Содержание к диссертации
Введение
1 Конечномерные алгебры Брауэра 8
1.1 Определение алгебр Брауэра 8
1.2 Определение алгебр Тураева 10
1.3 Описание коммутанта разделенной алгебры Брауэра . 12
1.4 Образующие и соотношения для алгебры H).ti(n) 14
1.5 Конструкция Джонса, теория представлений алгебр Брауэра 19
1.6 Построение полинома размерностей 25
1.7 Описание представлений и ветвления для алгебр Hk,i{n) . 30
1.8 Реализация неприводимых представлений алгебры Брауэра 36
1.9 Характеры неприводимых представлений алгебры Брауэра 40
1.10 Реализация неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра 43
1.11 Характеры неприводимых представлений разделенной алгебры Брауэра 45
2 Бесконечномерные алгебры Брауэра 48
2.1 Определения и теоремы из теории л.п.п. алгебр 48
2.2 Паскализация графов и л.п.п. алгебры Вг^, Br^oo, Partoo 54
2.3 Теорема о центральных мерах на паскализованном графе . 57
2.4 Описание характеров алгебр Брауэра 62
2.4.1 Характеры алгебры Вг«э 62
2.4.2 Характеры алгебры -Вгоо)0о 66
2.5 Замечания о -Й^-функторе 69
2.5.1 Группа инфинитезимальных элементов 69
2.5.2 Группа размерностей Ка{ВгО0) 70
2.5.3 Группа размерностей Кй{Вгоа^00) 71
Оглавление З
А Реализация некоторых представлений группы S/ 73
АЛ Двустрочечные диаграммы 73
А.2 Доказательства 76
А.З Диаграммы в форме крюка 79
Список литературы
- Описание коммутанта разделенной алгебры Брауэра
- Описание представлений и ветвления для алгебр Hk,i{n) .
- Теорема о центральных мерах на паскализованном графе
- Реализация некоторых представлений группы S/
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию одного класса локально-полупростых алгебр — алгебр Брауэра и близких к ним — возникших в теории классических групп и в современных исследованиях квантовых групп.
История возникновения этих алгебр такова. Пусть классическая группа (GLn(C), Оп(С), Spn(C)) действует в конечномерном векторном пространстве V. Рассмотрим диагональное действие этой группы в тензорном произведении V^, определяемое формулой
А (vi ... Vf) = Avi ... Avf.
Если мы рассмотрим действие симметрической группы1 Sf в этом же пространстве,
О («! . . . Vf) = («a(i) . . . «,(/)), о- Є Sf, то несложно проверить, что построенные действия групп GLn(C) И Sf коммутируют. На самом деле справедливо намного более сильное утверждение, именно, как доказал в в 1901 году И. Шур в своей диссертации [39], эти действия порождают коммутанты друг друга. Этот факт носит название двойственности Шура-Вейля и является одним из центральных фактов теории представлений обеих групп.
Например, вопрос о разложении диагонального действия полной линейной группы в End(V^) на неприводимые компоненты сводится к описанию коммутанта Cf(Gln(C)) образа этого действия [1]. Соответственно, тот же вопрос для ортогональной группы приводит нас к рассмотрению алгебры С/(0п(С)). Однако, по выражению Г. Вейля, эта последняя алгебра является "несколько загадочной", что вынудило его прибегнуть при исследовании действия ортогональной группы к другим методам.
Для изучения коммутанта С/(Оп(С)) Р. Брауэр [15] в 1937 году ввел ассоциативную алгебру диаграмм Brf(ri) и гомоморфизм
Ьг : Brf(n) н-> Cf(On{Cj).
Определение алгебры Brf(n) (алгебры Брауэра) имеет смысл при любом п 6 С, причем при достаточно больших по модулю числах п Є Z ХВ теории алгебр Брауэра принято буквой п обозначать параметр алгебры (размерность пространства V), а число тензорных сомножителей — буквой /. Поэтому для симметрической группы используется несколько непривычное обозначение Sf.
