Содержание к диссертации
Введение
1 Математические модели каналов связи 13
1.1 Вводные замечания 13
1.2 Обобщенная классификация моделей каналов связи 14
1.3 Математические модели сигнала, помех и замираний в SISO канале 18
1.4 Математические модели сигнала, помех и пространственно коррелированных замираний в SIMO, MISO и MIMO канале 28
1.5 Оптимальная и квазиоптимальная передача и прием пространственно разнесенных сигналов 40
1.6 Выводы и постановка задач диссертационного исследования 45
2 Анализ границ вероятности ошибки для фазоманипулированного сигнала в MIMO канале в условиях пространственной корреляции 48
2.1 Вводные замечания 48
2.2 Аналитические выражения вероятности ошибки для ДФМ сигнала в SISO канале без замираний, с рэлеевскими замираниями, с замираниями Накагами 49
2.3 Аналитические выражения вероятности ошибки для ДФМ сигнала в SIMO канале с пространственно коррелированными рэлеевскими замираниями. Верхняя и нижняя границы вероятности ошибки 53
2.4 Обобщение для SIMO канала с замираниями Накагами и неравномерным распределением среднего ОСШ по антеннам в присутствии луча прямой видимости 63
2.5 Выводы 73
3 Разработка алгоритмов оптимизации пространственной структуры многоантенной системы 75
3.1 Вводные замечания 75
3.2 Разработка двумерной математической модели пространственной корреляции на основе функции пространственной корреляции 76
3.3 Методы оптимизации пространственной структуры многоантенной системы и выбор целевой функции для оптимизации 88
3.4 Градиентный метод оптимизации пространственной структуры двух-антенной системы по минимуму 2-нормы коэффициента пространственной корреляции с кластеризацией целевой функции 92
3.5 Сравнительный анализ алгоритмов оптимизации пространственной структуры двухантенной системы 104
3.6 Градиентный метод оптимизации пространственной структуры многоантенной системы по минимуму 2-нормы векторной зависимости коэффициентов пространственной корреляции от пространственной структуры 118
3.7 Выводы 120
4 Анализ эффективности предложенных методов оптимизации пространственной структуры для стандартных МІМО каналов 123
4.1 Вводные замечания 123
4.2 Эффективность оптимизации пространственной структуры антенной системы при направленном угловом спектре мощности 124
4.3 Эффективность оптимизации пространственной структуры антенной системы при равномерном угловом спектре мощности 135
4.4 Эффективность оптимизации угловой ориентации линейной антенной решетки при различной степени направленности углового спектра мощности 143
4.5 Расчет вероятности ошибки и пропускной способности стандартных МІМО каналов связи с коррелированными замираниями и оптимальной пространственной структурой 152
4.6 Выводы 161
5 Оценивание функции пространственной корреляции и углового спектра мощности с помощью измерительной многоантенной системы с оптимизированной пространственной структурой 163
5.1 Вводные замечания 163
5.2 Оценивание функции пространственной корреляции и углового спектра мощности на основе представления в базисе Фурье 164
5.3 Определение оптимальной пространственной структуры антенной системы оценивания функции пространственной корреляции при заданном угловом разрешении устройства оценивания 172
5.4 Выводы 178
Заключение 180
Библиографический список 183
- Математические модели сигнала, помех и пространственно коррелированных замираний в SIMO, MISO и MIMO канале
- Аналитические выражения вероятности ошибки для ДФМ сигнала в SIMO канале с пространственно коррелированными рэлеевскими замираниями. Верхняя и нижняя границы вероятности ошибки
- Градиентный метод оптимизации пространственной структуры двух-антенной системы по минимуму 2-нормы коэффициента пространственной корреляции с кластеризацией целевой функции
- Эффективность оптимизации пространственной структуры антенной системы при равномерном угловом спектре мощности
Введение к работе
