Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общие методы анализа процессов в параметрическом контуре 11
1.1 Анализ процессов в параметрическом контуре с элементами, изменяющимися во времени по произвольным законам 11
1.1.1 Вынужденные колебания 14
1.1.2 Свободные колебания 16
1.1.3 Устойчивость по Ляпунову 17
1.1.4 Новый критерий устойчивости параметрического контура 21
12 Уравнения параметрического контура и их преобразования 21
1.2.1 Математические модели контура 22
1.2.2 Анализ процессов в контуре с помощью рядов Маклорена 25
1.3 Анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре с периодическими элементами 30
Глава 2. Исследование устойчивости параметрического контура первым методом Ляпунова 46
2.1 Основы первого метода Ляпунова применительно к линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами 46
2.2 Проблема устойчивости параметрического контура с положительными периодическими элементами 51
2.3 Анализ устойчивости параметрического контура первым ме тодом Ляпунова 64
2.4 Параметрический контур с периодически переключаемой емкостью: строгое решение задачи об устойчивости 73
Глава 3. Анализ устойчивости параметрического контура вторым методом Ляпунова 80
3.1 Основы второго метода Ляпунова. Приведенная система 80
3.2 Параметрический контур с положительными элементами, проблема устойчивости 85
3.3 Анализ устойчивости электрического колебательного контура с периодически изменяющимися параметрами с помощью энергетической функции Ляпунова 88
3.4 Физическое толкование параметрического резонанса, энергетический подход 89
3.5 Параметрический контур с синхронными и асинхронными изменениями реактивностей 98
Глава 4. Резонанс параметрического контура 106
4.1 Резонанс параметрического контура по Горелику 106'
4.2 Развитие теории резонанса 115
4.2.1 Три резонансные частоты обычного последовательного контура 116
4.2.2 Параметрический контур. Базовое уравнение 119
4.2.3 Упорядоченное множество решений базового уравнения 120
4.2.4 Резонанс параметрического контура и его свойства 121
4.2.5 Обобщенная теория резонанса 123
4.3 Выводы по главе 125
Глава 5. Параметрический контур в системах радиосвязи 127
5.1 Угловая модуляция в радиопередатчиках 128
5.2 Регенеративный и сверхрегенеративный радиоприем 133
5.3 Одноконтурный параметрический усилитель 141
5.3.1 Изменяющаяся во времени емкость как отрицательное активное сопротивление 141
5.3.2 Параметрический контур как усилитель гармонических сигналов 149
Заключение 163
Литература 165
Приложение
- Уравнения параметрического контура и их преобразования
- Проблема устойчивости параметрического контура с положительными периодическими элементами
- Параметрический контур с положительными элементами, проблема устойчивости
- Развитие теории резонанса
Введение к работе
Актуальность темы. Радиотехнические устройства с явно зависимыми от времени элементами широко применяются на практике в случаях управления электрическими сигналами: усиление, модуляция, преобразование частоты, детектирование и др. В настоящее время радиотехнические системы развиваются в направлении более интенсивного насыщения их нелинейными и параметрическими элементами [1]. Параметрическим цепям посвящено немало научных работ [2-21], они позволяют рассмотреть тенденции научного направления. Математическому аппарату теории параметрических радиоцепей- линейным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, посвящены труды многих математиков. Фундаментальные результаты получены выдающимися математиками А.Ляпуновым и А.Пуанкаре [22]. Существенный вклад в теорию нелинейных и параметрических радиоцепей внесла советская школа нелинейных колебаний, возглавляемая академиками Л.Мандельштамом и Н.Папалекси [23-26]. Можно отметить наиболее значимые публикации последующих лет, как отечественные [1, 10, 11, 15, 26, 27, 29, 30-75] , так и зарубежные [ 16-19, 21, 76-96, 179]. Однако эти исследования относятся ко времени, когда реактивности можно было изменять только механическим путем, т.е. достаточно медленно и с небольшим коэффициентом модуляции. Применение новых материалов (сегнетоэлектриков, ферромагнетиков, полупроводниковых диодов) позволило изменять реактивности параметрического контура электрическим способом, т.е. повысить частоту изменения реактивностей и их коэффициент модуляции. Исследования показали, что изменяющиеся во времени реактивности обладают более высокими потерями, чем постоянные. Поэтому при анализе линейного параметрического контура пришли к необходимости представлять его состоящим из положительных, изменяющихся во времени, индуктивности, емкости и нескольких активных сопротивлений. При этом реактивности изменяются по непрерывно дифференцируемым законам, активные сопротивления - по непрерывным, причем эти законы заранее неизвестны.
