Содержание к диссертации
Введение
1. Параметризация одномерных и двумерных вейвлет-функций. синтез вейвлет-фильтров
1.1. Предпосылки параметризации и синтеза одномерных вейвлет-фильтров
1.2. Разработка нового алгоритма параметризации одномерных вейвлет-фильтров
1.3. Синтез одномерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью
1.4. Предпосылки параметризации и синтеза двумерных вейвлет-фильтров
3.2. Разработка нового алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций
1.2. Синтез двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью
1.3. Краткие выводы
2. Сжатие сигналов при помощи оптимизированных одномерных вейвлет-фильтров
2.1. Постановка задачи
2.2. Разработка критерия оптимизации вейвлет-фильтров
2.3. Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов
2.4. Алгоритм синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров
2.5. Краткие выводы
3. Сжатие изображений при помощи оптимизированного вейвлет-разложения стандартной кратности
Постановка задачи
Разработка критерия оптимизации двумерных вейвлет-фильтров
Расчет оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров
Результаты применения оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров (одноуровневая схема обработки)
Многоуровневая обработка изображения
Краткие выводы
4. Сжатие изображений при помощи оптимизированного вейвлет-разложения высокой кратности
Постановка задачи
Разработка критерия оптимизации двумерных вейвлет-фильтров для вейвлет-разложений нестандартной кратности
Расчет двумерных оптимизированных вейвлет-фильтров для 16-кратного разложения
Краткие выводы
Заключение
Список литературы 134
- Разработка нового алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций
- Синтез двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью
- Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов
- Результаты применения оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров (одноуровневая схема обработки)
Введение к работе
Актуальность работы и обзор литературы
В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, использующие в своей работе методы вейвлет-обработки, получили широкое распространение. Это объясняется теми возможностями, которые обеспечивают вейвлет-функции, и в первую очередь, частотной и временной локализацией. Вейвлеты и основанные на них вейвлет-преобразования были предложены в начале 1990-х годов на основе модифицированных алгоритмов работы с банками фильтров [1-6] и в последующее время интенсивно развивались. Большой вклад в разработку теоретических основ вейвлетов внесли Мейер (Meyer) [7], Добеши (Daubechies) [8, 9] и Маллат (Mallat) [10], опубликовавшие первые теоретические работы в этом направлении. Основная масса книг и статей в области вейвлет-преобразований опубликована за рубежом. В России интерес в вейвлетам активизировался несколько позднее - в середине 1990-х годов. Несмотря на то, что основополагающая работа Добеши (Daubechies) [8] относится к началу 1990-х годов, на русском языке она впервые появилась только в 2001 году [11]. Именно на этот временной интервал и приходится публикация на русском языке ряда основополагающих материалов по вейвлетам. Это переводные работы Чуй К., Уэлстида С, Блатера К. [12-14] и работы отечественных авторов (например, Короновский А. [15]). Но до выхода в свет указанных фундаментальных русскоязычных материалов, работа отечественных исследователей строилась на базе зарубежных материалов и небольших отечественных статьях (например, [16]). Особо хочется отметить прекрасную обзорную статью, ориентированную на начинающих заниматься этим предметом и интересующихся его применением, с демонстрацией вейвлет-преобразований некоторых сигналов, опубликованную в журнале УФН в 1996 г. (автор Астафьева Н.М., [17]), и вызвавшую широкий интерес к теме вейвлетов. В ней рассмотрены непрерывные вейвлет-преобразования, дающие наглядное и зрелищное представление результатов анализа сигнала в виде локальных минимумов и максимумов и скелетонных графиков вейвлет-коэффициентов. В настоящее время опубликованы сотни книг и тысячи статей по вейвлетам (например, [18]-[27]), отличающихся различным подходом к центральной теме. Интерес вызывает работа Перебина А.В. [22], где раскрыт вопрос о систематизации терминологии вейвлет-преобразований. Вейвлет-фильтры представляют собой частный случай реализации банков фильтров, поэтому развитие теории банков-фильтров в настоящее время также определяет и развитие направления вейвлетов. В связи с этим хочется отметить вклад отечественных ученых в развитие этого направления (Миронов В.Г, Чобану М.К. и др. (цикл работ [23-27]).
При рассмотрении большинства алгоритмов, связанных с вейвлетами, обработка одномерных сигналов и изображений сводится к фильтрации. Теоретические исследования, касающиеся представления вейвлет-анализа сигналов посредством процедуры фильтрации с использованием обычных цифровых фильтров, проведены еще в начале 1990-х годов ([8-10] и др.). Например, основным критерием, которому должен удовлетворять цифровой фильтр, претендующий на использование при вейвлет-обработке - это свойство квадратурно-зеркальности. Свойства и некоторые вопросы синтеза квадратурно-зеркальных фильтров изложены в работах [1-6, 25,26]. В связи с простотой представления вейвлет-анализа в рамках теории цифровых фильтров, и учитывая большой объем материала, накопленный по вопросам представления и синтеза одномерных и многомерных цифровых фильтров, в диссертации изложение материала и проведение различных исследований в рамках вейвлет-преобразований выполнено с позиций цифровой фильтрации. При этом использовался материал по цифровой фильтрации, представленный в работах Хемминга Р. Каппелини В., Гольденберга Л.М. и др. [28-31].
