Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Применение оптимальных статистических процедур для различения сигналов на фоне помех 15
1.1. Краткая история вопроса 15
1.2. Оптимальные классические принципы выбора между гипотезами 25
1.3. Последовательный критерий отношения вероятностей 29
1.4. Способы модификации последовательных испытаний 36
1.5. Обобщенные последовательные критерии 38
1.6. Двойной последовательный критерий 43
1.7. Последовательный критерий для проверки сложных гипотез 45
Выводы к главе 46
Глава 2. Применение оптимальных последовательных критериев для обнаружения сигнала, заданного в форме бинар ной дискретизации 49
2.1. Суть бинарной дискретизации 49
2.2. Применение последовательного критерия отношения вероятностей для обнаружения сигнала, заданного в форме бинарной дискретизации 53
2.3. Применение оптимального обобщенного последовательного критерия для обнаружения сигнала, заданного в форме бинарной дискретизации 54
2.4. Применение двойного последовательного критерия для обнаружения сигнала, заданного в форме бинарной дискретизации 62
2.5. Применение последовательного критерия для проверки сложных гипотез для обнаружения сигнала, заданного в форме бинарной дискретизации 63
Выводы к главе 64
Глава 3. Разработка математического аппарата для при менения оптимальных последовательных критериев в парамет рических случаях 66
3.1. Параметрические критерии 66
3.2. Обнаружение сигнала на фоне помехи при экспоненциальном распределении 61
3.3. Обнаружение сигнала на фоне помехи при распределении Рэл ея 72
3.4. Обнаружение сигнала на фоне помехи при распределении Вейбулла 77
3.5. Обнаружение сигнала на фоне помехи при нормальном распределении с неизвестным математическим ожиданием 85
3.6. Обнаружение сигнала на фоне помехи при нормальном распределении с неизвестной дисперсией 89
Выводы к главе 92
Глава 4. Экспериментальное исследование эффективности оптимальных последовательных процедур 94
4.1. Алгоритм и программа 94
4.2. Моделирование процедуры обнаружения в случае бинарной дискретизации 99
4.3. Моделирование процедуры обнаружения в случае распределений экспоненциального типа 102
4.4. Моделирование процедуры обнаружения в случае различения двух нормальных совокупностей 107
4.5. Моделирование процедуры обнаружения при существенно неравноценных ошибках первого и второго рода (задача радиолокации) 110
4.6. Последовательный критерий с параболическими границами 114
Выводы к главе 123
Заключение 125
Литература 127
Приложение 1
- Оптимальные классические принципы выбора между гипотезами
- Применение последовательного критерия отношения вероятностей для обнаружения сигнала, заданного в форме бинарной дискретизации
- Обнаружение сигнала на фоне помехи при распределении Рэл ея
- Моделирование процедуры обнаружения в случае распределений экспоненциального типа
Введение к работе
Актуальность темы определяется необходимостью улучшения характеристик систем первичной обработки радиолокационной информации, что связано с разработкой новых и совершенствованием известных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне помех.
В начале 50-х годов прошлого века появились первые работы по оптимальным методам приема радиосигналов с использованием аппарата математической статистики, в том числе, методов проверки статистических гипотез.
В наше время методы статистической теории связи проникли во все области деятельности человека, где приходится иметь дело со случайными явлениями и существует потребность в обработке данных и нахождении решения при наличии неопределенности. Прежде всего, это - электроника, системы связи (наземные и космические), подводная акустика, метеорология и сейсмология.
Рост скоростей полетов и расширение функциональных возможностей современных летательных аппаратов привели к усложнению задач, решаемых средствами радиолокации. В области военной техники это распознавание классов и типов целей, наблюдаемых радиолокатором для быстрого принятия решения о применении и наведении высокоточного оружия. В гражданском применении - обеспечение безопасных условий полетов в сложных метеоусловиях, своевременное обнаружение и противодействие порывам ветра, обнаружение препятствий. К сказанному можно добавить, что одной из важнейших проблем развития современных радиоэлектронных информационно-телекоммуникационных систем является загруженность частотного диапазона.
Наступивший век ознаменовал начало перехода от постиндустриального общества к информационному, что связано с информатизацией - процессом создания, развития и всеобщего применения информационных средств и технологий, обеспечивающих достижение и поддержание уровня информационности всех членов общества, необходимого и достаточного для кардинального улучшения качества труда и условий жизни.