При анализе устойчивости параметрического контура ранее использовался метод малого параметра, приводящий к уравнению Матье, свойства которого достаточно хорошо изучены. В современных задачах коэффициенты модуляции элементов контура в общем случае не подходят под определение малого параметра, и уравнение контура со многими переменными элементами не всегда может быть приведено к уравнению Матье.
В литературе свободный процесс в неустойчивом параметрическом контуре, называемый параметрическим резонансом, исследован лишь для частных случаев. Полной, завершенной теории параметрического резонанса пока не существует.
Крайне мало публикаций посвящено другому явлению, близкому по названию, но отличающемуся по существу от предыдущего. Это явление — резонанс параметрического контура. Основы теории резонанса параметрического контура с использованием идей Мандельштама были разработаны Г.Гореликом [23], а дальнейшего развития эта теория также не получила. Отметим лишь одну из особенностей резонанса параметрического контура. Известно, что резонансная характеристика обычного контура является одногорбой, а системы из двух связанных контуров с взаимоиндуктивной связью - двугорбой. Резонансная характеристика параметрического контура состоит из бесконечного числа горбов, которые в частных случаях могут определенным образом группироваться.
Цель настоящей работы - исследование свободных и вынужденных колебаний в линейном параметрическом контуре, состоящем из изменяющихся во времени по непрерывно дифференцируемым законам положительных емкости и индуктивности и нескольких, изменяющихся во времени по непрерывным законам, положительных активных сопротивлений.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать математические модели параметрического контура и провести их сравнительный анализ.
Исследовать свободный процесс в контуре как функцию времени, разработать рекомендации по приближенному построению этой функции.
Рассмотреть проблему устойчивости параметрического контура по Ляпунову.
Провести качественный и количественный анализ вынужденных колебаний в параметрическом контуре при гармоническом возмущении, обобщить результаты на случай вынужденных колебаний при любом возмущении.
Исследовать характеристики и общие показатели нескольких радиотехнических устройств, основным элементом которых является параметрический контур.
Результаты и научные положения, выносимые на защиту.
Векторные дифференциальные уравнения для параметрического контура со всеми изменяющимися во времени элементами. Ограничения на законы изменения элементов: реактивности изменяются во времени по непрерывно дифференцируемым законам, активные сопротивления и проводимости — по непрерывным, оставаясь всегда положительными.
Метод решения векторных дифференциальных уравнений, основанный на разложении функций времени в ряды Маклорена. Эффективность метода заметно выше, чем в подобных абстрактно математических задачах, за счет учета радиотехнической специфики.
3. Метод решения векторных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, основанный на разложении функций времени в ряды Фурье с последующим применением специально разработанного варианта метода комплексных амплитуд.
Новые критерии устойчивости параметрического контура на основе второго метода устойчивости Ляпунова.
Два предельных, с точки зрения устойчивости, способа изменения реактивностей контура: синхронное и асинхронное. В первом случае контур устойчив при любом законе изменения реактивности, во втором - максимально близок к положению неустойчивости.
Научная новизна. При выполнении исследований получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:
1. Получен ряд математических моделей для параметрического контура со всеми изменяющимися во времени положительными элементами.
Разработан метод анализа процессов в параметрическом контуре при аппроксимации законов изменения его элементов полиномами.