Одними из важнейших объектов исследования в данной работе являются параметризация и синтез одномерных и двумерных вейвлет-функций. Наличие некоторых степеней свободы при определении одномерного вейвлета (а особенно двумерных вейвлетов) позволяет рассчитывать вейвлет-функции с различными наперед заданными частотными и временными свойствами. Использование вейвлет-функции с различной частотной избирательностью позволяет расширить применимость вейвлетов и использовать их в задачах согласованной фильтрации, распознавания образов (например, при распознавании различных примитивов - дуг, линий) [32-36]. В настоящее время интерес к вейвлет-функциям со специфичными свойствами возрос. Это объясняется расширением области применения вейвлетов и полнотой исследования свойств и применений классических вейвлет-функции.
Вопросы параметризации вейвлетов в литературе изложены с позиций параметризации банков фильтров путем конкретизации [25, 26, 37-39]. К основополагающим работам относятся работы Зоу (Zou Н.) [37] и Поллена (Pollen D.) [38]. Однако следует отметить, что представленные работы касаются вопросов параметризации одномерных вейвлет-функции. Так же к ним можно свести параметризацию и разделимых двумерных вейвлет-функции, а для представления двумерных неразделимых вейвлет-функции нужен уже другой математический аппарат. Вопрос параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функции также является одним из объектов исследования в диссертации. Основное использование их - в задачах обработки изображений.
При рассмотрении изображения как единой структуры (а не как совокупности отдельных строк и столбцов), представляется возможным выявить дополнительные закономерности и заложить их в структуру неразделимого вейвлет-фильтра. В результате повышается качество обработки - снижается мощность ошибки восстановленного сигнала, увеличивается достоверность обнаружения конкретного примитива в зашумленном сигнале и т.п.
Неплохие результаты обработки изображений получаются при совместном использовании методов вейвлет-преобразований и стандартных методов обработки изображений. Например, для синтеза двумерного вейвлет б
фильтра в диссертации используется новое параметрическое представление амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра и решение стандартной фазовой задачи (расчет фазочастотной характеристики, используя значения амплитудно-частотной характеристики). В настоящее время теории и практической реализации методов обработки изображений посвящено много работ. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича А.В. [40-46].
Выше отмечалось, что оптимизация вейвлет-функции под временные и частотные свойства обрабатываемого изображения позволяет поднять общее качество обработки. Среди публикаций, имеющих дело с оптимизированным выбором анализирующего вейвлет-фильтра, рассмотрены работы Ваттерли (Vetterli М.), Моулин (Moulin P.), Claypoole R., Baraniuk R., Charith G., Abhayaratne K., Jones E,, Runkle P., Новикова Л.А. ([47-54]). В работе [48] представлены два алгоритма адаптивного вейвлет-сжатия, основанные на лифтинг-схеме: оператор предсказывания корректируется либо на каждом масштабе, либо на каждом шаге в схеме лифтинга в заданных пределах. По аналогии с [48], в работе [47] разработан критерий оптимальной интерполяции в схеме лифтинга для операторов предсказывания и коррекции (причем предсказывание осуществляется на каждом шаге лифтинга). Дополнительный интерес представляет работа Новикова Л.А. [54], в которой проведена взаимосвязь согласованной фильтрации и оптимального вейвлет-преобразования и приведена процедура синтеза вейвлетов с учетом априорной информации о форме сигнала и корреляционной функции шума.
Второе основное направление оптимизированного вейвлет-преобразования связано с выбором и сохранением только избранных коэффициентов многоуровневого вейвлет-разложения; адаптация осуществляется на втором этапе - на этапе выбора коэффициентов вейвлет-разложения. Ключевыми понятиями здесь являются "оптимизация дерева нулей" и алгоритм SPIHT. Среди публикаций, касающихся оптимального выбора коэффициентов вейвлет-разложения, рассмотрены работы Чобану М.К., Черникова А.В., Шапиро (Shapiro J.M.) [55-57].
Методы оптимизации вейвлет-функций и адаптивного выбора коэффициентов вейвлет-разложения являются в задачах сжатия дополняющими друг друга. При использовании в разложении различных вейвлет-функций, получаются различные наборы коэффициентов вейвлет-преобразования и к каждому из наборов применимы методы "оптимизации нуль-деревьев". Основной вопрос адаптивного вейвлет-преобразования, рассмотренный в диссертации - оптимизация частотной избирательности ВФ. При сжатии изображений с помощью вейвлетов оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтра является первичной стадией обработки, последующие стадии -отбор и неравномерное квантование коэффициентов разложения - направлены на оптимизацию представления результатов первой стадии. Поэтому в первую очередь работа направлена на оптимизацию вейвлет-функций и набор представляемых результатов ориентирован на сопоставление с результатами обработки, полученными при использовании прочих методов оптимизации.
