетлевых вычислениях можно выделить использование преобразования Меллина [29, 30], интегрирование по частям и сведение к известным интегралам [31], использование теории обобщенных функций [32] и алгебры Хопфа графов.
Алгебра Хопфа графов появилась как формальная структура, описывающая R-операцию Боголюбова [33, 34]. Это открытие особенно интересно с теоретической точки зрения, поскольку алгебра Хопфа графов дуальна к алгебре Ли, которая описывает диффеоморфизмы в пространстве констант связи, т.е. в такой формулировке операция устранения расходимостей естественным образом связана с перенормировками констант связи. Кроме того, существование структуры алгебры Хопфа позволяет находить аналогии с математическими моделями такими как деформационное квантование [35], некоммутативная геометрия [36], итерированные интегралы [37], где исполь-
зуются алгебры Хопфа. С практической точки зрения алгебра Хопфа помогает удобно формализовать процедуру устранения расходимостей для вычисления многопетлевых фейнмановских интегралов [38, 39].
Целью диссертации является изучение уравнений ренормгруппы, связанных с алгеброй Хопфа графов. Показано, что эти уравнения эквивалентны ренормгрупповым уравнениям на отдельные фейнмановские интегралы [40], т.е. являются нетривиальным обобщением обычных ренормгрупповых уравнений. С помощью обобщенных уравнений ренормгруппы вычислены ведущие логарифмы для отдельных фейнмановских интегралов при произвольных внешних импульсах.
Интересной задачей является применение алгебры Хопфа в теориях с неа-белевыми калибровочными полями. В диссертации сделан первый шаг в этом направлении: найдено обобщение алгебры Хопфа на теории с матричными полями. В таких теориях диаграммы Фейнмана изображают в виде ленточных графов, которые обладают меньшим количеством симметрии, чем обычные графы. Отличие матричных теорий от теорий Янга-Миллса заключается в существовании калибровочной инвариантности, с которой алгебра Хопфа должна быть согласована. Следовательно, алгебра Хопфа в теории Янга-Миллса не свободна, а с дополнительными связями, задаваемыми тождествами Славнова-Тейлора. Алгебра Хопфа, согласованная с калибровочной инвариантностью в абелевых теориях найдена в работе [41].
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту
Вывод уравнений ренормгруппы в формализме алгебры Хопфа графов для теории <рА.
Вычисление коэффициентов перед ведущими логарифмами для отдельных фейнмановских диаграмм в евклидовой теории 4 из уравнений ренормгруппы в симметричных и несимметричных точках относительно внешних импульсов.
Установление связи обобщенных уравнений ренормгруппы с ренормгруп-повыми уравнениями в теории с бесконечным набором полей и констант связи.
Установление в вывод структуры алгебры Хопфа для ленточных графов.
Результаты диссертации были апробированы в выступлениях на конференции Ломоносов 2002, МГУ, Москва; на конференции Calc'2003, Дубна; на семинаре в университете города Майнц, Германия; на семинаре в университете города Уппсала, Швеция; на семинаре в ИЯИ, Москва; на семинаре в ИТЭФ, Москва; на школе-семинаре Волга 16'04, Казань и на семинаре в ОИЯИ, Дубна.
Результаты диссертации опубликованы в работах [42, 43, 44, 45], а также [46, 47].
Структура диссертации имеет следующий вид. В первой части рассмотрена проблема расходимости фейнмановских интегралов. В качестве примера изучается безмассовая скалярная теория с взаимодействием 4 в 4-мерном евклидовом пространстве. Расходимости имеют локальную структуру в координатном пространстве. Аналогичная ситуация возникает в теории обобщенных функций, где процедура устранения локальных бесконечностей называется регуляризацией функционалов [48]. В диссертации рассматриваются фейнмановские интегралы в параметрическом представлении. Показано, что устранение расходимости в однопетлевом интеграле аналогично регуляризации функционала со степенной особенностью в нуле.
Во второй части исследуется комбинаторика Я-операции. Сначала показано, что процедура устранения расходимостей имеет структуру алгебры Хопфа графов. Далее выписана алгебра Ли дуальная к алгебре Хопфа графов, и найдены уравнения ренормгруппы в терминах данной алгебры Ли.