Актуальность темы. Под пространственной структурой (ПС) радиотехнической системы передачи информации (РТСПИ) понимается взаимное расположение в пространстве разнесенных антенн, входящих в состав приемной или передающей многоантенной системы (МАС). В области применения MAC проводились широкие научные исследования, в частности, в нашей стране развитие данного направления связано с именами В.И. Сифорова, В.А.Котельникова, позднее Н.Д. Папалекси, Л.И. Мандельштама, Л.М. Финка, И.С. Андронова, Д.Д.Кловского. В связи с развитием в 80-х-90-х гг XX в. беспроводных РТСПИ с использованием MAC возник и устоялся термин «Multiple-Input, Multiple-Output (MIMO) Channel» - канал с множественным входом и множественным выходом. Использование МІМО канала для передачи данных дает потенциальный выигрыш в качестве связи за счет нескольких факторов: независимость собственных шумов каждого приемного канала, декорреляция замираний сигнала, применение пространственно-временного кодирования. Теоретическая и практическая эффективность МІМО систем подтвердила актуальность дальнейших исследований, направленных на улучшение качества связи путем более эффективного использования радиочастотного ресурса. В частности, проведенные исследования влияния корреляции замираний в антеннах МАС показали, что декорреляция замираний приводит к повышению пропускной способности МІМО канала и снижению вероятности ошибочной передачи без увеличения мощности передатчика. Таким образом, МАС обеспечивает выигрыш разнесения, обусловленный декорреляцией замираний в ее отдельных антеннах. В то же время корреляция замираний в паре антенн практически всегда существует и зависит от двух основных факторов: взаимного расположения пары антенн и среды рассеяния и переотражения электромагнитных волн на пути их распространения. Оба этих фактора учтены в математической модели пространственной корреляции, построенной на основе углового спектра мощности (УСМ) - нормированной функции распределения принимаемой МАС мощности по азимуту. Характер УСМ определяется расположением, размерами и формой отражателей сигнала - строений, холмов, деревьев и прочих предметов, расположенных в дальней зоне действия МАС и составляющих среду рассеяния и переотражения сигнала.
В большинстве исследовательских работ указывается на ослабевающую в среднем и многоэкстремальную в частных случаях УСМ корреляцию замираний при разнесении пары антенн. Таким образом, подчеркивается пространственный характер корреляции замираний. При этом не проводится анализ влияния ПС МАС на корреляцию замираний и связанные с ней качественные характеристики РТСПИ. В то же время, колебательный многоэкстремальный характер зависимости коэффициен-
та корреляции замираний от расстояния между парой антенн, а также его зависимость от УСМ указывают на возможность оптимизации взаимного расположения пары антенн в частности и ПС МАС в целом по критерию максимума качественной характеристики РТСПИ. Таким образом, оптимизация ПС РТСПИ с целью повышения пропускной способности и надежности передачи информации способствует более рациональному использованию пространственной составляющей радиочастотного ресурса и поэтому является актуальной задачей. Поскольку пространственная корреляция непосредственно связана с функцией УСМ, также актуальна задача оценивания функции УСМ с заданной точностью для последующего использования полученной оценки при решении задачи оптимизации ПС.
Цель диссертационной работы: повышение пропускной способности, а также снижение вероятности ошибки в MIMO системах передачи информации путем декорреляции замираний в элементах используемых MAC методом оптимизации ПС MAC.
Задачи исследований.
Анализ потенциальных границ эффективности оптимизации ПС MAC при передаче данных через MIMO канал с замираниями в элементах MAC.
Разработка математической модели пространственной корреляции замираний в элементах МАС в двумерной системе координат, а также задание целевой функции для оптимизации ПС МАС по критерию минимума вероятности ошибки на основе предложенной модели.
Разработка и анализ алгоритмов оптимизации ПС MAC, учитывающих многоэкстремальность заданной целевой функции, и получение с помощью разработанных алгоритмов оптимальных ПС MAC с учетом ограничений на линейный размер МАС для стандартных моделей УСМ.
Анализ эффективности оптимальных ПС МАС для стандартных моделей УСМ и сравнение вероятности ошибки, обеспечиваемой оптимальными ПС, с ее нижней границей.
Разработка метода оценивания функции УСМ на основе измерения пространственной корреляции в элементах MAC с фиксированной ПС без применения механических приводов и направленных антенн.
Методы исследований. При проведении исследований по диссертационной работе использованы методы статистической радиотехники, математической статистики, спектрального анализа и матричного исчисления. Анализ полученных решений проведен с использованием аналитических методов и численного имитационного моделирования.
Научная новизна. В рамках данной диссертационной работы получены следующие новые научные результаты.
