Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Корреляционные и полигауссовы модели и методы в теории приема сигналов 16
1.1. Основные элементы корреляционной теории приема радиосигналов в шумах 16
1.2. Гауссовские смеси как основа решения актуальных задач статистической теории радиосвязи 24
1.2.1. Полигауссовы представления случайных сигналов 26
1.2.2. Полигауссов синтез оптимального приемника при произвольно заданных флуктуациях сигналов 30
1.3. Основные результаты и краткие выводы 34
Глава 2. Суммарно - смешанные полигауссовы вероят ностные модели случайных процессов 35
2.1. Феноменологическое и теоретико-вероятностное обоснование моделей входных колебаний приёмника при одновременной ра боте в общей зоне радиосистем с подвижными объектами 37
2.1.1. Случайный процесс на входе приемника при случайных потоках флуктуирующих сигналов 52
2.1.2. Определение суммарно-смешанного полигауссового (ССПГ) процесса 55
2.1.3. Систематизация и классификация ССПГ моделей 57
2.1.4. Плотности вероятности ССПГ процессов 62
2.2. Количество базовых параметров при ССПГ и количество пара метров компонент в общем случае ПГ 70
2.3. Взаимосвязь параметров смеси и компонент 78
2.3.1. Взаимосвязи средних значений 79
2.3.1.1. Взаимосвязь между параметрами компонент и их смеси в ССПГ.. 80
2.3.1.2. Вывод формулы для дисперсии 82
2.4. Суммарно-смешанные ПГ явления при аддитивных различиях исходных компонент 83
2.4.1. Особенности структуры ССПГ моделей при независимых гауссовых исходных сигналах 84
2.4.2. Особенности структуры ССПГ моделей при независимых полигауссовых исходных сигналах 87
2.5. Полное вероятностное описание объектно-сигнальной ситуации со случайным числом подвижных объектов 90
2.5.1. Постановка задачи 90
2.5.2. Условные плотности вероятности входного колебания приёмника РЛС 91
2.5.3. Безусловная плотность вероятности входного колебания приёмника РЛС при случайном числе объектов 92
2.5.4. Математическое ожидание входного колебания приёмника 93
2.5.4.1. Условное математическое ожидание при условии наличия произвольно заданного фиксированного числа объектов (j=const) 93
2.5.4.2. Безусловное математическое ожидание 95
2.6. Основные результаты и краткие выводы 95
Глава 3. Синтез оптимальных алгоритмов обработки сигналов при суммарно-смешанных полигаус совых моделях флуктуации 97
3.1. Бинарный приём бигауссовских сигналов с аддитивными различиями 98
3.2. Обнаружение - различение моногауссовских сигналов 110
3.3. Оптимальный прием произвольного числа полигауссовых сигналов с аддитивными различиями 112
3.4. Технико-технологические аспекты реализации ССПГ-алгоритмов обработки сигналов 118
3.5. Основные результаты и краткие выводы 122
Глава 4. Статистическое моделирование сспг алгорит мов обработки сигналов и оценка их помехо устойчивости 124
4.1. Структура имитационно-моделирующего комплекса 124
4.2. Теоретические основы построения имитаторов сигналов при различных объектно-сигнальных ситуациях 125
4.3. Реализационные вопросы построения типовых элементов блок -схем ССПГ имитаторов сигналов 143
4.3.1. Эмуляция генераторов гауссовых случайных величин с задаваемыми параметрами 143
4.3.2. Построение стохастических коммутаторов 144
4.3.3. Общее описание алгоритма 146
4.4. Система регистрации результатов статистических испытаний исследуемых алгоритмов обработки сигналов 147
4.5. Описание результатов статистического моделирования синтезированных алгоритмов 148
4.6. Основные результаты и краткие выводы 157
Заключение 158
Список литературы 160
- Гауссовские смеси как основа решения актуальных задач статистической теории радиосвязи
- Взаимосвязь параметров смеси и компонент
- Обнаружение - различение моногауссовских сигналов
- Реализационные вопросы построения типовых элементов блок -схем ССПГ имитаторов сигналов
Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время происходит стремительное развитием радиотехнических систем различного назначения. Сигналы и помехи в радиоканалах радиотехнических систем носят стохастический характер, представляют собой случайные процессы, реальные флуктуации которых не полностью описываются отдельными стандартными малопараметрическими распределениями вероятностей. Гауссовские модели, во многих случаях имеющие важное практическое значение, не всегда позволяют с достаточно хорошим приближением аппроксимировать помеховые процессы и сигналы в реальных радиоканалах. Помехи различного вида, такие как внутрисистемные помехи, индустриальные помехи и многие другие объективно имеют сложные негауссовские распределения вероятности. Это приводит к тому, что существующие алгоритмы обработки сигналов в рамках традиционного корреляционного подхода становятся неадекватными реальной сигнально-помеховой обстановке в радиоканале. Актуальным направлением совершенствования современных радиотехнических систем является теоретическая разработка перспективных вероятностных моделей представления сигналов, соответствующих методов анализа и синтеза алгоритмов их обработки.