В третьей части рассмотрено применение обобщенных уравнений ренормгруппы. В качестве примера изучаются ведущие логарифмы для отдельных
фейнмановских интегралов в симметричной точке. Сначала ответ получен с помощью прямой оценки фейнмановских интегралов, а потом показано, что эти результаты можно получить из уравнений ренормгруппы. При этом ренормгруппа дает рекуррентное соотношение, выражающее главный логарифм для (п + 1)-петлевой диаграммы через n-петлевые диаграмм, а прямая оценка фейнмановских интегралов дает ответ в виде суммы по максимальным деревьям расходящихся подграфов. Связь между рекурсивной формулой и суммой по деревьям аналогична связи рекурсивного определения контрчленов и определения с помощью суммы по лесам [11]. Рассмотрено несколько примеров применения рекурсивной формулы и формулы с суммой по деревьям. Далее найдено решение уравнения ренормгруппы в виде экспоненты от бета-функции и показано явно, что экспонента от однопетлевой бета-функции задает перенормированную вершинную функцию в главном логарифмическом приближении. В конце этой части исследуется вопрос, какую максимальную информацию можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности и чего достаточно для существования этой симметрии в теории. А именно, показано, что в теории с двумя скалярными полями ренормгруппо-вые уравнения на двухпетлевые интегралы совпадают с обобщенными уравнениями ренормгруппы. Таким образом, новые уравнения ренормгруппы -это максимальная информация, которую можно извлечь из условия ренормгрупповой инвариантности, в том смысле, что для инвариантности любой безмассовой скалярной теории достаточно выполнения этих уравнений, а с другой стороны, что уравнения ренормгруппы в теории с бесконечным набором полей эквивалентны обобщенным уравнениям ренормгруппы.
В четвертой части найдены ведущие логарифмические асимптотики фейнмановских интегралов в несимметричных точках. Сначала ведущие логарифмы вычислены рекурсивно из уравнений ренормгруппы, а затем с помощью паркетного приближения. В качестве примера рассмотрен двухпетлевой ин-
теграл. Используя паркетное приближение, также заново выведен результат для симметричной точки, выраженный через сумму по деревьям.
В пятой части найдено обобщение алгебры Хопфа на случай ленточных графов на примере матричной теории с взаимодействием Ф4. Проблема состоит в том, что ленточные графы имеют меньше симметрии, чем обычные, а именно, в каждой вершине разрешены только циклические перестановки ребер (в более общем случае многоследовых взаимодействий ребра в вершинах разбиваются на группы, и циклические перестановки разрешены внутри каждой из групп). Уменьшение числа симметрии связано с появлением дополнительной структуры, 1/N разложения. Алгебра Хопфа должна быть согласована с этой структурой. При изучении алгебры Хопфа использована связь между ленточными графами и поверхностями. В теории с односледовы-ми взаимодействиями есть взаимнооднозначное соответствие между ленточными графами и поверхностями с клеточным разбиением. В случае многоследовых взаимодействий возникает разбиение на сферы с отверстиями. Нам будет более удобно построить алгебру Хопфа поверхностей с разбиением на сферы с отверстиями. Некоторые наиболее сложные аксиомы алгебры Хопфа доказаны в приложениях.
Благодарности
Я благодарю моего научного руководителя В. В. Белокурова за поддержку в работе над диссертацией. Особенную признательность хочется высказать недавно умершему К. Г. Селиванову.
Я благодарен за научные обсуждения и дискуссии на семинарах ИТЭФ Э. Т. Ахмедову, А. А. Герасимову, А. С. Горскому, А. С. Лосеву, А. Д. Миронову, А. Ю. Морозову и Б. Л. Иоффе; а также А. Александрову, Н. Амбург, Р. Анно, Д. Васильеву, В. Долгушеву, А. Зотову, С. Клевцову, С. Локтеву, В. Лысову, Д. Мельникову, В. Побережному, А. Соловьеву, К. Сарайкину, В. Пестуну и А. Червову.
Также я хотел бы поблагодарить А. А. Владимирова, И. В. Воловина, И. Ф. Гинзбурга, С. Грооте, А. П. Исаева, Д. И. Казакова, М. Ю. Калмыкова, А. М. Полякова и В. А. Смирнова за ценные обсуждения различных вопросов, связанных с диссертацией.
