Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Моделирование переходных процессов в электродинамических системах 16
1.1. Введение 16
1.2. Электродинамическая система в составе электротехнической установки 16
1.3. Уровни моделирования электродинамической системы 23
1.4. Основные свойства математических моделей электродинамических систем 26
1.5. Численные .методы моделирования 33
1.6. Выводы 42
ГЛАВА 2. Моделирование динамических процессов в системе «АД - ЦН» 45
2.1. Введение 45
2.2. Математическая модель АД как элемента электродинамической системы 45
2.3. Математическая модель центробежного насоса как элемента электродинамической системы 52
2.4. Совместная модель электродинамической системы . 63
2.5. Выводы 65
ГЛАВА 3. Канонический одношаговый метод расчета переходных процессов электродинамических систем 66
3.1. Введение 66
3.2. Уравнение метода 66
3.3. Определение параметров 72
3.4. Стратегия выбора шага 80
3.5. Оценка погрешности метода 85
3.6. Исследование устойчивости канонических методов . 87
3.7. Построение областей точности 94
3.8 Выводы 98
ГЛАВА 4. Тестирование метода 103
4.1. Введение 103
4.2. Построение алгоритма канонического одношагового полунеявного метода 2-го порядка точности 104
4.3. Выбор тестовых задач 109
4.4. Тестирование разработанного канонического метода 111
4.4. Практическое применение разработанного канонического метода 127
4.5. Выводы 131
Заключение 132
Список литературы 135
Приложения 159
- Основные свойства математических моделей электродинамических систем
- Математическая модель центробежного насоса как элемента электродинамической системы
- Исследование устойчивости канонических методов
- Построение алгоритма канонического одношагового полунеявного метода 2-го порядка точности
Введение к работе
Реализация любым предприятием различных технических процессов, связанных с перекачкой невязких жидкостей, приводит к необходимости оптимизации режимов работы всей установки перекачки жидкости, в том числе и с помощью математического моделирования. Существующее несоответствие между высоким уровнем развития теории математического моделирования отдельных элементов электромеханической системы (ЭМС), являющейся частью технической установки, с одной стороны, и недостаточным количеством проблемно-ориентированных численных методов, учитывающих вычислительные особенности математических моделей установок перекачки жидкостей, с другой, указывает на актуальность данной работы.
Целью данной работы является разработка проблемно-ориентированного численного метода анализа электродинамической системы «Асинхронный двигатель центробежный насос», модель которой создается на основе электромеханических и электрогидравлических аналогий.
Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать математические модели отдельных устройств в составе системы перекачки жидкости.
Разработать совместную математическую модель системы перекачки жидкости, не требующую приведения ее к нормальной форме Коши.
3. Разработать численные канонические методы расчета
со структурой и свойствами, ориентированными на решение
задач, обладающих свойствами жесткости.
Содержание диссертационной работы излагается в четырех главах.
В первой главе рассмотрена электродинамическая система, состоящая из преобразовательного устройства, электромеханического преобразователя, механизма передачи и преобразования движения и рабочего механизма, как часть электротехнической установки (ЭТУ), а также приведена классификация уровней моделирования системы в составе ЭТУ. Рассмотрены четыре уровня моделирования электродинамической системы:
уровень - моделирование каждого элемента системы или каждой подсистемы в отдельности с использованием известных математических методов и способов;
уровень - моделирование каждого элемента системы или каждой подсистемы в отдельности, но с последующим учётом их взаимной связи со всеми характерными признаками;
уровень - моделирование двух-трёх основных для рассматриваемой задачи элементов как взаимосвязанных, а остальных - в отдельности;
4 уровень %- моделирование электротехнической
установки в целом как единой взаимосвязанной системы,
состоящей из совокупности подсистем, описанных с
одинаковым приближением с применением соответственных
общих для всех подсистем методов, способов и приёмов
моделирования.
Математические модели электродинамических систем обладают целым рядом специфических свойств, существенно влияющих на эффективность соответствующих численных
методов. К таким свойствам относятся: обусловленность матриц дифференциальных и алгебраических уравнений, стационарность и нестационарность, линейность и нелинейность, жесткость и жесткая колебательность и т.п. Далее выполнен обзор существующих математических моделей электродинамических систем.
