Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Численный расчет сложных электрических цепей. Состояние вопроса и постановка задачи исследования.
1.1. Современные программы анализа электронных схем 14
1.2. Трудности решения систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени 16
1.3. Актуальность задачи расчета сложных электрических цепей 22
1.4. О способах решения систем линейных алгебраических уравнений при анализе сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени 32
1.5. Анализ сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени на основе явных и неявных методов численного интегрирования 37
1.6. Постановка задачи и цели исследования 44
1.7. Выводы 46
Глава 2. Анализ сложных электрических цепей на основе обобщения метода Эйлера.
2.1. О возможности получения формулы, связыващеи точное решение уравнений состояния электрических цепей с результатами их приближенного численного анализа 47
2.2. Основные формулы - развитие и обобщение предлагаемого способа решения уравнений состояния электрических цепей на основе их приближенного численного анализа методом Эйлера 50
2.3. О реализации предложенного подхода с использованием приближенного анализа электрических цепей на основе неявных методов 61
2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений электрических цепей с помощью обобщенного метода Эйлера 67
2.5. Выводы 70
Глава 3. Разработка алгоритмов и программ анализа сложных электрических цепей обобщенным методом Эйлера.
3.1. Алгоритм обобщенного метода Эйлера для решения уравнений состояния электрических цепей . 71
3.2. Описание программ решения уравнений состояния электрических цепей обобщенным методом Эйлера 74
3.3. Алгоритм обобщенного метода Эйлера для анализа линейных электрических цепей по постоянному току или в установившемся синусоидальном режиме 41
3.4. Описание программы анализа линейных электрических цепей по постоянному току обобщенным методом Эйлера 80
3.5. Практические рекомендации по использованию программ обобщенного метода Эйлера 82
3.6. Выводы 84
Глава 4. Эффективность обобщенного метода Эйлера для расчета сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.
4.1. О роли эксперимента для выяснения возможностей численного метода 85
4.2. Решение алгебраических систем уравнений электрических цепей обобщенным методом
Эйлера 87
4.3. Решение систем уравнений состояния электрических цепей обобщенным методом Эйлера 94
4.4. Выводы 116
Глава 5. Способ расчета переходных процессов в некоторых классах нелинейных электрических цепей.
5.1. Способ анализа некоторых классов нелинейных электрических цепей 117
5.2. Рекуррентная формула для нахождения разложения переменных состояния нелинейных электрических цепей в ряд Тейлора 121
5.3. Алгоритм решения систем уравнений состояния нелинейных электрических цепей с применением рядов Тейлора 123
5.4. Описание программы анализа нелинейных электрических цепей с использованием степенных рядов 126
5.5. Иллюстрирующие примеры 129
5.6. Практические рекомендации по использованию разработанной программы анализа нелинейных электрических цепей 142
5.7. Выводы 143
Глава 6. Применение разработанных методов и алгоритмов для исследования периодических режимов в цепях вторичных источников питания.
6.1. О методе аппроксимации линейного оператора для расчета установившегося периодического режима в нелинейных электрических цепях 144
6.2. Об использовании обобщенного метода Эйлера при расчете установившегося периодического режима в сложных нелинейных электрических цепях 151
6.3. Выводы 158
Заключение 159
Литература 161
Приложения 175
- Современные программы анализа электронных схем
- О возможности получения формулы, связыващеи точное решение уравнений состояния электрических цепей с результатами их приближенного численного анализа
- Алгоритм обобщенного метода Эйлера для решения уравнений состояния электрических цепей
- О роли эксперимента для выяснения возможностей численного метода
- Способ анализа некоторых классов нелинейных электрических цепей
Введение к работе
В решениях съездов КПСС, в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года" большое внимание уделяется энергетике и электронной технике. Развитие современной электроники и энергетики характеризуется устойчивой тенденцией к постоянному усложнению входящих в них устройств и электрических схем, описывающих эти устройства. Такая тенденция существенно усложняет расчет и проектирование приборов и устройств радиоэлектроники, автоматики, преобразовательной техники и энергетики, несмотря на широкое использование электронно-вычислительных машин.
Возникающие сложности весьма разнообразны. Они связаны с вопросами организации вычислений, применения методов, позволяющих оптимально использовать оперативную и внешнюю память ЭВМ, с формой хранения основных и промежуточных данных, характером и интея-. сивностью обмена информацией между оперативной памятью ЭВМ и внешними запоминающими устройствами и т.д. [ 18,31,47,56,59,108 ].