Одно из направлений вейвлет-обработки связано с распознаванием образов. В рамках данного направления также представлены работы, связанные с оптимальным выбором вейвлет-фильтров под различные критерии. Например, в работе [32] проведено исследование влияния различных критериев вейвлет-фильтра - гладкости, линейности фазочастотной характеристики (ФЧХ) - на точность распознавания текстуры изображения и в рамках конкретного критерия представлен выбор оптимального вейвлет-фильтра. В рамках этого направления хочется отметить работы Донохо [36, 58-61], являющиеся продолжением теории вейвлет-преобразования и посвященные синтезу особых функций бимлетов (Beamlets), риджлетов (Ridglets), отличающихся линейной частотно-временной локализацией и ортогональностью разложения. Основное преимущество их достигается в задачах распознавания линий, дуг в изображениях с высоким уровнем шума (особенно если мощность шума в разы превышает мощность изображения). В направлении оптимизированных вейвлет-преобразований выделяется цикл работ Лабунца В.Г., посвященный реализации три-адических вейвлет-преобразований для обработки цветных изображений (одна из работ - [62]).
Реализация любых из представленных выше алгоритмов цифровой обработки невозможна без использования общих методов цифровой обработки сигналов. Значительный вклад в разработку теории и алгоритмов цифровой обработки сигналов внесли зарубежные ученые: Найквист X., Гоулд Б., Рейдер Ч., Рабинер Л., Оппенгейм А., Шафер Р. и др. [63-65]. Большое значение имели также работы отечественных ученых: КотельниковаВ.А., Цыпкина Я.З., Трахтмана A.M., Ланнэ А.А., Карташева В.Г., Гольденберга Л.М., Матюшкина Б.Д., Поляка М.Н., Витязева В.В., Брюханова Ю.А. [66-74].
В процессе решения поставленных задач, зачастую проблема сводилась к чисто математическим задачам. Их решение выполнено при помощи различных учебников и статей [75-84].
По теме диссертации опубликовано 20 работ [85-104], в том числе две статьи в центральных рецензируемых журналах [103-104].
Цель исследования
Целью диссертационной работы является исследование и синтез одномерных и двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью, а также оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтров для сжатия сигналов и изображений.
Для достижения указанной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
- разработка алгоритма параметризации одномерных вейвлет-функций;
- разработка алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций;
- синтез двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью; - разработка критерия оптимизации одномерных вейвлет-фильтров для сжатия сигналов;
- исследование влияния частотных характеристик одномерных вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов после сжатия;
- расчет одномерных оптимизированных вей влет-фильтров;
- разработка критерия оптимизации двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для сжатия изображений;
- расчет двумерных оптимизированных вейвлет-фильтров для сжатия изображений.
Достоверность полученных научных результатов
Достоверность полученных научных результатов обусловлена применением адекватного математического аппарата, подтверждается их согласованностью с результатами проведенного компьютерного моделирования и сравнением ряда результатов с научными данными, известными из литературы.
Научная новизна
Научная новизна представляемых результатов состоит в следующем: предлагаются алгоритмы параметризации одномерных и двумерных вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием его необходимых свойств системой линейных уравнений в пространстве тригонометрических функций; выполнен расчет критериев оптимизации частотных характеристик одномерных и двумерных вейвлет-фильтров; представлен алгоритм синтеза одномерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия сигналов; разработан алгоритм синтеза двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений при стандартной кратности двумерного вейвлет-разложения, равной 4 (при одноуровневом вейвлет-разложении изображение раскладывается на четыре частотные плоскости); " получено обобщение алгоритма синтеза двумерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия изображений на высокие кратности двумерного вейвлет-разложения (при 16-кратном одноуровневом разложении изображение разбивается на 16 частотных плоскостей).
Практическая ценность
Представленные способы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций позволяют расширить применимость вейвлет-функций в задачах обработки сигналов и изображений за счет возможности расчета вейвлет-фильтров с заданными свойствами в пространственной и частотной областях.
Представленные алгоритмы расчета одномерных и двумерных вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью позволяют поднять отношение сигнал/шум восстановленного изображения за счет учета априорных данных о частотных свойствах обрабатываемого сигнала или изображения на этапе проектирования вейвлет-фильтров. Обобщение представленных алгоритмов расчета оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров на большую кратность вейвлет-разложения (например, 16) позволяет применять их в задачах сжатия изображений с высокими коэффициентами (при сжатии в 50-80 раз), добиваясь лучшего качества восстановленного изображения по сравнению со стандартными методами. Использование представленных в работе многочисленных теоретических расчетов по части преобразования спектров сигналов и изображений в задачах их сжатия и восстановления позволяет прогнозировать результативность применения вейвлет-фильтров (как стандартных, так и с заданными частотными свойствами) в различных практических приложениях цифровой обработки сигналов и изображений. " Рассчитанные оптимизированные вейвлет-фильтры с заданными частотными свойствами могут быть использованы в стандартных алгоритмах сжатия (JPEG2000nT.n.).