Рассмотрены и проанализированы численные методы моделирования электродинамических систем, используемые для решения различных задач динамики. В частности говорится о том, что существующие методы моделирования электродинамических систем делятся на:
методы моделирования электродинамических систем на базе обыкновенных- дифференциальных уравнений (ОДУ);
методы моделирования электродинамических систем на базе дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ).
Показано, что в случае решения системы дифференциально-алгебраических уравнений процесс нахождения решения разбивается на два этапа: преобразование исходных уравнений к нормальной форме Коши и собственно решение полученной системы уравнений численными методами. Первый этап является непроизводительным, поэтому возникает необходимость разработки нового проблемно-ориентированного численного метода на базе известных методов исследования переходных процессов, ориентированного на модели в исходной канонической форме.
Во второй главе разрабатывается математическая модель системы «асинхронный двигатель - центробежный насос». Для этого сначала рассматриваются математические модели
АД и ЦН как отдельных элементов электродинамической системы.
При составлении модели и рассмотрении переходных процессов асинхронных машин использовались общепринятые допущения и ограничения, связанные понятием «идеализированная машина»:
отсутствие вытеснения токов в роторе;
воздушный зазор между статором и ротором гладкий;
3) параметры машины в течение переходного процесса
остаются постоянными;
4)результирующее магнитное поле вдоль воздушного зазора изменяется синусоидально.
Асинхронный двигатель представлен системой магнитосвязанных обмоток, расположенных на статоре и роторе. Следует отметить, что взаимное положение этих обмоток в пространстве при вращении ротора непрерывно изменяется. Для описания переходных процессов асинхронного двигателя были составлены уравнения электрического равновесия для напряжений контуров и уравнение равновесия моментов, действующих на ротор. Таким образом, математическая модель асинхронного двигателя в естественной системе координат в матричной форме имеет следующий .вид:
—— = f[i*,t), (В1)
Ч^/рИ, (В2)
где * =|У,й>,#]г, Ґ =[і,со,в]т - векторы;
/(/*,/} fv[i*) - вектор-функции;
4V ~ векторы потокосцепления и тока соответственно;
0),0 - частота вращения и угол поворота ротора соответственно.
Современное состояние фундаментальных исследований в области теории лопастных машин и состояние моделирования режимов работы ЦН позволяет построить множество математических моделей с различными наборами исходных данных и уровнями допущений. Первым шагом при исследовании ЦН является разделение различных видов машин по уровням допущений на условные категории: идеализированный, теоретический и реальный ЦН.
Кроме того считается, что жидкость несжимаема, ее плотность считается постоянной р = const, а тепловой режим — установившимся за счет отвода тепла путем теплообмена.
При построении математической модели ЦН работа Костышина взята за основу с учетом особенностей объекта исследования данной диссертационной работы, а так же с учетом ограничений, предложенных в ряде существующих разработок. В результате в данной работе разработана методика, основанная на использовании электрогидравлической аналогии. В соответствии с физикой процессов в РЦН исходной является схема замещения эквивалентного ИЦН, которая с учетом гидравлических сопротивлений, рассеивающих энергию потерь, трансформируется в соответствующую схему. Применение законов Кирхгофа к последней схеме позволяет записать уравнения для нахождения мгновенных значений токов в ветвях:
ЯмехГмех + 1мех —ТГ = PSK '
^+L"1-**'
q^Q+L,Q dt l^ dt U,
dq&
4JAQ +LAQ---\ qdr^ +LAH-^-\-qdrH = pghCT,
где qMex - расход в ветви моделирования механических потерь дискового трения;
q'm - расход в ветви при условии ТЦН;
q - расход в ветви, моделирующей потери в связи с
учетом конечного числа лопастей;
qA - расход в ветви, моделирующей объемные потери;
qd - расход в ветви, содержащей гидравлические сопротивления спирального отвода и нагрузку.
Создание совместной модели ' электродинамической системы требует совокупного рассмотрения математических моделей отдельных устройств, входящих в ее состав, установления взаимосвязи между отдельными переменными, а в нашем случае и добавления уравнений связи. Таким образом, после слияния математических моделей (1)-(3) отдельных функциональных устройств воедино, а также после проведения расчетов всех параметров с учетом необходимых паспортных конструктивных и режимных параметров была получена совместная математическая модель электродинамической системы.
