Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Математические модели изображений марковского типа с дискретными аргументами 13
1.1. Постановка задачи 14
1.2. Математические модели полутоновых изображений 14
1.3. Модель 1 бинарного марковского изображения 21
1.4. Модель 2 бинарного марковского изображения 26
1.5. Марковская модель цифрового полутонового изображения 31
Выводы по главе 1 35
ГЛАВА 2. Синтез алгоритмов фильтрации бинарных марковских изображений 36
2.1. Постановка задачи 37
2.2. Уравнения двумерной фильтрации бинарных изображений 38
2.3. Квазиоптимальный алгоритм фильтрации бинарных изображений 46
Выводы по главе 2 55
ГЛАВА 3. Синтез алгоритмов фильтрации цифровых полутоновых изображений 56
3.1. Постановка задачи 57
3.2. Двумерная фильтрация полутоновых изображений 58
3.3. Устойчивость устройств нелинейной фильтрации изображений к неточности априорных данных 77
Выводы по главе 3 81
ГЛАВА 4. Адаптивная фильграции полутоновых изображений . 82
4.1. Постановка задачи 83
4.2. Адаптации по данным на входе приёмного устройства (Метод 1) 85
4.3. Адаптация но данным на выходе приёмного устройства (Метод 2) 104
4.4. Адаптивный алгоритм фильтрации полутоновых изображений 114
Выводы по главе 4... 121
Заключение 122
Список использованных источников
- Математические модели полутоновых изображений
- Уравнения двумерной фильтрации бинарных изображений
- Двумерная фильтрация полутоновых изображений
- Адаптации по данным на входе приёмного устройства (Метод 1)
Введение к работе
Актуальность проблемы. Цифровая обработка сигналов - интенсивно развивающаяся научная область, которая находит все более широкое применение в различных информационных технических системах: радиолокационных, связных, телевизионных и т.д. В настоящее время традиционная аналоговая техника повсеместно в мире заменяется более совершенной - цифровой, преимущества которой с точки зрения ее помехоустойчивости, гибкости и качества обработки информации общеизвестны. В то же время, объемы передаваемой по каналам связи информации постоянно растут, особенно при переходе на новый информационный уровень: от текста к векторной графике, далее - к статическим растровым изображениям, к видео и т.д. В связи с этим цифровая обработка изображений, ввиду ее особой важности, выделилась в самостоятельную область науки, в которую вовлечено огромное количество высококвалифицированных специалистов и всемирно известных компаний.
В свою очередь, появление области науки, занимающейся обработкой изображений и её практические результаты, обусловлены тем, что обрабатываемые данные обладают большой статистической избыточностью. Проблема использования статистической избыточности изображений с целью повышения помехоустойчивости их приема является актуальной и приводит к необходимости совершенствования известных и разработки новых методов обработки изображений на приемной стороне. При этом преобразование непрерывной информации в цифровую на передающей стороне можно упростить, а на приемной стороне ресурсы на реализацию устройств обработки удается минимизировать применением простых, но эффективных алгоритмов, максимально реализующих статистическую избыточность для повышения качества воспроизведения передаваемой информации. Разработку подобных алгоритмов и устройств обработки изображений, в силу специфики преобразования информации, предпочтительней вести на основе теории нелинейной фильтрации. При этом для сокращения количества вычислений очень важно получение рекуррентных алгоритмов обработки.
Общая теория оптимальных методов статистической обработки информации в нелинейных системах разработана достаточно хорошо. Большой вклад в теорию нелинейной фильтрации внес Р.Л.Стратонович. Дальнейшее развитие эти идеи получили в работах В.И.Тихонова, И.Н.Амиантова, Ю.Г.Сосулина, М.А.Миронова, М.С.
Ярлыкова, А.Н.Ширяева, Б.И.Шг хі№р>№иі!МиІІМКЯ|ова, В.В.Янши
на, А.А.Спектора, А.И. Перова, Е.П.Петрова, Н.Нахи, А.Хабиби, А.Акаси, Т.С.Хуанга и др.