Разработан метод анализа свободных и вынужденных процессов в параметрическом контуре с периодически изменяющимися во времени элементами, в основе которого лежит специально адаптированный для этой цели метод комплексных амплитуд.
Получены новые критерии устойчивости параметрического контура.
5. Выделены и исследованы специальные виды параметрических контуров с синхронными и асинхронными элементами, изменяющимися во времени.
Реализация результатов. Полученные теоретические и экспериментальные результаты использованы в научно-исследовательских работах ОАО концерна «Созвездие» при проведении научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по темам «Босфор», «Пирамида», «Созвездие-М», «Таллин», «Кассиопея», «Диоптрия», в ОАО Воронежский НИИ «Вега» при выполнении опытно-конструкторских работ «Кавказ-7М10», «Кавказ-9», в НВП «Протек» при выполнении опытно-конструкторских работ «Диабазол», «Житель». Кроме того, результаты работы внедрены в учебный процесс в Воронежском государственном университете и Воронежском институте МВД России.
Краткое содержание работы. Глава 1. Общие методы анализа процессов в параметрическом контуре. Кратко рассмотрены развитые в последующих главах методы анализа свободных и вынужденных колебаний в параметрическом контуре, а также соответствующие положения теории устойчивости Ляпунова, подходящие для исследования ограниченности процессов в контуре.
Уравнения параметрического контура и их преобразования
Параметрический контур играет заметную роль в радиотехнике. На его основе проектируются параметрические усилители и преобразователи частоты, которые по шумовым качествам уступают лишь молекулярным усилителям, но превосходят их по диапазонности и конструктивным свойствам. Довольно часто параметрический контур реализуется случайным образом, когда в обычный контур включаются нелинейные элементы. Тогда возникают паразитные колебания, от которых непросто избавиться. Анализ процессов в параметрическом контуре математически сложен, о чем свидетельствует теория уравнения Матье [77], которому посвящены многие публикации.
Для получения практически значимых результатов необходимо разработать метод анализа, включающий в себя адекватный математический аппарат и физические толкования всех этапов анализа. Для решения этой задачи за основу выбран обобщенный параметрический контур, эквивалентная схема которого представлена на рис. 1.1. Частными случаями этого контура являются последовательный и параллельный контуры.
Первый и второй законы Кирхгофа приводят к следующей системе дифференциальных уравнений относительно напряжения ис емкости и тока iL и ндуктивности:делители, получаем удобную для анализа форму системы (1.24). Такой подход эквивалентен временному введению новых единиц измерения, удобных для данного конкретного анализа. После проведения анализа следует возвратиться к общепринятым единицам. Исключив какую-либо из неизвестных функций ( , или х2), можно перейти к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Такое преобразование особых трудностей не вызывает в случае контура с постоянными параметрами и заметно усложняется в случае переменных параметров.
В случае нелинейного контура сложность преобразования еще более возрастает вплоть до того, что такое преобразование в некоторых случаях становиться невозможным. Таким образом, при общем рассмотрении свойств колебательного контура в широком смысле: обычного, параметрического, нелинейного, - нужно за основу принимать именно систему (1.24), а не одно дифференциальное уравнение второго порядка. Могут быть исключения из этого положения в простых частных случаях. Два варианта дифференциальных уравнений, равноценных системе (1.24), полученных исключением х2 или х,, соответственно:где точка означает производную по безразмерному времени г.
Итак, математическое описание параметрического контура (рис.1.1) возможно в виде линейной системы двух дифференциальных уравнений первого порядка (1.24) и в виде одного линейного дифференциального уравнения второго порядка (1.25). где р{т), к(т), f(r) задаются в терминах элементов контура, если сравнить уравнение (1.26) с каким-нибудь одним из двух уравнений (1.25). Функции р(т), А(г) могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, но для практики более интересен случай, когда эти функции положительны.