Однако, центральными при расчете электрических цепей и систем остаются задачи вычислительного характера, связанные не только со значительным увеличением затрат машинного времени при анализе сложных электронных схем, но и с возникновением принципиальных вычислительных проблем при большом разбросе постоянных времени в схеме (см.главу I).
По-видимому, невозможно создание абсолютно универсального метода, одинаково эффективного для расчета некоторого режима или режимов во всех классах электротехнических устройств. Поэтому разрабатываются комплексы алгоритмов и программ расчета электрических цепей, основанных на методах, взаимно дополняющих возможности - 7 -друг друга. Настоящая работа выполнена в рамках развития этой уже сложившейся тенденции.
Чем больше разброс постоянных времени в цепи, тем хуже обычно обусловленность систем уравнений, описывающих эту цепь. А значит, тем менее точно и быстро может быть получено ее решение обычными методами; потеря точности - основное затруднение при анализе электрических цепей с большим разбросом постоянных времени [ 19,37,51,75].
Способы, которые позволяют эффективно анализировать системы малой и средней размерности, часто оказываются непригодными при переходе к сложным электрическим цепям.
В то же время, большая размерность электрической цепи и описывающей ее системы уравнений сама по себе не есть необходимое условие наличия большого разброса постоянных времени в системе и плохой обусловленности соответствующих систем уравнений. Обусловленность системы уравнений, как таковая, связана (в первом приближении) с разбросом постоянных времени рассчитываемой цепи, то есть с разбросом собственных чисел матрицы системы и будет тем хуже, чем больше этот разброс, который может быть велик и при небольшой размерности системы уравнений [ 97,98,112,116,121 J. Поэтому плохая обусловленность и связанная с ней потеря точности решений часто возникает даже при анализе сравнительно простых цепей, описываемых системами невысоких порядков.
В связи с этим под сложными электрическими цепями далее будем понимать все электрические цепи, расчет которых из-за большого разброса их постоянных времени затруднителен.
Указанные вычислительные трудности имеют место при расчете как линейных, так и нелинейных цепей. Эти проблемы столь важны, что исследователи особо выделяют классы "неудобных" для расчета цепей и создают специальные методы их решения. Например, имеется обширная литература по исследованию так называемых жестких систем, которые характеризуются, как правило, большим разбросом постоянных времени [34,46,51,84,85,100,105,ПО,III] .
Задача анализа электрических цепей с большим разбросом постоянных времени возникает при расчете самых различных режимов в электрических цепях: при расчете энергетических систем и линейных электрических цепей в установившемся синусоидальном режиме, при анализе переходных процессов в электрических цепях на основе уравнений переменных состояния, при расчете нелинейных электрических цепей в установившемся периодическом режиме при периодических воздействиях и т.д.
К последней из упомянутых задач сводится, в частности, расчет электронных схем вторичных источников питания радиоэлектронной аппаратуры.
Подробное рассмотрение перечисленных основных задач анализа электрических цепей (см. главу I) позволяет сделать вывод о том, что практически все они сводят расчет электрических цепей к задаче многократного решения систем линейных алгебраических уравнений или же к близкой к ней задаче обращения матриц. Следовательно, эта задача образует одну из основных вычислительных задач расчета электрических цепей, и от того, насколько надежен алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений,.во многом зависит эффективность программы расчета электрической цепи в целом.
В большинстве программ анализа электрических цепей для реше- - 9 -ния систем линейных алгебраических уравнений используется алгоритм L1/-факторизации /7 73,79,105 3 . Однако, практика показывает, что этот метод не всегда эффективен в случае плохо обусловленных систем, возникающих при расчете сложных схем. Описанные в литературе специальные способы и алгоритмы решения таких задач, по-видимому, также не во всех случаях позволяют получить приемлемые результаты и, как правило, не учитывают специфики электрических цепей С 4,37,42,97,103,114,123 1 .
Поэтому актуальной является задача развития методов анализа сложных электрических цепей путем разработки способа решения систем линейных алгебраических уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени, а также соответствующего ему алгоритма и программного обеспечения. Решение этой задачи рассматривается во второй и третьей главах диссертации.
Принципиальные затруднения возникают также при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени. Явные методы, имеющие сравнительно простые вычислительные алгоритмы, обладают известным недостатком - потерей устойчивости даже при небольшом шаге расчета С 7,11,46,55,73,105 3 . Поэтому широко применяются более устойчивые неявные методы численного интегрирования. Однако, во-первых, они громоздки в вычислительном отношении, и, во-вторых, требуют решения систем алгебраических уравнений, что само по себе часто оказывается проблематичным Г 86 3 .