Проблема восстановления изображений, искаженных шумами, несмотря на огромное число работ, посвященных ей, остается актуальной. Это вызвано, прежде всего, широким распространением различного рода систем передачи изображений на расстояние с обработкой их в реальном масштабе времени. Использование в таких системах классических методов, основанных на преобразованиях Фурье, Адамара, Корунена-Лоева и др. (Ярославский Л.П., Прэтт У., Залмансон Л.А., Шафер Р.В.), требует значительных вычислительных ресурсов для их реализации. Часто эффективные алгоритмы, обладающие высоким качеством обработки, при попытке прямого использования их к задачам фильтрации изображений, т.е. в случае двумерных сигналов, приводят к большим вычислительным трудностям и на порядки увеличивают объёмы требуемой оперативной памяти. Поэтому реализовать их на практике для обработки изображений в реальном масштабе времени удается далеко не всегда.
В связи с этим наибольший интерес представляют быстрые алгоритмы обработки изображений, несложные в реализации. Из известных быстрых алгоритмов следует отметить алгоритмы, основанные на методе медианной фильтрации (Хуанг Т.С, Прэтт У.), а также эвристические алгоритмы квазиоптимальной фильтрации двоичных изображений марковского типа, работающие по принципу одномерной векторной фильтрации (Рейгель В.И., Васюков В.Н.). Однако медианные фильтры, хорошо подавляющие импульсные помехи, неэффективны при наличии "белого" гауссовского шума -из-за эффекта подавления полезного сигнала. Алгоритмы одномерной векторной фильтрации сильно зависят от точного знания ранее принятых элементов изображения, расположенных в соседней сверху строке. Отсюда следует, что задача получения быстрых алгоритмов фильтрации изображений, свободных от указанных недостатков, остается актуальной.
В области одномерной фильтрации были получены блестящие решения проблемы, основанные на использовании марковских моделей дискретнозначных процессов с двумя состояниями. Попытки распространить теорию условных марковских процессов на фильтрацию изображений предпринимались неоднократно, но не привели к созданию достаточно эффективных и простых алгоритмов.
Еще более сложной задачей является фильтрация цифровых полутоновых изображений, в которых цифровые выборки представ-
ляются двумерными многоуровневыми импульсными сигналами. Задача фильтрации одномерных многоуровневых дискретных процессов, аппроксимированных цепью Маркова с несколькими значениями впервые решена Амиантовым И.Н. Однако сложность полученных им уравнений фильтрации быстро растет с увеличением числа дискретных значений, поскольку алгоритм должен хранить в памяти и оперировать с матрицами вероятностей перехода размер-
m m
ностью 2 х2 , где т - разрядность, с которой квантуется яркость изображения. При таких условиях вычислительная сложность алгоритма фильтрации очень велика и реализация подобного фильтра для работы в реальном масштабе времени не представляется возможной.
Данная проблема решается в диссертации путём использования оригинального подхода, заключающегося в представлении полутонового изображения в виде композиции из т независимых бинарных сечений, каждое из которых является двумерным марковским процессом с двумя значениями. Таким образом, задача фильтрации многоуровневых сигналов с 2 значениями математически сводится к хорошо разработанной задаче фильтрации импульсных сигналов с двумя значениями, и вместо матриц размерностью 2 х2 элементов, в алгоритме используется т матриц размерностью 2x2. Это позволило значительно сократить объём вычислений и обеспечить их параллельность, обрабатывая независимо каждый из т разрядов при помощи однотипных вычислительных блоков.
При отсутствии априорных данных о степени корреляции элементов изображения предложенный подход упрощает построение адаптивных алгоритмов фильтрации двумерных изображений, работающих в реальном масштабе времени.
Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка, на основе представления коррелированных изображений двумерными случайными марковскими процессами с дискретнознач-ными аргументами, алгоритмов оптимальной, квазиоптимальной и адаптивной нелинейной фильтрации и синтеза на их основе структур приёмных устройств для восстановления изображений, искаженных белым гауссовским шумом.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Разработка математической модели цифровых полутоновых изображений марковского типа с дискретными аргументами, адекватной реальным цифровым полутоновым изображениям.
-
Разработка и исследование устройств оптимальной нелинейной фильтрации цифровых полутоновых изображений, являющихся двумерными марковскими процессами.
-
Разработка и исследование устройств квазиоптимальной нелинейной фильтрации цифровых полутоновых изображений.