В третьей главе создается канонический одношаговый полунеявный численный метод 2-го порядка точности. Канонические методы предусматривают построение численной схемы, непосредственно ориентированной на решение смешанных дифференциально-алгебраических систем. Они
отличаются от традиционных подходов отсутствием обязательной процедуры перехода от исходной математической модели вида (1)-(2) к модели в нормальной форме Коши. Согласно определению, данному в этой главе, методом интегрирования системы уравнений называется совокупность:
а) формул интегрирования (в общем случае с переменным
шагом и порядком);
б) итерационной процедуры решения нелинейных
уравнений (для неявных методов);
в) способа оценки локальной погрешности решения;
г) способа оценки глобальной погрешности решения;
д) стратегии выбора порядка формулы интегрирования;
е) стратегии выбора И/ИЛИ отброса шага;
ж) стратегии определения точек коммутации.
Традиционное применение метода Рунге-Кутты 4-го
порядка к математическим моделям в канонической форме приводит к необходимости либо четыре раза решать нелинейную систему уравнений, либо четыре раза обращать матрицу динамических параметров на одном шаге интегрирования. Обе эти операции снижают эффективность исследований.
В связи с этим в работах Ю.З. Ковалева и И. П. Копылова предлагаются численные методы, непосредственно предназначенные для математических моделей в канонической форме и не требующие специального обращения матрицы динамических параметров. Они записываются в следующем виде:
ki =4+^5^,,. (В4)
г=1
( 4 Ї
x/ in+hLPrsKs> tn+har , r = l,..,m. (B5)
Эти методы при определённом выборе их параметров в отличие от метода Рунге-Кутты могут быть А или L -устойчивыми, что необходимо для компенсации свойства жёсткости математических моделей электрических машин.
В данной работе основной акцент сделан на построение полунеявных канонических методов. Эти методы обладают рядом преимуществ перед неявными и, в особенности, явными численными схемами. В качестве примера можно привести жесткие системы дифференциальных уравнений, при решении которых полунеявные методы особенно эффективны, так как являются А или L - устойчивыми и не приводят к увеличению размерности решаемых систем уравнений. Для построения иной численной схемы в системе уравнений согласования рядов Тейлора точного решения и формулы метода принято С3=0. Исходя из вышесказанного, была составлена система уравнений и получены коэффициенты.
Стратегия выбора шага была разработана на основании двух наиболее часто используемых алгоритмов выбора шага: удвоения и деления шага пополам и выбора шага в зависимости от заданной точности.
Локальная погрешность одношагового метода определяется как
где y(xn+hn) - точное решение исходной задачи, уп-численное решение, полученное по формуле одношагового метода при точном стартовом значенииу(х0).
Для эффективного анализа динамических процессов в рассматриваемой системе необходимо использовать численные методы с повышенными свойствами устойчивости. Жесткость является неотъемлемым свойством данной математической задачи. Ряд авторов жесткую задачу называют «задача с сильно различающимися временными постоянными».
Для того, чтобы получить абсолютно устойчивое решение системы исходных уравнений, необходимо использовать такой шаг h, при котором каждое из значений
hi=hXi (/ = l,2,...,j) лежало бы внутри области абсолютной
устойчивости. Исследование А7 и L-устойчивости канонических методов проводилось в общем виде и сводилось к определению областей устойчивости методов в комплексной плоскости (ah,j/3h). В результате анализа устойчивости был получен набор параметров, при котором метод А- и L-устойчив.
Построение областей точности проводилось в соответствии со стандартной методикой.
В четвертой главе производится тестирование созданного численного метода. Проверка численного метода на наборе тестовых задач есть решение целого класса реальных задач. Процесс и результаты тестирования численного метода в большой степени зависят от типа оборудования и программного обеспечения. Для тестирования на ЭВМ построен алгоритм интегрирования исходной задачи на базе канонического одношагового полунеявного метода 2-го порядка точности решения систем ДАУ, реализованный в подпрограмме L_DAE. Тестирование метода заключается в определении и сравнении отдельных
характеристик методов при решении с их помощью определенного набора задач. В качестве обобщенной оценки примем критерий «время-точность», в соответствии с которым наиболее эффективной считается метод, показавший наименьшее время счета при одинаковых величинах допустимых погрешностей сравниваемых методов. В качестве комплекса тестовых задач были использованы задачи, введенные Энрайтом в его работах и рекомендованные для тестирования программ, рассчитывающих переходные процессы в электрических цепях. Кроме указанных задач метод проходил апробацию при расчете переходных процессов в различных ветроэнергетических установках и электромеханических преобразователях энергии.
