Содержание к диссертации
Введение
1 Современное состояние и перспективы развития методов моделирования и проектирования электромеханических систем на базе программных комплексов 17
1.1 Обзор современных методов моделирования электромеханических устройств 17
1.2 Обзор численно-программных комплексов для моделирования электромеханических устройств 26
1.3 Выводы по разделу 32
2 Моделирование плоскопараллельного электромагнитного поля электромеханических устройств комбинированным методом конечных и граничных элементов 34
2.1 Постановка задачи расчета плоскопараллельного электромагнитного поля в многосвязных областях 34
2.2 Основные положения и общие схемы реализации КМКиГЭ . 41
2.2.1 Основные положения КМКиГЭ 41
2.2.2 Метод конечных элементов для решения нестационарных задач с учетом движения и вихревых токов . 41
2.2.3 Метод граничных элементов 43
2.2.4 Сопряжение МКЭ и МГЭ: метод декомпозиции областей и метод эквивалентного конечного элемента . 48
2.3 Численная реализация решения задач расчета нестационар ных электромагнитных полей 53
2.3.1 Общий алгоритм КМКиГЭ для решения задач расчета нестационарных электромагнитных полей 54
2.3.2 Решение систем уравнений с матрицами, имеющими несимметричную, разряженную структуру 59
2.4 Численная реализация решения задач расчета стационарного магнитного поля 63
2.4.1 Общий алгоритм решения 63
2.4.2 Решение систем уравнений с симметричной положительно определенной матрицей 65
2.4.3 Двухфазная схема решения на итерациях МДО 68
2.5 Расчет электромагнитных сил и моментов по полуаналитическим соотношениям 70
2.6 Анализ эффективности разработанных алгоритмов 73
2.7 Выводы 78
Моделирование плоскомеридианных электромагнитных полей комбинированным методом конечных и граничных элементов 81
3.1 Постановка задачи расчета электромагнитного поля ЭМУ, обладающих осевой симметрией 82
3.2 КМКиГЭ для расчета плоскомеридианных нестационарных электромагнитных полей 86
3.2.1 Модифицированный метод конечных элементов . 87
3.2.2 Модифицированный метод граничных элементов . 89
3.2.3 Сопряжение модификаций МКЭ и МГЭ 95
3.3 Алгоритм численной реализации КМКиГЭ в нестационарном случае 96
3.4 Численное решение стационарных задач КМКиГЭ 97
3.5 Анализ эффективности разработанных алгоритмов КМКиГЭ 98
3.6 Выводы 103
Экспериментальные исследования и численное моделиро вание электромеханических устройств 106
4.1 Решение модельной задачи движения витка с током над проводящим рельсом 107
4.2 Экспериментальные исследования и численное моделирование ОЛАД 108
4.2.1 Постановка задачи моделирования ОЛАД 111
4.2.2 Экспериментальное получение силовых характеристик ОЛАД 113
4.2.3 Моделирование ОЛАД с использованием разработанного программного комплекса 116
4.3 Экспериментальные исследования и численное моделирова ние броневого электромагнита 119
4.3.1 Постановка задачи 120
4.3.2 Результаты численного и экспериментального исследования броневого электромагнита 121
4.4 Выводы 123
5 Оптимальное проектирование электромеханических устройств 125
5.1 Классический и модельно-ориентированный подходы к проектированию ЭМУ 126
5.2 Математическая формулировка задачи оптимального проектирования электромагнитных механизмов 129
5.3 Стратегия проектирования в две фазы. Обоснование выбора. Детали реализации 130
5.4 Фаза «грубого» проектирования 132
5.4.1 Фаза «точного» проектирования 133
5.4.2 Выбор метода оптимизации для фазы «точного» проектирования 133
5.4.3 Квазиньютоновские методы безусловной минимизации. Общий алгоритм и особенности реализации 137
5.5 Примеры применения предложенной методики двухфазно го проектирования для решения задач проектирования ЭМУ оптимальной геометрической формы 142
5.5.1 Модельная задача оптимального проектирования быстродействующего электромагнита 142
5.5.2 Оптимальное проектирование линейного асинхронного двигателя 146
5.6 Выводы 149
Заключение 150
Литература
- Обзор численно-программных комплексов для моделирования электромеханических устройств
- Основные положения и общие схемы реализации КМКиГЭ .
- КМКиГЭ для расчета плоскомеридианных нестационарных электромагнитных полей
- Экспериментальные исследования и численное моделирование ОЛАД
Введение к работе
Актуальность темы. Современный этап развития производства, внедрение новых технологий выдвигают повышенные требования к экономичности, надежности и уровню технических характеристик электромеханических устройств (ЭМУ). В связи с этим существует постоянная необходимость в проектировании ЭМУ с улучшенными технико-экономическими показателями, что в современных условиях невозможно без применения компьютерного инструментария поддержки конструкторского процесса, позволяющего эффективно решать возникающие на практике задачи, обеспечивая заданную точность расчетов при наименьших затратах вычислительных ресурсов. В настоящее время наиболее актуальными задачами, возникающими при проектировании ЭМУ, являются так называемые многовариантные задачи, предполагающие многократный расчет характеристик ЭМУ при вариации тех или иных его параметров. К ним относятся:
задачи моделирования нестационарных режимов ЭМУ, сводящиеся к расчетам электромагнитного поля (ЭМП) на большом числе временных слоев. Решение этих задач является в настоящее время наиболее актуальным, так как определяющими для подавляющего большинства ЭМУ являются именно нестационарные режимы работы, полный анализ которых невозможен в стационарном приближении;
параметрические задачи моделирования ЭМУ, сводящиеся к многовариантным расчетам с целью анализа влияния на характеристики ЭМУ изменений тех или иных его параметров;
многовариантные задачи автоматизированного оптимального проектирования ЭМУ с применением персональных ЭВМ на базе методов моделирования ЭМУ и численных методов параметрической оптимизации. В современных условиях, когда для обеспечения конкурентоспособности продукции приходится, как правило, создавать ЭМУ, работающие в предельных режимах и имеющие близкие к оптимальным характеристики, решение этих задач является одной и приоритетных
проблем. Однако эта проблема остается пока малоизученной и в настоящее время ее решение не реализовано в виде специализированных программных продуктов из-за слабой проработанности методической базы.