Представленные алгоритмы синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров допускают относительно простую аппаратную реализацию, в частности, на цифровых сигнальных процессорах.
Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту
1. Алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций на базе представления амплитудно-частотной характеристики соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом и заданием в пространстве тригонометрических функций его необходимых свойств системой линейных уравнений.
2. Критерии оптимизации частотных характеристик одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров для решения задачи сжатия-восстановления одномерных сигналов и изображений.
3. Алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с оптимизированной частотной избирательностью для сжатия сигналов и изображений.
Апробация
Результаты работы докладывались и обсуждались на: 2-оЙ, 3-ей, 6-ой, 7-ой, 8-ой Международной конференции "Цифровая обработка сигналов и ее применение", Москва, 1999, 2000,2004,2005,2006. V-ой, VI-ой Всероссийской научно-технической конференции «Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем», Чебоксары, 2003,2005. " Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, Ярославль, 2003.
V-ой Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике", Чебоксары, 2004. 14-ой Международной научно-технической конференции "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций", Рязань, 2005.
Международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии", Москва, 2005.
ХII-ой Международной научно-технической конференции "Радиолокация, навигация и связь", Воронеж, 2006.
61-ой Научной сессии, посвященной Дню радио, РНТОРЭС им. А.С. Попова, Москва, 2006.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и четырех приложений. Содержание работы изложено на 166 страницах (включая приложения на 22 страницах). Список литературы включает 104 наименования. В работе представлено 144 рисунка и 5 таблиц. Публикации
По теме диссертации опубликовано 20 научных работ, из них 4 статьи, в том числе две статьи в центральных рецензируемых журналах и две в сборниках докладов, а также 16 докладов на конференциях, в том числе 15 докладов на международных и всероссийских конференциях.
Благодарности
Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю - д.т.н., профессору Брюханову Ю.А. за неоценимую помощь при подготовке диссертации на всех этапах ее создания. Особая благодарность к.т.н., доценту Приорову А.Л., оказавшему большую поддержку при работе над диссертацией, за активное участие в обсуждении работы и помощь в ее оформлении. Опыт Приорова А.Л. позволил сделать диссертацию быстрее и лучше.
Благодарю своих коллег по лаборатории "Цифровые цепи и сигналы" за формирование взглядов в совместной работе. Отдельно хочется отметить Хрящева В.В., Тараканова А.Н., Лукашевича Ю.А., Волохова В.А., Моисеева А.А., Ласточкина А.В., Корепанова И.В., Буралкова Д.В., Маранова И.Б.
Отдельная благодарность моей семье за предоставленную возможность заниматься научной деятельностью.
Разработка нового алгоритма параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функций
В настоящее время методы цифровой обработки сигналов, использующие в своей работе методы вейвлет-обработки, получили широкое распространение. Это объясняется теми возможностями, которые обеспечивают вейвлет-функции, и в первую очередь, частотной и временной локализацией. Вейвлеты и основанные на них вейвлет-преобразования были предложены в начале 1990-х годов на основе модифицированных алгоритмов работы с банками фильтров [1-6] и в последующее время интенсивно развивались. Большой вклад в разработку теоретических основ вейвлетов внесли Мейер (Meyer) [7], Добеши (Daubechies) [8, 9] и Маллат (Mallat) [10], опубликовавшие первые теоретические работы в этом направлении. Основная масса книг и статей в области вейвлет-преобразований опубликована за рубежом. В России интерес в вейвлетам активизировался несколько позднее - в середине 1990-х годов. Несмотря на то, что основополагающая работа Добеши (Daubechies) [8] относится к началу 1990-х годов, на русском языке она впервые появилась только в 2001 году [11]. Именно на этот временной интервал и приходится публикация на русском языке ряда основополагающих материалов по вейвлетам. Это переводные работы Чуй К., Уэлстида С, Блатера К. [12-14] и работы отечественных авторов (например, Короновский А. [15]). Но до выхода в свет указанных фундаментальных русскоязычных материалов, работа отечественных исследователей строилась на базе зарубежных материалов и небольших отечественных статьях (например, [16]). Особо хочется отметить прекрасную обзорную статью, ориентированную на начинающих заниматься этим предметом и интересующихся его применением, с демонстрацией вейвлет-преобразований некоторых сигналов, опубликованную в журнале УФН в 1996 г. (автор Астафьева Н.М., [17]), и вызвавшую широкий интерес к теме вейвлетов. В ней рассмотрены непрерывные вейвлет-преобразования, дающие наглядное и зрелищное представление результатов анализа сигнала в виде локальных минимумов и максимумов и скелетонных графиков вейвлет-коэффициентов. В настоящее время опубликованы сотни книг и тысячи статей по вейвлетам (например, [18]-[27]), отличающихся различным подходом к центральной теме. Интерес вызывает работа Перебина А.В. [22], где раскрыт вопрос о систематизации терминологии вейвлет-преобразований. Вейвлет-фильтры представляют собой частный случай реализации банков фильтров, поэтому развитие теории банков-фильтров в настоящее время также определяет и развитие направления вейвлетов. В связи с этим хочется отметить вклад отечественных ученых в развитие этого направления (Миронов В.Г, Чобану М.К. и др. (цикл работ [23-27]).