В течении ряда лет исследовательский коллектив под руководством проф. Чабдарова Ш.М. развивает основные направления разработки адекватных вероятностных моделей случайных сигналов, синтез алгоритмов оптимального приема сигналов в комплексе помех, анализ преобразования случайных процессов в радиотехнических цепях, вопросы формального описания и оптимизации структур алгоритмов и реализующих их устройств с применение смесей стандартных распределений. Такой подход позволяет описать сколь угодно сложное распределение совокупностью стандартных распределений. Благодаря известным достоинствам гауссовских распределений для статистической теории радиоприема при произвольных флуктуациях сигналов, помех и возмущающих воздействий наиболее удобными оказываются смеси именно гауссовских распределений – так называемые полигауссовы модели, позволяющие описать распределение любых физически реализуемых сигналов или помех, с заданной точностью смесью конечного числа гауссовых компонент.
Кроме того, бурное развитие вычислительной техники позволяет реализовать сложные параллельные алгоритмы цифровой обработки в малых габаритах с невысоким энергопотреблением, что делает их легко применимыми в современных системах, в том числе и мобильных. Важным преимуществом применения смесевых моделей является получение параллельных структур алгоритмов обработки сигналов, которые полностью согласуются с современными параллельными вычислительными структурами, применяемыми при их реализации.
Основной недостаток смесевых моделей, и полигауссовых в частности, является резкий рост количества компонент, которые необходимо учитывать при случайном наложении различных сигналов и помех друг на друга. Решение этой проблемы приводит к разработке и исследованию различных смесевых распределений, позволяющих для определенного типа сигналов снять указанную проблему.
Одним из широко распространенных является случай, когда на входе приемника радиотехнический системы присутствует сумма произвольной комбинации из конечного набора сигналов и помех. Решение задачи построения адекватной модели распределения с ограничением каналов параллельной обработки, позволит реально использовать смесевые представлении распределений в жизни, тем самым улучшить характеристики данного класса систем. Разработка адекватных моделей и оптимальных алгоритмов приема случайно комбинирующего конечного набора дискретных сигналов с произвольно задаваемыми флуктуациями является, безусловно, актуальной в настоящее время.
Полигауссовы модели случайных явлений образуют широкое множество специфических подклассов, различающихся как свойствами входящих в соответствующие смеси гауссовских компонент, так и свойствами смешивающих вероятностных распределений – «механизмами» смешивания гауссовских компонент.
В работе представлена характеризация и применение нового подкласса полигауссовых моделей сигнально-помеховых комплексов– суммарно-смешанных полигауссовых (ССПГ) моделей для повышения полноты описания реальных сигналов и помех и решения задач оптимальной обработки сигналов в радиоканалах радиотехнических систем.
Цель и задачи диссертации
Целью работы является разработка и исследование оптимальных процедур обнаружения – разрешения дискретных сигналов с произвольно задаваемыми флуктуациями на основе их единообразного вероятностного описания.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Феноменологическое и теоретико-вероятностное обоснование адекватной поставленной цели математической модели входного колебания приемника при случайном количестве сигналов с произвольно заданными флуктуациями на фоне шума;
Определение и исследование основных свойств полного вероятностного описания результирующего входного колебания приемника и взаимосвязей его параметров с параметрами флуктуаций исходных сигналов;
Синтез оптимального по критерию максимума правдоподобия алгоритма обработки входного колебания приемника, его сопоставление с известными;
Разработка имитационно-моделирующего комплекса и статистические испытания синтезированного алгоритма в сопоставлении с традиционным корреляционным алгоритмом.