-
Разработка и исследование адаптивных алгоритмов фильтрации цифровых полутоновых изображений.
Методы исследования. При решении поставленных задач в диссертационной работе использовались методы статистической теории связи, теории условных марковских процессов, теории оптимальной нелинейной фильтрации, теории вероятности и математической статистики, статистической теории выбора и принятия решений, линейной и булевой алгебры. При разработке программного обеспечения применялись методы объектно-ориентированного проектирования программных систем.
На защиту выносятся следующие результаты, развитые или впервые полученные в настоящей работе;
-
Двумерная-математическая модель цифровых полутоновых изображений марковского типа с дискретными аргументами.
-
Оптимальный рекуррентный алгоритм и соответствующее устройство нелинеййой фильтрации цифровых полутоновых изображений марковского типа с дискретными аргументами на фоне белого гауссовского шума.
-
Квазиоптимальный алгоритм и соответствующее устройство нелинейной фильтрации цифровых полутоновых изображений.
-
Адаптивный алгоритм и соответствующее устройство нелинейной фильтрации цифровых полутоновых изображений.
-
Результаты качественных и количественных исследований эффективности и устойчивости разработанных алгоритмов нелинейной фильтрации цифровых полутоновых изображений.
Научная новизна результатов заключается в следующем:
-
Разработаны математические модели цифровых полутоновых изображений, адекватных двумерным марковским процессам с дискретными аргументами, не требующих для своей реализации больших вычислительных ресурсов.
-
Предложены и разработаны оптимальный и квазиоптимальный алгоритмы нелинейной фильтрации цифровых полутоновых изображений, представляющих двумерные марковские процессы с дискретными аргументами, отличающиеся высокой эффективностью
использования статистической избыточности для восстановления изображений, искаженных белым гауссовским шумом, по сравнению с известными оптимальными алгоритмами, при значительно более простой реализации.
3. Предложены и разработаны адаптивные алгоритмы нелинейной фильтрации цифровых полутоновых изображений без предварительного обучения, отличающиеся высокой эффективностью и требующие для своей реализации минимальных технических и временных ресурсов.
Практическая значимость. Практические результаты диссертационной работы могут быть использованы для фильтрации бинарных и полутоновых изображений, искаженных аддитивным белым гауссовским шумом, в системах обработки изображений, работающих в режиме реального времени: телевидения, видеонаблюдения, картографии, и т.д. Результаты, полученные в данной работе, используются в учебном процессе при проведении лабораторных работ по дисциплинам "Основы статистической радиотехники", "Современные системы связи", "Телевизионные устройства" и др. студентами специальностей 201500 и 201800.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих НТК:
"Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж - в 2003/04гг.);
"Цифровая обработка сигналов и ее применение" (Москва -2003г.);
"Наука - производство - технология - экология" (Киров - в 2003/04гг.);
59-й научной сессии Российского НТОРЭС имени А.С. Попова, посвященной Дню радио (Москва, 2004 г.);
7-й международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии" (Санкт-Петербург, 2004 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано учебное пособие «Методы цифровой обработки изображений» и 14 работ, из них 8 статей и 6 публикации в сборниках тезисов докладов научно-технических конференций.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Она изложена на 131 страницах машинописного текста, содержит 38 рисунков и 2 таблицы, библиографический список включает в себя 88 источников.
Математические модели полутоновых изображений
Для создания и исследования алгоритмов обработки изображений необходимо располагать ММ изображения. К моделям предъявляются два основных требования - адекватность реальным изображениям и достаточно простое математическое описание. Эти требования являются противоречивыми, поскольку стремление точно описать реальное изображение приводит к усложнению ММ.
При построении ММ необходимо учитывать требования к алгоритму обработки изображений. Общими требованиями являются высокая скорость и эффективность работы, а также несложная аппаратная реализация. В достаточной степени таким требованиям удов-летворяют ММ, представляющие собой каузальные случайные поля на многомерных сетках [48], которые также наиболее соответствуют дискретному характеру цифровых изображений.
Наиболее изученными являются авторегрессионные ММ случайных полей (АРММ) [5,8,46,49]. Так в [8] доказано, что любую случайную величину с заданной корреляционной функцией можно аппроксимировать АРММ с конечным размером окрестности.