Оглавление алгебра не является полупростой. Сравнительно долгое время не удавалось ни доказать, что алгебра является полупростой при п Z, ни построить описание факторалгебры по радикалу при п Є Z. Частичные результаты были получены в 1956 году Брауном [13, 14], однако полное описание неприводимых представлений и ветвления для семейства алгебр {Вг/(п)} было получено только в 1988 году X. Венцлем [45] при помощи условных ожиданий и основной конструкции В. Джонса.
Открытие В. Джонсом и Л. Кауффманом полиномиальных инвариантов узлов (см. [25, 26]), а также исследования квантовых групп позволили обобщить эти алгебры. Дж. Бирман и X. Венцль в 1989 году построили двухпараметрическую алгебру Сп(1, т) (алгебру Бирман-Венцля), частным случаем которой оказалась алгебра Брауэра (см. [17, 35]). Обобщение построенных инвариантов привело В. Г. Тураева к введению в том же году в работе [11] алгебр Нк,і(х, у), описывающих инварианты связок. При соответствующем выборе параметров Hkti(x(n),y(n)) = Hk,i(ri) С Brk+i{n).
Описание коммутанта разделенной алгебры Брауэра
Основным объектом изучения в настоящей работе является семейство алгебр, введенных В. Г. Тураевым. Именно, в работе [11] приводятся следующие определения и формулировки.
Пусть / и д неотрицательные целые числа. Под (f,g) -связкой понимается такое одномерное гладкое компактное подмногообразие L многообразия R2 х [0,1], что dL = Ln(R2x {0,1}) = {(г,0,0)г = 1,2,...,f}U{(j,0,l)\j = 1,2,...,д], причем в точках края многообразие L ортогонально плоскостям К2 х 0 и R2 х 1. Ориентацией (/, )-связки L называется ориентация многообразия L. С каждой ориентированной (/, -связкой L ассоциируются числовые последовательности s(L) = (є\, ...,/) и t(L) = {у\,..., vg). Здесь ЄІ = 1, если в точке (г, 0,0) Є dL единичный касательный к L вектор равен (0,0,1) и е,- = —1, если этот вектор равен (0,0, —1). Число Vj = ±1 точно также определяется направлением вектора, касательного к L в точке (j, 0,1). Если s(L) = t(L ), то естественным образом определяется композиция связок LoL . Нас будут интересовать изотопические классы связок.
Нам понадобится определение троек Конвея. Именно, пусть X — стандартная образующая группы кос Дг- Три изотопических класса ориентированных связок L+, _ и LQ составляют тройку Конвея, если эти классы представляются связками, которые совпадают вне некоторого замкнутого шара в R2 х (0,1), а в этом шаре выглядят соответственно как X, Х-1 и Id.
Обозначим через Л кольцо Ъ[х, х-1,у, у-1]. Пусть М — множество изотопических классов связок. Рассмотрим свободный Л-модуль Л[М], свободно порожденный множеством М. Обозначим через N его подмодуль, порожденный элементами xL+ — x lL- — yLo, отвечающими всевозможным тройкам Конвея L+,L-,LQ М. Обозначим через Р отображение Р : М н A[M]/N. Пусть є = (єі,..., /), v = (і/і,..., vg). Через Н(є, v) С A[M]/N обозначим подмодуль, порожденный образами P{L) (/, #)-связок L, для которых s(L) = є, t(L) = и. При v = є умножение связок задает на подмодуле Н(є, є) структуру Л-алгебры.