В связи с этим актуальна разработка такой модификации какого-либо простого метода численного интегрирования (например, метода Эйлера), которая позволила бы, сохранив преимущества явных методов, значительно увеличить шаг расчета систем линейных дифференциальных уравнений электрических цепей. Эта задача решается - 9 -ния систем линейных алгебраических уравнений используется алгоритм L 17 -факторизации [73,79,105]. Однако, практика показывает, что этот метод не всегда эффективен в случае цепей с большим разбросом постоянных времени. Описанные в литературе специальные способы и алгоритмы решения таких задач, по-видимому, также не во всех случаях позволяют получить приемлемые результаты и, как правило, не учитывают специфики электрических цепей [4,37,42,97,103,104,114,123 ] .
Поэтому актуальной является задача развития методов анализа сложных электрических цепей путем разработки способа решения систем линейных алгебраических уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени, а также соответствующего ему алгоритма и программного обеспечения. Решение этой задачи рассматривается во второй и третьей главе диссертации.
Принципиальные затруднения возникают также при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени. Явные методы, имеющие сравнительно простые вычислительные алгоритмы, обладают известным недостатком - потерей устойчивости даже при небольшом шаге расчета [ 7,11,46,55,73,105 ]. Поэтому широко применяются более устойчивые неявные методы численного интегрирования. Однако, во-первых, они громоздки в вычислительном отношении, и, во-вторых, требуют решения систем алгебраических уравнений, что само по себе часто оказывается проблематичным [ 86 J .
В связи с этим актуальна разработка такой модификации какого-либо простого метода численного интегрирования (например, метода Эйлера), которая позволила бы, сохранив преимущества явных методов, значительно увеличить шаг расчета систем линейных дифференциальных уравнений электрических цепей. Эта задача решается во второй и третьей главах диссертации.
В работе также рассматривается задача отыскания достаточно эффективного явного метода расчета некоторых классов нелинейных цепей. Базой для разработки такого метода явилось использование аппарата степенных рядов, в частности, рядов Тейлора [ 5,12,22, 80,81,82 ] . Эта задача решается в пятой главе данной работы.
В главе 6 описывается применение разработанных методов и алгоритмов для исследования вынужденных режимов в цепях вторичных источников питания.
Все сформулированные выше задачи были поставлены и решены в рамках единой цели, определяющей содержание данной работы -усовершенствование существующих и разработка новых методов и алгоритмов для расчета сложных электрических цепей.
Новые результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем:
Доказано, что имеет место формула, связывающая точное решение системы уравнений состояния линейной (линеаризованной) электрической цепи с приближенным решением, полученным на основе явного метода Эйлера.
На основе полученной формулы разработан метод решения уравнений состояния сложных линейных (линеаризованных) электрических цепей с большим разбросом постоянных времени (обобщенный метод Эйлера).
Разработан способ решения одной из основных и актуальных составных частей общей задачи анализа электрических цепей с большим разбросом постоянных времени - способ расчета сложных линейных электрических цепей по постоянному току; способ наиболее эффективен для того случая, когда задача анализа электрической цепи встречает принципиальные вычислительные затруднения, связанные с - II - большим разбросом постоянных времени в схеме.
Разработаны алгоритмы и соответствующие їм программы для анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени предложенными методами.
Установлена эффективность предложенных методов и алгоритмов для анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.
Предлагается методика использования алгоритмической структуры разработанных методов (см. п.п.2-3) в аппарате применения рядов Тейлора для расчета переходных процессов в некоторых классах нелинейных электрических цепей; разработаны соответствующие алгоритм и программа. Преимуществами метода являются сравнительно высокая точность и возможность увеличения точности без изменения расчетных формул и перестройки алгоритма и программы, реализующей метод. Последнее обстоятельство особенно важно, когда возникает необходимость в оценке достоверности (погрешности) расчета режима цепи, и при выполнении расчетов цепей, требующих значительной точности.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Метод решения одной из основных составных частей общей задачи анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени - метод анализа сложных линейных электрических цепей по постоянному току. Метод наиболее эффективен для того случая, когда задача анализа электрической цепи встречает принципиальные вычислительные затруднения, связанные с большим разбросом постоянных времени в схеме. Алгоритм и программа, реализующие метод.
Способ анализа переходных процессов в сложных линейных (линеаризованных) электрических цепях с большим разбросом по- стоянных времени, обладающий повышенной числовой устойчивостью и точностью по отношению к шагу расчета. Соответствующие алгоритм и программа.
Обоснование эффективности предложенных методов и алгоритмов для анализа электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.