Для эффективного решения указанных задач необходим инструментарий, в основе которого должны лежать эффективные методы расчета электромагнитных полей (ЭМП), где эффективность метода решения характеризуется величиной отношения «точность моделирования / затраты вычислительных ресурсов, необходимых для ее достижения». Вопросы моделирования ЭМП рассматривались в работах К.С. Демирчяна, Э.В. Колесникова, В.И. Астахова, Ю.А. Бахвалова, А.Н. Ткачева, О.В. Тозони, Г.К. Птаха, Г. Ленера и других ученых. Тем не менее, в настоящее время сохраняется необходимость дальнейшего развития и совершенствования методов расчета ЭМП в направлении повышения эффективности их применения для моделирования ЭМУ.
Высокую точность обеспечивают полевые методы расчета. Однако анализ реализующих такие методы известных численно-программных комплексов (ЧПК) (Maxwell, FEMM, Opera и др.) показывает, что они не обеспечивают высокую эффективность решения многовариантных задач первых двух типов из-за больших затрат вычислительных ресурсов на расчет одного варианта. Этим можно объяснить отсутствие в этих ЧПК функциональной возможности решения еще более ресурсоемких задач оптимального проектирования. В основе большинства таких ЧПК лежит метод конечных элементов (МКЭ), который обладает рядом недостатков (искусственное ограничение области расчета, дискретизация окружающего пространства, выполнение новой дискретизации при изменении положения элементов ЭМУ). Анализ литературных источников показывает, что к настоящему времени ресурсы совершенствования МКЭ практически исчерпаны. Это подчеркивает актуальность разработки новых, более эффективных, чем МКЭ, численных методов, а также реализующих их программных комплексов, позволяющих более экономично, чем известные ЧПК, использовать вычислительные ресурсы ЭВМ и гарантировать эффективное решение многовариантных задач анализа и проектирования ЭМУ.
Наиболее перспективным в этом отношении является комбинированный метод конечных и граничных элементов (КМКиГЭ), одновременно
реализующий достоинства МКЭ и лишенный указанных его недостатков. Разработке КМКиГЭ способствовали работы зарубежных (Й. Фетзер, М. Хаас, С. Курц и др.) и отечественных (Н.Х Эркенов, Ю.А. Бахвалов, А.Г. Никитенко, А.В. Павленко, О.Ф. Ковалев и др.) ученых. Однако до настоящего времени этот метод в основном применялся только для расчета стационарного ЭМП и для решения некоторых частных задач моделирования нестационарного плоскопараллельного ЭМП. Обобщенная технология применения КМКиГЭ для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных нестационарных ЭМП с учетом вихревых токов и движения элементов ЭМУ пока не разработана, как не существует и известных ЧПК, реализующих КМКиГЭ для решения указанных типов многовариантных задач моделирования и проектирования ЭМУ.
Целью данной работы является разработка и компьютерная реализация эффективных вычислительных моделей плоскопараллельного и плоскомеридианного, стационарного и нестационарного ЭМП на основе модификаций КМКиГЭ, а также разработка методики автоматизированного проектирования ЭМУ с оптимальными геометрическими параметрами, предполагающей использование разработанных вычислительных моделей.
Указанная цель предполагает решение следующих основных задач:
Разработка эффективных модификаций КМКиГЭ для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных, стационарных и нестационарных ЭМП с учетом движения элементов ЭМУ и вихревых токов в проводящих телах.
Разработка общей технологии построения на основе созданных модификаций КМКиГЭ эффективных вычислительных моделей стационарного и не-стационарного ЭМП минимальной размерности.
Разработка в соответствие с предложенной технологией высокоэффективных вычислительных алгоритмов расчета ЭМП путем рационального использования и совершенствования методов решения поставленных задач на всех фазах вычислительного процесса.
Разработка двухфазной методики оптимального проектирования на основе созданных вычислительных моделей и методов локальной оптимизации.
5. Реализация разработанных численных алгоритмов в виде универсальных программных модулей, позволяющих гибкое включение в программный комплекс для расчета и проектирования ЭМУ с оптимальными геометрическими параметрами.