Перенормировки и регуляризация обобщенных функций
В предыдущей части было показано, что фейнмановские интегралы в параметрическом представлении имеют степенные особенности в нуле. Рассмотрим более общую задачу регуляризации функционалов со степенными особенностями.
Пусть функционал определен на пространстве основных функций, равных нулю в окрестности конечного числа точек. Регуляризацией этого функционала называется функционал, совпадающий с исходным на функциях, равных нулю в окрестности особых точек, но определенный на всем пространстве [48]. В случае, когда есть только одна особая точка - ноль, функционалы / и freg отличаются на локальный функционал, пропорцоинальный 5(х) (или производным от -функции). В квантовой теории поля это соответствует тому, что расходящийся член с/є в параметрическом представлении имеет вид с5(г)/е. Например, функция ( -2 г, .3 \ X 2 X О, V О х 0. задает функционал (f,tp) = / х ip(x)dx Jo при (f(0) = 0. Его регуляризацией является функционал Г з (freg,)= / % ((fi(x)-(p(0))dx. JO При (р(0) = 0 он совпадает с начальным, но определен также на функциях (0) ф 0, поскольку ср(х) — (/?(0) = 0(х). В общем случае рассмотрим функционал х _ /00 (х%,ч )= I xa p(x)dx. (1.22) Jo Этот функционал хорошо определен при а — 1. Его регуляризацию при —2 а — 1 можно найти, используя аналитическое продолжение функции U(a) = (xl,tp). Представим интеграл (1.22) в следующем виде (xl, p) = [ ха (ф) - р(0)) dx Jo 1 f + г / (0)+ / xay(x)dx. (1.23) « + i Л выражение (1.23) определено для а — 2, схф — 1. Чтобы установить аналогию с размерной регуляризацией, положим а = — 1 + є, где е —» 0, тогда (х+ш,ц ) = -ф) + Ґ х 1+ (ф) - ф)) dx / оо a;"1+ (i)(fe. (1.24) Это выражение имеет полюс при є — 0 с вычетом (0). Поскольку (р{0) — локальное в нуле выражение, то регуляризация функционала х+1+е при є — 0 заключается в вычитании полюса по є -1 _ і: Л-1+е _ ( Л :r , = Нт ( ж + е- ,-1 Действие х+ на основные функции имеет вид (x-\tp) = [ х-1 (ф) - ф)) Jo /оо x lip(x)dx. Г1 dx Мы видим, что вычитание полюса по е в размерной регуляризации соответствует регуляризации функционала ж+1+б при е — 0.
В общем случае возможность самосогласованного вычитания расходимо-стей связана с тем, что расходящиеся члены имеют локальную структуру, следовательно, перенормировки заряда в диаграмме с меньшим числом петель устраняют расходимости поддиаграмм в диаграммах с большим числом петель. В регуляризации обрезанием это означает, что производные по log Л2 фейнмановских интегралов должны сокращаться с производными бегущих констант связи в диаграммах с меньшим числом петель. Таким образом, дифференцирование фейнмановских интегралов по log Л2 выглядит как стягивание поддиаграмм. Используя ренормгрупповую инвариантность, можно перейти в конечную точку нормировки, т.е. заменить Л — \i. При этом дифференцирование по log /І2 также должно приводить к стягиванию поддиаграмм, т.е. интеграл, соответствующий поддиаграмме, должен заменяться на -функцию. Для пояснения этого утверждения рассмотрим следующий функционал ;V) = Вт ( ; +у - $Р) . Здесь по аналогии с размерной регуляризацией был введен дополнительный параметр /л. Продифференцируем этот функционал по log /х — ос 1 (/л) = \imex l+efie. dlogfj, + е-о + Теперь заметим, что Х+1 - регулярный функционал, поэтому О = limfca;;1) = lim (еж;1+У) - S(x), следовательно — x+l(v) = S(x). a log /і Таким образом, дифференцирование по log \і регуляризованного функционала дает (5-функцию. С точки зрения диаграмм это соответствует тому, что дифференцирование по log// перенормированных поддиаграмм приводит к стягиванию этих поддиаграмм. Это свойство лежит в основе уравнений ре-нормгруппы на отдельные фейнмановские интегралы [40].