Например линейная гауссовская АРММ имеет следующий вид: где а- - весовые коэффициенты; Lj - область локальных состояний; ,- - система независимых гауссовских случайных величин. Одним из простейших вариантов линейных АРММ является так называемая "трехточечная" модель, иногда называемая по имени автора работы [30] "модель Хабиби": \j = PXXt-l,j +PyX,,j-l - PxPyXt-X,j-X + где px и py коэффициенты корреляции между соседними по строке или столбцу элементами изображения, соответственно.
Наиболее существенные недостатки данной модели - множи-тельность корреляционных функций и отсутствие на полученных с её помощью искусственных изображениях резких переходов и границ между отдельными областями, что не вполне соответствует реальным изображениям. Последнее является следствием учета в ней только ближайших связей между элементами изображения, не смотря на попытки расширить область локальных состояний (увеличение порядка марковости) предпринятых в [49]. Применение этих моделей на практике ограничено в связи с отсутствием на данный момент решений, позволяющих вычислять коэффициенты АРММ для заданной корреляционной функции.
Обобщением ряда моделей является так называемая "волновая" модель [47], в которой СП S определяется равенством: S{x,t)= /( , ; u,,Tt; юД (1.3) lira} где х = (xlsx2,...,хп), u = \u,,uii...iui) - точки «-мерного пространства; t,r, - время; {(и,,г,)} — дискретное поле случайных точек; СО, - вектор случайных параметров функции.
К недостаткам данной модели следует также отнести излишнюю гладкость получаемых полей. Кроме того, для формирования такого поля требуются существенные вычислительные затраты. Наконец, в настоящее время не решен и представляется весьма сложным вопрос об аналитическом представлении законов распределения вероятностей волновых моделей.
Более точно реальным изображениям соответствуют изображения, полученные по алгоритмическим ММ-[46]. В таких ММ изображение может рассматриваться как сумма двух независимых компонент: кусочно-гладкой, определяющей глобальные контуры, и высокочастотной, задающей текстуру контуров, или как результат прохождения некоторого порождающего текстурного поля через систему из стандартных блоков, соединённых между собой по определённым правилам. Подобные ММ, однако, отличает значительная вычислительная сложность (в том числе и из-за нерекуррентности процедур), а также сложность решения задачи синтеза изображения по заданным параметрам.
Наиболее общей характеристикой случайного процесса является совместная плотность вероятностей. В случае, когда изображение ц определено на сетке размерами NxN, совместная плотность вероятностей для гауссова случайного процесса с нулевым средним, представляющим изображение, может быть найдена по формуле: где R - ковариационная матрица изображения; ft матрица элементов изображения размером NxN\ AJ - определитель ковариационной матрицы; Т - знак транспонирования.
Моделирование изображения по заданной совместной плотности вероятности может быть произведено одним из методов моделирования непрерывных или дискретных случайных величин (тип величины определяется типом элементов матрицы [і) одним из методов, описанных в [36]. Данный подход к моделированию является наиболее общим и позволяет моделировать изображения с произвольной корреляциионной матрицей. При этом изображение может представлять и негауссовский случайный процесс. Недостатки этого метода очевидны: для моделирования реальных изображений необходимо создать ковариационную матрицу с числом элементов, равным квадрату числа элементов изображения, что для большинства изображений является практически нереализуемым.
Таким образом, достаточно полное решение проблемы описания реальных изображений в настоящее время отсутствует. Известные модели СП соответствуют реальным изображениям лишь по ограниченному числу параметров (формам корреляционной функции, распределение амплитуд и т.п.), или отличаются высокой вычислительной сложностью.
Уравнения двумерной фильтрации бинарных изображений
Необходимо на основе представления коррелированных бинарных изображений случайными двумерными марковскими процессами (полями) с дискретными аргументами найти алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации и на их основе синтезировать структуры ПУ для восстановления бинарных изображений, искаженных белым гауссовским шумом n(t) с параметрами (О, ап ),
Рассмотренные в предыдущей главе математические модели изображений позволяют дать адекватное описание сигналов в целом ряде систем извлечения информации. В таких системах, как правило, сигналы передаются по каналам связи, в которых присутствуют помехи. Одними из наиболее общих можно считать искажения сигналов аддитивным гауссовым шумом. При- этом- возникает ряд задач обработки сигналов на фоне помех, наиболее сложной из которых является задача фильтрации.