Пусть еп — последовательность из п единиц. Алгебра Н(єп, єп) изоморфна классической алгебре Гекке Нп(А;у). Здесь Нп(А;у) — ассоциативная алгебра с 1, порожденная элементами о\,..., сгп_г, удовлетворя Глава 1. Конечномерные алгебры Брауэра ЮЩИМИ СООТНОшеНИЯМ OiOj = OjOi При \І — j\ 1, (7j0i+i 7t = (7t+i 7jCri+i при і = 1,..., n - 2; a\ — yo{ + 1 при г = 1,..., n — 1. Теорема 1.2.1 (Тураев, [11]). При всехп = 0,1,2,... А-алгебра Н(єп,єп) изоморфна Нп(А,у), изоморфизм задается формулой е н- ХР{ОІ), где Oi,..., Tn_i — элементарные косы. Теорема 1.2.2 (Тураев, [11]). Если последовательность є = (єі,..., /) получается из последовательности є перестановкой членов, то алгебры Н(є,є) и Н(є ,є ) изоморфны. Таким образом, любая алгебра Н(є, є) изоморфна алгебре вида Hrtf-r(x,y) = Н(є(г),є(г)), где є(г) = (1,
Если мы теперь введем параметр п, положив е2 = пе для связки вида е = S, то мы получим алгебру #Г)/_г(п,у) = Hrj-r{x,y). Наконец, мы положим у = 1, в результате чего рассмотрим алгебру ЯГ)/_г(п) = ЯГ)/_г(п, 1) С Brf(n) (ср. [17], стр. 254, 270).
Таким образом, для любого разложения / = k + l; k,l Є Z+, мы ввели алгебру Hk,i(n) С Вгк+і(п). Далее мы всегда будем обозначать введенную алгебру через Нк,і{п).
Как понятно из определения, алгебру Hk,i(n) можно представить следующим образом. Введем в алгебре Вгк+і(гі) линейное отображение Ф , задаваемое на диаграмме переменой мест последних / точек в верхнем и нижнем рядах диаграммы (удобно представлять себе "поворот" левой части диаграммы): = »2S4 "„« = «
Предложение 1.2.3. Алгебра Hk,i{n) как векторное пространство имеет базис из элементов вида Ф Дсг), &№ Brk+iin). Следствие 1.2.4. Размерность алгебры Hk,i(n) равна (к + 1)\. Будем обозначать через і произвольную точку в верхнем ряду диаграммы, при 1 і к, и через j — точку в верхнем ряду при к +1 j к +1. Соответствующие точки в нижнем ряду будем обозначать через і и Глава 1. Конечномерные алгебры Брауэра j. Из определения отображения Ф ,/ следует, что диаграмма d есть диаграмма вида d = k,i(a) Для некоторого о Є Sk+i тогда и только тогда, когда все ее дуги имеют вид [ Д [i,j], \j,j], или [»,3]. (1.2)
Заметим, что Нк,і(п) содержит подгруппу Sk х Si.
Назовем дугу, соединяющую точки из одного ряда диаграммы, горизонтальной дугой, а дугу, соединяющую точки из разных рядов — вертикальной дугой (линией). Любая диаграмма содержит одинаковое количество горизонтальных дуг в верхнем и нижнем ряду, мы будем обозначать это число через bars(rf). Кроме этого, набор всех линий диаграммы соответствует некоторой подстановке, мы будем обозначать ее через a(d). Если d Є Hktl(n), то o{d) Є Sfc-bars(d) х S/-bars
Из указанного выше вида дуг произвольной диаграммы d Є Hk i(n) следует, что можно представить себе следующее описание диаграмм, порождающих эту алгебру: представим себе "стенку", соединяющую точку между k-й и (к + 1)-й точками верхнего ряда с аналогичной точкой нижнего ряда:
Тогда любая дуга, принадлежащая диаграмме d Є Нк і(п), будет вертикальной, если она не пересекает стенку, и горизонтальной, если пересекает. Это позволяет назвать алгебру Нкуі(п) разделенной алгеброй Брауэра (walled Brauer algebra), см. [16].
Описание коммутанта разделенной алгебры Брауэра Рассмотрим диагональное действие группы GLn(C) в смешанных тензорах Vk (g) V 1: A-(vi.. .vkv k+l.. -v k+l) = A-vi.. .A-vkA-v k+l.. .A-v kJrl. Используя изоморфизм V и V , мы можем записать изоморфное действие в тензорном произведении Vk+l: A-(vx.. .vkvk+i.. .vk+i) = A-vi.. .A-vkA -vk+i.. .A -vk+l, (1.3) Глава 1. Конечномерные алгебры Брауэра где А = (А )-1. Для А Є GLn(C) обозначим через ІХ{А) Є End{Vk+l) оператор, отвечающий этому действию. Оператор, отвечающий диагональному действию матрицы А Є GLn(C) в Vk+l, обозначим через h{A) Є End(V + ). Через Д и Д будем обозначать также подалгебры алгебры End(FA+i), порожденные этими действиями. Введем линейный изоморфизм Фк,і пространства End (Vе "1" ) = {Т = (rpjl—jk+l\\. ҐФ (rf\]h—jk+l rpjl...jkik+1—Ч+І Очевидным образом, Ф2к1 = Id. Прямое вычисление позволяет сформулировать следующее утверждение:
Предложение 1.3.1. Пусть А Є GLn(C), В Є End(Ffc+i). Тогда h{A)B = Bh(A) І2(А)Фкл(В) = Ф ,,(В)/2(Л).