Алгебра Хопфа графов и R-операция Боголюбова
В этой части дано определение алгебры Хопфа графов и установлено соответствие между R-операцией Боголюбова и операцией устранения расходи-мостей, выраженной в терминах алгебры Хопфа.
Сначала приведено боголюбовское определение і?-операции. Затем дано определение алгебры Хопфа графов и найдены контрчлены и перенормированные значения фейнмановских интегралов в алгебраических терминах. Под фейнмановским интегралом мы будем понимать функцию, которая каждому графу ставит в соответствие число. Основной объект, который будет изучаться - это линейное пространство графов Ті. Множество всех линейных функций на Ті - это дуальное пространство Ті . Фейнмановские интегралы являются элементами из Ті . Определение і2-операции основано на коумно-жении в пространстве Ті. Коумножение в Ті задает умножение в Ті , при этом перенормированный фейнмановский интеграл получается при умножении контрчлена и неперенормированного фейнмановского интеграла. Далее мы рассмотрим обобщение уравнений ренормгруппы. Эти уравнения следуют из алгебры Хопфа графов, но их смысл можно понять и без апелляции к алгебре Хопфа, поэтому мы начнем с мотивации, почему следует ожидать выполнения таких уравнений. С формальной точки зрения, в Ті есть ассоциативное, но некоммутативное умножение, поэтому мы можем определить нетривиальную структуру алгебры Ли [34, 56], при этом скобка Ли - это коммутатор [ab] = а 6—6 а. Бета-функция - это элемент алгебры Ли, экспонента от бета-функции - это групповой элемент, который задает некоторый диффеоморфизм пространства Ті . В частности, перенормировка фейнмановских интегралов - это один из таких диффеоморфизмов.
Регуляризация - это введение в теорию некоторых параметров, благодаря которым интегралы становятся сходящимися. Затем нужно вычесть расходящиеся части с локальной структурой и снять регуляризацию, т.е. устремить введенные параметры к 0 (оо). Определим индекс расходимости диаграммы как степень по внутренним импульсам [1] ит = 4Lr - 2РГ, (2.14) где LY число петель в графе Г, а Рр - число внутренних ребер. Пусть фейнмановский интеграл Fr({pex}) имеет индекс и)? О, тогда, вычитая из него разложение в ряд Тейлора по {рех} До порядка и г, получим выражение Fr = Fr — {Fr} , которое имеет индекс (Dp 0 [1]. Если для всех поддиаграмм 7 С Г имеем ш1 О, то при снятии регуляризации выражение Fr становится конечным; если CJ7 0, то необходимо также вычитать подрасходимости. Введем несколько обозначений, а потом сформулируем і?-операцию полностью. \ {Frhr шт 0 , MTFr= { l J г (2.15) { 0 о;г О Оператор М проецирует Fp на расходящуюся часть. Определим рекуррентную операцию Др. Если Г состоит из одной верши-ны, то Лр = 1. В общем случае имеем сумму по всевозможным разбиениям Г на поддиаграммы Гі,..., Гш п Аг =-Мг 5 АГі .. АГга (2.16) т=2 Например, пусть подграф 7 С Г расходится, но не имеет подрасходимостей, тогда A7F(r) = -M7(F(7))F(r/7), (2.17) где граф Г/7 появляется после стягивания подграфа 7 в точку. Тогда R-операция имеет следующий вид [1] Йг = X) Агі Дгт (2.18) где Vr - число вершин в графе Г. Действие оператора R на Fr дает регуля-ризованный фейнмановский интеграл R? = RrFp. Необходимо подчеркнуть, что операции М, A, R действуют на том пространстве, где принимает значение Fp. А действие их зависит от того, на каком графе был вычислен фейнмановский интеграл.