С помощью замены переменной можно либо избавиться от второго слагаемого в (1.26) [136, 137], либо сделать функцию р(т) постоянной. Этим часто пользуются в случае, когда функции р(т), h{r) периодические с одинаковыми периодами. В первом случае [138] применяется замена
Второе преобразование следует применить в том случае, когда функция р(т) имеет постоянное среднее значение. Среди таких функций для радиотехники важными являются функции периодические, почти периодические, рекуррентные. Тогда функцию р(т) можно представить в виде р{т) = Р + Р0(т), где Р - константа, р0(т) - функция безразмерного времени, среднее значение которой равно нулю. После этого применяем замену
Если в (1.26) функция f(r) ограничена, то и в (1.28) функция F(T) ограничена. В рассмотренном ранее случае это условие не выполняется, т.е. при положительной функции р(т) в (1.26) функция F(T) В (1-27) будет экспоненциально возрастающей.
Перейдем непосредственно к анализу уравнений (1.25) и (1.26), начиная с (1.26). Отметим сложности анализа, чтобы выбрать соответствующий метод. В частных случаях возможно определить вид неизвестной функции х(т), что существенно упрощает анализ. Например, в обычном контуре, возмущенном синусоидальной э.д.с, неизвестной функцией является синусоида с той же частотой, что и э.д.с. Анализ сводится к нахождению параметров функции. В общем случае такой подход не применим, так как заранее узнать вид неизвестной функции не представляется возможным.
Неизвестная функция x(t) в (1.26) гладкая. И если /?(г), И(т) f(r) непрерывны, то х(т) непрерывна вместе со своими первой и второй производными. Таким образом, возможно представление неизвестной функции в виде ряда Тейлора [139, 140]. В поставленной задаче отсчет времени можно задавать произвольно, поэтому, не ограничивая общности, можно вместо ряда Тейлора применить его частный случай - ряд Маклорена [120].
Входящие в (1.27) функции задаем в виде ряда Маклорена:При практическом анализе бесконечные ряды приходиться ограничивать. Из теории рядов Маклорена известна оценка погрешности из-за отбрасывания бесконечного числа слагаемых с порядковыми номерами и + 2, п + 3, ... Погрешность не превышает величины остаточного члена, для которого известны [126] два выражения:и выражение для любого слагаемого в разложении р(т) дается формулой
Получаем степенной ряд для г , где множители при тк представляют собой суммы, число слагаемых которых растет вместе с к вплоть до бесконечности. Преобразуя все подобные суммы в (1,30) аналогичным образом, после упорядочения получим:
Это уравнение является базовым при анализе контура. Решить его -значит найти бесконечное множество чисел х0!х1,х2,...іхк,.... Следует отметить,что точное решение невозможно, но для практики достаточно ограничиться приближенным решением при условии, что полученная погрешность не превышает требуемой. В нашем случае можно ограничиться конечным множеством чисел х0і х\, х2,..., х„, чем больше я, тем меньше погрешность, которую можно оценить стандартными приемами.Приравнивая в (1.31) коэффициенты при г , получим бесконечную систему алгебраических уравнений:
Проблема устойчивости параметрического контура с положительными периодическими элементами
Все элементы этой цепи положительны, изменяются во времени по периодическим законам с одним и тем же периодом. Функции изменения во времени индуктивности L и емкости С являются непрерывно дифференцируемыми, а активные проводимости 6 и сопротивления R -непрерывными. Если в начальный момент времени конденсатор заряжен, то в этот момент направления токов и напряжений будут такими, как показано на схеме. Для математического описания свободных процессов исходим из законов Кирхгофа:
Уравнения свободного процесса могут быть разными в зависимости от того, какие функции процесса выбраны в качестве определяющих. Считаем определяющими функциями заряд q конденсатора и магнитный поток Ф, связанный с катушкой индуктивности. Все функции, входящие в (2.21), выражаем через q, Ф:
Получили линейную однородную систему двух дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Целесообразно привести систему (2.22) к нормированному виду. Для этого выберем масштабные делители tM,qM,0M - положительные размерные числа, имеющие размерности, соответственно, времени, заряда и магнитного потока, и перейдем к безразмерным переменным r = J_ х = х = — В новых переменныхгде x = colon(xx,x2) - вектор-столбец неизвестных функций; А(х)=\аи}, /,/ = 1,2 -квадратная матица второго порядка, ее элементы — безразмерные функции:
В результате получили линейное векторное однородное дифференциальное уравнение первого порядка с периодическими коэффициентами. Их общий период обозначим через Т, а круговую частоту через Q = —. Анализу векторного уравнения (2.24) посвящено многопубликаций, что отмечено в обзоре [63], обобщающих монографиях [69,15], обстоятельных справочниках [138, 159]. Однако извлечь из них конструктивные рекомендации об анализе устойчивости конкретной системы типа (2.24) непросто. Для решения поставленной в работе задачи представим уравнение (2.24) в других формах.