Информационное общество характеризуется высокоразвитой информационной средой, которая включает деятельность человека по созданию, переработке, хранению, передаче и накоплению информации. Частотный ресурс в современном мире становится таким же важным, как природный ресурс энергоносителей.
Одной из задач импульсной обзорной РЛС, обладающей разрешающей способностью по дальности, является обнаружение сигнала в каждом из элементов разрешения.
Для решения этой задачи возникает необходимость многократного облучения пространства с последующим накоплением результатов приема. При этом оптимальным обнаружением сигналов на фоне шума считает способ, минимизирующий стоимость или допустимые вероятности ложной тревоги и пропуска цели.
При этом требования к надежности, качеству и эффективности алгоритмов радиолокационного обнаружения постоянно возрастают. Это связано как с практическими потребностями радиолокации, так и с совершенствованием самих радиолокаторов. В связи с этим анализ и синтез процедур, позволяющих эффективно, качественно и надежно проводить обработку данных радиолокационных наблюдения, становится весьма важным. Известно, что технические характеристики радиолокатора можно существенно улучшить, применив соответствующую процедуру обработки сигналов.
При процедуре, основанной на классическом критерии Неймана и Пирсона, число этапов, определяющих общую длительность наблюдений, назначается заранее.
Эффективным методом уменьшения числа облучений и связанных с этим затрат времени могут служить последовательные процедуры принятия решений, в которых длительность наблюдений заранее не фиксируется, а определяется ходом реализации наблюдаемого случайного процесса.
Последовательные статистические процедуры применяются в радиолокации, радионавигации, связи и управлении. Особый интерес к последовательным методам принятия решений проявился, когда был найден эффективный алгоритм проверки двух простых гипотез по результатам однородных независимых наблюдений - последовательный критерий отношения вероятностей, известный как критерий Вальда.
Последовательный анализ возник в годы Второй мировой войны в связи с поисками более эффективных, чем классические, методов статистического приемочного контроля массовой продукции промышленности.
Позднее в 60-е годы XX века были предприняты применения статистического последовательного анализа для решения радиотехнической задачи обнаружения сигнала при наличии помехи. Специфика приложения методов последовательного анализа для радио 8
технических приложений заключается в неравноценности ошибок первого и второго рода, случая близких гипотез (слабый сигнал), многоканальных ситуаций и т. д.
Теория последовательной проверки двух статистических гипотез является важнейшей составной частью теории последовательных решений. Радиотехнические приложения соответствуют математической ситуации, когда заранее неизвестный параметр принимает промежуточное значение (лежит в диапазоне между значениями, определяемыми конкурирующими гипотезами). В этом случае последовательный критерий в своей первоначальной постановке теряет свои оптимальные свойства — становится невыгодным.
Поэтому при проведении испытаний по методу Вальда часто возникает необходимость прекращать их на некотором шаге, несмотря на то, что принять корректное с математической точки зрения решение нельзя. Поэтому актуальной является работа по исследованию оптимальных методов усечения последовательной процедуры обнаружения сигнала на фоне помехи.
Основополагающие работы в области теории обнаружения сигналов сделали A. Siegert, D. Middleton, С. Helstrom, Г. Ван Трис, А. Е. Башаринов, Б. С. Флейшман, П. А. Бакут, Л. С. Гуткин, Ю. Б. Синдлер, Ю. Г. Сосулин, М. М. Фишман, А. М. Шлома, Б. Р. Левин, Л.А. Вайнштейн, Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос, В.Г. Репин, Н.В. Малютин, В.И. Борисов, В.М. Зинчук, А.В. Шевырев, А.Р. Ильчук, К.Ю. Гаврилов, А.В. Дубровин.
Математическими аспектами проблемы занимались многие исследователи, среди которых A. Wald, J. Wolfowitz, L. Weiss, A. Dvoretsky, J. Kiefer, J. Bussgang, T. Anderson, G. Lorden, Б. В. Гне-денко, Ю. К. Беляев, А. Н. Ширяев, С. А. Айвазян, И. В. Павлов. Несмотря на большие достижения, следует отметить, что метод последовательного анализа не является завершенной статистической теорией.
За последние 30 лет выявился ряд нерешенных вопросов прикладной статистики, среди которых:
- влияние отклонений от традиционных предпосылок (вероятностно-статистических моделей) на свойства статистических процедур;
- оправданность использования асимптотических теоретических результатов прикладной математической статистики при реальных исходных данных (предельно допустимой продолжительности процедуры обнаружения, различных значений отношений параметров, соответствующих гипотезам об отсутствии и наличии цели, а также допустимых значений вероятностей ложных тревог и пропуска цели);
- формулировки и обоснования правил выбора одного из нескольких критериев для проверки конкретной гипотезы.