Формально алгебра Хопфа - это линейное пространство, в котором заданы операции умножения, единицы, коумножения, коединицы и антипода. Обозначим алгебру Хопфа графов через Ті. Для задания линейного пространства достаточно указать базис этого пространства. Для этого рассмотрим множество графов, состоящее из пустого графа, 1ЧН графов и несвязных объединений 1ЧН графов. Валентность вершин в графах зависит от того, какую теорию мы рассматриваем. Каждый граф из рассмотренного выше множества соответствует некоторому базисному вектору, который мы будем обозначать той же буквой, что и граф. Таким образом, вектора в нашем линейном пространстве - это формальные линейные комбинации а = ра77. (2.19) Отметим, что пустой граф 7 = 0 также входит в сумму, Умножение задается как несвязное объединение графов. Формально умножение - это отображение из тензорного квадрата Ті g Ті в Ті. Запишем действие оператора умножения на базисных векторах га(7і 8 72) = 71 72 = 7, (2-20) где граф 7 состоит из двух несвязных подграфов 7і и 72- Пустой граф является единицей в алгебре 7-0 = 0-7 = 7 Операция единицы определяется как отображение из поля, над которым определена алгебра, в алгебру г(с) = с, се С. (2.21) Прежде чем определить коумножение, введем операцию стягивания подграфа. Напомним, что подграф состоит из некоторые вершин графа, а также некоторых (но, вообще говоря, не всех) ребер между этими вершинами. Пусть 7 С Г, предположим, что 7 - связный граф с к внешними ребрами. Как и ранее, обозначим с помощью Г/7 граф Г, в котором подграф 7 стянут в точку, т.е. вместо подграфа 7 имеем вершину с к ребрами. Если подграф 7 состоит из нескольких связных компонент, тогда в Г/7 каждая из связных компонент 7 заменяется на соответствующую вершину. Далее будем считать, что связные компоненты подграфа 7 являются одночастично неприводимыми.
Двухпетлевой интеграл
В этой части найден метод оценки лидирующих логарифмов в фейнманов-ских интегралах на примере двухпетлевого интеграла. В следующей части этот метод обобщен на произвольные диаграммы. Затем такой же результат получен из ренормгрупповых уравнений.
Основная проблема в многопетлевых вычислениях - существование расходящихся поддиаграмм. Чтобы получить конечный результат, сначала необходимо вычесть подрасходимости, а затем общую расходящуюся часть. Комбинаторная структура процедуры вычитания - предмет R-операции Боголюбова. Основное свойство, необходимое для применимости R-операции - локальность контрчленов в координатном пространстве. Локальность означает, что соответствующая поддиаграмма стягивается в точку, т.е. в вершину. Поэтому подрасходимость вычитается контрчленом в вершине диаграммы с меньшим числом петель.
Опишем основную идею вычисления. В параметрическом представлении интегралы расходятся около нуля параметров, соответствующих расходящимся поддиаграммам [1, 18, 50, 53]. Следовательно, расходящиеся члены должны быть локальными в пространстве параметров. Члены, дающие вклад в лидирующие логарифмы, появляются из наиболее сингулярных частей и так же имеют локальную структуру в пространстве параметров. При этом лидирующий логарифм имеет вид (\п/л2а)1, где I - число петель, а а - общий скейлинговый фактор для поддиаграммы. Таким образом, с точки зрения лидирующих логарифмов поддиаграмма имеет вид вершины с взаимодействием (1п/л2о:)г.
В ходе вычисления интегралы разбиваются на сингулярные и регулярные части. Лидирующие ренормгрупповые логарифмы возникают из наиболее сингулярной части, которая содержит все подрасходимости фейнмановско-го интеграла. Произведение сингулярных и регулярных частей дает меньшие степени логарифмов, а также неренормгрупповые логарифмы. В этой части мы будем интересоваться только ведущими ренормгрупповыми логарифмами, такими как (1п 2/)п; логарифмы вида (Yn.fi2/t)m(\ns/t)k не являются ведущими ренормгрупповыми логарифмами.
Как обсуждалось ранее, разложение сингулярного интеграла на расходящуюся и сходящуюся части связано с проблемой регуляризации обобщенных функций [48]. Эта аналогия была использована в работе [32], чтобы выразить R-операцию через обобщенные функции. Мы также используем эту аналогию, чтобы вычесть расходимости, но все вычитания производятся в а-пространстве, а не в х или р пространствах.