Напомним следующее определение. Пусть А — некоторая алгебра и S — какое-то множество элементов этой алгебры, S С А. Назовем коммутантом (централизатором) множества S подалгебру C(S) С А всех элементов из А, коммутирующих с S. В нашем случае всегда будет A = End(V- ) для некоторых конечномерного пространства V и / Є N, и S всегда будет подалгеброй алгебры А.
Как уже упоминалось выше (см. замечание 1.1.4) коммутант алгебры її порождается образом симметрической группы под действием отображения Ьг: br( 7)(vi . . . Vk+i) = Va(i) ( +!), о- Є 5 +. Вместе с предложением 1.3.1 этот факт дает нам следующее: Следствие 1.3.2. Коммутант алгебры Д пороснсдается операторами Фм(Ьг(а)), а Є &+, С Brk+i(n). Как и в случае диагонального действия ортогональной группы, коммутант алгебры, порожденной рассматриваемым действием группы GLn(C) может быть описан при помощи алгебры Брауэра. Из определения отображений Ьг, Фк,і и отображения Ф из параграфа 1.2 непосредственно вытекает следующее предложение:
Описание представлений и ветвления для алгебр Hk,i{n) .
Обозначим через (axb+p) диаграмму, полученную из прямоугольника размера axb приписыванием диаграммы р, справа (Ь р{). Обозначим через (ахі + д + А) диаграмму, полученную из прямоугольника размера а х Ь приписыванием диаграммы р, справа и диаграммы Л снизу (а Лі, Ь Ді). Обозначим через S\ = «Si(Л, р) множество содержаний клеток диаграммы (Лі х р,\ + ц + Л) (с учетом кратностей]. Обозначим через «% = «%(Л,/х) множество чисел c(i,j) = j — І + Ці — Xj, для 1 і Ді и 1 3 Лі. Предложение 1.6.4. 1. Выполнено включение «5г(Л,/І) С «Si(Л,р). 2. Размерность dim(n х I — Х + р,п) как функция отп, п Л + \р\, есть полином Px,li{n) = A- Yl {п + с) сЄ5і/52 степени Л + \р\, для некоторой константы А. 3. Наибольший и наименьший корни полинома P\tli{n) равны Лі +/ІІ — 1 и 1 — Лі — Ді.
Доказательство. Докажем пункт 2. Положим i = nxl—X+p. Согласно формуле (1.13) размерность равна ,. , , UaeJri + c(D)) dim(i/i,n) = - Заметим, что диаграмма i i есть объединение двух диаграмм и z , 2 = (( — Ді) х / — Л) и і/з = ( х Ді + / )- При этом Мт(и п -ПрЄ ("-Ді+с(а)) Ппб! +Ш К }" Пп МП) Пп МО) " d .n-,0- Пп (п) По лемме 1.6.2 получаем dim(iAj,n-Ді) =Лі- JJ((n- i)+c(D)). ПЄЛ Глава 1. Конечномерные алгебры Брауэра Следовательно, А- I \ Л ПрЄ-.(" + С(а)) „ .„ im{vun) = M. Пп (а) , (1.15) где щ = (I х Ді + її + Л). Аналогично доказательству леммы 1.6.2, мы можем заметить, что j-я строка таблицы Th(fz) и j-я строка таблицы Тс+п(ь з) содержат числа п +1 - j + Hj, п +1 - j + [Xj - 1,..., п - j + 1 + Hj + Ai. Положим vb = (Ai x ДІ + (x + А), и пусть i/3 = Recti + Rect2 + А, где Recti = ((1 — Ai) x Ді), Rect2 = (Xi x Ді). Положим u6 = Recti + А. После сокращения в формуле (1.15) получаем dim(i/b n) = Ai- - =-5— IIne e4D) Замечая, что произведение ППЄА С-0 не зависит от п, мы приходим к равенству А. , \ Л rW" + c(Q)) dim(i/bn) = Л2
Для (i,j)-u клетки прямоугольника Recti мы имеем h(i,j) = j + iii + n — і — Xj = n + с(г, j) (строки нумеруются сверху вниз, а столбцы — справа налево(!)), поэтому пункт 2 теперь будет следовать из пункта 1.