Это определяет актуальность следующих основных задач:
- рационализация процедуры различения радиотехнических сигналов на основе оптимального обобщенного последовательного анализа и двойного последовательного анализа отношения вероятностей;
- разработка математического аппарата для методик рационального различения сигналов на фоне помех для наиболее часто встречающих на практике законов распределения сигналов и помех;
- создание соответствующего пакета прикладных программ.
Решение указанных задач даст возможность существенно сократить длительность статистического анализа, что позволит уменьшить энергетические и иные затраты на проведение испытаний, и более оперативно получать информацию. В задаче радиолокационного обнаружения последнее имеет первостепенное значение.
Оптимальные классические принципы выбора между гипотезами
В 1933 г. Ю. Нейман и Е. Пирсон опубликовали статью [34], в которой изложили ставшую классической процедуру, позволяющую устанавливать критерий проверки гипотез, минимизирующий Р при фиксированной ошибке а. Классическая процедура основывается на заранее фиксированном объеме выборки.
В некоторых случаях (например, в задачах радиолокации) часто бывает целесообразным считать приемник оптимальным, если при заданной (обычно весьма малой) вероятности ложной тревоги а он обеспечивает минимальную вероятность пропуска сигнала р.
Этому случаю и соответствует классический критерий, предложенный в вышеупомянутой работе Неймана-Пирсона.
При классической процедуре совокупность Rn всевозможных выборок объема п разбивается на две непересекающиеся области Е0 и Е\. Если выборка попадает в Е0, то принимается гипотеза Щ, а если в Е\ (обычно называемой критической областью), то Н\.
При конечном фиксированном объеме выборки п, меняя Е\, нельзя сделать одновременно ошибки а и Р сколь угодно малыми (уменьшение одной из них ведет к увеличению другой). Однако при фиксации «иа можно выбрать такое Е\, что (3 окажется минимальным. Можно минимизировать а при фиксированных пи Р, или минимизировать п при фиксированных а и р. Такой оптимальный подбор критической области называют оптимальным классическим решением задачи выбора между двумя гипотезами.
Процедура обнаружения, основанная на критерии Неймана-Пирсона, сводится к следующему. Для заданных а и Р устанавливается контрольный норматив - С, если в результате проведения заранее фиксированного числа шагов, число обнаружений не превысит С, то принимается гипотеза Щ об отсутствии сигнала. В противном случае принимается гипотеза Н\. Такая процедура обнаружения наиболее проста, но и наименее экономична.
На практике испытания проводятся последовательно. При планировании дальнейших наблюдений используются ранее полученные данные. Так, при двухступенчатом анализе решение о наличии или отсутствии сигнала принимают по результатам проверки не более двух выборок, причем переход к отбору второй выборки зависит от результатов проверки первой.
Метод двухступенчатого статистического анализа и его приложения в радиотехнике подробно изучались Ю.Б. Синдлером [35].
При прочих равных условиях двухступенчатый контроль требует в среднем на 20-30% меньше наблюдений, чем одноступенчатый, и в этом смысле он более рационален. В то же время расчеты, связанные с построением двухступенчатого контроля, сложнее, чем при одноступенчатом. В еще большей степени сказанное относится к многоступенчатому контролю, который обобщает двухступенчатый на случай, когда число выборок больше двух.
Средний число необходимых наблюдений убывает с ростом числа ступеней контроля. В связи с этим напрашивается идея последовательного метода, когда объем выборки на каждом шаге может быть равен единице, а максимальное число выборок заранее не установлено.
В настоящее время последовательный анализ находит все более широкое применение в различных прикладных областях, в частности при контроле качества продукции и материалов, испытании приборов и систем на надежность, поиске неисправностей в сложных системах, обнаружении сигнала на фоне шума.
Первым указал на возможность применения последовательного анализа отношения вероятностей для организации процедуры обнаружения сигнала на фоне шума Д. Мидлтон. Применительно к задачам статистической радиотехники, при решении которых используются методы последовательного анализа, этот вопрос подробно рассмотрен в монографии [32].
В большом числе литературных источников констатируется: если в радиолокационной станции (РЛС) применяется программированный обзор пространства и обращение к предполагаемой цели по 29вторяется до получения ответа о ее наличии или отсутствии, то метод последовательного анализа может служить эффективным методом уменьшения числа облучений и связанных с этим затрат времени.