Заметим, что сингулярный по є член локален по z, где z - параметр, соответствующий расходящейся поддиаграмме. Мы покажем, что первый член в (5.15) дает вклад в лидирующий логарифм. В бета функцию могут давать вклад первый и второй члены, в то время как последний член не зависит от ренормализационного параметра /І, поэтому он может дать вклад только в неренормгрупповые логарифмы. Для удобства введем новый параметр е\ в расходящемся интеграле для поддиаграммы. Рассмотрим первый член из (5.15), подставленный в выражение (3.6), F(D = Г L aY- Ґ dx(fa) e-a - \ (3.9) Jo бі Л) где было использовано Зависимость от р\ и р\ исчезает вследствие локальности по z. Разлагая по є, находим лидирующие ренормгрупповые логарифмы Во втором члене в (5.15) замечаем, что а = 1 — х и тогда, после интегрирования по а, имеем » = -rW(g)Y.. (3.15) Как и утверждалось, этот член может дать вклад только в бета-функцию. Последний член в (5.15) дает регулярное выражение в (3.6), поскольку d dz e aQ а и сингулярность ва = 0 исчезает /00 г\ ГІ—Х F 3 = da I dx I dzln Jo Jo Jo z -e aQ. dz (3.16) Если рассмотреть эту диаграмму в і канале и взять предел р\ РІ s и » t = (рг + Рз)2, тогда третий член даст неренормгрупповой логарифм (3.17) Л S\2 Е (3) -5(4) + . (3.18) Первые два члена в (5.15) локальны по z, поэтому их структура не зависит от асимптотики внешних импульсов. Последний член нелокален по z, поэтому он имеет различное поведение при разных внешних импульсах. В общем случае многопетлевых диаграмм неренормгрупповые логарифмы приходят из "второго" и "третьего" членов для поддиаграмм. В следующей части будут вычислены неренормгрупповые логарифмы в теории /?4 для любой диаграммы. Мы видим, что разложение (5.15) эффективно разделяет интеграл на ре-нормгрупповую и неренормгрупповую части. Далее в этой части второй и третий члены рассматриваться не будут, поскольку они не дают вклад в лидирующие ренормгрупповые логарифмы.
Паркетное приближение
Главные логарифмы в теории /?4 вычислены в работе [61], где выведено интегральное уравнение для четырехточечной вершинной функции в приближении главных логарифмов. Решение этого уравнения эквивалентно суммированию главных логарифмов. Подобный подход можно использовать для нахождения ведущих логарифмов для отдельных фейнмановских интегралов при произвольных внешних импульсах.
Как мы обсуждали ранее, диаграммы, дающие вклад в главные логарифмы, являются двухчастично приводимыми [57]. Поэтому в любой диаграмме можно всегда найти две линии, такие, что суммарный импульс в квадрате равен одной из переменных Мандельштама. Заметим, что вычисление главных логарифмов с помощью паркетного приближения похоже на вычисления в размерной регуляризации, приведенные в части 3.3. Каждой области в пространстве импульсов интегрирования, дающей вклад в главные логарифмы, можно поставить в соответствие некоторое максимальное дерево из расходящихся подграфов. В приведенном выше примере области к\ / р соответствует вложение 71 С 72 С 7з (см рис. 3.3), а области к ± к\ р отвечает вложение 7i С 72 С 7з Прежде чем сформулировать общее правило, рассмотрим еще один пример - граф 7з (см. рис. 3.11). Пусть pi, Р2 - импульсы, бегущие по однопетлевым подграфам, к - импульс в большой петле, a,q- внешний импульс. Главный логарифм набирается в области Pi, Р2 к, поэтому соответствующий интеграл имеет вид М д2 М д2 М д2 /?? і F(%)= dln-j din — dln—= dW2 = -r? . (4.24) Jq K Jk Pi Jk Vl JO «J В общем случае имеем следующее соответствие между максимальными деревьями расходящихся подграфов и интегралами, дающими главные логарифмы. Поскольку дерево максимальное, то каждый подграф имеет ровно на одну петлю больше, чем вложенный в него подграф. Следовательно, каждой вершине можно поставить в соответствие переменную интегрирования. Если 7i С 725 то соответствующие переменные pi Р2- Переменная, отвечающая корню, т.е. самому графу, принадлежит интервалу (q, Л), где q - характерный внешний импульс. При каждом интегрировании добавляется одна степень логарифма, поэтому интеграл для /с-петлевого подграфа 7/с имеет вид / = J dyyk l = \yk, (4.25) где у = 4j - внешняя для 7fc переменная. Подынтегральное выражение ук 1 набирается при интегрировании по подграфам в 7ь Мы видим, что каждый подграф вносит вклад, пропорциональный 1/к, где к - количество петель в подграфе. Таким образом, n-петлевой интеграл, построенный по дереву Т7, равен /(Г7) = -U", (4.26) где Т7 - произведение чисел петель в подграфах у. А полный ответ для главных логарифмов имеет вид 1 / А2\п Г! 7п \ " / In Выведем теперь интегральное уравнение (4.16) в точке р » р » q. Для этого рассмотрим разложение вершинной функции, представленное на рис. 4.1. Выберем в левой части некоторый граф. Пусть этот граф имеет ориентацию t, т.е. существуют две внутренние линии, по которым протекает суммарный импульс q2 = t. Таких пар линий может быть несколько. Рассмотрим теперь области в пространстве внутренних импульсов, которые дают вклад в главные логарифмы. Импульс любого подграфа больше импульса содержащего его графа или подграфа. Поэтому каждой точке в этом пространстве соответствует некоторое максимальное дерево из расходящихся подграфов. Корню дерева соответствует минимальный импульс к. Нетрудно показать, что этот импульс протекает по одной из пар линий, в которых суммарный импульс равен q2 = t. На рисунке показана именно эта пара линий, при этом импульсы интегрирования в закрашенных блоках больше к.