Методы исследования
В диссертационной работе для решения поставленной задачи используются методы теории статистических решений, теории передачи и кодирования информации, полигауссовых случайных процессов. Реализация и проверка полученных теоретических результатов осуществлена на основе методов статистического имитационного моделирования с использованием ПЭВМ.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
показано, что в радиоканалах, где случайным образом могут быть или не быть независимо друг от друга любые количества дискретных флуктуирующих сигналов, входные колебания приемников есть вероятностные смеси разнородных случайных явлений;
предложен новый класс полигауссовых вероятностных процессов: суммарно-смешанные полигауссовы процессы (ССПГ);
определены основные свойства ССПГ процесса и взаимосвязь его вероятностных параметров с параметрами образующих его случайных процессов;
определена методика синтеза оптимального алгоритма обнаружения – разрешения дискретных сигналов с произвольно заданными физически реализуемыми флуктуациями на фоне шума;
Практическая ценность работы состоит в том, что в ней:
развита методика построения вероятностных моделей процессов, являющихся смесью комбинаций негауссовых сигналов, позволяющей получить модели с инвариантной структурой и количеством компонент;
синтезирован оптимальный алгоритм обнаружения – разрешения дискретных сигналов с произвольно заданными физически реализуемыми флуктуациями на фоне шума;
разработан виртуальный имитационно – моделирующий комплекс для статистических испытаний процедур обнаружения – разрешения дискретных сигналов с произвольно задаваемыми флуктуациями;
получены статистические оценки полных и условных вероятностей решений синтезированного ССПГ алгоритма, подтверждающие его превосходство по сравнению с соответствующим корреляционным алгоритмом.
Положения, выносимые на защиту:
Новый класс полигауссовых вероятностных процессов: суммарно-смешанные полигауссовы процессы (ССПГ);
Определение, характеризация и взаимосвязь вероятностных параметров суммарно-смешанного полигауссового процесса с параметрами образующих его случайных процессов;
Методика и результаты синтеза оптимального алгоритма обнаружения – разрешения дискретных сигналов с произвольно заданными физически реализуемыми флуктуациями на фоне шума;
Виртуальный имитационно – моделирующий комплекс для статистических испытаний процедур обнаружения – разрешения дискретных сигналов с произвольно задаваемыми флуктуациями;
Статистические оценки полных и условных вероятностей правильных и ошибочных решений синтезированного ССПГ – алгоритма в сопоставлении с соответствующим корреляционным алгоритмом.
Апробация работы
Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных и научно-практических конференциях: «XVIII конференции молодых ученых и специалистов», Украина, Харьков, 2004г.; X юбилейной международной научной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации», Украина, Харьков, 2004г.; Первой научной технической конференции зарубежных аспирантов и магистров КГТУ им. Туполева, г. Казань, 2005г.; III Международной научно-практической конференции «Инфокоммуникационные технологи Глобального информационного общества». Казань, 2005г.; второй научной технической конференции зарубежных аспирантов и магистров КГТУ им. Туполева, г. Казань, 2006г.; IV Международной научно-практической конференции «Инфокоммуникационные технологи Глобального информационного общества», Казань, 2006 г.; Международной молодежной научной конференции «XIV Туполевские чтения», Казань, 2006 г.; Первой международной научной конференции «Глобальные информационные системы. Проблемы и тенденции развития», Украина, Харьков, 2006 г.
Публикации
По материалам диссертации опубликованы 11 научных работ (из них без соавторов – 5), в том числе:
2 статьи – в периодическом научном журнале «Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева» за 2006г. № 4; в «трудах III Международной научно-практической конференции «Инфокоммуникационные технологи глобального информационного общества», г.Казань, 2006г,
8 тезисов докладов на международных научных и научно технических конференциях и на конференциях молодых ученых и специалистов.
Один рукописный отсчет по НИР 06-6.8.1/2006 (ФП) АНРТ, выполненной в рамках Плана НИР Академии наук Республики Татарстан.