Применение последовательного критерия отношения вероятностей для обнаружения сигнала, заданного в форме бинарной дискретизации
Основанный на последовательном анализе метод принятия решений в случае биномиального распределения планируется следующим образом.
Для заданных qo и q\ после каждого очередного наблюдения рассчитывают логарифм отношения правдоподобия по формулегде Р\п иРоп - вероятности получения выборок, соответствующих альтернативным гипотезам Н\ и Щ относительно неизвестного параметра q;п - число наблюдений;к — число случаев обнаружения сигнала (иными словами, число «единиц»).
Задаются две положительные константы А0 1 А\ и наблюдения проводятся до тех пор, пока впервые не будет нарушено какое-нибудь из неравенств:
Если в момент прекращения испытаний \п(Р\п/Роп) \пА0, то принимается гипотеза Но; если 1п(Р\п/Ро„) 1пА\, то принимается гипотеза Н\.
Подставив рассчитанное по формуле (И) значение \п(Ріп/Роп) в выражение (12) и положив А0 = р/(1-ос) и А\ = (1-3)/а, получим уравнения границ зон принятия гипотез об отсутствии или наличии цели в виде двух параллельных прямых (рис. 3):где / = 0 соответствует границе принятия гипотезы Но, а / = 1 - границе принятия гипотезы Н\.
При к к0. принимается гипотеза об отсутствии сигнала, при к к\ - о его наличии, а при ко. к к\ проводится следующее наблюдение.
При использовании оптимального обобщенного последовательного критерия (критерия Айвазяна) требуется вычисление обратного преобразования Миллса R{X), определяемого формулой (7).
Значения R{X) при положительном аргументе табулированы. Однако, подстановка конкретных значений в выражение (5) показывает, что процедура проверки гипотез по методу оптимального обобщенного последовательного критерия требует нахождения обратного преобразования Миллса при отрицательных значениях аргумента. Расчетные соотношения получаются путем следующих преобразований: Программа расчета обратного преобразования Миллса, а также критических констант критерия Айвазяна приведена в приложении 1,
Как видно из данных табл. 1, значение константы Со изменяется в зависимости от заданных ошибок немонотонно, достигая
По программе "Mathcard 2000 Professional" автором рассчитаны значения р( 7о 7і) для наиболее употребительных величин #о и qx приведены в табл. 3. Программа расчета расстояния между гипотезами для различных распределений приведена в приложении 1.где /=1 и знак «+» соответствуют линии принятия гипотезы о наличии сигнала;/ = 0 и знак «-» соответствуют линии принятия гипотезы об отсутствии сигнала.
Из уравнения (19) определяем наименьшие число облучений, при которых возможно принятия гипотез об отсутствии сигнала ( тіпоопк) и о наличии сигнала (Т тіпоопк) на основании критерия Айвазяна
Совместным решением уравнений линий принятия альтернативных гипотез (19) в схеме критерия Айвазяна находится наибольшее число единиц на выходе канала, которое может произойти при проведении процедуры обнаружения, прежде чем будет принято решение тахоопк D (22)
Следовательно, отношение минимальных объемов выборок в схемах оптимальных последовательных процедур не зависит от значений параметра, соответствующих альтернативным гипотезам, а определяется заданными вероятностью пропуска импульса и ложной тревогой.
В табл. 4 приведены сравнительные данные для критических констант в последовательном критерии Вальда (А0) и приближенном варианте оптимального обобщенного последовательного критерия Айвазяна (Со)в случае, когда заданные ошибки первого и второго рода равны (а = Р).