Получены аналитические выражения верхней и нижней границ вероятности ошибки сигнала с двоичной фазовой манипуляцией в МІМО канале с дружными и независимыми замираниями Накагами-Райса соответственно, обобщенные для МАС с произвольным числом элементов и канала с произвольной глубиной замираний через число эффективных степеней свободы.
Разработана математическая модель пространственной корреляции замираний на основе комплексной двумерной функции пространственной корреляции замираний сигнала в паре антенн в азимутальной плоскости, включающая представление функции пространственной корреляции через коэффициенты разложения УСМ в базисе Фурье, число которых ограничено оценкой Манаева для ширины спектра ЧМ сигнала.
Разработаны и исследованы алгоритмы формирования оптимальных и подоптимальных ПС, учитывающие нелинейность, многоэкстремаль-ность и интерференционную природу целевой функции, а также ограничения на величину разнесения антенн в составе МАС.
Исследована эффективность полученных оптимальных и подоптимальных ПС для стандартных моделей МІМО каналов и сигналов с двоичной фазовой манипуляцией, демодулируемых по линейному алгоритму МСКО и нелинейному алгоритму V-BLAST.
Исследована эргодическая шенноновская пропускная способность стандартных моделей МІМО каналов с оптимальными ПС, а также вероятность простоя при заданной скорости передачи для каналов с оптимальными ПС в сравнении с линейной антенной решеткой, рекомендованной ITU в качестве ПС в МІМО системах.
Разработан метод оценивания функций пространственной корреляции и УСМ с использованием фиксированной МАС с оптимизированной ПС, основанный на вычислении матрицы пространственной корреляции по представительной выборке принятых сигналов и оценивании на ее основе коэффициентов разложения УСМ в базисе Фурье путем решения обратной задачи.
Практическая значимость результатов. Полученные в работе подоптимальные и оптимальные ПС МАС, а также алгоритмы оптимизации ПС предназначены для применения в беспроводных системах передачи информации, использующих разнесенный прием и передачу с помощью МАС, в частности, в системах телеметрии, радиоуправления и радиомониторинга. Предложенные оптимальные и подоптимальные ПС для стандартных моделей радиоканалов позволяют повысить их пропускную способность, снизить вероятность ошибки передачи данных или уменьшить передаваемую мощность при фиксированном уровне вероятности ошибки. Метод оценивания УСМ и алгоритмы оптимизации ПС
позволяют получить подоптимальные и оптимальные ПС для нестандартных радиоканалов и тем самым обеспечить для них выигрыш в пропускной способности и экономию мощности передачи.
Достоверность и обоснованность основных результатов диссертационной работы обеспечиваются применением при разработке и исследованиях апробированных методов статистической теории оценивания сигналов, согласованием результатов, полученных методами временного, спектрального и матричного анализа, сходимостью полученных результатов с известными в предельных случаях, согласованием полученных аналитических результатов с результатами численного имитационного моделирования.
Основные положения, выносимые на защиту.
Аналитические выражения верхней и нижней границ вероятности ошибки в MIMO канале, обобщенные для MAC с произвольным числом элементов и канала с произвольной глубиной замираний через число эффективных степеней свободы, показывающие потенциальный энергетический выигрыш от оптимизации ПС в среднем 2-3 дБ.
Двухэтапный алгоритм оптимизации ПС MAC, обеспечивающий уменьшение временных затрат на оптимизацию по сравнению с кластерным градиентным алгоритмом поиска условного глобального максимума в среднем на 20-30% благодаря рациональному выбору начальных условий и комбинации методов градиентного поиска, кластеризации и конечных приращений.
Оптимальные ПС MAC, обеспечивающие для каналов с рэле-евскими замираниями и направленным УСМ энергетический выигрыш по сравнению с линейными антенными решетками в среднем 2-3 дБ при энергетической разнице с аналитической нижней границей в среднем 0,2 дБ.