Этот результат совпадает с формулой (4.13), полученной из ренормгруппо-вых уравнений. В качестве другого примера рассмотрим диаграмму 7з в t канале. Эта диаграмма имеет два возможных разложения: ее можно представить в виде диаграммы 72 вместо левого блока, при этом вместо правого блока имеем вершину, а можно представлять, что диаграмма 72 стоит вместо правого блока, а вершина - вместо левого. В теориях с матричными полями есть дополнительный параметр - размер матриц, поэтому, кроме разложения по константе связи, можно изучать разложение по 1/N. Каждому графу в такой теории можно поставить в соответствие некоторую поверхность. Если предположить, что константа связи также пропорциональна некоторой степени 1/7V, зависящей только от вида взаимодействия, то степень 1/7V для данного графа равна эйлеровой характеристике соответствующей поверхности [16]. Таким образом, ряд теории возмущений можно представить в виде ряда по родам соответствующих поверхностей. Здесь возникает аналогия с теорией струн, где изучается разложение по родам мировой поверхности струны [62]. Более глубокий пример - это так называемое AdS/CFT соответствие [63], где теории струн, живущей в пространстве антидеситтера, соответствует конформная калибровочная теория на границе этого пространства.
Обобщение 1/JV разложения в теориях с матричными полями, в которых взаимодействие имеет вид произведения следов матриц, можно найти в работах [64]. В диссертации найдены поверхности, соответствующие фейнма-новским графам в таких теориях. Эти поверхности нам потребуются для определения R-операции. Фейнмановские диаграммы в теориях с матричными полями изображаются ленточными графами. Если взаимодействие имеет вид следа от произведения полей, Lint = дТг(Фі... Фп), то в соответствующей вершине графа разрешены только циклические перестановки ребер, т.к. Тг(Ф1Ф2 . . Фп) = Тг(Ф2 ... ФпФі). Другие перестановки, вообще говоря, запрещены. Таким образом, ленточные графы отличаются от обычных тем, что в каждой вершине ленточного графа зафиксирован порядок ребер.
Сформулируем необходимое в дальнейшем понятие обобщенного ленточного графа. Пусть С - вершина такого графа. Обозначим через Лс = {/i,... ln} множество ребер, входящих в С. Мы допускаем, что некоторое ребро может начинаться и заканчиваться в С, в этом случае оно входит в множество Лс дважды: Лс = {l\,... l i:... I",... ln]. Число элементов в Лс называется валентностью вершины С и обозначается deg(C). Порядок элементов в Ас - это порядок, в котором ребра входят в С В случае обычных ленточных графов разрешены только циклические перестановки ребер, например, {/i, І2, п} {In, h, ln-і}- Вершины в таких графах будем называть простыми. В обобщенных ленточных графах множество Лс можно разбить на непересекающиеся подмножества Агс, Ас = {Лс, Лс,... Л}. При этом разрешены циклические перестановки элементов внутри каждого из Лс, а также любые перестановки подмножеств {... Агс,... Лс,...} {... Ас,... Лс,...}. В этом случае вершина С будет называться составной.