Обнаружение сигнала на фоне помехи при распределении Рэл ея
Распределение Рэлея возникает при изучении сигналов с флюктуационной фазой и амплитудой на фоне шумов. В работах [107, 108] определены статистические характеристики сигнала, отраженного целью, находящейся за горизонтом, определены его статистические характеристики и изучены их зависимости от интенсивности флуктуации радиоволн в канале распространения. Вводится параметр, равный отношению мощности регулярной составляющей к средней мощности флюктуационной составляющей. Этот параметр численно характеризует интенсивность флуктуации радиоволн в канале распространения. Отмечается, что нулевое значение этого параметра соответствует максимальному уровню флуктуации, при которых амплитуда сигнала на выходе канала распределена по закону Рэлея. Процедура последовательного обнаружения таких сигналов на фоне помехи описана в работе [109]. Пусть результаты наблюдения t\,t2,...,h имеют распределение Рэлея с плотностью и неизвестным параметром ст. Рассмотрим задачу различения гипотез: Но {ст = Сто} и Яі{а = о,}. Если случайная величина t распределена по закону Рэлея, то величина t = t имеет экспоненциальное распределение с параметром X = А, . Если анализировать логарифм отношения правдоподобия наблюдений, распределенных по закону Рэлея, то это будет эквивалентно аналогичному анализу логарифма отношения правдоподобия экспоненциальной выборки. Поэтому соотношения соответствующего раздела, касающегося экспоненциального распределения, сохраняются и для рэлеевского распределения. Логарифм отношения правдоподобия при условии независимости результатов наблюдений над случайной величиной t, распределенной по закону Рэлея, определяется по формуле ст0, G\ - параметр распределения, соответствующий гипотезам HQ и Ни Из выражения (40) с учетом условия (32) получаем соотношения для критических чисел, соответствующих гипотезам Но и Н\ Наименьшее t m\n, соответствующее принятию нулевой гипотезе, определяется точкой пересечения границы соответствующей зоны с осью абсцисс. Принимая в уравнении (41) ко = 0, находим Формулы для среднего числа наблюдений, после наступления которых принимается решение о справедливости гипотез Н0 и Критерий Айвазяна Для применения оптимального обобщенного последовательного критерия в случае распределения Рэлея расстояние между гипотезами Н0 {о = оо} и Н\ {o = Oi} находится с использованием выражения (4) и соответствующей формулы для плотности распределения. Интегрирование производится аналогично случаю экспоненциального распределения. После интегрирования получаем выражение для расстояния между гипотезами рт Уравнения границ зон принятия гипотез Но и Н\ соответственно имеют в рассматриваемом случае следующий вид где j = 1 и знак "+" соответствуют границе принятия гипотезы Н\; У = 0 и знак "-" соответствуют границе принятия гипотезы Но. Критерий Лордена Вычислим значение промежуточного параметра a Приравнивая р(а ; сто) = р(а ; Сті), находим ст : Тогда, согласно выражению (10-а), момент остановки определяется формулой: Если в формуле (42) нарушается первое неравенство, то принимается Н0, если второе -тоН\. Критерий Павлова 2 /7.\1/2л л к Наблюдения продолжаются до момента исключения гипотезы, признаваемой неверной. Решающее правило задается парой (N,где N - момент остановки наблюдений;5 - принимает значение 0, если справедлива гипотеза Щ или 1, если верна гипотеза Н\.
В 1939 г. шведский исследователь В. Вейбулл предложил функцию распределения, удобную для описания долговечности материалов [ПО]. Он рассматривал функцию распределения случайной величины в форме F(X) = 1 - ехр [-ф (X)], при этом отмечал: "Представляется, что единственным практическим путем достижения успеха является выбор простой функции, эмпирическая ее проверка и затем ее окончательный выбор, если нет ничего лучшего" [111].
С середины 50-х годов прошлого века интерес к распределению Вейбулла все более возрастает, что объясняется, в частности, тем, что вейбулловскому распределению подчиняется долговечность сложных устройств. Вейбулловский закон оказывается наиболее пригодным для анализа продолжительности безотказной работы мощных электровакуумных приборов СВЧ.
В математической статистике распределение Вейбулла названо асимптотическим распределением третьего типа для экстремальных значений последовательности независимых величин. Строгое рассмотрение математических проблем, относящихся к вейбулловскому распределению, выполнено в работе [112].
Распределение Вейбулла обобщает экспоненциальное и рэле-евское распределения и служит достаточно хорошим приближением для других законов, используемых в задаче обнаружения сигнала на фоне помехи. Это распределение может также рассматриваться, как подходящая аппроксимация некоторых случаев распределения сигнала и помехи.
Последовательный метод обнаружения планируется следующим образом. Фиксируются постоянные А\ 1 и А0 1, производится выборка t\,t2,...,tk (где t,— наблюдения - независимые одинаково распределенные случайные величины) и на каждом шаге рассчитывается значение логарифма отношения правдоподобия для первых к наблюдений Х,цД,о1с, определяемого какгде Lik и Z,0k - вероятности получения выборок t\, ti, ..., tk, соответствующих гипотезам Н\ и #0 относительно значения неизвестного параметра 0;lnZ; - логарифм элементарного отношения правдоподобия; tt - интервал времени между соседними отказами.