Методы исследования и достоверность полученных результатов. Достоверность научных положений, выводов и результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается:
Применением фундаментальных методов теории электромагнитного поля, основанных на системе уравнений Максвелла, численных методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (МКЭ, МГЭ, КМКиГЭ), численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (неявный метод Эйлера), методов решения систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений (модифицированный метод Ньютона-Рафсона, LU-факторизация, предобусловленные методы сопряженных градиентов и квадратичных сопряженных градиентов), численных методов локальной оптимизации (квазиньютоновские методы, комбинированные методы полиномиальной оптимизации).
Использованием при моделировании, а также при проверке эффективности разработанных численных моделей и достоверности получаемых с их помощью результатов современных ЧПК: SESAM 2003, MatLab, Maxwell, FEMM.
Данными экспериментальных исследований, полученных автором и подтверждающих достоверность полученных результатов.
Критическим обсуждением результатов работы с ведущими специалистами кафедры «Прикладная математика» ЮРГТУ(НПИ), а также кафедры мехатроники Технического Университета г.Ильменау (Германия).
Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту:
1. Математическая модель, реализующая комбинированный метод конечных и граничных элементов для расчета нестационарных плоско-
параллельных электромагнитных полей с учетом вихревых токов и планарных перемещений элементов ЭМУ, включающая:
эффективный алгоритм решения уравнений нестационарного электромагнитного поля на базе КМКиГЭ, неявных методов интегрирования и методов решения систем нелинейных уравнений;
новую эффективную модификацию метода Ньютона-Рафсона решения систем нелинейных уравнений с релаксацией векторного магнитного потенциала при динамическом вычислении параметра релаксации по формуле, использующей информацию трех смежных итераций;
адаптивный алгоритм решения систем уравнений КМКиГЭ в зависимости от вида матриц этих систем;
свободную от операций численного дифференцирования процедуру нахождения интегральных характеристик ЭМУ (электромагнитные силы и моменты).
2. Модификация КМКиГЭ для расчета стационарных плоскопарал
лельных магнитных полей в нелинейных средах, в том числе:
эффективный итерационный алгоритм КМКиГЭ с динамическим вычислением параметра релаксации;
эффективная двухфазная схема решения систем уравнений на каждой итерации разработанной модификации КМКиГЭ.
3. Основанная на комбинированном методе конечных и граничных эле
ментов процедура численного расчета нестационарных плоскомери
дианных электромагнитных полей с учетом вихревых токов и пла
нарных перемещений элементов ЭМУ, включающая:
эффективный алгоритм решения уравнений нестационарного электромагнитного поля на базе КМКиГЭ, неявных методов интегрирования и разработанного метода решения систем нелинейных уравнений;
адаптивный алгоритм решения систем уравнений КМКиГЭ в зависимости от вида матриц этих систем.
Модификация КМКиГЭ для расчета стационарных плоскомеридианных магнитных полей в нелинейных средах и эффективный итерационный алгоритм КМКиГЭ с динамическим вычислением параметра релаксации.
Методика двухфазного оптимального проектирования ЭМУ на базе разработанных модификаций КМКиГЭ и метода магнитных цепей (стационарный и нестационарный случай), а также ее реализация на основе разработанного ЧПК MAGiC.
Результаты практической реализации разработанных алгоритмов и методик:
ЧПК MAGiC (MAGnetic Calculations) для расчета плоскопараллельных и плоскомеридианных, стационарных и нестационарных электромагнитных полей ЭМУ, и получения различных их характеристик;
двухфазный алгоритм параметрической оптимизации ЭМУ в статическом и нестационарном случаях на базе разработанного программного комплекса и программного комплекса SESAM 2003, созданного в ТУ г.Ильменау.
Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:
Разработана обобщенная методика построения эффективных вычислительных моделей стационарных и нестационарных, плоскопараллельных и плоскомеридианных ЭМП на основе КМКиГЭ, отличительной особенностью которой является учет сложной геометрии магнитных систем, движения элементов ЭМУ и вихревых токов в проводящих телах.
2. В соответствии с предложенной методикой разработаны вычислительные алгоритмы, реализующие КМКиГЭ для расчета стационарных и нестационарных ЭМП, эффективность которых обеспечивается следующими оригинальными особенностями:
- применением для ускорения сходимости итерационного процес
са при решении систем нелинейных алгебраических уравнений
(СНАУ) предложенной модификации метода Ньютона-Рафсона;
использованием адаптивного алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в нестационарных задачах с выбором метода решения в зависимости от вида матрицы системы;
ускорением сходимости итерационного алгоритма метода декомпозиции области (МДО) за счет применения динамической релаксации с пересчетом параметра по предложенному алгоритму;
использованием разработанной двухфазной схемы реализации решения СЛАУ в стационарном случае на основе блочного метода;
применением предложенной модификации КМКиГЭ для расчета плоско-меридианных полей, заключающейся в формировании уравнений МКЭ и МГЭ относительной одной и той же скалярной функции потока;
устранением традиционных вычислительных погрешностей при нахождении электромагнитных сил и моментов за счет аналитического дифференцирования интегрального представления поля вне намагничиваемых тел.
Эффективность предложенных подходов подтверждена проведенным сравнением решений конкретных задач расчета ЭМУ при помощи разработанного программного комплекса и известных ЧПК Maxwell и FEMM.
В рамках совместного проекта ЮРГТУ(НПИ) и ТУ г.Ильменау (Германия) на базе созданных вычислительных моделей разработана и реализована оригинальная методика двухфазного оптимального проектирования ЭМУ.