Проведенные исследования показали, что разработанный метод позволяет с необходимой точностью рассчитывать динамические режимы работы электродинамических систем, а для определенного класса задач последний является" приоритетным.
Также с помощью разработанного метода рассчитаны динамические режимы реальной насосной установки.
При анализе данных, полученных при проведении обширного тестирования построенного алгоритма, можно сделать следующие выводы:
из всех тестируемых методов только при решении с использованием предлагаемой методики были получены результаты решения всех тестовых задач;
время, затраченное на решение большинства задач группы А разработанным методом в сравнении с другими тестируемыми методами является наименьшим.
Научная новизна и практическая ценность представленной работы заключаются в следующем:
Разработан проблемно-ориентированный канонический одношаговый полунеявный метод 2-го порядка точности, обладающий свойством управления глобальной погрешностью Л.
Получены основные вычислительные характеристики предложенного канонического метода: области точности, тип устойчивости, стратегия выбора шага, способ оценки погрешности.
3. Построена совместная математическая модель
электродинамической системы «АД-ЦН» на основе
электромеханических и электрогидравлических аналогий.
4. Разработана методика, позволяющая анализировать
динамические процессы в системе «АД-ЦН» на основе
электромеханических и электрогидравлических аналогий.
5. На базе разработанного канонического метода
построен алгоритм на алгоритмическом языке
программирования Object Pascal в среде Delphi. Алгоритм
реализован в компоненте Method и зарегистрирован в ОФАП.
6. Тестирование построенного алгоритма, проведенное
на широком диапазоне задач, позволило определить
возможности метода и область его целесообразного
применения для определенного класса задач.
7. На базе разработанного метода реализован комплекс
прикладных программ для расчета динамических режимов
электромеханических и ветроэнергетических установок,
зарегистрированный в ОФАП.
По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 7 программ, зарегистрированных в ОФАП.Основные
этапы диссертации докладывались на НК «Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия» (Омск, 2001), МНТК «Динамика систем, механизмов и машин» (Омск, 2002, 2004), НПК «Энергетика на рубеже веков» (Омск, 2003), XI Международной студенческой школы-семинара (Москва, 2003) .
Работа выполнена в Омском государственном техническом университете.
Основные свойства математических моделей электродинамических систем
Математические модели электродинамических систем обладают целым рядом специфических свойств, существенно влияющих на эффективность соответствующих численных методов. К таким свойствам относятся: обусловленность матриц дифференциальных и алгебраических уравнений, стационарность и нестационарность, линейность и нелинейность, жесткость и жесткая колебательность и т.п. [11, 75, 78, 121, 150].
В работах по вычислительной математике существует два понятия обусловленности: обусловленность как вычислительная проблема и обусловленность собственных значений матрицы. При решении конкретной системы уравнений часть собственных значений или собственных векторов может быть обусловлена плохо, другая - хорошо [1, 8, 9, 11, 47,. 108, 178, 184] . Практически определение свойств обусловленности матриц позволяет оценить эффективность применения тех или иных методов и операций над матрицами, предсказать уровень возможной ошибки при преобразованиях или вообще невозможность преобразования, как, например, обращение вырожденной матрицы.
В случае применения неявных численных методов для решения систем дифференциальных уравнений, описывающих, например, электромагнитные процессы в нелинейных электрических цепях, возникает необходимость решения системы нелинейных алгебраических уравнений нередко большей размерности, чем исходная система дифференциальных уравнений, где также оказывает влияние наличие свойств обусловленности.
Можно предположить, что понятия «хорошей» и «плохой» обусловленности систем алгебраических уравнений адекватны понятию «жёсткость» систем дифференциальных уравнений, когда систему принято называть «жесткой» при значительном отличии постоянных затухания отдельных компонент решения дифференциальных уравнений. Жёсткая система вызывает необходимость жёсткого ограничения шага интегрирования, что приводит к существенному увеличению затрат машинного времени [12, 75, 112] .
В электротехнике проблема обращения матриц играет существенную роль, так как математически модели представляются в исходном виде, а численные методы, как правило, разработаны для уравнений в нормальной форме Коши. Применение традиционных явных или полуявных (полунеявных) численных методов однозначно требует кроме использования непосредственно численных процедур этих методов ещё и обращения матрицы динамических параметров или численного решения системы нелинейных алгебраических уравнений [12, 112, 122, 168]. Плохая обусловленность матриц приводит к существенным ошибкам при выполнении операции обращения или невозможности выполнения этой операции вообще.