Метод оценивания функций пространственной корреляции и УСМ, позволяющий в 1,4-1,5 раз уменьшить количество антенн измерительной MAC и в 2-3 раза уменьшить ее линейный размер по сравнению с методом переопределения СЛАУ благодаря оптимизированной ПС измерительной MAC.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
Всероссийская НТК «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов», Пенза, 2003 г;
Всероссийская НТДК «Информационно-телекоммуникационные технологии» - г. Москва, МАИ, 2003 г;
12-я Международная НТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» - г. Рязань, РГРТА, 2004 г;
X международная НТК «Радионавигация, радиолокация, связь», 13-15 апреля 2004 г, г. Воронеж, ВГУ;
Юбилейная LX научная сессия РНТОРЭС им. А.С.Попова, посвященная Дню радио, г. Москва, МТУСИ, 2005 г;
15-я Международная НТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» - г. Рязань, РГРТУ, 2008 г;
34-я Всероссийская НТК «Информационные и телекоммуникационные технологии. Подготовка специалистов для инфокоммуникацион-ной среды» - г. Рязань, РВВКУС, 2009 г;
52-я НК МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» - г. Москва - Долгопрудный, 2009 г.
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа, в том числе 4 статьи в межвузовских сборниках научных трудов, 3 статьи в журналах, включенных в перечень ВАК, 14 тезисов докладов на конференциях.
Внедрение результатов. Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс Рязанского высшего военного командного училища связи, в учебный процесс Рязанского государственного радиотехнического университета, а также в ООО «Стэл Компьютерные системы», г. Москва.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка из 113 наименований, а также 7 приложений. Диссертация содержит 271 страницу, в том числе 148 страниц основного текста, 19 таблиц и 52 рисунка.
Математические модели сигнала, помех и пространственно коррелированных замираний в SIMO, MISO и MIMO канале
При проведении исследований по диссертационной работе использованы методы статистической радиотехники, математической статистики, спектрального анализа и матричного исчисления. Анализ полученных решений проведен с использованием аналитических методов и численного имитационного моделирования.
Научная новизна. В рамках данной диссертационной работы получены следующие научные результаты. 1. Получены аналитические выражения верхней и нижней границ вероятности ошибки сигнала с двоичной фазовой манипуляцией в MIMO канале с дружными и независимыми замираниями Накагами-Райса соответственно, обобщенные для MAC с произвольным числом элементов и канала с произвольной глубиной замираний через число эффективных степеней свободы. 2. Разработана математическая модель пространственной корреляции замираний на основе комплексной двумерной функции пространственной корреляции замираний сигнала в паре антенн в азимутальной плоскости, включающая представление функции пространственной корреляции через коэффициенты разложения УСМ в базисе Фурье, число которых ограничено оценкой Манаева для ширины спектра ЧМ сигнала. 3. Разработаны и исследованы алгоритмы формирования подоптималь-ных и оптимальных ПС, учитывающие нелинейность, многоэкстре-мальность и интерференционную природу целевой функции, а также ограничения на величину разнесения антенн в составе MAC. 4. Исследована эффективность полученных подоптимальных и оптимальных ПС для стандартных моделей MIMO каналов и сигналов с двоичной фазовой манипуляцией, демодулируемых по линейному алгоритму МСКО и нелинейному алгоритму V-BLAST. 5. Исследована эргодическая шенноновская пропускная способность стандартных моделей MIMO каналов с оптимальными ПС, а также вероятность простоя при заданной скорости передачи для каналов с оптимальными ПС в сравнении с линейной антенной решеткой, рекомендованной ITU в качестве ПС в MIMO системах. 6. Разработан метод оценивания функций пространственной корреляции и УСМ с использованием фиксированной MAC с оптимизированной ПС, основанный на вычислении матрицы пространственной корреляции по представительной выборке принятых сигналов и оценивании на ее основе коэффициентов разложения УСМ в базисе Фурье путем решения обратной задачи. Практическая значимость результатов. Полученные в работе подопти-мальные и оптимальные ПС MAC, а также алгоритмы оптимизации ПС могут найти применение в беспроводных РТСПИ, использующих разнесенный прием и передачу с помощью МАС, в частности, в системах телеметрии, радиоуправления и радиомониторинга. Предложенные подоптимальные и оптимальные ПС для стандартных моделей радиоканалов позволяют повысить их пропускную способность, снизить вероятность ошибки передачи данных или уменьшить передаваемую мощность