Докажем, что 5г С Sx. Для диаграммы vb = (Аг х Дх + ii + А) несложно проверить, что содержание с входит в таблицу содержаний Тс(и5) не менее к раз тоща и только тогда, когда с cfm = А; — Ді — Afc и с cfax = Xi + Llk-k.
Из формулы для h(i,j) видно, что эти элементы строго убывают по строкам и строго возрастают по столбцам. Поэтому для любого крюка из к-й сверху или более низкой строки прямоугольника Recti имеем h(i,j) — п h(k,Xi)—n — Хі+ук—к—Х Цк+Хі—к = сах. Соответственно, для к-то или более левого столбца h(i, j)—n Л(Ді, к)—п = к+ц — Ді—А k- iii-Xk = cfn.
Если к из элементов h(i,j) равны с, хотя бы один находится в А;-м или более левом столбце, и хотя бы один — в к-й или более высокой строке, следовательно, по доказанному выше число с удовлетворяет необходимым неравенствам. Пункт 3 предложения очевиден, что завершает доказательство. Глава 1. Конечномерные алгебры Брауэра 30 1.7 Описание представлений и ветвления для алгебр Hk,i(ri)
Для произвольной диаграммы d Є Brk+i рассмотрим ее замыкание Clos(d) = Closed): для d = =}=I Clos(d) = c Обозначим через # Clos( i) число компонент связности в замыкании Clos(d) диаграммы d (линии диаграммы считаются непересекающимися) и зададим функционалы r : Вг/ (-» С, r : Вг/(п) ь- С, положив T(d) = я#С1з( )-( + ); r0(rf) _ n#cioe(«o-( +0# Напомним, что предложение 1.5.4 позволяет задать на алгебрах Brk+i и Brk+i(n) функционалы т и тп. Лемма 1.7.1. 1. Функционалы т и т совпадают на алгебре Brk+i, и следовательно, совпадают их сужения на подалгебру Hk,i. 2. То же верно для функционалов т и тп. Доказательство. Лемма следует из предложения 1.5.4 и того факта, что (в терминах этого предложения) Clos(axb) = Clos(aft) и # Clos(l) = к + I. D
Мы будем обозначать сужение функционалов г = т и тп = т на подалгебры Hkti С Bvk+i и Нк і(п) С Вгк+і(п), соответственно, через г и тп. Напомним, что эти функционалы являются следами. Для описания представлений алгебры 7 мы будем использовать основную конструкцию Джонса. Именно, рассмотрим цепочку Нк і С Hk+hi С Нк+и+1 и элемент ek+hl+i = (1, к + 1)(к + 2,к +1 + 2)eA+i(l, к + 1){к + 2,к + 1 + 2)еНк+и+1: Єк+u+i = 1 k+l+2 Возьмем диаграмму d Є Щ+1,1 и рассмотрим произведение є +і.г+і d-ek+\ti+i Є Hk+ij+i. Полученная диаграмма, очевидным образом, содержит дугу, соединяющую 1-ю и (к+1 + 2)-ю точки в верхнем ряду и такую же дугу в нижнем ряду. Следовательно, произведение ek+i i+i d ек+\ i+i Глава 1. Конечномерные алгебры Брауэра однозначно задает некоторый элемент ekj(d) Є Hkj. Таким образом, мы построили линейное отображение Єк,1 Нк+1,1 - Hk,l Предложение 1.7.2. 1. Для любого элемента d Є Hkj существует единственный элемент k,i-\{d) Є Hk,i-i, для которого еіс+і,і d ek+i,i = xek,i-i{d)ek+ix, ek+i,i(d) =d npudE #fc,j-i. 2. Отображение єk)i-\ — условное ожидание сохраняющее след г, т.е., для функционала т и элемента d Є Hkti выполняется Т\нк№) = тям-і(еМ-іИ) r(l) = 1 3. Для функционала т и элемента d Є Hk i выполняется r(axb) = (1/х)т(аЬ), где х Є {ekj, rk+i-i}, a,b Ям_ь 4- Для d Є Hkj, d Є i?fe,«-i выполняется r(d ekti-i(d)) = r(d d). 