Разработаны программные модули, составляющие основу созданного на кафедре «Прикладная математика» ЮРГТУ(НПИ) ЧПК MAGiC, предназначен-ного для анализа и автоматизированного проектирования ЭМУ.
Практическая значимость результатов диссертационной работы состоит в разработке ЧПК MAGiC, предназначенного для расчета пло-
скопараллельных и плоскомеридианных, статических и нестационарных электромагнитных полей ЭМУ, обеспечивающего возможность нахождения различных их характеристик на основе полученных решений, являющегося более эффективным, чем основанные на МКЭ аналоги, при решении большинства возникающих на практике задач и позволяющего выполнять параметрическую оптимизацию конструкции рассчитываемых ЭМУ на второй фазе оптимизационного процесса согласно предложенной методике двухфазного проектирования.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на 47-ом Международном научном коллоквиуме IWK 2002, г. Ильме-нау, Германия, сентябрь 2002г.;
на 4-ой Международной научно-практической конференции «Состояние и перспективы развития электроподвижного состава», г. Новочеркасск, июнь 2003г.;
на Международной научно-технической конференции «ICM 2003: International Conference on Magnetics», г. Рим, Италия, июль 2003г.;
на Международном научном коллоквиуме «Проблемы мехатроники 2003», г. Новочеркасск, сентябрь 2003г.;
на Международной научной конференции «Innovative Klein- und Mikroantriebstechnik 2004», г. Дармштадт, Германия, март 2004г.
Разработанный ЧПК MAGiC награжден дипломом 1-ой степени на Всероссийской выставке-ярмарке научно-исследовательских работ и инновационной деятельности студентов, аспирантов и молодых ученых ВУЗов Российской Федерации «ИННов 2003», проходившей 4-7 мая 2003г. в г.Новочеркасск.
Публикации. Основное содержание работы отражено в 10 публикациях [1-Ю].
Структура и объем диссертации. Материал диссертации распределен следующим образом.
В первом разделе сделан обзор методов моделирования электромагнитных процессов в ЭМУ, произведен сравнительный анализ рассматриваемых методов, указаны их основные достоинства и недостатки. Про-
анализирована современная ситуация на рынке программных комплексов для расчета электромагнитных полей. Рассмотрены наиболее известные и используемые программные комплексы, проанализированы их возможности, достоинства и недостатки в отношении рассматриваемого класса задач — многовариантных задач моделирования ЭМУ (нестационарные задачи, задачи параметрической оптимизации конструкций ЭМУ). Сделан вывод о недостаточной эффективности существующих программных комплексов для решения указанных задач, их недостаточных возможностях, обоснована актуальность разработки новых, более эффективных методов расчета электромагнитных полей и реализующих их ЧПК.
Во втором разделе рассмотрены вопросы разработки разделе рассмотрены вопросы разработки общей технологии применения КМКиГЭ для построения высокоэффективных вычислительных моделей плоскопараллельного ЭМП для решения задач в статической и в нестационарной постановке с учетом вихревых токов в проводящих телах и относительного движения элементов ЭМУ за счет совместного решения уравнений ЭМП и дифференциальных уравнений движения. Задача моделирования нестационарных режимов ЭМУ сформулирована как краевая для многосвязной кусочно-однородной области. В соответствие с общим алгоритмом КМКиГЭ выполнено преобразование исходных уравнений к системе интегро-дифференциальных уравнений, для решения которой разработан эффективный адаптивный алгоритм, основанный на применении методов неявного интегрирования, модификации метода Ньютона-Рафсона решения систем нелинейных уравнений с динамическим вычислением параметра релаксации по предложенной формуле, прямых и итерационных методов решения систем с разреженными матрицами. Рассмотрен частный случай решения задачи расчета стационарного магнитного поля. Для ее эффективного решения разработана модификация КМКиГЭ, предполагающая итерационное последовательное решение внешней и внутренних задач расчета магнитного поля с релаксацией векторного магнитного потенциала по предложенной формуле, обеспечивающей оптимальную скорость сходимости итерационного процесса. Для дальнейшего повышения эффективности предложенного алгоритма КМКиГЭ была разработана и реализована быстрая, двухфазная схема решения систем уравнений, возникающих на каждой итерации. В результате решения задачи расчета динамических
характеристик линейного двигателя с постоянными магнитами при помощи программного комплекса Maxwell и созданного на основе разработанных алгоритмов программного комплекса MAGiC была проиллюстрирована более высокая эффективность последнего (меньшие затраты вычислительных ресурсов при обеспечении практически одной и той же точности расчетов).
В третьем разделе рассмотрены вопросы разработки модификации КМКиГЭ для расчета плоскомеридианного ЭМП и создания на ее основе технологии применения КМКиГЭ для построения эффективных вычислительных моделей стационарного и нестационарного ЭМП в плоскомеридианном случае с учетом вихревых токов и движения. Задача моделирования нестационарных режимов ЭМУ сформулирована как краевая для многосвязной кусочно-однородной области. Для ее решения разработан эффективный адаптивный алгоритм КМКиГЭ, основанный на применении методов неявного интегрирования, модификации метода Ньютона-Рафсона решения систем нелинейных уравнений с динамическим вычислением параметра релаксации, прямых и итерационных методов решения систем с разреженными матрицами. Рассмотрен частный случай решения задачи расчета стационарного магнитного поля, для решения которой разработана модификация КМКиГЭ, основывающаяся на итерационном последовательном решении внешней и внутренних задач расчета магнитного поля с релаксацией векторного магнитного потенциала. В результате решения конкретной задачи расчета зависимости силы притяжения якоря броневого электромагнита от времени при набросе синусоидального тока при помощи программного комплекса Maxwell и созданного на основе разработанных алгоритмов программного комплекса MAGiC показана более высокая эффективность последнего (меньшие затраты вычислительных ресурсов при сравнимых по точности результатах расчетов).