Методика расчета переходных процессов в некоторых классах нелинейных электрических цепей на основе использования алгоритмической структуры методов п.п.1-2 "Основных положений, выносимых на защиту" в аппарате применения рядов Тейлора. Соответствующие алгоритм и программа.
По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференции профессорско-преподавательского состава Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института в 1984 году, на конференциях профессорско-преподавательского состава Ленинградского ордена Ленина электротехнического института им.В. И. Ульянова (Ленина) в 1979 и 1982 годах, на городском семинаре "Автоматизация проектирования электронных цепей" (Ленинград, 1980 год), на Всесоюзной школе-семинаре "Автоматизация проектирования средств вычислительной техники и перспективы применения микропроцессоров" (Минск, 1978 год), на Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы преобразовательной техники" (Киев, 1979 год), на 26 международном коллоквиуме в г.Ильменау (ГДР) в 1981 году (ZGXHTERNATIONALES V/ISSENSCHAFTLlCHES KOLLOQVlM - ІЗ -
I9tf, T&CHNISCH& HOCHSCHULE ILMEMt/, VOfiTRA&StBlHE Ai . Theoretische EiextrotechпСк-)ь на УП и IX Всесоюзном совещании-семинаре "Актуальные проблемы автоматизации проектирования ЭВМ" в 1979 и 1981 годах; материалы диссертации были использованы в главе 2 книги "Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ" под ред.Л.В.Данилова и Е.С.Филиппова (М.: Радио и связь, 1983).
В диссертации применена следующая нумерация формул, таблиц и рисунков: первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа в данной главе, третья - порядковый номер формулы, таблицы или рисунка в данном параграфе. Формулы в приложении 4 на первом месте имеют дополнительно индекс "ГГ.
Современные программы анализа электронных схем
Расчет все более усложняющихся устройств современной электроники и энергетики возможен практически только с помощью комплексов программ анализа соответствующих электрических цепей. В настоящее время такие пакеты прикладных программ существуют как у нас в стране, так и за рубежом [2,6,20,49,58,78,90 J .
В [ 6 ] выполнено сравнение ряда отечественных и некоторых зарубежных программ анализа электронных схем на основе расчета с их помощью специально подобранных тестовых примеров. Исследованы возможности и эффективность таких программ как АРОПС и СПРОС (МАИ), ПАУМІ и ПАУМ2 (МИЭМ), СПАРС (КПИ), ЭЛАИС (МИФИ), ПАРМ (МВТУ).
Комплекс прикладных программ СПАРС, в частности, привлекает внимание высокой универсальностью и широкими возможностями всестороннего исследования нелинейных и линейных схем в статическом режиме, во временной и частотной областях, возможностью получения символьно-операторных выражений передаточных функций линейных и линеаризованных схем и т.д. [ 78 ].
Однако, сделать вывод о безусловно наибольшей эффективности какого-либо одного или нескольких из названных пакетов программ (и отечественных, и зарубежных) оказалось затруднительным. Такая ситуация, как отмечается в [ 6 ], вероятно, не случайна и объясняется тем, что все исследованные программы используют, по сути дела, методы одного класса - узловой метод (или его модификации) и неявные методы численного интегрирования.
Отсюда следует, что дальнейший прогресс в области схемотехнического проектирования электронных схем в значительной степени определяется усовершенствованием имеющихся и разработкой новых способов расчета электрических цепей. При этом на первом плане оказывается задача расчета электронных схем с большим разбросом постоянных времени, который затрудняет интегрирование систем дифференциальных уравнений и приводит к плохой обусловленности систем линейных алгебраических уравнений, описывающих электрические цепи [ 13,46,66,70,71,81,105 ] .
Как показывает практика расчетов, существующие алгоритмы решения названных систем уравнений (в том числе и используемые в упомянутых пакетах программ) не всегда дают удовлетворительные результаты, особенно если размерность решаемой системы достаточно велика и достигает 200-300 единиц и более.
Это связано, как правило, с плохой обусловленностью матриц соответствующих уравнений. Обратимся к численной характеристике обусловленности матрицы системы уравнений и к выяснению практических последствий плохой обусловленности этих матриц при расчетах электрических цепей.
О возможности получения формулы, связыващеи точное решение уравнений состояния электрических цепей с результатами их приближенного численного анализа
Задача решения систем линейных дифференциальных уравнений, описывающих электрические цепи, является одной из важных задач анализа электрических цепей (см.введение, главу I). Она может быть самостоятельной задачей, например, при решении систем уравнений переменных состояния, или же возникает как составная часть общей задачи анализа цепи, например, при расчете кусочно-линеаризованных электронных схем методом припасовывания.