5. Аналогично определяется условное оокидание алгебры Hk)i(n) на подалгебру Hkti-\{n), обозначаемое также через fc,/-i, для которого Tn{d ek,i-i{d)) = Tn(d d) при d Є Hkti(n), d Є Hkj-i(n). 6. Если для элемента d Є Hki определено значение d(n), тогда rn(d(n)) = [r(d)](n). 7. Для функционала тп на алгебре Hk,i(n) для положительного нечетного п выполняется тп = trobr, где tr — нормированный след на End(V9f).
Теорема о центральных мерах на паскализованном графе
Для описания диаграмм Браттели алгебр Брауэра и алгебры разбиений удобно использовать операцию паскализации графа, которая включает в себя основную конструкцию Джонса, см. 1.5. Пусть Г есть Z+-rpa,nyHpoBaHHbiH локально-конечный граф с единственной начальной вершиной без висящих вершин, пусть Tfc — множество вершин k-того этажа, к Є Z+. Мы будем писать А = і, если А Є Г;, и А / v (соотв. А \ и), если вершина v следует за вершиной А (соотв. предшествует вершине А). Определим новый Z+-градуированный граф П(Г), у которого множество вершин Ахгого этажа П(Г% есть объединение множества Гк и множества вершин всех предшествующих этажей графа Г той же четности. Обозначим вершины к-то этажа П(Г% графа П(Г) через (к, А), где А Є Г\, і к, к — і = 0(mod2). Ребра графа П(Г) зададим следующим образом: (к,\) S(k + l,v) & А / и или А \ и. (2.5)
Операцию перехода от графа Г к графу П(Г) будем называть паскали-зацией, а граф П(Г) — паскализованным графом. Несложно проверить, что следующее определение равносильно: для получения к-то этажа графа П(Г) мы отражаем (к — 2)-й этаж этого графа относительно (к — 1)-го (вместе с соответствующими ребрами) и затем к полученному отражению добавляем к-й этаж Гк графа Г, вместе с ребрами, характеризующими включение Гк-і С Г к Очевидно, что исходный граф Г является подграфом своей паскализации, составляющим, правда, очень небольшую часть всего графа П(Г), и имеет место соответствующее включение для пространств путей, Гг С їщг).
Пример 2.2.1. Рассмотрим граф Г, множество вершин которого есть множество Z+, а ребра соединяют вершины / и (/ + 1), / Є Z+. Тогда П(Г) есть "половина" графа Паскаля (что и объясняет введенный выше термин): П(Г)2 = {0,2,...,2к}, П(Г)2 +і = {1,3,...,2 + 1), ребра имеют вид (0,1) и (г, г — 1), (г, і +1) при і 0. Отметим, что построенный граф отвечает двустрочечным представлениям симметрической группы (см. Приложение) и л.п.п. алгебре Темперли-Либа (см. [21]).
Полезно пояснить, как выглядят пути в графе П(Г), являющемся па-скализацией некоторого исходного графа Г. Как следует из (2.5), всякий путь в П(Г) однозначно задается последовательностью вершин {xf}JL0 графа Г, в которой любые две последовательные вершины х/, Xf+\ являются соседними в исходном графе: либо х/ f Xf+i либо х/ \ ж/+і; иначе говоря, пути в паскализованном графе есть траектории простого блуждания по путям исходного графа. Поэтому можно сказать, что граф П(Г) есть граф простых блужданий по графу Г.