Четвертый раздел посвящен оценке достоверности результатов моделирования при помощи созданного на основе разработанных алгоритмов ЧПК MAGiC для расчета электромагнитных полей. Сравнение результатов расчета при помощи разработанного ЧПК зависимости силы, действующей на виток с током при движении последнего над проводящим рельсом, с данными аналитического решения показало, что разработанные алгоритмы позволяют получать высокоточные решения. Путем сравнения
результатов расчета тяговых характеристик ОЛАД с экспериментальными данными, полученными автором, доказано, что разработанный ЧПК обеспечивает требуемый уровень погрешности в случае расчета плоскопараллельных электромагнитных полей. Сравнение результатов расчета характеристик броневого электромагнита с экспериментальными данными, показало, что разработанный ЧПК обеспечивает требуемый уровень погрешности при расчете плоскомеридианных электромагнитных полей.
В пятом разделе описана двухфазная методика оптимального проектирования ЭМУ, предполагающая использование на первой фазе метода магнитных цепей (ЧПК SESAM 2003) для решения задачи глобальной оптимизации. Найденное решение используется в качестве первого приближения оптимального набора параметров при решении задачи локальной оптимизации на второй фазе процесса автоматизированного оптимального проектирования с использованием разработанного ЧПК MAGiC. Построены и реализованы алгоритмы локальной оптимизации, основанные на модификации квазиньютоновского метода и применении для вычисления значения критерия оптимизации основанных на разработанных алгоритмах КМКиГЭ программных модулей. Предложенная методика проверена на модельной задаче разработки оптимальной конструкции быстродействующего электромагнита, обеспечивающей минимальное время срабатывания. После проверки разработанных на основе методов локальной оптимизации программных модулей на этой задаче была решена более сложная задача нахождения оптимальных геометрических параметров ОЛАД, разрабатываемого на кафедре мехатроники ТУ г. Ильменау, обеспечивающих максимальное среднее тяговое усилие на единицу длины индуктора при заданном токе в обмотках.
В приложения вынесены вспомогательные доказательства некоторых положений, используемых при разработке модификаций КМКиГЭ, характеристики используемых в экспериментах и расчетах материалов, данные экспериментальных и численных исследований ОЛАД, а также аналитическое решение модельной задачи методом интегральных преобразований Фурье.
Обзор численно-программных комплексов для моделирования электромеханических устройств
В современных условиях жесткой конкуренции между фирмами-разработчиками, фирмами-производителями ЭМУ как в смысле времени проектирования и изготовления, так и в смысле качества и стоимости их продукции особую актуальность приобретает разработка универсальных, предназначенных для моделирования широкого круга ЭМУ ЧПК. Таких программных комплексов создано в последнее время достаточно большое количество. В качестве примера ЧПК для моделирования ЭМУ, основанного на методе магнитных цепей, можно привести обладающий широкой функциональностью ЧПК SESAM 2003. Наиболее часто применяемыми на практике из программных комплексов для «точного» расчета электромагнитных полей на основе полевых методов являются Maxwell, PC Opera, ANSYS/EMAG, FEMM и QuickField.
ЧПК SESAM 2003 создан фирмой Innomas GmbH совместно с Техническим Университетом г. Ильменау. Он реализует модифицированный метод магнитных цепей, разработанный на кафедре мехатроники ТУ Ильменау. Программный комплекс поддерживает решение как статических, так и нестационарных задач моделирования ЭМУ, параметрические расчеты, а также выполнение оптимизации геометрических параметров ЭМУ по выбранному критерию. ЧПК SESAM 2003 имеет широкие возможности постпроцессорной обработки полученного решения и является отличным средством поддержки конструкторского процесса.
Достоинствами ЧПК SESAM 2003 являются удобный интерфейс, интуитивно-понятные инструменты создания требуемых моделей, наличие библиотек цепных моделей распространенных ЭМУ и библиотек материалов, возможность учета гистерезиса и вихревых токов, малое время расчета моделей благодаря использованию в основе ММЦ. Однако используемый в качестве решателя ММЦ служит причиной основного его недостатка — недостаточно высокой точности расчетов. Поэтому для достижения необходимой точности ЧПК SESAM 2003 может быть использован только в тандеме с каким-либо комплексом, основанным на «точном», полевом методе расчета. Его основной функцией является быстрое нахождение первого приближения к искомому решению задачи. Полученное при помощи SESAM 2003 решение затем должно быть уточнено при помощи ЧПК, обеспечивающего более высокую точность результатов моделирования.