Можно из (2.24) исключить х2, тогда остается одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно х}. Аналогично получим дифференциальное уравнение относительно х2:
Здесь p = L/c - характеристическое сопротивление контура. Каждое из этих дифференциальных уравнений представляет лишь одну из двух определяющих функций, поэтому при нахождении напряжений и токов как функций времени необходимо решать дифференциальное уравнение первого порядка. Такие уравнения решаются в квадратурах [138]. Согласно теории дифференциальных уравнений [138], уравнения типа (2.25, 2.26), а именно,является инвариантом исходного дифференциального уравнения. Применяя этот же прием к уравнениям (2.25), получим й + /(г) и = 0 ,где для первого уравнения (2.25) инвариант равен
Иногда целесообразно заменить сложную задачу исследования устойчивости уравнения (2.26) менее сложной задачей об устойчивости уравнений (2.30). При этом, если уравнения (2.30) окажутся устойчивыми, то соответствующие уравнения (2.26) также будут устойчивыми. Если же уравнения (2.30) неустойчивы, то вопрос остается открытым, так как в этом случае уравнения (2.26) могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. При рассмотрении консервативных систем обычно применяется математический аппарат канонических систем линейных дифференциальных уравнений. Такая система имеет вид:настоящее время также разработана математическая теория канонических систем с периодическими коэффициентами [15], которая имеет существенное значение для решаемой задачи. В каноническом виде может быть представлена любая система типа (2.24), если выполняется условие spAsO. В нашем случае это система второго порядка [15]. Ее векторное уравнение типа (2.24) в развернутом виде
В случае электрического контура в роли координаты и импульса могут выступать различные функции исследуемого процесса. Рассмотрим систему (2.22) в предположении G =
Эта система является общепринятой канонической системой. Аналогично может быть получена и каноническая система в нормированном виде, применительно к системе (2.23). В данном случае гамильтониан представляется в безразмерном виде
Тогда, если считать , обобщенной координатой, а х2 обобщенным импульсом, то получим Уравнение (2.38) представляет собой частный случай уравнения Хилла и совпадает с полученными уравнениями (2.27) и (2.30), последнее при L const или С = const. В первом из них во многих практически важных случаях, а во втором всегда выполняется исходное условие применительно к (2.38), p(t) 0. Тогда условие Ляпунова можно применять к соответствующему уравнению нашего контура.
Для уравнения (2.38) при тех же исходных допущениях известно достаточное условие устойчивости Н.Е.Жуковскогогде под E(N) понимается наибольшее число, не превосходящее N, например, Ял/з = 1 [15]. Здесь точный верхний предел функции p(t) обозначен Й2, точный нижний предел — через Ь2. Этот критерий полезен при анализе параметрического контура с малыми коэффициентами модуляции параметров. Если аппроксимировать изменение емкости выражением C = C0[l + mcos(Qr + )] , где m - коэффициент модуляции емкости (обычно он имеет порядок величины, обратной добротности контура, т.е. сотых долей (тп « 0,01 -0,1)).
Более эффективен, хотя и более сложен, критерий М.Г.Крейна [15] устойчивости уравнения Хилла (2.38), Здесь применяются (2.38) устойчиво и принадлежит нулевой области устойчивости. Существуют таблицы [15] для отыскания числа (я).