Например, однородное дерево степени 2k с выделенной вершиной, определяющей, тем самым, Z-i.-градуировку, есть граф Кэли свободной группы с к образующими, а его паскализация есть граф простых случайных блужданий на свободной группе.
Задавая идеалы «7 рассматриваемых бесконечномерных алгебр, также, как для конечномерного случая, мы получим Бгоо/J С[6оо], Br oo/J С[6оо х боо], Part ,/J = С[6оо]. Операция паскализации позволяет для каждой из алгебр Вгоо, Вт оо.оо» Partoo строить диаграмму Браттели по диаграмме соответствующей фак-торалгебры.
Напомним, что диаграмма Браттели групповой алгебры бесконечной симметрической группы есть граф Юнга Y(CM., например, [4]). Следующие три теоремы есть переформулировки в удобных нам терминах доказанных ранее результатов. Диаграмма Браттели для семейства алгебр Брауэра получена X. Венцлем (см. рис. 1.1 на стр. 24): Теорема 2.2.2. Диаграмма Браттели алгебры Брауэра Вгоо (для параметра общего положения) есть паскализация графа Юнга, Г(ВгО0) = П(У).
Ветвление разделенных алгебр Брауэра описана в теореме 1.7.6, см. рис. 1.2 на стр. 36. Рассмотрим л.п. алгебру С[оо хоо] как индуктивный предел групповых алгебр С[50 х50] С C[5i xS0] С С[& xSi] с С[52 x5i] с С С[%+1/2] х%2]] с ..., и обозначим через Y соответствующую диаграмму Браттели, несложно получающуюся из графа Y. Теорема 2.2.3. Диаграмма Браттели разделенной алгебры Брауэра Вгоог00 (для параметра общего положения) есть паскализация графа Y, Г(Вг00 «,) = П().
Мартин нашел диаграмму Браттєли алгебры разбиений (см. [34]). Диаграмма Браттєли для этой алгебры также может быть описана при помощи паскализации. Именно, рассмотрим граф Юнга Y с повторениями на нечетных этажах, отвечающий цепочке
Описание следов (характеров) и "-функтора является общей задачей теории л.п. алгебр. Мы сведем задачу нахождения следов на парализованном графе (для некоторых алгебр) к задаче о следах на исходном графе, и применим эти соображения к бесконечномерным алгебрам Брауэра и алгебре разбиений. Оказывается, при некоторых условиях на граф ветвления всякая центральная мера на паскализованном графе сосредоточена на исходном графе как подграфе паскализованного, и, тем самым, совпадает с центральной мерой на самом графе. В частности, мы доказываем, что следы на алгебрах Вгоо и Partoo находятся во взаимнооднозначном соответствии со следами на бесконечной симметрической группе оо, а следы на алгебре Brоо,оо во взаимно-однозначном соответствии со следами на группе оо х
Центральные меры для бесконечномерной алгебры Брауэра были описаны без доказательств и пояснений в работе С.В.Керова [28]; следы бесконечномерной разделенной алгебры Брауэра и алгебры разбиений, видимо, не рассматривались. Уточнение множества полной центральной меры, необходимое для описания ііГ-функтора, не было сделано ни для одной из рассматриваемых алгебр.
Реализация некоторых представлений группы S/
Существуют изоморфизмы oh и /ЗІ, для которых соответствующее разложение пространства А к на ортогональные компоненты имеет вид Af k = ам(Л}_1і4) 0 hMUt-x)- (А-6) Разложение (А.4) следует, в силу (А.2), из соответствующего факта для модулей u k k\ поэтому содержательная часть теоремы А.1.3 — непосредственное построение изоморфизмов.