При рассмотрении большинства алгоритмов, связанных с вейвлетами, обработка одномерных сигналов и изображений сводится к фильтрации. Теоретические исследования, касающиеся представления вейвлет-анализа сигналов посредством процедуры фильтрации с использованием обычных цифровых фильтров, проведены еще в начале 1990-х годов ([8-10] и др.). Например, основным критерием, которому должен удовлетворять цифровой фильтр, претендующий на использование при вейвлет-обработке - это свойство квадратурно-зеркальности. Свойства и некоторые вопросы синтеза квадратурно-зеркальных фильтров изложены в работах [1-6, 25,26]. В связи с простотой представления вейвлет-анализа в рамках теории цифровых фильтров, и учитывая большой объем материала, накопленный по вопросам представления и синтеза одномерных и многомерных цифровых фильтров, в диссертации изложение материала и проведение различных исследований в рамках вейвлет-преобразований выполнено с позиций цифровой фильтрации. При этом использовался материал по цифровой фильтрации, представленный в работах Хемминга Р. Каппелини В., Гольденберга Л.М. и др. [28-31].
Одними из важнейших объектов исследования в данной работе являются параметризация и синтез одномерных и двумерных вейвлет-функций. Наличие некоторых степеней свободы при определении одномерного вейвлета (а особенно двумерных вейвлетов) позволяет рассчитывать вейвлет-функции с различными наперед заданными частотными и временными свойствами. Использование вейвлет-функции с различной частотной избирательностью позволяет расширить применимость вейвлетов и использовать их в задачах согласованной фильтрации, распознавания образов (например, при распознавании различных примитивов - дуг, линий) [32-36]. В настоящее время интерес к вейвлет-функциям со специфичными свойствами возрос. Это объясняется расширением области применения вейвлетов и полнотой исследования свойств и применений классических вейвлет-функции.
Вопросы параметризации вейвлетов в литературе изложены с позиций параметризации банков фильтров путем конкретизации [25, 26, 37-39]. К основополагающим работам относятся работы Зоу (Zou Н.) [37] и Поллена (Pollen D.) [38]. Однако следует отметить, что представленные работы касаются вопросов параметризации одномерных вейвлет-функции. Так же к ним можно свести параметризацию и разделимых двумерных вейвлет-функции, а для представления двумерных неразделимых вейвлет-функции нужен уже другой математический аппарат. Вопрос параметризации двумерных неразделимых вейвлет-функции также является одним из объектов исследования в диссертации. Основное использование их - в задачах обработки изображений.
При рассмотрении изображения как единой структуры (а не как совокупности отдельных строк и столбцов), представляется возможным выявить дополнительные закономерности и заложить их в структуру неразделимого вейвлет-фильтра. В результате повышается качество обработки - снижается мощность ошибки восстановленного сигнала, увеличивается достоверность обнаружения конкретного примитива в зашумленном сигнале и т.п.
Неплохие результаты обработки изображений получаются при совместном использовании методов вейвлет-преобразований и стандартных методов обработки изображений. Например, для синтеза двумерного вейвлет- фильтра в диссертации используется новое параметрическое представление амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра и решение стандартной фазовой задачи (расчет фазочастотной характеристики, используя значения амплитудно-частотной характеристики). В настоящее время теории и практической реализации методов обработки изображений посвящено много работ. Наиболее известными в данной области являются работы Прэтта У., Ярославского Л.П., Зубарева Ю.Б., Дворковича В.П. и Дворковича А.В. [40-46].
Выше отмечалось, что оптимизация вейвлет-функции под временные и частотные свойства обрабатываемого изображения позволяет поднять общее качество обработки. Среди публикаций, имеющих дело с оптимизированным выбором анализирующего вейвлет-фильтра, рассмотрены работы Ваттерли (Vetterli М.), Моулин (Moulin P.), Claypoole R., Baraniuk R., Charith G., Abhayaratne K., Jones E,, Runkle P., Новикова Л.А. ([47-54]). В работе [48] представлены два алгоритма адаптивного вейвлет-сжатия, основанные на лифтинг-схеме: оператор предсказывания корректируется либо на каждом масштабе, либо на каждом шаге в схеме лифтинга в заданных пределах. По аналогии с [48], в работе [47] разработан критерий оптимальной интерполяции в схеме лифтинга для операторов предсказывания и коррекции (причем предсказывание осуществляется на каждом шаге лифтинга). Дополнительный интерес представляет работа Новикова Л.А. [54], в которой проведена взаимосвязь согласованной фильтрации и оптимального вейвлет-преобразования и приведена процедура синтеза вейвлетов с учетом априорной информации о форме сигнала и корреляционной функции шума.