Известно несколько десятков достаточных условий устойчивости полученных уравнений, однако, с помощью одних лишь достаточных условий решить проблему устойчивости с достаточной полнотой невозможно. Параллельно нужно предложить конструктивный метод исследования
Если какое-нибудь решение известно, то можно найти бесчисленное множество других линейно независимых решений. Это значит, что для решения у из этого множества равенство ax + by = Q, где а, Ъ - любые числа, может быть выполнено только при условии а = О, Ъ = 0. В нашем случае может быть не более двух линейно независимых решений, при этом существует бесконечное множество пар таких решений. Выберем какую-нибудь конкретную пару
Подобных фундаментальных матриц — бесконечное множество. При этом какая угодно из них выражается линейным образом через другую. Это значит, что если Хп (г) - фундаментальная матрица решений, то
Корни (2.48) позволяют полностью решить задачу об устойчивости. Определим эти корни. Как видно из (2.42), чтобы найти матрицу С нужно знать какую-либо фундаментальную систему решений, а для уравнений с переменными коэффициентами решения не находятся регулярными методами. В уравнении (2.42) положим г = 0, тогдагде (о) - матрица начальных условий. Эту матрицу можно выбрать произвольно, при классическом подходе она выбирается вполне определенно
Параметрический контур с положительными элементами, проблема устойчивости
Система уравнений контура рис. 1.1 относительного заряда q и магнитного потока Ф имеет вид:Исследование устойчивости можно продолжить, привлекая теорию квадратичных форм [135]. Формулы (3.18) представляют собой квадратичные формы. Как известно, любую квадратичную форму можно представить через симметричную матрицу. Второе неравенство (3.18) можно представить где А - симметричная, квадратная матрица 2-го порядка, (Аіс,л) — скалярное произведение двух вектор-столбцов Ах и х.
Рассмотрим некоторые малоупотребляемые в радиотехнике термины, важные для дальнейшего исследования. Если выполняется условие (A,Jc) 0 при любых вектор-столбцах х, то матрица А называется отрицательно полуопределенной. Аналогично, если (A ,X) 0, то матрица А— отрицательно определенная. Заменим требование отрицательной полуопределенности требованиями отрицательной определенности, что приводит к условиям устойчивости.
Произвольную матрицу А всегда можно проверить на отрицательную определенность, применив условия Сильвестра — необходимые и достаточные условия отрицательной определенности. Располагаем все ее главные миноры по возрастанию их порядков. Если нечетные миноры отрицательны, а четные положительны, то проверяемая матрица — отрицательно определенная.
В рассматриваемом случае матрица А содержит два главных минора.удовлетворяет условиям Сильвестра.Второй главный минор detA 0 может удовлетворять условиям Сильвестра лишь при определенных ограничениях. Заметим, что числа а1, р2 являются размерными. Их размерность можно определить, если использовать легко проверяемое положение, что отношение магнитного потока к заряду имеет размерность сопротивления. Из этого следует, что а1 имеет размерность сопротивления, а р2 - проводимости. Поэтому для физической прозрачности введем обозначения: a2 = r fi2=g- Теперь в развернутом виде и новых обозначениях запишем условие отрицательной определенности матрицы А:
За основу выбираем систему уравнений контура (3.17), а в качестве функции Ляпунова - мгновенную энергию, запасенную в реактивностях контура [105], т.е. V= вляет собой достаточные условия устойчивости (или критерий устойчивости) контура на рис.3.1.
Полученный критерий утверждает, что если, начиная с любого момента времени t0, при всех последующих значениях времени / оба нестрогихнеравенства (3.25) выполняются, то контур устойчив по Ляпунову. Если же выполняются строгие неравенства (3.25), то контур асимптотически устойчив по Ляпунову.