К настоящему времени предложены различные методы восстановления искаженных шумами бинарных изображений. Так для фильтрации бинарных изображений часто применяются модифицированные медианные алгоритмы [4,24], отличающиеся своей простотой. Однако, медианный фильтр работает эффективно когда его апертура симметрична относительно фильтруемого элемента, а это не соответствует требованию каузальности, кроме того, медианный фильтр плохо справляется с белым гауссовским шумом, не работает при малых отношениях сигнал/шум приводя к подавлению полезного сигнала. Расширение апертуры фильтра позволяет увеличить эффективность медианного фильтра в этих условиях, однако при этом резко возрастает количество выполняемых на каждом шаге операций.
Другой широко распространенный подход состоит в применении двухэтапной фильтрации изображения с помощью одномерных фильтров [62] - сначала по горизонтали, а затем уже отфильтрованного изображения - по вертикали. Очевидным недостатком такого подхода также является то, что он не удовлетворяет требованию каузальности, а значит его нельзя применить для обработки в реальном масштабе времени, кроме того метод требует объема памяти для хранения полного кадра изображения.
Таким образом, общими требованиями к разрабатываемому алгоритму являются высокая скорость и эффективность работы, несложная аппаратная реализация, а также представление исходного сигнала в цифровой форме и удовлетворение требованию каузальности. Данным требованиям удовлетворяет аппроксимация бинарных изображений двумерными марковскими процессами с двумя дискретными состояниями (бинарными марковскими полями) [39-41,59].
Пусть в +1"м такте работы системы в интервале Т = t i —t іередается один элемент бинарного изображения с помощью сигнала si\ij А, дискретный параметр которого и,;,- (частота, фаза и т.п.) принимает одно из двух возможных состояний Mi, М - Будем считать, что последовательность ц( Л образует двумерную стационарную цепь Маркова на НСПП с вероятностями состояний P\ Pi и условными вероятностями перехода Pkiqr=w(v{hj)=Mk\\i{i- \J) =Mf; / \ / А (2Л) ц(/,у-1)=;Ц;ц(/-1,/-1)= MJ, где і = l,m; j = l,n; n x m - размер поля изображения; k,l.,q,r = 1,2. Для марковской цепи априорное распределение рар состояний параметра может быть с учетом (1.8) и (1.9) представлено в виде [16]: раДц(1Д),ц(1,2),...,ц(/-1, Д \i(i - 1,/ - \\]x(ij -1)) = -ЯйДм(и),ц(1Д),й(2Л)Ц (2Д)ц(1Л),ц(1Д) (2Д))х...х (2.2) х w(n( ,7 )W Л К О»К 1 / - !))
Так как по условию, шум искажающий изображение белый, то функцию правдоподобия для последовательности сигналов изображения можно записать в следующей форме [16]: /(д(1Д);ц(1,2);...;ц(2Д);ц(2,2);...;ц(/- \j)\\x(ij)) = \ і J (2.3) = ехр ЁЁ/(ц(?,г)) Vg=lr=l і где /(ц( г,г)) - логарифм функции правдоподобия параметра двоичного элемента изображения ( П С учетом (2.1), (2.2) и (2.3) апостериорное распределение дискретного параметра двумерного поля изображения будет иметь вид раДл(1Д), ц(1,2),..., ц(2Д), ц(2,2),..., ц(і -1, Д ц(іу /)) = - с expjt 1/( ))) ( (1,1) (1,2), ц(2Д)) x х Цц(2,2)іи(іД), ц(і,2), ц(2Д)) х...х х w(n(/,y)jx(/- 1,Дц(і,у- І),ц(і-1,/-1)), (2.4) где с - коэффициент нормировки.