Реализация результатов работы
Результаты проведенных исследований использованы: при выполнении НИР «Посткорреляционные модели и методы статистического анализа и оптимального синтеза для разработки аналоговых и цифровых устройств радиоэлектронных систем» по Плану приоритетных фундаментальных и прикладных исследований Академии наук Республики Татарстан на 2006-2008 г.; шифр 06-6.8.1/2006 (ФП) АНРТ; в Институте радиоэлектроники и телекоммуникаций Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева при проведении учебного процесса – в лекционном курсе и лабораторном практикуме по дисциплине «Статистические методы обработки сигналов» по специальности 210304 Радиоэлектронные системы, а также в рамках бакалаврской и магистерской подготовки.
Структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из наименований. Работа изложена на страницах машинописного текста в котором приведены рисунков, и таблиц.
Гауссовские смеси как основа решения актуальных задач статистической теории радиосвязи
Комплекс сигналов есть некоторый многообразный случайный процесс. В зависимости от сложившейся в радиолинии обстановки случайным образом может иметь место та или иная конкретная сигнальная ситуация, а во время приема конкретного сигнала - любая реализация этой ситуации. Если иметь распределения вероятностей этих ситуаций и условное распределение сигналов при каждой из них, то по известной формуле полной вероятности [85] результирующее распределение может быть представлено взвешенной суммой условных. Эти и подобные соображения приводят к использованию смесей стандартных распределений для описания сложных реальных сигналов и их комплексов [36].
Практическая ценность излагаемого здесь подхода определяется возможностью использования известных достижений корреляционной теории (обширной литературы, накопленного во многих отраслях опыта и проверенных технических решений) в новых, более сложных условиях, чегонедостает зачастую известным новым направлениям статистической радиотехники (См. например, [29, 89]).
Таким образом, для решения актуальных задач теории и практики радиосистем плодотворна идея целенаправленного использования стандартных смесей, в особенности гауссовских распределений.
Вероятностные смеси гауссовских распределений обладают рядом замечательных свойств [64-65], среди которых следует выделить следующие:1. Вероятностные смеси гауссовских распределений обеспечивают адекватное описание широкого класса нестандартных случайных явлений.2. Класс полигауссовых вероятностных моделей является замкнутым относительно линейных преобразований.3. Произвольные нестандартные случайные явления описываются с помощью конечного набора параметров, допускающих возможность их статистического оценивания в условиях априорной неопределенности.4. Использование полигауссового подхода позволяет использовать весь огромный теоретический и практический задел, наработанный в рамках корреляционной теории и ее приложений.5. Полигауссовы модели и методы обеспечивают аналитическое решение задач синтеза основных классов алгоритмов обработки сигналов и принятия решений в негаусссовской постановке.6. Полигауссовы методы приводят к многоканальным параллельным алгоритмам, в каждом из каналов которых выполняется однотипный набор стандартных операций не выше второгопорядка.7. Структура получаемых алгоритмов является инвариантной к видураспределений входной информации. Свойства 1 - 5 позволяют эффективно использовать полигауссовы модели и методы при создании алгоритмического обеспечения современныхрадиотехнических систем и обуславливают адекватность указанного подхода современным информационным технологиям.
Свойства 6-7 позволяют эффективно реализовывать синтезированные в рамках полигауссового подхода алгоритмы на основе современных параллельных программно-аппаратных средств и обуславливают его адекватность современным материальным технологиям.
С целью решения актуальных задач теории и практики радиосистем используем представление флуктуирующих сигналов в полигауссовой форме. Обратимся к основным определениям.
Случайный сигнал называется полигауссовым, если соответствующие закон распределения вероятности /л[] и плотность вероятности а [] представимы смесями гауссовских в дискретной формеили в смешанной дискретно-непрерывной формет.е. если возможны точные или приближенные представления (1.19)-(1.21), где MnU Мс[] И МС„П есть гауссовские распределения вероятности; wn[], wG[] и wa[] - гауссовские плотности вероятности, различающиеся или средними, или ковариациями, или и тем и другим, а "взвешивающие" сомножители {?„}, dG иdGn, как правило, имеют смысл дискретных или непрерывных распределений вероятности и удовлетворяют условию нормировки. Прежде всего отметим, что использование систем гауссовских процессов при полигауссовых представлениях случайных сигналов означает разложение не отдельных реализаций этих сигналов по элементам гауссовского базиса, как при известных представлениях Карунена-Лоэва, Котельникова, Пугачева, а напротив, все возможные реализации сигналов используются в неизменном виде. На множестве всех возможных реализаций негауссовских сигналов определяются некоторые гауссовские распределения вероятности.