Синтез двумерных вейвлет-фильтров с заданной частотной избирательностью
Выбор оптимального базиса вейвлетов для кодирования изображения в общем случае является трудной и вряд ли решаемой задачей. Известен ряд критериев построения оптимального базиса, среди которых наиболее важными являются: гладкость, точность аппроксимации, величина области определения, частотная избирательность фильтра. Тем не менее, наилучшая комбинация этих свойств неизвестна. Способом обработки изображения, получившим наибольшее распространение, является последовательное разложение изображения по строкам и столбцам. Применительно к двумерным ВФ, такой вид обработки соответствует использованию разделимых двумерных фильтров, импульсная характеристика которых есть тензорное произведение импульсных характеристик соответствующих одномерных фильтров. Пусть ф(х), \у(х) - есть масштабирующая функция и соответствующая вейвлет-функция, тогда двумерный вейвлет-базис образован сдвигами и растяжениями трех базисных функций\/1,\/2,Ч/з:
При использовании такого представления ВФ, частотная плоскость изображения разбивается на четыре области.
Более сложный вариант синтеза двумерных вейвлет-функций - выбор неразделимого базиса. Созданный на его базе неразделимый вейвлет-фильтр позволяет более гибко подойти к задаче синтеза вейвлет-фильтра с заданной частотной избирательностью. Классический способ представления неразделимого вейвлет-базиса - построение двумерной масштабирующей функции р(х,у) и соответствующих ей трех ортогональных вейвлет-функций. При обработке плоскость изображения разбивается на четыре плоскости. Необходимо уточнить, что здесь и далее рассматриваются только полутоновые изображения. Следует отметить, что представление неразделимого вейвлет-базиса на базе трех пространств не является единственным, в литературе представлены также алгоритмы формирования двумерных неразделимых вей влет-базисов на базе масштабирующей функции у(х,у) и одной или двух вейвлет-функций (например, методы двумерного лифтинга [11], "шахматная" схема разложения [84]).
В настоящем разделе осуществляется поиск оптимизированного двумерного вейвлет-базиса, соответствующего классической схеме разложения (на четыре частотные плоскости).
Один из вариантов повышения качества обработки изображения -использование оптимизированных одномерных ВФ, путем расчета соответствующего одномерного ВФ (по прямой аналогии с одномерным случаем) применительно к каждой строке или столбцу изображения, т.е. сведение проблемы поиска оптимального двумерного ВФ к одномерному случаю. Как оказалось, основной проблемой неприменимости процедуры поиска одномерных ВФ к двумерным сигналам, является фазовая рассогласованность соседних строк и столбцов - проявляется эффект ярко выраженной "гребенки". Выбор неразделимых фильтров обусловлен стремлением максимально обобщить результаты одномерного случая на двумерный случай.
В разделе решаются следующие задачи: - расчет оптимизированного двумерного неразделимого вейвлет-базиса, соответствующего классической схеме разложения (на четыре частотные плоскости). Представленный алгоритм синтеза оптимального двумерного вейвлет-фильтра осуществляет оптимизацию его частотной избирательности в соответствии с амплитудным спектром полутонового изображения с целью минимизации среднеквадратичной ошибки восстановленного изображения, причем при восстановлении используются только низкочастотные коэффициенты разложения (высокочастотные коэффициенты разложения устанавливаются равными нулю) - рис. 3.1; Выражение (3.1) есть свертка с последующей децимацией. Запишем данное выражение через операцию фильтрации: где Я (/01,,/(02) - Фурье-образ последовательности С)т, С\т = Сд? _j м т, а Kij hfal) Фурье-образ последовательности К[т, состоящей из нулей и единиц (К}т = 1, при I, т - четных одновременно, К[т = 0 - при прочих значениях /, т). Необходимо отметить, что в выражении (3.2) размеры двумерных последовательностей F и F одинаковы, после процедуры децимации недостающие отсчеты заменены нулями. С целью выяснить, как влияет процедура децимации на спектр исследуемого сигнала, рассмотрим произвольный двумерный сигнал у\п\,П2), где Y(j\,j2) " его спектр до операции децимации, a Y\(/со 1,70)2) " спектр после операции децимации
Влияние частотных характеристик вейвлет-фильтров на качество восстановления сигналов
Выполним расчет аппроксимирующего тригонометрического полинома (обозначим его Н (0)1,0)2))- Использование стандартного метода минимизации взвешенного среднеквадратичного отклонения к приемлемым результатам не привело, основные проблемы - полученный фильтр перестал относиться к классу квадратурно-зеркальных и большой объем вычислений при работе с фильтрами высоких порядков. Поэтому в работе использовался другой метод для формирования аппроксимирующего полинома. Выполняем сглаживание