Основанные на наиболее универсальном полевом методе расчета МКЭ программные комплексы FEMM и QuickField решают задачи начального уровня. В целом эти ЧПК обладают практически идентичной » функциональностью. Их основные возможности включают расчет статических плоскопараллельных и плоскомеридианных магнитных и электрических полей в кусочно-однородных средах, моделирование установившихся гармонических режимов при помощи метода комплексных амплитуд, учет граничных условий первого, второго и третьего (FEMM) рода. В качестве источников в этих ЧПК могут выступать точечные и массивные проводники, подключенные к источникам тока или напряжения.
Следует отметить, что с помощью указанных пакетов возможен расчет магнитного поля только в замкнутых областях. Причиной этого ограничения является использование в качестве решателей МКЭ. В случае моделирования ЭМУ открытого типа (линейные двигатели, электромагниты и т.д.) приходится выполнять искусственное ограничение области расчета фиктивной границей с заданными (обычно нулевыми) граничными условиями.
В целом программные комплексы FEMM и QuickField имеют все необходимые средства для создания двумерных геометрических моделей произвольной сложности во встроенных препроцессорных системах, а также основные необходимые постпроцессорные средства, позволяющие как визуально иллюстрировать распределение магнитного поля в рассчитываемом ЭМУ, так и вычислять требуемые интегральные характеристики (электромагнитные силы, моменты, потоки и т.д.). К достоинствам рассмотренных программных комплексов можно отнести простоту их освоения, интуитивно-понятный интерфейс, быстрые, проработанные решатели. Недостатками являются рассмотренные выше характерные недостатки МКЭ, использованного в качестве решателей в этих программных комплексах, а также невозможность решения параметрических задач и задач расчета нестационарного электромагнитного поля.
Программные комплексы Maxwell (компания-разработчик Ansoft), PC Opera (компания-разработчик Vector Fields) и ANSYS/Emag (компания-разработчик CAD FEM GmbH) являются универсальными системами моделирования более высокого уровня, чем рассмотренные выше пакеты FEMM и QuickField. Ниже приведены краткие характеристики рассматриваемых ЧПК.
Программный комплекс ANSYS/Emag позволяет решать задачи следующих типов: - задачи расчета распределения постоянного тока по объемному проводнику без учета магнитного поля; - анализ нестационарных процессов в ЭМУ при изменении токов или напряжений источников поля по заданным пользователем законам; - параметрическое моделирование, где в качестве параметров могут выступать как характеристики геометрических моделей ЭМУ, так и характеристики источников.
Перечисленные задачи могут быть решены как в плоскопараллельной, так и в плоскомеридианной постановке.
В качестве источников поля могут выступать постоянные магниты; электрические заряды (точечные или распределенные по объему или поверхности); токи, приложенные в точечных проводниках; плотности токов в объемных элементах; разность потенциалов на выходах катушек индуктивности.
Постпроцессорные средства предоставляют широкие возможности для расчета напряженности и индукции магнитного поля, напряженности электрического поля и электрического смещения, потерь (в том числе за счет вихревых токов).
Возможности графического отображения результатов расчета включают построение цветовых (по абсолютным значениям) и векторных (с учетом направления) картин поля, графики различных зависимостей характеристик ЭМУ.
Основные положения и общие схемы реализации КМКиГЭ .
Для описания электромагнитного поля во внешней области Пмгэ (окружающее пространство и немагнитные проводящие области, связанные с источниками тока) используется МГЭ [30]. Сущность метода заключается в формировании уравнений только по границам рассматриваемых областей. Для этой цели также хорошо подходят методы вторичных источников, основанные на введении в рассмотрение потенциалов простого и двойного слоя [22]. Однако неудобство здесь состоит во введении формальных функций плотности источника, которые обычно не имеют отношения к физическому смыслу задачи. Этот недостаток отсутствует в МГЭ, где неизвестные значения функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа или Пуассона, и ее нормальных производных на границе области играют роль плотностей источников, определяющих искомые значения функции во всей остальной области. Еще одним преимуществом МГЭ над методом вторичных источников является то, что значения нормальных производных неизвестной функции на границе находятся непосредственно, тогда как при использовании метода вторичных источников для нахождения нормальных производных на границе потребовалось бы использовать численное дифференцирование. Пусть требуется получить решение задачи, описываемой уравнением Пуассона, в ограниченной области Г2: Аи(М) = 5(М), М Є П, (2.26) с условиями Дирихле, Неймана либо смешанными условиями на границе этой области. Тогда, используя либо метод взвешенных невязок [30], либо второе интегральное тождество Грина для двух функций, одна из которых - и(М) - удовлетворяет уравнению Пуассона (2.26), а другая - и(М) - является фундаментальным решением уравнения Лапласа в двумерном случае, можно записать следующее интегральное тождество: где Г представляет собой гладкую границу (без углов и изломов) области Q; и(М), q(M) - искомая функция и ее производная по нормали к границе; у (М), q{M) - фундаментальное решение уравнения Лапласа и его производная по нормали к границе.
В работах [30], [37], [46] показано, что уравнение (2.27) в случае неограниченной области О, (например, область Омгэ на рис. 2.3) сохраняет вид, так как результирующий вклад бесконечно удаленной границы (граница Г гэ на рис. 2.3) равен нулю.