Физическое содержание полигауссовых моделей можно представить следующим образом. Как известно, все рассматриваемые в теории вероятностей случайные явления имеют место при соблюдении определенного комплекса условий, что и является основой их статистической устойчивости - теоретико-вероятностной однородности. Возможность представления тех или иных случайных явлений смесью некоторых типовых, в частности, гауссовских явлений, отражает возможность дополнений, усилений исходного комплекса условий таким образом, что эти усиленные частные случаи комплекса условий приводят к типовым случайным явлениям; при этом результирующий комплекс является относительно широким. Как следует из предыдущего, практически все возможные в радиосистемах объектно-сигнальные ситуации не противоречат подобным представлениям.
Итак, наряду с двумя простейшими в определенном смысле классами случайных сигналов гауссовскими и марковскими, которые находят наиболее широкое применение в статистической теории радиосистем, весьма полезны полигауссовы модели. Взаимоотношения между марковскими, гауссовскими и полигауссовыми случайными процессами удобно представить следующей диаграммой, которую будем называть "диаграммой случайных процессов". Отложим на оси абсцисс - оси времени - конечный интервал и разобьем его на конечное число частей, как показано на рис. 1.2. Вдоль оси ординат - оси
Взаимосвязь параметров смеси и компонент
По определению, вероятностная смесь случайных явлений суть плодотворное двухуровневое представление её стохастических свойств:- стохастизм «компонентный», формализуется описанием смешиваемыхкомпонент с определенными вероятностными свойствами;- стохастизм «механизма смешивания», формализуемый описаниемраспределения вероятностей возникновения смешиваемых компонент.
Полные вероятностные свойства смеси определяются совокупностью соответствующих свойств указанных двух уровней формализации.
Для эффективного использования в теории и практических разработках свойств вероятностно смешанных моделей случайных явлений необходимы явные количественные выражения взаимосвязей вероятностных параметров смеси и компонент.
Получим соответствующие выражения для взаимосвязей параметров, существенных для решения поставленных в диссертации задач. Вначале приведем вывод известного [4, 84] соотношения для полигауссовых случайных процессов общего вида.
По определению, среднее значение вектора случайных скалярных величин, имеющих плотность вероятности W{u), есть первый начальный момент: Взаимосвязь между параметрами компонент и их смеси в ССПГ
Для ССПГ далее впервые получены выражения для среднего значения ССПГ in через параметры \p„q ,fh ) отдельных компонент исходных шлигауссовых моделей сигналов.
Рассмотрим ССПГ, образованный на основе трех исходных независимых типов сигналов S, с вероятностью появления Рпсоответственно / = 1,3 (т.е. получается суммарно-смешанный процесс из трех исходных гауссовых). Но поскольку может не быть ни одного сигнала, то в ССПГ должен быть учтен данный случай, S0 с вероятностьюпоявления Р0, средним т0=0, дисперсией Оо=0. В этом случае плотность вероятности входного колебания приемника равна:
Заметим, что конкретный вид первого слагаемого в (2.40) q0S(u), содержащий 5 -функции, может быть получен предельным переходом из многомерной гауссовой плотности вероятности при т0 - 0,тк - 0,к = \,К.В этом случае мы имеем выражение для каждого ihn и qn. Подставим их в формулу (10) и приведем подобные члены. При N=3 имеем:
Эта формула связывает среднее значение суммарно-смешанного полигауссового процесса со средними значениями только исходных составляющих, т.е. среднее значение ССПГ зависит только от средних значений и вероятностей исходных составляющих.