Я (0)1,0)2) ПРИ помощи медианной фильтрации с маской фильтра 10x10 (для некоторых типов изображения для сглаживания Я (соі,со2) лучшие результаты дает использование ранговой фильтрации). Поверхность, полученную после сглаживания, обозначим как Нш (соі,со2)- Для того, чтобы искомый фильтр с АЧХ Н (щ,( 2) был квадратурно-зеркальным, выполним коррекцию области нижних частот для поверхности Нш (01,02): - разделяем частотную плоскость на две области: 0.ц (область нижних частот) и Qв (область верхних частот) - рис. 3.4; - переопределяем значения Еи (со \, со 2) в области О.и Таким образом, найдена аппроксимирующая функция Н (соj,со2) = 2л(оі,а 2), в первом приближении представляя все еще несколько ступенчатую функцию (рис. 3.56). При разложении ее в тригонометрический полином, количество высокочастотных коэффициентов остается неудовлетворительно большим. Поэтому в качестве заключительного этап расчета АЧХ можно было бы применить усечение "лишних" высокочастотных коэффициентов при помощи окон, однако, практические эксперименты показали, что процедура усечения на этом этапе излишняя, так как необходимая коррекция гладкости АЧХ в соответствии с требуемым порядком фильтра проходит успешно на последнем этапе - при расчете ФЧХ. Расчет фазовой характеристики проведен в соответствии с итерационным алгоритмом Герхберга. Основное отличие данной реализации расчета от приведенного выше (раздел 1) состоит в наличии двух дополнительных моментов: - для ускорения сходимости большое внимание уделено выбору модели фазовой характеристики (фазовая характеристика в нулевом приближении); - для снижения количества паразитных нулей фильтра предлагается коррекция коэффициентов импульсной характеристики при помощи функции окна. Реализация алгоритма расчета фазочастотной характеристики состоит из следующих этапов: 1. При использовании в качестве нулевого приближении ИХ псевдослучайного двумерного сигнала сходимость алгоритма довольно низкая, поэтому для ускорения сходимости экспериментально получена модель искомой импульсной характеристики в нулевом приближении / o( i , «2) (Рис- 3-6). 2. Вычисляется фазочастотная характеристика в нулевом приближении: 4. В связи с изначальной несогласованностью фазочастотной характеристики фильтра с ИХ {п\,п2) и известной АЧХ #(а і,а 2), размерность ИХ в первом приближении Аі(пь«2) довольная велика. Поэтому выполняется усечение h(nl nl) Д требуемой размерности МхМ. Использование прямоугольного окна для процедуры усечения приводит к появлению дополнительных паразитных нулей, что на частотной плоскости сопровождается резкими провалами функции j i (G I G 2 ) - Наилучшие результаты получены при использовании окна Гаусса (при порядке фильтра 60x60, 6 =2,9). Далее Ч (и1 nl) в усеченном варианте обозначим h\yce4 {щ,п2). 5. Вычисляется фазочастотная характеристика двумерного Фурье преобразования ИХ h\ уСеч (щ,п2): 6. Вычисляется вторая оценка ИХ, путем обратного Фурье-преобразования синтезируемой частотной характеристики #2(/001,./0)2) = Я( йі,а 2)е Юі (02 7. Далее процедура итерационно повторяется - уменьшение размерности, вычисления фазы и т.д. За оценку сходимости принята норма отклонения значений ИХ текущей итерации от значений ИХ предыдущей итерации: При достижении оценки єі некоторого порогового значения, процесс итерации прерывается. Результирующая импульсная характеристика представлена на рис. 3.7а. Квадрат АЧХ полученного фильтра представлен на рис. 3.76. При более точном рассмотрении формы АЧХ на рис. 3.76, кроме небольшой размытости наблюдаются две ярко выраженные впадины (возникновение дополнительных паразитных нулей). Устранить эту особенность можно уменьшением ширины оконной функции, используемой при усечении ИХ (п.4) (при ширине функции окна 5=7, эта особенность исчезает), однако эта процедура ведет к дополнительному размытию формы АЧХ и в итоге увеличивается ошибка восстановления. Дополнительно отметим, что коррекция ортогональности синтезируемого вейвлета выполнялась только один раз, на начальном этапе синтеза. В процессе работы итерационного алгоритма поиска фазы коррекция ортогональности не выполнялась, однако в результате получен фильтр, свойство ортогональности импульсной характеристики которого сохранено с высокой точностью. На рис. 3.8 представлено насколько точно полученный ВФ может считаться квадратурно-зеркальным (в идеале должна получиться абсолютно ровная поверхность).