при фиксированном уровне вероятности ошибки. Метод оценивания УСМ и алгоритмы оптимизации ПС позволяют получить подоптимальные и оптимальные ПС для нестандартных радиоканалов и тем самым обеспечить для них выигрыш в пропускной способности и экономию мощности передачи. Метод оценивания УСМ также может быть применен в РТСПИ с направленными антеннами для оптимизации диаграммообразования. Достоверность и обоснованность основных результатов диссертационной работы обеспечиваются применением при разработке и исследованиях апробированных методов статистической теории обнаружения и оценивания сигналов, согласованием результатов, полученных методами временного, спектрального и матричного анализа, сходимостью полученных результатов с известными в предельных случаях, согласованием полученных аналитических результатов с результатами численного имитационного моделирования. Основные положения, выносимые на защиту. 1. Аналитические выражения верхней и нижней границ вероятности ошибки в MIMO канале, обобщенные для MAC с произвольным числом элементов и канала с произвольной глубиной замираний через число эффективных степеней свободы, показывающие потенциальный энергетический выигрыш от оптимизации ПС в среднем 2-3 дБ. 2. Двухэтапный алгоритм оптимизации ПС MAC, обеспечивающий уменьшение временных затрат на оптимизацию по сравнению с кластерным градиентным алгоритмом поиска условного глобального максимума в среднем на 20-30% благодаря рациональному выбору началь и ных условий и комбинации методов градиентного поиска, кластеризации и конечных приращений. 3. Оптимальные ПС MAC, обеспечивающие для каналов с рэлеевскими замираниями и направленным УСМ энергетический выигрыш по сравнению с линейными антенными решетками в среднем 2-3 дБ при энергетической разнице с аналитической нижней границей в среднем 0,2 дБ. 4. Метод оценивания функций пространственной корреляции и УСМ, позволяющий в 1,4-1,5 раз уменьшить количество антенн измерительной MAC и в 2-3 раза уменьшить ее линейный размер по сравнению с методом переопределения СЛАУ благодаря оптимизированной ПС измерительной MAC. Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Всероссийская НТК «Современные методы и средства обработки пространственно-временных сигналов», Пенза, 2003 г; Всероссийская НТДК «Информационно-телекоммуникационные технологии» - г. Москва, МАИ, 2003 г; 12-я Международная НТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» - г. Рязань, РГРТА, 2004 г; X международная НТК «Радионавигация, радиолокация, связь», 13-15 апреля 2004 г, г. Воронеж, ВГУ; Юбилейная LX научная сессия РНТОРЭС им. А.С.Попова, посвященная Дню радио, г. Москва, МТУСИ, 2005 г; 3-я Международная молодежная НТК «Современные проблемы радиотехники и телекоммуникаций РТ-2007», 16-21 апреля 2007 г., г. Севастополь; 15-я Международная НТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций» - г. Рязань, РГРТУ, 2008 г.
Аналитические выражения вероятности ошибки для ДФМ сигнала в SIMO канале с пространственно коррелированными рэлеевскими замираниями. Верхняя и нижняя границы вероятности ошибки
В последнее время наряду с линейными приемниками получают распространение нелинейные методы обработки, отличающиеся еще более высокой вычислительной эффективностью. Примером нелинейного приемника является приемник, выполненный по архитектуре BLAST [8]. Последняя ее модификация V-BLAST [14] позволяет достигать существенно более высокой спектральной эффективности, чем линейные методы обработки. Основное отличие алгоритма V-BLAST от линейного приема в том, что производится оценка не векторного символа S, переданного МАС за такт, а поочередно каждого отдельного комплексного символа Sm, переданного каждой из М антенн, что резко уменьшает количество альтернатив, из которых выбирается максимально правдоподобная. После определения оценки очередного символа он отображается на приемную сторону путем умножения на соответствующий столбец матрицы Н и затем исключается из принятого вектора Y, после чего процедура повторяется. Оптимальный порядок оценивания определяется убыванием нормы столбцов матрицы Н, т.е. энергетическим вкладом соответствующих им переданных символов Smi,i \...M в отображенный принятый вектор Y. Таким образом, алгоритм детектирования V-BLAST содержит М циклов и выглядит следующим образом [14]:
Отметим, что архитектура V-BLAST уступает приемнику МП и линейным приемникам по вероятности ошибки, однако превосходит их по вычислительной эффективности детектирования. В связи с перспективностью данной архитектуры, представляется полезным проанализировать влияние пространственной корреляции на качество детектирования V-BLAST и эффект от оптимизации ПС на качество детектирования.