Абсолютное большинство математических моделей электродинамических систем являются нелинейными. Иногда модели могут превращаться в линейные, например, в случае с электромагнитным преобразователем энергии, если закон движения ротора однозначно определяется углом поворота 0(t)r а значит, рассматриваются только электромагнитные процессы, определяемые уравнением электрических и магнитных цепей. В данном случае уравнения могут стать и линейными нестационарными из-за превращения коэффициентов уравнений, зависящих от закона движения ротора, в функции времени. Свойство линейности математических моделей электродинамических систем имеет важное значение, так как на основании принципа суперпозиции появляется возможность упрощения расчётных выражений и применяемых методов.
К настоящему времени наибольшее число работ, посвященных исследованию свойств жесткости систем дифференциальных уравнений, выполнено в областях вычислительной математики и математической физики, но они, как правило, носят общий характер. Понятие «жесткости» было введено К. Куртисом (C.F. Curtiss) и Д. Хиршфельдером (J.O. Hirschfelder) для систем дифференциальных уравнений и получило своё развитие в работах Г. Гира (C.W. Gear), Д. Лэмберта (J.D. Lambert), Ю.В. Ракитского, И.Г. Черноруцкого, Э. Хайрера (Е. Hairer), Г. Ваннера (G. Wanner), С. Нерсетта (S.P. Norsett) и других.
В связи с актуальностью и необходимостью учёта свойств жесткости при исследовании переходных процессов практические критерии оценки данных свойств из математических работ проникают в техническую литературу, в частности, посвященную разработке и анализу конкретных электротехнических устройств и их элементов.
Математическая модель центробежного насоса как элемента электродинамической системы
Такие уравнения, как правило, характерны для систем автоматического управления и регулирования и их решение (по мнению авторов) целесообразно проводить многошаговыми методами.
В работе [168] для обращения операторов, порождаемых линейными дифференциально-алгебраическими уравнениями, предлагается некоторый обобщённый метод наименьших квадратов.
В работе [98] отмечается, что для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1, описывающих явления, содержащие одновременно медленно и быстроменяющиеся процессы, могут применяться итерационные методы ньютоновского типа, заменяющие якобиан системы алгебраических уравнений, полученной на основе неявного метода Эйлера (L. Euler), на произвольную невырожденную матрицу, что позволяет применить полученные ранее результаты для решения систем ДАУ с плохо обусловленным и даже вырожденным якобианом, что характерно для задачи более высокого класса.
Аналогичный подход по улучшению свойств якобиана, связанный с введением новой независимой переменой предложен в [93, 94], однако это ведёт к усложнению исходной задачи за счёт вычисления оптимального для продолжения решения параметра и перехода к новой независимой переменной.
Существенным ограничением описанного выше подхода является использование метода первого порядка сходимости для аппроксимации дифференциальной части, а именно неявного метода Эйлера (L. Euler). Для сходимости этого метода в общем случае требуется, чтобы число итераций co. Аналогичный результат мы имеем при использовании простых итераций.
Поскольку важной характеристикой, определяющей поведение численных методов решения ДАУ является индекс [164, 112], то в работе [116] рассматриваются приёмы его изменения (понижения) путем многократного дифференцирования исходной ДАУ на различных этапах применения численного метода (например, метода Адамса) . Однако следует отметить, что этот метод требует предварительного определения второй производной по времени от уравнения алгебраических связей, которая в ряде случаев является весьма громоздкой. В работе [162] используется диагональное расширение неявного метода Рунге-Кутты для решения ДАУ индекса 2 за счёт использования n х п- неявного блока, к которому добавляется m следующих диагонально-неявных этапов, как это делается для решения обычных дифференциальных уравнений. В работе [18 9] приводятся практические численные методы типа Рунге-Кутты исследования динамики электромеханических преобразователей, математическая модель которых представлена в канонической, неявной, преобразованной нормальной и нормальной формах. Можно продолжить характеристику методов решения систем дифференциально-алгебраических уравнений, но из-за ограничения данной работы по объёму это полагается излишним, поскольку совокупный анализ работ позволяет выявить основные тенденции и отметить следующее. Большинство авторов испытывает трудности при переходе от исходной математической модели, описываемой системой дифференциально-алгебраических уравнений, к уравнениям в нормальной форме Коши как наиболее обеспеченными численными методами расчёта. Эти трудности объясняются следующим: спецификой исходных уравнений (взаимосвязь алгебраических и дифференциальных) и естественным стремлением авторов учесть в моделях как можно большее число параметров, что ведёт к увеличению количества самих уравнений (например, в работах [25, 56] более шестидесяти уравнений); применение традиционных численных методов независимо от того, одношаговые они или многошаговые, однозначно требует кроме использования непосредственно численных процедур интегрирования этих методов применения численных операций по обращению матрицы Якоби (или, как её ещё называют, матрицы динамических параметров) на шаге интегрирования структуры. Иногда процедуру обращения необходимо выполнять т раз на каждом шаге, где т - число стадий метода.