Интегрируя (2.4) по всем значениям параметра ц, получим уравнение финальной апостериорной вероятности: -40-/?ac(v4) = c exp{/(v4)}jJJpac(v1,v2,v3)x x w(y4\vuv2,v3jdvldv2dv3, где = (/-1,;); v2 = n(/,/-l); v3 = n(/-l,y-l); v4 = n(/j). Непосредственно реализация уравнения (2.5) затруднена из-за многомерного характера апостериорной плотности вероятности и плотности вероятности перехода в правой части. Преодолеть это препятствие можно, если учесть сделанные ранее предположения относительно модели двумерного марковского поля, в котором корреляционная связь между элементами поля с параметрами V3 и V4 является следствием корреляции элементов поля по горизонтали и вертикали. Вся априорная информация о значении дискретного параметра jUjj двоичного сигнала изображения с координатами (ij) содержится в подынтегральном выражении (2.5) Учитывая свойства сложной цепи Маркова и предположения, сделанные при построении пространственной модели двумерного марковского процесса с дискретными аргументами в гл. 1 представим подынтегральное выражение в (2.5) в форме:
Двумерная фильтрация полутоновых изображений
Необходимо на основе представления коррелированных полутоновых изображений случайными двумерными марковскими процессами (полями) с дискретными аргументами найти алгоритмы оптимальной нелинейной фильтрации и на их основе синтезировать структуры ПУ для восстановления полутоновых изображений, иска женных белым гауссовским шумом n(t) с параметрами (0, с„ ).
Проблема восстановления изображений, искаженных шумами, несмотря на огромное число работ, посвященных ей, остается-актуальной. Это вызвано, прежде всего, широким распространением различного рода систем передачи изображений на расстояние с обработкой их в реальном масштабе времени. Использование в таких системах классических методов, основанных на преобразованиях Фурье (дискретном или быстром), Адамара, Корунена-Лоева и др., требует значительных вычислительных ресурсов для их реализации [5]. Часто эффективные алгоритмы, обладающие высоким качеством обработки, при попытке прямого использования их к задачам фильтрации изображений, т.е. в случае двумерных сигналов, приводят к большим вычислительным трудностям и на порядки увеличивают объёмы требуемой оперативной памяти [30,31]. Поэтому реализовать их на практике для обработки изображений в реальном масштабе времени удается далеко не всегда.
В связи с этим наибольший интерес для практики представляют быстрые алгоритмы обработки изображений, несложные в реализации. Из известных быстрых алгоритмов следует отметить алгоритмы, основанные на методе медианной фильтрации [7,29], а также эвристические алгоритмы квазиоптимальной фильтрации двоичных изображений марковского типа, работающие по принципу одномерной векторной фильтрации [31]. Однако медианные фильтры, хорошо подавляющие импульсные помехи, неэффективны при наличии белого гауссовского шума — из-за эффекта подавления полезного сигнала. Алгоритмы одномерной векторной фильтрации сильно зависят от точного знания ранее принятых элементов изображения, расположенных в соседней сверху строке. Отсюда следует, что задача получения быстрых алгоритмов фильтрации изображений, свободных от указанных недостатков, остается актуальной.
Статистическая избыточность, свойственная типичным полутоновым изображениям, присуща также и бинарным сечениям, на которые оно разбивается при цифровом представлении элементов изображения. Это свойство является следствием утверждения, доказанного в теореме (глава 1). Используя представление оцифрованного полутонового изображения как набор бинарных сечений и= результаты, полученные в главе 2 по фильтрации бинарных изображений получим уравнения фильтрации цифровых полутоновых изображений.
Полагаем, что изображение передается по цифровым каналам связи в присутствии белого гауссовского шума n(t) с нулевым сред-ним и дисперсией сгп . Квантованные элементы изображения являются последовательностью т— разрядных двоичных чисел Ум(и) = {/м(и) »- у№і{и)} гДе = 0,1 (/х у); йіС -У) " !-й разряд двоичного числа. Будем считать, что разряды y\l\\hj) передаются по каналу связи в интервале времени Т — tk —tk одновременно и независимо друг от друга с помощью импульсных сигналов, дискретный параметр которых принимает значения М\ и Мг.
Тогда сигнал, соответствующий двоичному числу yk+l(/,/), можно представить в виде: вектор дискретных параметров двоичных сигналов. Векторы ф +1 ( " ./) представляют собой элементы дискретного марковского поля с 1 = 2 состояниями.