В качестве переменных состояния обычно выступают напряжения (заряды) на емкостях и токи (потокосцепления) в индуктив-ностях. Размерность векторов Лил такая же, как и размерность квадратной матрицы /4 , то есть равна П .
Алгоритм обобщенного метода Эйлера для решения уравнений состояния электрических цепей
Алгоритм обобщенного метода Эйлера для решения уравнений состояния линейных (линеаризованных) электрических цепей опирается на формулу (2.2.18), полученную в предыдущей главе и имеющую вид.
В - const Ш- вектор-столбец свободных членов системы; Си 6 4,2,,..- результаты С -го шага интегрирования сие темы (3.1.2) явным методом Эйлера так, как это было изложено в главе 2. Предлагаемый алгоритм решения систем вида (3.1.2) на основе соотношения (3.1.I) состоит в следующем:
I. Выбирают шаг расчета по явному методу Эйлера h и, выполняя этот расчет, находят коэффициенты dp- ряда (3.I.I). Как показано в главе 2, этот ряд сходится при любом значении h » так что принципиальных ограничений на величину шага h не накладывается. Однако, при достаточно большом А расходимость явного метода Эйлера может быть столь существенной, что либо произойдет переполнение разрядной сетки ЭВМ, либо сходимость ряда в (3.1.I) будет слишком медленной.
О роли эксперимента для выяснения возможностей численного метода
Применение обобщенного метода Эйлера для решения системы линейных алгебраических уравнений не требует обращения матрицы этой системы и использует простой в вычислительном отношении явный метод Эйлера. Поэтому можно ожидать, что применение метода окажется эффективным при расчете электрических цепей с большим разбросом постоянных времени. Однако, фактическая проверка этого предположения возможна только на основе числового эксперимента. Соображения о решающей роли эксперимента в апробации численных методов неоднократно подчеркивались такими известными специалистами, как А.Н.Тихонов, В.В.Воеводин и др. [18,19,21,93,122] .
В период написания диссертации в литературе, насколько известно автору, не существовало общепринятого набора задач для тестирования методов численного анализа современных электрических цепей. Поэтому в качестве контрольных примеров ниже приводятся задачи либо уже использовавшиеся исследователями для тех же целей, либо возникавшие в процессе работы автора.
Во всех примерах указывается только матрица А соответствующей системы алгебраических или дифференциальных уравнений. В качестве истинного решения для систем алгебраических уравнений принимается единичный вектор-столбец X , в противном случае сделаны оговорки. Вектор свободных членов системы алгебраических уравнений определяется умножением матрицы А на вектор истинных решений X с двойной точностью. Если в комментарии к расчету принятое нулевое приближение не названо, то оно полагалось равным нулю. Заметим, что по результатам исследований В.В.Воеводина (Москва, Вычислительный центр МГУ им.М.В.Ломоносова) "между лучшими прямыми методами нет принципиальной разницы с точки зрения их устойчивости к ошибкам округления в случае решения не очень плохо обусловленных систем уравнений, и ни один из них не позволяет решать плохо обусловленные системы уравнений" [ 18] , соответствующие схемам с большим разбросом постоянных времени. Это замечание особенно актуально в связи с тем, что в настоящее время потребности в решении систем уравнений сложных электрических цепей, по-видимому, существенно опережают возможности имеющихся методов их решения.
Способ анализа некоторых классов нелинейных электрических цепей
По-видимому, невозможно создание абсолютно универсального метода, одинаково эффективного для расчета переходных процессов во всех классах электротехнических устройств. Поэтому теория электротехники развивается в направлении накопления методов и алгоритмов, взаимно дополняющих возможности друг друга (см.введение, главу І). В рамках этой уже сложившейся тенденции и предлагается данный способ расчета переходных процессов в некоторых классах нелинейных электрических цепей.
Очень многие устройства современной электроники и радиотехники представляют собою, по существу, диодно-транзисторные схемы, для расчета которых широко применяются физические модели полупроводниковых элементов (например, модель Эберса-Молла) f 105 ]. Эти модели обычно включают в себя кроме линейных элементов, нелинейные емкости и резисторы. В качестве переменных состояния обычно принимают напряжения (заряды) на емкостях и токи (потокосцепления) в индуктивно-стях f 71 ].
Опыт использования степенных рядов в обобщенном методе Эйлера (см.главы 2-4, приложение 4) позволяет предположить, что аппарат степенных рядов может оказаться эффективным для анализа нелинейных электрических цепей, описываемых системами уравнений вида (5.I.I). Дцея применения таких рядов (в частности, рядов Тейлора) для решения системы (5.I.I) может быть реализована следующим образом.