Если исходные сигналы полигауссовы, можно получить выражение для среднего значения ССПГ через все отдельные средние значения всех трех компонент исходных трех полигауссовых сигналов, то вероятность реализации каждой из компонент определяется как Рд щ, где / - номерсигнала, а п - номер гауссовой компоненты. Следовательно, исходя из (2.39) и (2.42) получим:
Таким образом, мы получаем формулу, в которую входят только средние значения \т } исходных ПГ со сложными вероятностями, которые учитываютисходные вероятности Р, появления каждого сигнала и исходные вероятностигауссовых компонент q в каждом /- ом сигнале. Для нахождения среднего значения для произвольного фиксированного числа J=const, получим:
По этой же методике можно рассмотреть самую общую постановку этой задачи: получить выражение для среднего значения ССПГ процесса при случайном значении числа J сигналов, которые могут участвовать в объектно-сигнальной ситуации. Исходное число J также случайно свероятностями г, где J = l,Jttax; /y=1- При этом итоговый процессполучается полигауссовым с вероятностью реализации компонент rjPtq , и на основе (2.39) и (2.42) получим:
Таким образом, среднее значение ССПГ в целом, а также и всех входящих в эту вероятность комбинационных компонент с отличными от нуля количеством поступивших в момент наблюдения на вход приемника сигналов выражается через средние значения гауссовых компонент лишь исходных сигналов.По определению, дисперсия случайной величины есть второй центральный момент, который связан со вторым начальным моментом //2 через математическое ожидание:
Операции суммирования, умножения на постоянное число есть линейные операции, поэтому они могут быть переставлены местами с операциейинтегрирования, а с учетом m=
При гауссовых компонентах с аддитивными различиями (т.е. ап = а0 при n = \,N) выражение (2.51) упрощается:
Специально рассмотрим практически важный случай, когда в вероятностных моделях исходных сигналов среднеквадратические отклонения у всех гауссовских компонент равны друг другу: ах = аг = съ=--= а а. При этом ограничении выражения для комбинационных дисперсий имеют следующий вид: Это означает, что гауссовские компоненты всех сигналов различаются только средними значениями - т.е. имеют аддитивные различия.2.4.1. Особенности структуры ССПГ моделей при независимых гауссовых исходных сигналах.
Конкретизируем полученное в разделе 2.1.4 общее выражение (2.23) для плотности ССПГ-моделей входного колебания приемников при гауссовости произвольно заданном числе гауссовых сигналов с аддитивными различиями. При этих ограничениях результирующая плотность вероятности принимает вид:
Обнаружение - различение моногауссовских сигналов
Рассмотрим задачу синтеза оптимального алгоритма радиоприема сигналов {s{,)(u)},i = VJ с аддитивными различиями (т.е. У,=СГ ) на фонемоногауссовского шума при х0 = а с учетом стохастического механизма образования суммарно-смешанного входного колебания приемника. Каждый сигнал может быть на входе приемника с вероятностью 0 р, 1, при этом в каждый момент времени на входе может присутствовать только один сигнал. Таким образом, вероятности р, характеризуют полную группу событий вместес вероятностью р0 отсутствия сигналов р, = 1.
Эти условия означают постановку задачи обнаружения-различения двух сигналов, оптимального в смысле максимальной вероятности правильных решений.
В этом случае алгоритм приема сводится к известному частному случаю - алгоритму обнаружения - различения гауссовских сигналов при гауссовом шуме:
Отношение правдоподобия для случая, когда пришел сигнал с номером /=1 с шумом: В данном частном случае обобщенный алгоритм разрешения ССГТГ сигналов сводится к известному корреляционному алгоритму обнаружения-различения сигналов, что свидетельствует в пользу корректности более общих, впервые полученных в других разделах данной главы алгоритмов ввиду общности методики получения их всех.
Рассмотрим общий случай, когда исходные сигналы естьполигауссовские с аддитивными различиями исходных компонент, т.е. для всех гауссовских компонент каждого сигнала все дисперсии одинаковыРш[ =р(2)", =I,N,; но для различных сигналов дисперсии могут бытьразличными i,j = 1,1. Может быть / сигналов {S(,)(H)}, І = 1,/.
Известно, что гипотеза, которая может быть истинной при нескольких частных случаях, называется «сложной», а составляющие её частные гипотезы называются «простым».