Таким образом, можно выделить два этапа в численном интегрировании исходных систем уравнений. Первый этап -преобразование исходных уравнений к нормальной форме Коши. Второй этап - интегрирование преобразованной системы уравнений численными методами. Непосредственное решение исходной задачи осуществляется на втором этапе, а первый является подготовительным (непроизводительным) и его существование вызвано недостатками эффективных численных методов, непосредственно применимых к исходным математическим моделям в канонической форме.
Исследование устойчивости канонических методов
Современная практика расчета переходных процессов в нелинейных электромеханических системах численными методами показывает, что основные затруднения в электромеханике при расчёте динамики электрических машин на ЭВМ связаны с усложнением перехода от исходных математических моделей к уравнениям в нормальной форме Коши (именно к такой форме уравнений применимы основные численные методы вычислительной математики) и усилением т.н. свойств жесткости и жесткой колебательности (эти свойства определяют трудоемкость, а в целом ряде случаев и возможность анализа динамики). Проведенный выше анализ существующих методов расчета динамических режимов электродинамических систем показал, что существует необходимость в создании методов, наиболее адекватно учитывающих характер описываемой электродинамической системы.
Современные универсальные численные алгоритмы, предназначенные для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, включают в себя целый ряд процедур, среди которых наиболее важными являются выбор определенного класса численного метода, стратегия перехода от одного класса численного метода к другому, оценка собственных чисел матрицы Якоби, оценка точности полученных результатов, стратегия автоматического изменения величины шага интегрирования и порядка метода [141, 147, 166]. Постоянное развитие вычислительной математики приводит к тому, что нет единой терминологии, которой бы придерживались авторы при создании работ в этой области науки. В силу последнего представляется целесообразным привести основные определения, используемые в данной работе.
Определение 3.1 [71] . Формула интегрирования - одно или несколько соотношений, связывающих искомую функцию х(t) в дискретной последовательности точек tk, к = 0, 1, 2, . . ., N, множество которых называется сеткой. Определение 3.2[69]. Методом интегрирования системы уравнений называется совокупность: а) формул интегрирования (в общем случае с переменным шагом и порядком); б) итерационной процедуры решения нелинейных уравнений (для неявных методов); в) способа оценки локальной погрешности решения; г) способа оценки глобальной погрешности решения; д) стратегии выбора порядка формулы интегрирования; е) стратегии выбора И/ИЛИ отброса шага; ж) стратегии определения точек коммутации. Определение 3.3. «Алгоритм - точное предписание, которое задает вычислительный процесс ... , начинающийся с произвольного исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного алгоритма исходных данных) и направленный на получение полностью определяемого этим исходным данным результата. Алгоритм характеризуется семью независимыми параметрами: 1) совокупность возможных исходных данных; 2) совокупность возможных результатов; 3) совокупность возможных промежуточных результатов; 4) правило начала; 5) правило непосредственной переработки; б) правило окончания; 7) правило извлечения результата» [104].
В отличие от универсальных, проблемно-ориентированные алгоритмы могут быть значительно упрощены вследствие различного рода ограничений и допущений, вытекающих из характера решаемых задач.
В рассматриваемом случае, в соответствии с выполненными в главе 2 исследованиями, речь идет о математических моделях электрических машин в канонической форме с заранее известными свойствами жесткости и жесткой колебательности, вследствие чего отпадает необходимость в выборе класса метода и оценке собственных чисел матрицы Якоби (метод обязательно должен иметь каноническую форму и обладать повышенной численной устойчивостью). Поэтому построение эффективных, отвечающих современному уровню развития теории электрических машин и вычислительной математики алгоритмов исследования динамических режимов сводится к выбору численной схемы канонических методов, оптимизации их параметров, обоснованию стратегии автоматического изменения шага и порядка метода, оценки точности расчетов.