На практике параметрическими контурами с полезным эффектом являются параметрические усилители и преобразователи частоты, синхронные детекторы, модуляторы, обычные контуры с реактивными лампами и транзисторами. Кроме того, во многих случаях в радиотехнике стихийно реализуются параметрические контуры с вредным эффектом за счет неучтенных паразитных явлений (изменяющиеся во времени междуэлектродные емкости транзисторов; нелинейные свойства сегнетоконденсаторов и ферромагнитных сердечников, широко применяемых для микроминиатюризации и т.д.). Следует отметить, что уделение незаслуженно малого внимания теоретическому изучению параметрических явлений влечет то, что в системах радиосвязи причины радиопомех остаются неизученными, в то время как борьба с ними ведется посредством дорогостоящего экспериментирования.
Явление параметрического резонанса заключается в том, что в электрическом колебательном контуре с периодически изменяющимися реактивно стями свободный процесс беспредельно возрастает (контур неустойчив по Ляпунову).
Исследование этого явления сопряжено с большими математическими трудностями, которые не преодолены полностью до настоящего времени, так что практические потребности в анализе этого явления остаются в силе. Обычно в физических задачах составления математических уравнений, промежуточные и конечные результаты сопровождаются достаточно прозрачным физическим толкованием. При этом наблюдается полная, логически связанная картина, согласующаяся с исследуемым физическим процессом.
Рассмотрим последовательный резонансный контур, представленный на рис.3.2. Предположим, что элементы контура С, L, R постоянны. Как известно, свободный процесс заключается в том, что энергия, запасенная в реактивностях, постоянно переходит из емкости в индуктивность и наоборот, при этом часть электромагнитной энергии теряется в активном сопротивлении, преобразуясь в тепловую. При этом ток изменяется во времени по закону«затухающей косинусоиды» / = 1те ш cos(rocf + q ), где a = R12L коэффициент затухания, сос=л/со0-а - частота свободных колебаний,й 0 = 1/VZC — собственная частота контура. Мгновенные энергии, запасенные соответственно в емкости и индуктивности, где q - заряд конденсатора; IIQ напряжение на конденсаторе; Ф — магнитный поток, создаваемый катушкой индуктивности; iL - ток индуктивности (в данном случае совпадающий с током контура /). Обе энергии колеблются во времени с удвоенной частотой 2юс свободных колебаний, постепенноуменьшаясь. Как видно, свободный процесс в обычном контуре при R О всегда затухающий, т.е. обычный контур всегда асимптотически устойчив по Ляпунову. Если же реактивности изменяются во времени по периодическим законам C(t + r)=C(/), L(t + T)-L(t)t где Т- период, то свободный процесс может быть как затухающим, так и беспредельно возрастающим [167]. Рассмотрим несколько частных случаев.
Пусть емкость уменьшается скачком в тот момент, когда запасенная в ней энергия максимальна и равна полной энергии, запасенной в контуре. Через четверть периода конденсатор будет не заряжен, и запасенная в нем энергия равна нулю, в этот момент конденсатор скачком увеличивается до прежнего значения. При этом запасенная в контуре энергия не изменится. Все периодически повторяется, таким образом, энергия поступает в контур через емкость два раза за период. При анализе этого явления рассмотрим два случая [108]. Проанализируем выражение
Здесь имеется в виду, что qm = Сит const в момент скачкообразного изменения емкости. Тогда очевидно, что если емкость скачкообразно уменьшается, то амплитуда напряжения скачкообразно увеличивается, так что их произведение остается постоянным.
Развитие теории резонанса
Резонанс - центральное явление теории колебаний. Теория резонанса Горелика оказалась этапом в теории колебаний [24]. Им заложены основы теории резонанса параметрического контура. Дальнейшее развитие этой теории, приближение ее к практике происходит в настоящее время.