Результаты применения оптимизированных двумерных вейвлет-фильтров (одноуровневая схема обработки)
Представленные выше оценки ошибки восстановленного сигнала предполагают сжатие с небольшим коэффициентом - 16. Развивая идею многоуровневой вейвлет-обработки предыдущего раздела, рассмотрим сжатие изображений с более высоким коэффициентом - 30. Вариант организации кодека представлен на рис. 4.6. Ключевыми особенностями также является выделение высокочастотной части, расчет оптимизированного вейвлет-фильтра для высокочастотной части изображения и обработка коэффициентов разложения стандартным кодеком JPEG2000. Результат обработки оказался практически сопоставим реализации алгоритма в разделе 3 (рис. 3.26). Это объясняется выбранными подходами к обработке ВЧ-части изображения. Как в первом варианте обработки (рис. 3.18), так и во втором варианте (рис. 4.6) объем сохраняемой ВЧ-части изображения одинаков, а для обработки НЧ-компонент применялись одинаковые методики. Результат обработки представлен в табл. 4.1. В последней колонке табл. 4.1 представлено значение нормированной среднеквадратичной ошибки при использовании в представленной схеме обработки на рис. 4.6 стандартных двумерных ВФ Добеши. Невысокая величина выигрыша при использовании оптимизированных ВФ связана с тем, что корреляция между низкочастотной частью изображения (диапазон частот (0,%) по обеим осям) и его высокочастотной частью проявляется в невысокой степени. И для лучшего предсказывания ВЧ-части изображения увеличение порядка оптимизирующего ВФ даст больший выигрыш по отношению С/Ш, но это ведет к увеличению объема дополнительно сохраняемых коэффициентов и к большей сложности обработки.
В настоящем разделе получен ряд результатов, а именно: 1. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти АЧХ двумерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление изображения при его одноуровневом вейвлет-разложении с кратностью 16, причем восстановление осуществляется с использованием только НЧ-компонент разложения. 2. Полученная функция подчеркивает неоднородность изображения в большей степени, чем это наблюдалось при расчете согласованного вейвлет-фильтра стандартной кратности разложения, и может быть также использована для оценки анизотропности изображения. 3. При восстановлении изображений, обработанных согласованными вейвлет фильтрами, при одинаковых условиях обработки наблюдается улучшение отношения С/Ш восстановленного изображения на 0,25-3,0 дБ. Улучшение зависит от детализации, уровня анизотропности изображения, от примененного алгоритма сжатия с использованием оптимизированных вейвлет-фильтров. Представленные результаты сопоставимы с результатами, ранее полученными в разделе 3. На основании проведенных исследований в области синтеза оптимизированных вейвлет-фильтров в работе получены следующие результаты: 1. Получены новые алгоритмы параметризации одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-функций, основанные на представлении квадрата АЧХ соответствующего вейвлет-фильтра тригонометрическим полиномом. Алгоритмы отличаются простотой реализации, наглядным представлением параметров параметризации. Основное назначение алгоритмов использование в задачах синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с заданной амплитудно-частотной характеристикой. Представленные алгоритмы имеют ряд преимуществ: - минимизируются вычислительные затраты на этапе формирования АЧХ одномерного и двумерного вейвлет-фильтров; - представляется возможным отследить влияние каждого параметра в отдельности на свойства (в частности, на форму) АЧХ вейвлет-фильтра. 2. Разработаны алгоритмы синтеза одномерных и двумерных неразделимых вейвлет-фильтров с предопределенной частотной избирательностью. 3. Получен критерий оптимизации частотных характеристик одномерных вейвлет-фильтров. Используя закономерности преобразования спектров сигналов при сжатии, получено выражение, позволяющее найти АЧХ одномерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление сигналов, используя только низкочастотные компоненты одноуровневого вейвлет-разложения. Вейвлет-фильтр, обладающий свойством безошибочного восстановления, получил название "согласованного". 4. Проведен анализ частотных характеристик вейвлет-фильтров. Получена взаимосвязь между частотными характеристиками вейвлет-фильтров и спектрами восстановленного изображения. 5. Установлено, что оптимизация частотной избирательности вейвлет-фильтра позволяет более точно передавать высокочастотную часть сигнала, что достигается за счет некоторого предсказывания, вносимого в частотную характеристику вейвлет-фильтра. Применительно к используемой модели сжатия коррекция АЧХ вейвлет-фильтра позволяет снизить отношение С/Ш восстановленного сигнала на 0,4-0,5 дБ. 6. Используя закономерности преобразования спектров изображений при сжатии, получено выражение, позволяющее найти амплитудно-частотную характеристику двумерного вейвлет-фильтра, обеспечивающего безошибочное восстановление изображений при одноуровневом вейвлет-разложении изображения с кратностью 4, причем восстановление осуществляется с использованием только низкочастотных компонент вейвлет-разложения. Для обозначения вейвлет-фильтра с указанными свойствами предлагается использовать термин "согласованный" вейвлет-фильтр. 7. Установлено, что функция, являющаяся квадратом АЧХ согласованного вейвлет-фильтра, подчеркивает неоднородность изображения и может быть использована для оценки его анизотропности. 8. Разработан алгоритм расчета оптимизированного двумерного вейвлет-фильтра на основе АЧХ согласованного вейвлет-фильтра. Основными моментами здесь являются алгоритм понижения порядка согласованного фильтра до заданного пользователем и алгоритм расчета фазочастотной характеристики.