Построение алгоритма канонического одношагового полунеявного метода 2-го порядка точности
Для решения любой задачи первым обязательным этапом является ее постановка. Этот этап не включен в алгоритм. Алгоритм начинает свою работу с этапа получения исходных данных о предстоящей задаче. К исходным данным, необходимым в данном случае для решения конкретной задачи, относятся правые части системы дифференциально-алгебраических уравнений, максимально допустимая точность получаемого решения, время начала и окончания расчета (применительно к системе уравнений вида (3.1)-(3.2)), а также начальные условия.
Следующим этапом решения задачи является определение некоторой последовательности действий, которые необходимо повторять определенное количество раз для достижения требуемой точности и поставленных задачей условий расчета. Эта последовательность ограничена этапами «Начало цикла» и «Конец цикла».
Как видно из рис. 4.1, подпрограмма 3.16 вызывается за один цикл минимум три раза. Это необходимо для оценки локальной погрешности полученного результата согласно (4.6). В процессе работы подпрограммы 3.16 осуществляется обмен данными со следующими подпрограммами: A\y,t) - подпрограмма вычисления якобиана, Ач,(у) - подпрограмма расчета матрицы динамических параметров, АВП - алгоритм выбора параметров метода, ПДУ - подпрограмма расчета правых частей дифференциальных уравнений. В свою очередь для непосредственной работы подпрограммы вычисления якобиана A{y,t) также требуется обмен данными с подпрограммой расчета правых частей дифференциальных уравнений ПДУ. Для работы подпрограммы А {у) необходимы данные, получаемые от подпрограммы расчета правых частей алгебраических уравнений ПАУ. Таким образом, для более наглядного представления структуры алгоритма направление основного расчета показано более объемными указателями (например, от этапа «Начало цикла» до этапов запуска подпрограмм 3.16), чем направления работы вспомогательных подпрограмм и алгоритмов (от ПДУ к 3.16, все направления от алгоритма АВП, и. т.д.).
После нескольких запусков подпрограммы 3.16 с различными параметрами определяется погрешность полученных результатов. В зависимости от величины погрешности, а точнее, от принадлежности вычисленной погрешности к одному из трех интервалов определяются дальнейшие действия алгоритма. В случае если величина погрешности попадает в допустимый интервал, то такой результат считается приемлемым и фиксируется, чтобы послужить исходными данными для следующей итерации. Затем происходит возврат на начало цикла, увеличивается текущее время расчета, и все повторяется. В случае непопадания погрешности в допустимый интервал запускается подпрограмма, реализующая стратегию выбора шага. Эта подпрограмма в зависимости от интервала, содержащего вычисленную погрешность, увеличивает либо уменьшает шаг в соответствии с выбранной стратегией (3.33). Далее повторяются этапы вычисления подпрограммой 3.16 до тех пор, пока погрешность вычисления не попадет в требуемый интервал. Конец расчета достигается при достижении времени окончания расчета.
Необходимо отметить, что в представленном изображении структуры алгоритма часть этапов не показана. Такими этапами являются определение реальной продолжительности расчета, формирование нового типа переменных, и т.п. Эти этапы несут служебный (вспомогательный) характер и никакой ценности для построения алгоритма расчета с точки зрения разработки канонического метода не представляют.
Описанный алгоритм численного расчета дифференциально-алгебраических уравнений реализован в самостоятельной программе, а подпрограмма 3.16 - в компоненте Method для Borland Delphi, прошедшем процедуру регистрации в ОФАП Государственного координационного центра информационных технологий []. Тестирование метода заключается в определении и сравнении отдельных характеристик методов при решении с их помощью определенного набора задач. Таким образом, для оценки эффективности метода необходимо: 1) сформировать критерий обобщенной оценки эффективности методов; 2) выбрать комплекс тестовых задач для испытания методов; 109 3) выбрать метод-эталон, относительно которого будет оцениваться эффективность предлагаемого метода. В качестве обобщенной оценки примем критерий «время- точность», в соответствии с которым наиболее эффективной считается метод, показавший наименьшее время счета при одинаковых величинах допустимых погрешностей сравниваемых методов.