Вышеприведенный обзорный материал по математическим моделям каналов связи и методам оптимальной обработки сигналов позволяет сделать следующие выводы. Стохастические модели каналов связи, использующие аппарат математической статистики для описания широкого круга практически распространенных ситуаций, обладают такими важными преимуществами перед детерминированными моделями, как универсальность, исключение привязки к конкретным ситуациям распространения радиоволн и высокая вычислительная эффективность. При решении задачи де-корреляции замираний в MAC путем оптимизации ПС РТСПИ предпочтительными являются корреляционные стохастические модели, использующие аппарат комплексных чисел.
Приведенный в многочисленной литературе, в частности, [11], [23], [47], [56], анализ пространственной корреляции сводится к построению зависимостей коэффициента корреляции замираний в паре антенн от их взаимного положения при определенной форме УСМ. Несмотря на отмечаемый отрицательный эффект корреляции на качественные характеристики связи, задача оптимизации взаимного положения пары антенн, а также МАС в целом по критерию минимума пространственной корреляции не ставится, критерий оптимизации не формализуется, анализ потенциального выигрыша оптимизации не производится. Поскольку в MIMO архитектуре для повышения характеристик РТСПИ кроме эффекта пространственного разнесения используется эффект мультиплексирования с помощью МАС для пространственного кодирования, возникает вопрос, насколько чувствительными к пространственной корреляции являются распространенные алгоритмы пространственного декодирования и насколько могут быть улучшены характеристики систем, использующих эти алгоритмы, путем оптимизации ПС.
Типовые формы функции УСМ, определяющей пространственную корреляцию, классифицированы, что позволяет определить типовые методы оптимизации ПС для широкого круга ситуаций и провести анализ их эффективности. Однако для повышения эффективности оптимизации следует знать УСМ более точно без существенного технического усложнения MAC, что приводит к задаче оценивания УСМ с помощью MAC, используемой затем в процессе приемо-передачи. Исходя из изложенного, в данной диссертационной работе решены следующие задачи. 1. Анализ верхней и нижней границ вероятности ошибки при передаче данных через MIMO канал с замираниями в элементах MAC. 2. Разработка математической модели пространственной корреляции замираний в элементах МАС в двумерной системе координат, а также задание целевой функции для оптимизации ПС МАС по критерию минимума вероятности ошибки на основе предложенной модели. 3. Разработка и анализ алгоритмов оптимизации ПС MAC, учитывающих многоэкстремальность заданной целевой функции, и получение с помощью разработанных алгоритмов оптимальных ПС MAC с учетом ограничений на линейный размер МАС для стандартных моделей УСМ. 4. Анализ эффективности оптимальных ПС МАС для стандартных моделей УСМ и распространенных алгоритмов пространственного декодирования, а также сравнение вероятности ошибки, обеспечиваемой оптимальными ПС, с нижней границей с помощью численного имитационного моделирования. 5. Разработка метода оценивания функции УСМ на основе измерения пространственной корреляции в элементах MAC с фиксированной ПС без применения механических приводов и направленных антенн. Структура диссертационной работы организована следующим образом. Вторая глава посвящена решению первой задачи, третья глава посвящена решению второй и третьей задач, четвертая и пятая глава решают четвертую и пятую задачу соответственно.
Градиентный метод оптимизации пространственной структуры двух-антенной системы по минимуму 2-нормы коэффициента пространственной корреляции с кластеризацией целевой функции
При этом допускается уход траектории градиента за пределы текущего кластера в соседние, а также за пределы области L с допуском 0,5 длины волны. Поскольку при этом алгоритм, стартуя из разных кластеров, может найти один и тот же экстремум, в его работе должна быть предусмотрена процедура уничтожения повторяющихся экстремумов, заключающаяся в сравнении координат полученного экстремума с координатами всех ранее найденных и занесении его в набор только в том случае, если в наборе не присутствует экстремум, отстоящий от только что найденного на расстояние, меньшее допуска Dmm. С учетом (3.32) и (3.33) целесообразно выбрать размер кластера (0,2...0,5), =(0,025...0,05).