Но с практическим применением возникают проблемы. Перечислим некоторые из них. Последовательный контур не является характерным для параметрического контура. Тепловые потери в параметрических реактивностях больше, чем в обычных. Потери в радиоцепях обычно учитываются подключением активных сопротивлений. При возрастании тепловых потерь не только возрастает величина активных сопротивлений, но также изменяется их количество и способ подключения в радиоцепь. Кроме того, физические процессы в емкости и индуктивности таковы, что тепловые потери в них должны учитываться раздельным подключением активных сопротивлений к емкости и индуктивности, а не подключением одного общего сопротивления, как это делается в последовательном контуре. Поэтому при рассмотрении процессов в параметрическом контуре, ближе к реальности оказывается эквивалентная цепь, представленная на рис.4.2.
Резонансные явления параметрического контура с периодически изменяющимися параметрами отличаются большим разнообразием. Теория этого явления разрабатывалась в периодических и монографических публикациях [24, 23]. И все же эта теория и последующие публикации не могут считаться достаточными с точки зрения современных требований. В работе предпринимается попытка, с одной стороны, упрощения, с другой, расширения области применимости теории резонанса параметрического контура.
Дадим несколько отличное от общепринятого толкование резонанса обычного последовательного колебательного контура (рис.4.1). Дифференциальное уравнение этого контура относительно заряда конденсатора следующее При рассмотрении резонансных явлений это уравнение целесообразно представить в виде
В случае резонанса должны выполняться равенстваПонятие резонанса относится к некоторой функции процесса, в данном случае к току i = g = e/R. Решением уравнения собственных колебаний (4.34) является гармоническая функция времени заряда
Qm, ф определяются из начальных условий q(o) = 0, q(o)=R 1(Q).
Резонанс находится при воздействии гармонически изменяющейся во времени э.д.с. путем изменения ее частоты. На частоте ы; = со0 получается ток контура с максимальной амплитудой, т.е. реализуется резонанс тока с
амплитудой Im=Em [R2 + (о - (юС) J1 [ , С =E„/R.
Последовательный контур является прямым аналогом маятника при малых колебаниях. Для маятника характерны три резонансные частоты: для смещения ах, для скорости юу и для ускорения аа [34], причем выполняется условие
Аналогично для резонанса последовательного контура также характерны три резонансные частоты. Это следует их того, что при гармоническом возмущении производная тока di/dt, представляет собой гармоническую функцию времени с амплитудой to Im. Для нее резонансная частота не совпадает с резонансной частотой тока ш = и0 и равнагде р = {ЦСуі характеристическое сопротивление контура. Такую же резонансную частоту имеет напряжение индуктивности и э.д.с. самоиндукции, поскольку uL = -є, =Ldijdt. і Интеграл тока с переменным верхним пределом \idt представляет собойгармоническую функцию времени с амплитудой 1т/а . Его резонансная частота равна
Такую же резонансную частоту имеют q,uc , поскольку q = Cuc = \idt.Таким образом, в последовательном контуре имеется три резонансные частоты, связанные соотношением типа (4.36), а именно щ = G CG L .Если изменять R, то частота юі не меняется, а частоты шс, caL сдвигаются по оси частот в разных направлениях. Чем больше R, тем больше различия между этими тремя частотами, если Я = 0, то все частоты сливаются воедино. Из приведенного анализа следует, что распространенное выражение «контур настроен в резонанс», строго говоря, некорректно. Нужно конкретизировать «по току», «по заряду», «по напряжению индуктивности» и т.д. Можно говорить, что контур настроен в резонанс в случае высоко добротных контуров, когда различия между тремя частотами столь малы, что ими можно пренебречь. При подключении в контур всевозможных нагрузок выражения для резонансных частот могут сильно усложниться. Рассмотрим такой случайна рис.4.2 представлена схема контура, отличающегося от последовательного наличием проводимости G.
Этот контур представляет собой более точное приближение к реальности. Можно показать, что в данном случае резонансная частота тока, протекающего по сопротивлению R, равна ті - (ісуУі (l + 2G2R2 -2RGJ2 -G2/c2 .Сравнение резонансов в этих контурах показывает, насколько тонким и специфичным является резонанс и насколько нужно быть точным при обобщениях.Рассматривая параметрический контур, за основу возьмем последовательный контур (рис.4.1) в предположении, что элементы контура