Пусть наблюдения t\, t2,..., /к распределены по закону Вейбулла с плотностьюБудем считать параметр формы s известным, а параметр масштаба Г неизвестным. Пусть Щ: Т=Т0; \\Т— Т\ Т0.Если случайная величина t распределена по закону Вейбулла, то величина t = f имеет экспоненциальное распределение с параметром Ґ = Ґ. Логарифм отношения правдоподобия при условии независимости результатов наблюдений над случайной величиной t, распределенной по закону Вейбулла, определяется по формулек
Моделирование процедуры обнаружения в случае распределений экспоненциального типа
Моделирование случайных чисел, распределенных по экспоненциальному закону, осуществляется следующим образом. Плотность распределения:
Заметим, что случайное число є,=1- є, имеет также равномерное распределение в интервале (0,1).
Поэтому вместо (68) обычно пользуются соотношениемПри экспоненциальном распределении в случае больших допустимых ошибок наиболее эффективным при различении простых гипотез относительно параметра распределения является критерий Лордена.
При больших вероятностях ложной тревоги и пропуска цели а и (3 продолжительность испытаний по критерию Вальда в среднем на 15,4% больше, по критерию Айвазяна - на 74,8%, по критерию Павлова - на 75%.
При уменьшении допустимых вероятностей ложной тревоги и пропуска цели эффективность критерия Вальда резко снижается (особенно для "промежуточных" значений исследуемого параметра), а критериев Павлова и Айвазяна - повышается.
При а = Р = 0,01 оптимальным становится критерий Павлова. Продолжительность испытаний по критерию Вальда больше на 28,4%, по критерию Айвазяна - на 17,6% , по критерию Лордена -на 14,4%.
В табл. 7 приведены характерные результаты расчета средней продолжительности испытаний до принятия решения, рассчитанного по всем испытаниям (как в случае принятия решения об отсутствии сигнала, так и в случае принятия решения о наличии сигнала), при отношении А,(Ді= 2 в случае, когда истинное значение Х = (Х0 + %х)12.
При этом за 100% принята средняя продолжительность процедуры обнаружения при использовании наиболее экономичного критерия.
При распределении Рэлея наиболее эффективным при различении простых гипотез относительно параметра распределения являются критерий Лордена и Айвазяна. Первый оказывается наилучшим при уменьшении допустимых ошибок первого и второго рода, а второй - по мере сближения проверяемых гипотез. В табл. 8 для случая распределения Рэлея приведены характерные результаты расчета средней продолжительности испытаний до принятия решения, рассчитанного по всем испытаниям (как в случае принятия решения об отсутствии сигнала, так и в случае принятия решения о наличии сигнала), при отношении Сто/сгі = 2 в случае, когда истинное значение а = (ао + 3\)/2.
При этом за 100% принята средняя продолжительность испытаний, требуемая при использовании наиболее экономичного критерия.Формула для случайных чисел, имеющих вейбулловское распределение с параметрами Т и s, имеет вид:
Соотношения продолжительности испытания для распределения Вейбулла близки с результатами моделирования экспоненциального и рэлеевских законов.
В табл. 9 для случая распределения Вейбулла приведены характерные результаты расчета средней продолжительности испытаний до принятия решения, рассчитанного по всем испытаниям (как в случае принятия решения об отсутствии сигнала, так и в случае принятия решения о наличии сигнала), при отношении TQIT\ = 2В случае, когда истинное значение Т=(Т0 + Т{)/2.
При этом за 100% принята средняя продолжительность испытаний, требуемая при использовании наиболее экономичного критерия.В большинстве случаев, если фактическое значение параметра имеет промежуточное значение, наиболее экономичен критерий Айвазяна.
Для многих законов распределения, встречающихся в практических задачах, интеграл (59) в конечном виде не берется. Например, для нормального распределения.
Формулы для случайных чисел, имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием \х и дисперсией а2:где Х[, у\ - случайные величины, равномерно распределенные на интервале (0,1). 108 нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием оказалось, что при больших ошибках первого и второго рода наиболее эффективным является критерий Айвазяна (Приложение 2). Его использование также предпочтительнее при различении близких гипотез. При уменьшении допустимых вероятностей ложной тревоги и пропуска цели наиболее эффективным становится критерий Лордена.
При очень малых ошибках первого и второго рода (а = Р = 0,001) самым экономичным оказывается критерий Павлова. Поскольку на практике имеет место усеченное нормальное распределение, при очень малых ошибках результаты моделирования могут быть недостаточно достоверны. Соотношение продолжительности испытаний для разных критериев при различных значениях а и Р приведены в табл. 10.