При работе градиентного алгоритма с кластеризацией возможен пропуск отдельных локальных экстремумов. Для проверки на пропуск вводится процедура дополнительного разбиения: по завершении работы градиентного алгоритма с кластеризацией область L разбивается на более мелкие кластеры, например, каждый исходный кластер квадратной формы разбивается на 4 новых. Затем процедура поиска локальных экстремумов повторяется, а найденный в результате набор экстремумов сравнивается с полученным, то есть проводится процедура уничтожения элементов нового набора элементами старого. Все оставшиеся после данной процедуры элементы нового набора — экстремумы, пропущенные на предыдущем цикле. В случае, если новый набор пуст, считается, что пропуска экстремумов не было, и полученный в результате предыдущего цикла набор передается на обработку, то есть, определение глобального экстремума или выделение наиболее значимых локальных, превосходящих заданный порог целевой функции. В противном случае повторяются процедуры дополнительного разбиения, поиска локальных экстремумов и уничтожения.
Следует отметить, что в данном методе каждый последующий цикл градиентного поиска занимает примерно в 3 раза больше времени, чем предыдущий. Поэтому дополнительное разбиение и поиск новых экстремумов не всегда является рациональным, особенно, если число пропущенных экстремумов намного меньше числа найденных, например, 1-2. Более рациональным представляется допущение пропуска определенной доли экстремумов относительно их общего количества, и останов алгоритма на основании некритичности такого пропуска. Кроме того, возможна модификация алгоритма, в которой дополнительно разбиваются только кластеры, в которых на предыдущем шаге найдены новые экстремумы.
Также для решения данной проблемы возможно использование другого метода преодоления многоэкстремальности, который заключается в порождении нескольких точек вблизи исходной точки или найденного локального экстремума. К примеру, порождаются три новые точки на расстоянии (l...2)Dmm
от экстремума: одна по ходу траектории градиента до того, как он изменил направление на противоположное, и две перпендикулярно ей. Далее каждая из порожденных точек ставится в очередь задач поиска экстремума противоположного знака. Для каждой задачи производится градиентный поиск экстремума с одним из трех перечисленных правил остановки. При этом вновь найденный экстремум должен проходить процедуру уничтожения в случае, если на расстоянии, меньшем допуска Dmm, присутствует ранее найденный экстремум того же знака. В случае если экстремум сохраняется, опять повторяется процедура порождения и постановки в очередь новых задач. Описанный метод можно комбинировать с предыдущим путем создания сетки исходных точек с возможностью порождения дочерних.
Заметим также, что благодаря осевой симметрии целевой функции время работы алгоритма можно существенно сократить, обрабатывая только половину области L и затем продублировав найденные экстремумы на второй половине симметрично относительно начала координат.
Вероятной проблемой при работе градиентного алгоритма с любым из перечисленных правил остановки является наличие протяженных оврагов целевой функции, что возможно при УСМ, близком по форме к равномерному. В этом случае остановка может произойти раньше, чем точка градиента достигнет экстремума, особенно, при малой крутизне дна оврага. Данную проблему частично могут разрешить вышеописанные способы преодоления многоэкстремальности при применении которых алгоритм завершит работу только когда всё дно оврагов будет покрыто точками, отмеченными как локальные экстремумы и отстоящими друг от друга на Dmm. Несмотря на то, что большинство этих точек не будут являться локальными экстремумами, благодаря малой крутизне дна оврага целевой функции их также можно использовать при создании оптимальных ПС, предварительно отсеяв те точки, в которых целевая функция не превосходит заданный порог.
Однако, как будет показано далее, оптимизация ПС при равномерном УСМ неэффективна. Поэтому целесообразно предусмотреть в алгоритме предварительный Фурье-анализ УСМ, и в случае, если коэффициенты разложения ат и bm, т = 1...2S, не превышают заданный порог, отказаться от поиска экстремумов и дальнейшей оптимизации ПС ввиду ее нецелесообразности.
Другой проблемой градиентного алгоритма является вероятность ошибочного принятия минимаксной точки за экстремум, что возможно при следовании градиентной траектории строго по ребру седловины целевой функции. Проблема решается путем порождения на расстоянии (l...2) min от найденного экстремума перпендикулярно траектории градиента двух новых точек с постановкой первоочередных задач поиска экстремума того же знака, при этом исходный экстремум уничтожается. В случае схождения двух порожденных точек в исходную, она считается локальным экстремумом, и производится порождение новых точек для поиска экстремумов противоположного знака и постановка в очередь соответствующих задач.