Доказательство теоремы А. 1.1 опирается на следующее предложение Предложение АЛ.4. Существуют биекции Sf-модулей фН и ф), удовлетворяющие равенствам Af,k = ${Af -i) AW 4 = ФкМ % Приложение А. Реализация некоторых представлений группы Sp 76 Изоморфизмы (А.2) следуют из предложения непосредственно, разложение (А.З) следует из определения биекции фк (см. ниже). Для доказательства предложения над потребуются две леммы:
Доказательство леммы А. 1.5. Мы будем пользоваться некоторыми фактами теории представлений симметрической группы (см., например, [20]). Рассмотрим S/-модуль M k,k\ порожденный как векторное пространство всеми таблоидами2 {Г}, отвечающими диаграмме (/ — к, к). Действие элемента группы S/ есть соответствующая перестановка чисел таблоида. Модуль Шпехта, отвечающий диаграмме (/ — к, к) (и задающий каноническую реализацию соответствующего неприводимого представления), можно задать как подмодуль этого модуля, порожденный элементами vT= J2 sgn(g){9}, (А.7) ЯЄС(Т) где С{Т) — подгруппа Юнга, сохраняющая столбцы таблицы. Построим отображение Щ : М к,к — A/tk, сопоставив таблоиду {Т} = ik+ гк форму J2je?k JxJi У которой cv / = с/ = 1 для / = {ii,..., ik} и любого о Є б , и сj = 0 в противном случае. Обозначим через фк сужение построенного отображения на подпространство, порожденное элементами Приложение А. Реализация некоторых представлений группы Sp 77 VT. Опираясь на формулу (А.7) несложно проверить, что любая форма ф (ьт) лежит в Afk, т.к. в любой из сумм из определения (АЛ) либо все элементы равно 0, либо существует ровно два ненулевых элемента, равных 1 и —1. Для доказательства инъективности введем лексикографический по рядок на таблоидах: Т Т , если для соответствующих вторых строк таблоидов I = {ii ... iif} и I = {г[ ... i k} выполнено I Г в смысле лексикографического порядка. Элементы {vs}, когда S про бегает множество стандартных таблиц на диаграмме (/ — к, к), задают базис модуля Шпехта; лексикографический порядок позволяет линейно упорядочить как стандартные таблицы для диаграммы (/ — к, к), так и коэффициенты Cj формы J2i cjxi. Если мы рассмотрим элемент vs, от вечающий стандартной таблице S, то в сумме (А.7) таблоид {}, очевид но, строго больше остальных слагаемых в смысле лексикографического порядка. Поэтому для произвольного элемента /Es s s) = J2ICIXI старший в смысле порядка коэффициент с/ равен старшему коэффици енту ds, что доказывает инъективность.
Доказательство леммы А.1.6. Рассмотрим вложение / : - 4/,л-і - Af,k, задаваемое следующим образом:
Несложно понять, что при этом первое равенство доказывает корректность построенного отображения; второе равенство, вместе с определением (А.1), позволяет утверждать, что Докажем лемму по индукции. При к = 1 имеем ф1} : AJJQ - Afti, {а) = aJ27=ixi — очевидная инъекция. Пусть теперь отображение фк, инъективно, и пусть для некоторой формы J2ie?k cixi выполнено il f+1(%2icixi) = 0. Тогда, в силу (А.8)
Приложение А. Реализация некоторых представлений группы SF 78 для любого набора индексов J = j J Є ТЛ имеем 0= Е cP = cj+ Е CJL (А.9) VZT), I CJ
Для любого набора индексов J Є Fk и каких-либо чисел p,q J рассмотрим два набора индексов J[ = Jp и J 2 = Jq. Для І Є .77 -1 введем элементы dj = Срі, с] = cqi. Равенство (А.9) позволяет нам утверждать, что для любого «7 Є Tkt Е с;- х: с? = о. ІЄ?; 1, ICJ ierf 1, ICJ Это значит, что #(# /) = # ) следовательно, в силу индукционного предположения, Срі — cqi для лю бого J Є Tk и любых р, g J, откуда следует требуемая инъектив ность.
Для доказательства предложения А. 1.4 теперь достаточно проверки равенства 1іт(.А/? _і) + dim(u k k ) = dim(Aftk), опирающейся на прямой подсчет: dim(AM) = Ск, и dim( - -fe ) = Jj—(f -2k + 1), где вторая размерность может быть вычислена, например, по формуле крюков.