Используя результаты, полученные в главе 2 при синтезе устройств обработки двоичных изображений и учитывая что цифровое полутоновое изображение представимо в виде т двоичных сечений, уравнение фильтрации полутоновых изображений представим как систему из т уравнений вида (2.11): ui4iJ) = f{M«\iJ)) f{M«\iJ))+u% 1 = 1,т (3.2) fk+i\Mi V J)) fk+iW2 (hJ/j - разность логарифмов функций правдоподобия значений дискретного параметра двоичного сигнала /-го разряда числа yk+l(i,j)l pj (qr,r)(i = 1,2) апостериорные вероятности значений дискретного параметра в /-м разряде элемента изображения y(q,r), соответствующего q-й строке и r-му столбцу.
Адаптации по данным на входе приёмного устройства (Метод 1)
Возьмем за основу адаптивного алгоритма фильтрации бинарных изображений уравнение (2.11): Учитывая, что вся априорная информация о статистической зависимости элементов изображения сосредоточена в слагаемых вида: а именно, в значениях элементов переходных матриц, то для построения адаптивного алгоритма нелинейной фильтрации необходимо выбрать способ вычисления оценки элементов матриц вероятностей перехода (МВП), входящих в уравнения нелинейной фильтрации (4.1).
Учитывая, что последовательность бинарных элементов изображения по строке является цепью Маркова с двумя состояниями Mi и Мг и матрицей вероятностей переходов вида (1.6), то для построения алгоритма адаптивной фильтрации двоичных изображений воспользуемся результатами, полученными в [28]. Вероятность события, заключающегося в том, что серия из п тактов содержит только значения Mi или Ма, равна W (я)=А -( Д -ЛО)" 7, /=1,2, (4.3) где: Pi — априорная вероятность для значения М,-; &ii =\\ KUfl J) - вероятность отсутствия перехода от одного значения к другому; ?() - дельта-функция; М% , (/ = 1,2] - возможные значения элемента марковской цепи.
Среднюю длину последовательности двоичных символов одно % — \р) (среднюю длину цуга) можно определить как; го знака X =X" W W. п=1 (4.4) Подставив выражение (4.4) в формулу (4.3), получим для X % = р, Z in ! S(w " к« )Г = Продифференцировав выражение (4.5) с дельта-функцией [75], получим окончательное выражение для средней длины цуга: _ 2Pi X -J— i=U2. (4.6) Зная X из формулы (4.6) определим -7 2р
Вычисление точного значения % для на бесконечно большом интервале для практики неприемлемо, поэтому ограничимся его оценкой X І полученной на г-и шаге адаптации, равном % — гк1 тактов работы системы. Выбрав соответствующим образом kt, оценку X можно вычислить, подсчитав количество одинаковых символов М] или Мг для Л реализаций сигнала и шума на входе нелинейного фильтра за г шагов адаптации: « = «, (4.8) 1=1 где л- - количество одинаковых символов 0 или 1 на 7-м шаге адаптации. Тогда средняя длина цуга может быть найдена из выражения Л (г) Ка -- )- (4.9) Из выражения (4.9) следует, что с увеличением к оценка f (г) «(г) л(г-]) (г) стремится к X. Обозначим - К -я . Тогда, если w 0, где 0 - заданная величина, определяющая точность вычисления оценки #"„ , то принимается „ - Я"„ и процесс адаптации завершается. При этом оценка вероятности перехода =1- ) (4-Ю) где X - оценка средней длины цуга, состоящего из одинаковых символов 0 или 1 на r-м шаге адаптации; в0 - заданная точность вычисления оценки тги .
Оценка Я"ц получена при наличии шума n(t) на входе ПУ, т.е. при любой статистике будет отличаться от истинного значения вероятности перехода яи. Различие между истинным значением я„ и её оценкой Я„ будет тем больше, чем меньше отношение сиг-нал/шум по мощности сигнала рэ на входе ПУ. Зависимость оценки А 2 Яи от Я"н для различных рэ на входе ПУ является линейной (рис. 4.1). Угол наклона 9 графиков на рис. 4.1 зависит от отношения сигнал/шум рэ и с увеличением рэ стремится к 6 = 45. Это позволило получить формулу, с помощью которой можно уточнить 2 оценку 7tn для различных рэ .