Эффективность оптимизации пространственной структуры антенной системы при равномерном угловом спектре мощности
И наконец, в пикосотовых моделях (рис. 3.16, 3.17) наблюдаются протяженные овраги целевой функции, что обуславливает чувствительность расположения экстремумов от формы УСМ и большое время работы алгоритма. Как будет показано ниже, в условиях близкого по форме к равномерному УСМ оптимизация ПС малоэффективна, поскольку существенный эффект обеспечивается простым антенным разнесением. Таким образом, для пикосотовых моделей (indoor) нет необходимости определения экстремумов целевой функции.
Градиентный метод оптимизации пространственной структуры многоантенной системы по минимуму 2-нормы векторной зависимости коэффициентов пространственной корреляции от пространственной структуры Целевая функция для поиска оптимальной имеет размерность N, что многократно увеличивает количество ее локальных экстремумов и существенно усложняет поиск глобального экстремума. В связи с этим предлагается двухэтапная процедура оптимизации ПС, не гарантирующая нахождение глобального экстремума целевой функции на области ее определения L, однако обеспечивающая высокую степень приближения вероятности ошибки на бит к предельному значению (2.15), соответствующему независимым замираниям.
На первом этапе осуществляется поиск локальных минимумов функции ц по методике, описанной в п.3.4. Из найденного набора могут быть выделены N наименьших локальных минимумов. Полученная таким образом ПС будет иметь N — \ оптимизированную пару антенн с общей антенной в начале координат при суммарном числе пар антенн 0,5JV"(iV-l). При необходимости, например, когда число найденных локальных минимумов меньше N, набор может быть дополнен путем смещения начала координат поочередно в каждый локальный минимум с фиксацией новых локальных минимумов относительно него. Далее из полученного набора М точек составляется С _х вариантов по-доптимальных ПС, которые сортируются по убыванию определителя корреляционной матрицы А(Ф). Описанный способ оптимизации ПС дает существенный эффект повышения качества связи, который может быть увеличен коррекцией ПС. Если наилучший вариант ПС обеспечивает вероятность ошибки, существенно меньшую граничного значения для некоррелированных замираний (2.15), такая коррекция является целесообразной. В этом случае одна или несколько самых лучших по эффективности ПС передаются на обработку на второй этап.
На втором этапе с помощью градиентного метода конечных приращений [84] осуществляется коррекция в пределах L подоптимальных ПС по критерию (3.21). Выражения пошагового градиентного поиска (3.30) для многоантенной системы принимают вид:Алгоритм рассматривает N \ пару антенн с общей антенной в начале координат и вычисляет N — 1 значение соответствующих градиентов. Поскольку большее значение градиента указывает на более быстрый рост соответствующей величины ц, направление движения рассматриваемой антенны, определяемое векторной суммой вычисленных градиентов, соответствует росту вели И, как следствие, росту целевой функции М(х), по-скольку остальные (0,5 -1)( -1) пар антенн на протяжении шага находятся в фиксированном положении и соответствующие им корреляционные коэффициенты не изменяются.
Для поиска ближайшего локального минимума функции М(ЛГ) шаговые коэффициенты у 0 и у О задаются исходя из соображений, описанных в п.3.4. Таким образом, алгоритм поочередно двигает каждую антенну /" на один шаг в направлении, противоположном направлению векторной суммы градиентов функции После каждого шага вычисляется значение определителя корреляционной матрицы Л(ф) для текущей конфигурации ПС и определяется знак его изменения. Если определитель на очередном шаге уменьшился, предполагается, что был пройден локальный минимум целевой функции Ы(х), и производится уменьшение шаговых коэффициентов у и у в 2 раза. При принижении модулями шаговых коэффициентов пороговых значений производится остановка алгоритма.
Следует отметить, что эффективность новых ПС, оптимизированных способом коррекции различных вариантов подоптимальных ПС, различна и неоднозначно связана с эффективностью исходных подоптимальных ПС, то есть, оптимальная ПС необязательно может быть получена коррекцией указанным способом наиболее эффективной подоптимальной ПС. В связи с этим предлагается осуществлять на втором этапе коррекцию нескольких лучших по эффективности подоптимальных ПС и из полученных выбрать ПС, обеспечивающую максимум определителя Д(Ф) и, как следствие, минимум вероятности ошибки. Данная ПС и будет считаться оптимальной.