Таким образом, в нашем случае, имеем:1. Простая гипотеза об отсутствии сигналов;2. Сложная гапотеза о наличии сигнала /=1, состоящая из N, простыхгипотез:- приход гауссовской компоненты первого сигнала с номером - Приход гауссовской компоненты первого сигнала с номером
Аналогично и для других сложных гипотез о наличии одинарного сигнала. 3. Сложная гипотеза о наличии двух сигналов с номерами /=1, i=2, но она состоит из N,N2 простых гипотез:
Аналогично и для других сложных гипотез о наличии различныхкомбинаций сигналов (двойных, тройных, ).В соответствии с этим оптимальный алгоритм состоит в сравнении полных условных вероятностей этих указанных сложных гипотез для имеющегося в приемнике колебания и, получаемого в конкретном наблюдении.
Это означает, что для каждого конкретного значения и, имеющегося в момент наблюдения на входе приемника нужно определить наибольшее значение полной условной вероятности:
Надо отметить, что каждая из сигнальных гипотез может иметь место при различных гауссовских компонентах, входящих в плотности вероятности рассматриваемых сигналов.
Так, например, сложная гипотеза «2» о наличии только одного сигнала i = \ может быть истинной как при наличии гауссовскои компоненты этого сигнала с номером я, = 1, так и при наличии гауссовскои компоненты этого же сигнала с номером «, = 2, л, = 3, и, = 4, ,и, = Nx.
Таким образом, при принятии решения необходимо вычислить степень правдоподобия соответствующей сложной гипотезы при данном входном колебании и . Для каждой сложной гипотезы вычисляются степени правдоподобия входящих в неё простых гипотез, они со своими вероятностями114 суммируются, образуя степень правдоподобия этой сложной гипотезы. Затем выбирается гипотеза имеющая максимальное значение апостериорной вероятности. Таким образом, алгоритм разрешения имеет вид :
Алгоритм оптимального разрешения сигналов, представленных в виде суммарно-смешанных полигауссовых моделей, сводится к вычислению степени правдоподобия сложных гипотез и принятию решения о наличии конкретного сигнала или их конкретной комбинации из множества различных сигналов по оценке правдоподобия сложной гипотезы.Отношения правдоподобия для случая наложения / сигналов вычисляются как:
Алгоритм разрешения (3.15)-( 3.16), полученный для одномерного случая анализа одного отсчета входного колебания и может быть обобщен и для случая совместного анализа вектора отсчетов входного колебания и: Входящие в (3.17) частные гауссовские функционалы отношения правдоподобия в этом случае будут иметь известный вид:
Реализационные вопросы построения типовых элементов блок -схем ССПГ имитаторов сигналов
При компьютерном моделировании физических процессов широко используются методы, основанные на применении случайных чисел с заданным законом распределения, которые являются строго говоря, псевдослучайными -приближениями к реальным случайным числам. В системе MATLAB присутствуют функции для генерации таких случайных чисел. Примеры использования функции генерации случайных чисел:
Генерация вектора значений первой компоненты бигауссова сигнала:Xl=normmd(MUl,SIGMAl,M,N) функция предназначена для генерации случайного числа с размерностью m-n элементов по нормальному закону для каждой пары параметров MU1 (математического ожиданиям) и SIGMA 1 (среднего квадратического отклонения а). Пределы возможных значений этих параметров общеизвестны: - хкт оо ; 0 о- од
Генерация вектора значений второй компоненты бигауссова сигнала: Для получения второй компоненты удобно применить ту же функцию, что и в случае генерирования первой компоненты. Отличие лишь в том, что её параметры будут MU2 и SIGMA2, т.е. X2=normrnd(MU2,SIGMA2,M,N). При этом возвращаемое число зависит от заданных аргументов (параметров).
Коммутатор стохастический с частостью, определяемой вероятностью р,, случайным образом подключает к выходу имитатора или ко входу соответствующего внутриструктурного блока имитации полигауссового промежуточного процесса в общей структурной схеме тот или иной генератор гауссовых (или полигауссовых) случайных процессов YTJ ,t=\,I, n=\,Nt.