Другим преимуществом МГЭ по сравнению с методом вторичных источников является возможность ослабить требования к гладкости Г и включить в рассмотрение границы, имеющие ребра и углы [30]. Так, если взять точку N на границе Г в точке нарушения гладкости и учесть скачок первого интеграла в левой части равенства (2.27), то получим следующее граничное интегральное уравнение:
Для вычисления функции c(N) использована процедура, согласно которой предполагается, что постоянный по величине потенциал не по рождает потоков. Это утверждение позволяет при дискретизации уравнения (2.28) не вычислять коэффициенты, соответствующие значениям с(АГ), а получать их из уже найденных коэффициентов матриц МГЭ [30]. Применим МГЭ к нашей задаче относительно векторного потенциала. Так как область Пмгэ является немагнитной, то из системы (2.8) с учетом введенной калибровки Кулона (2.7) для векторного потенциала А получим уравнение Пуассона: ДА = -/iol- (2.29)
Уравнение (2.29) можно переписать в скалярной форме, так как все величины, входящие в него имеют только проекции на ось 0z: АА = -fi0j. (2.30)
Используя равенство (2.28), запишем интегральное уравнение по границе Гмгэ области Пшэ: — In — дпм rMN CNAN + / Ам-тг— In - —dM = = / QM In dM + й) / 3 M In dlM, J ГМЫ J ГМЫ гмгэ n (2.31) m dA{M) где fi = U Щ, QM = — , функция CN = c(N) равна внутреннему углу І=І " JVi дпм границы Гмгэ в точке N, пм — внешняя по отношению к окружающему пространству нормаль. Численное решение задачи при помощи МГЭ во многом подобно численной реализации МКЭ и выполняется в следующем порядке: - граница Гмгэ разбивается на совокупность элементов {Г9} . На полученном разбиении вводится система финитных функций {у?гК=і« Предполагается, что внутри элементов потенциал и его нормальная производная описываются линейными комбинациями финитных функций. В нашем случае использовались линейные интерполирующие финитные функции; - используется метод кол локаций, согласно которому для отдельных узловых точек, распределенных на каждом элементе, записывается дискретная форма уравнения (2.31), связывающего значения потенциала и его нормальной производной в каждом узле:
КМКиГЭ для расчета плоскомеридианных нестационарных электромагнитных полей
Применительно к решению поставленной в предыдущем разделе задачи расчета плоскомеридианного ЭМП (3.13)-(3.16) как и в плоскопараллельном случае был применен подход, основанный на КМКиГЭ.
Для использования КМКиГЭ исходную расчетную область, которая представляет собой половину сечения плоскостью, проходящей через ось симметрии (рис. 3.2), необходимо разбить на две части, в одной из которых будет применен МКЭ, а в другой, соответственно, МГЭ (рис. 3.3).
Часть расчетной области щЭ = U K3 в которой будет приме нен МКЭ, представляет собой в общем случае проводящие области, заполненные ферромагнитным материалом. Окружающее ЭМУ пространство, включающее в общем случае проводящие немагнитные области Qf (сечения обмоток), ток в которых задан и равномерно распределен, представляет собой часть расчетной области 2 f = Г2МГЭ U (Jfif, электромагнитное і поле в которой моделируется посредством МГЭ.
В каждой из областей nfK3 для расчета электромагнитного поля применим МКЭ. Представим область Г кэ в виде совокупности треугольных элементов {ftp}q=i- Введем на полученном разбиении систему финитных функций {(РІ} І обычным для МКЭ образом.
Для численной дискретизации уравнения (3.13) для функции пото ка Ф(М, t) используем аналогичный плоскопараллельному случаю подход, основанный на методе Галеркина.
Для области й кэ и функции ipi «слабая» формулировка метода будет выглядеть следующим образом:
Для решения задачи расчета электромагнитного поля в окружающем ЭМУ пространстве в соответствии с общей концепцией КМКиГЭ был использован МГЭ, модифицированный соответствующим образом.
Для получения интегрального уравнения МГЭ относительно функции потока Ф(г, z,t) сначала получено интегральное уравнение для а-проекции векторного потенциала А. Затем полученное уравнение переформулировано в терминах функции потока Ф = Аг.
Для получения интегрального уравнения МГЭ для векторного потенциала А в осесимметричном случае был использован подход, примененный в [30] для скалярного потенциала, удовлетворяющего уравнению Пуассона в трехмерном пространстве, заключающийся в получении двумерного граничного интегрального уравнения из трехмерного путем интегрирования обоих его частей по переменной а. — полярному углу цилиндрической системы координат (г, a, z). Однако здесь учитывалось, что потенциал в рассматриваемом случае является не скалярной, а векторной величиной.
В окружающем ЭМУ трехмерном пространстве векторный потенциал А удовлетворяет векторному уравнению Пуассона А А = —jij. Получим сначала интегральное уравнение МГЭ для векторной функции, удовлетворяющей этому уравнению в ограниченной замкнутой области V с границей Г, а затем распространим полученный результат на интересующий нас случай бесконечных областей.