Стохастический коммутатор передает на выход в каждый заранее определенный интервал времени значение только одного из входов. Каждый гауссов сигнал или каждый компонент полигауссового сигнала генерируется отдельно, как случайные величины, распределенные по нормальному закону с математическим ожиданием MU и среднеквадратическим отклонением erf, .Принцип работы коммутатора заключается в том, что коммутатор подключает к выходу тот или иной генератор гауссовых случайных чисел в соответствии с их значениями и вероятностями (частостями).
Стохастический коммутатор может быть реализован с использованием схемы показанной на Рис.4.13. Здесь стохастический коммутатор выполнен на основе генератора случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1], которому принадлежат априорные вероятности всех возможных входных величин. Если весь интервал [0,1] разбить на / непересекающихся интервалов соответствующих вероятности наличия / входов т.е
Каждому из указанных интервалов (вероятностей) соответствует вероятность подключения генератора случайных чисел с конкретным номером. Если результат наблюдения оказался в #(1), то подключается генератор ГГ(1) и т.д. Таким образом, подключение каждого отсчета связно с его вероятностью.дгм q 1 - g то подключается генератор ГГ Если в дальнейшем необходимо иметь информацию в аналоговой форме, то используется цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Однако это устройство может и отсутствовать, если в экспериментах сигналы представлены конечными совокупностями цифровых отсчетов в дискретном времени и потому подвергаются только цифровым преобразованиям.
Можно выделить следующие этапы моделирования:- Определение числа испытаний М: программа позволяет выбратьколичество (объем выборки) и размерность моделируемых векторов,количество отсчетов входного колебания в дискретном времени;
Подготовка и введение необходимых в проводимом эксперименте числовых исходных данных, в том числе: р, - вероятность появления г-ого сигнала, і = 1,1; q - весовой коэффициент п, -ой компоненты і - ого сигнала; SIGMA } - СКО и,-ой компоненты /-ого сигнала; MU%} - мат ожидание л,-ой компоненты /-ого сигнала;- Генерирование реализации требуемых случайных величин (генерациякомпонентов сигналов и конструкции ССПГ модели моделируемогопроцесса);
Моделирование выполнено для различных совокупностей исходных данных, т.е. изменяются количества и параметры отдельных гауссовых компонент сигналов, количество самих исходных сигналов.
При проведении серии экспериментов по М опытов в каждой серии в каждом опыте с помощью совокупности генераторов случайных чисел формируется выборка независимых, распределённых по закону Гаусса величин 5,,-, 5;, с параметрами q }, т }, г(,). Сигналы могут появляться как поотдельности, с вероятностью Р{, так и в различных случайных комбинациях, нокаждый сигнал в отдельно взятом опыте представлен одной и только одной своей компонентной, так как реализация той или иной компоненты в каждом отдельном опыте есть появление определенного исхода из полной группы N
Независимых событий q = \ql \--,qljK-", q }, і = 1,/ , 7Л =1.- Имитации работы алгоритма. Принятия решений путем выбора максимума. Результаты работы накапливаются для последующей статистической обработки;- Статистическая обработка реализации;- Обработка и представление результатов экспериментов;
В связи со всем вышеизложенным, процесс генерации и расчёта продолжается М раз, по полученным в каждом цикле моделирования отсчетам вычисляются вероятности правильных и ошибочных решений.
Для вычисления вероятности ошибки имеется две группы счетчиков. В первую группу входят счетчики событий, которые отражают фактическую ситуацию о наличии и отсутствии сигналов. Во вторую группу входят счетчики событий, которые отражают фактически принятые решения о наличии и отсутствии сигналов на выходе приемника после анализа его входного сигнала.Используемые счетчики:Счетчики ситуаций появлений исходных отдельных сигналов и их различных комбинаций;
Счетчики ситуаций правильного обнаружения для всех сигналов;Счетчики ситуацийнеправильного обнаружения для всех сигналов;В процессе наблюдения имеет место одно из событий первой группы и одно из событий второй группы. По результатам наблюдений возникает один из двух вариантов. Один из этих вариантов дает безошибочные решения: правильное обнаружение имеющегося сигнала или фиксацию отсутствия сигналов. Другой вариант дает ошибочные решения: пропуск сигнала и ложная тревога.Результаты принятия решений (правильных и ошибочных) с указанием