Численное решение уравнения (3.31) получается путем сведения к СЛАУ, для чего, как и в плоскопараллельном случае, используется разновидность метода коллокаций. Граница Гмгэ представляется в виде совокупности элементов {Г9}д=1, которые представляют собой стороны прилежащих к границе треугольных элементов nj,, на которые разбиваются области CtfT3 при решении внутренних задач при помощи МКЭ. Вводится совокупность финитных функций {ФІУІ=І {г — число узлов разбиения Гмгэ, не лежащих на оси симметрии), равных единице в соответствующем узле і и нулю в прилежащих узлах. Функция потока Ф(Л ) и ее нормальная производная 0(iV) представляются через свои значения в узлах элементов разбиения границы и интерполируются линейно вдоль Гмгэ:При попадании точки наблюдения і в один из концов отрезка интегрирования Г гэ возникают интегралы, имеющие логарифмическую особенность, поэтому их вычислению должно быть уделено особое внимание. В остальных случаях интегралы вычисляются численно с использованием квадратурной схемы Гаусса.
Константа с согласно (3.26) равна 27Г в точках гладкости границы рМГЭ rjyCTb точка наблюдения N лежит на ребре. Тогда, учитывая, что геометрия рассматриваемых ЭМУ обладает осевой симметрией, в малой окрестности этой точки можно считать, что ребро образуют две пересекающиеся плоскости. Предположим, что рассматриваемую поверхность Г можно дополнить малой областью Г, являющейся частью сферы радиуса є с центром в точке N.
На рис. 3.4 изображено сечение сферы плоскостью, перпендикулярной ребру и проходящей через точку N. Как видно из рис. 3.4, рассматриваемые грани составляют с осью Or углы а\ и о Проведем аналогию между векторным и скалярным уравнением Лапласа (внутри рассматриваемой сферы плотность токов проводимости j = 0). Векторное уравнение представляет собой систему из трех скалярных уравнений Лапласа для проекций векторного потенциала Af,f = x,y,z.
Экспериментальные исследования и численное моделирование ОЛАД
В 2003-2004 гг. автор проходил научную стажировку на кафедре ме-хатроники Технического Университета г.Ильменау (Германия), одним из научных направлений работы которой являются исследования в области разработки различных типов многокоординатных приводов. В настоящее время на кафедре мехатроники ведется работа по созданию многокоординатного привода TRIPLANAR (рис. 4.2), в которой принял участие автор.
Этот многокоординатный привод представляет собой платформу треугольной формы, три «ноги» которой расположены на шаговых двигате 109 лях, каждый из которых может осуществлять произвольные перемещения на плоскости и, таким образом, обладает двумя степенями свободы. В результате платформа обладает шестью степенями свободы и при одновременном перемещении каждой из «ног» может совершать произвольные перемещения в пространстве. Область применения станков, построенных на основе подобных механизмов, может быть достаточно широкой и включать те отрасли производства, где необходима высокая точность позиционирования, скорость, надежность, чистота технологического процесса (например, лазерная резка и сварка, сверхточная обработка и сборка деталей, высокие технологии). Недостатками подобных многокоординатных приводов являются прежде всего дороговизна как самих шаговых двигателей, так и вторичных элементов - статоров, которые должны иметь определенную структуру в соответствии с используемым типом шагового двигателя и, в следствие этого, достаточно дороги в производстве, что может служить также фактором, сильно ограничивающим допустимые размеры самого многокоординатного привода. Поэтому уже несколько лет в ТУ г.Ильменау ведется поиск альтернативных путей построения многокоординатных приводов, подобных TRIPLANAR. Наиболее перспективным представляется построение многокоординатных приводов на базе односторонних линейных асинхронных двигателей (ОЛАД). На рис. 4.3 представлен один из возможных вариантов построения двухкоординатного двигателя — основы «ног» TRIPLANARa - на базе ОЛАД.
Такой привод получил название многокоординатного асинхронного привода. Преимущества при использовании асинхронных двигателей очевидны. Это простота исполнения и низкая себестоимость как первичной части — самого асинхронного мотора, так и вторичной части, которая представляет собой просто толстый лист электротехнической стали, покрытый тонким слоем меди или аллюминия. К недостаткам можно отнести сложность управления таким двигателем. Как видно из рис. 4.3, основным элементом асинхронного двухкоординатного привода является ОЛАД. В рамках сотрудничества между ТУ Ильменау и ЮРГТУ(НПИ) к этой работе была подключена кафедра «Прикладная математика». Задачей автора было создание инструментария, позволяющего моделировать ОЛАД в нестационарных режимах работы, а также оптимизация разработанной модели ОЛАД. Эта задача явилась главным движущим элементом для создания ЧПК MAGiC. Далее приводятся результаты решения поставленной задачи моделирования ОЛАД в нестационарных режимах и сравнение результатов расчета силовых характеристик ОЛАД с экспериментальными данными.
При разработке на кафедре мехатроники ТУ Ильменау концепции двухкоординатного асинхронного привода рассматривались несколько вариантов конструкции ОЛАД. Критериями здесь являлись, во-первых, как можно меньшие размеры двигателя при заданной минимальной плотности тягового усилия на единицу длины индуктора; во-вторых, максимизация плотности тягового усилия при плотности тока в обмотках j — 5... 10 А/мм и, в-третьих, приемлемое тепловыделение при указанных значениях плотности тока в обмотках. В результате лучшей по совокупности характеристик стала конструкция ОЛАД, приведенная на рис. 4.4. Оптимизация конструкции ОЛАД проводилась «вручную» при варьировании геометрических параметров ОЛАД и последующем расчете с целью выбора лучшего варианта. Как будет показано в разделе 5, такой грубый инструментарий оптимального проектирования не позволил определить оптимальные геометрические параметры ОЛАД.
