Содержание к диссертации
Введение
1. Многоэлементные устройства СВЧ в радиотехнических системах
1.1. Задачи разработки устройств СВЧ 13
1.2. Выбор системы параметров при построении математических моделей устройств СВЧ 14
1.3. Принцип декомпозиции. Математическая модель многоэлементного устройства СВЧ 18
1.4. Алгоритмы численного анализа устройств СВЧ 22
1.5. Параметрический синтез устройств СВЧ как нелинейная многоэкстремальная задача условной оптимизации 27
1.6. Двухэтапный алгоритм параметрического синтеза устройств СВЧ... 31
1.7. Выводы .-. 33
2. Алгоритмы локальной оптимизации в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ 34
2.1. Модельная схема методов локальной оптимизации 35
2.2. Сравнительный анализ эффективности методов локальной оптимизации в задачах синтеза устройств СВЧ
2.2.1. Метод Ньютона и квазиньютоновские алгоритмы 47
2.2.2. Влияние процедур численного дифференцирования на эффективность квазиньютоновских методов 59
2.2.3. Методы условной оптимизации
2.3. Критерии останова 66
2.4. Практическая реализация методов локальной оптимизации. Оценка их эффективности на основе решения тестовых задач 67
2.5. Выводы 72
3. Алгоритмы глобальной оптимизации в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ 74
3.1. Методы поиска глобального экстремума, основанные на использовании алгоритмов локальной оптимизации 76
3.2. Алгоритмы минимизации функций с ограниченной скоростью изменения 78
3.3. Методы глобальной оптимизации, основанные на использовании статистических моделей целевых функций 83
3.4. Глобальный случайный поиск 89
3.5. Метод динамического программирования и его модификации 90
3.6. Оценка эффективности методов динамического программирования в двухэтапном алгоритме глобальной оптимизации на примере решения тестовых задач 96
3.7. Выводы 100
4. Параметрический синтез и статистический анализ реальных устройств СВЧ 102
4.1. Анализ чувствительности устройств СВЧ 102
4.2. Статистический анализ устройств СВЧ 103
4.3. Примеры параметрического синтеза и статистического анализа реальных устройств СВЧ 107
4.4. Выводы 123
5. Программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ "Модель-С" 124
5.1. Назначение, структура и особенности функционирования программного комплекса "Модель-С" 124
5.2. Пользовательский интерфейс программного комплекса "Модель-С" 128
5.3. Выводы 146
6. Заключение 147
7. Библиографический список
- Принцип декомпозиции. Математическая модель многоэлементного устройства СВЧ
- Влияние процедур численного дифференцирования на эффективность квазиньютоновских методов
- Методы глобальной оптимизации, основанные на использовании статистических моделей целевых функций
- Примеры параметрического синтеза и статистического анализа реальных устройств СВЧ
Введение к работе
Актуальность темы. Большая насыщенность областей науки и техники радиоэлек->онной аппаратурой (РЭА) приводит к необходимости снижения массогабаритных пара-етров РЭА, повышения надежности и информационной емкости радиоканала, повыше-ія быстродействия систем обработки информации и др. Один из подходов к решению их важнейших задач основывается на обработке сигналов сверхвысоких частот (СВЧ). рактическая реализация РЭА СВЧ базируется на технологии интегральных схем (ИС) СВЧ. роектирование устройств на ИС СВЧ требует, с одной стороны, создания эффективных >1числительных методов анализа, синтеза и статистического моделирования таких уст-эйств, а, с другой - строго электродинамического подхода при разработке математических оделей функциональных узлов ИС СВЧ.
Большой вклад в создание электродинамических основ проектирования и математи-гского моделирования ИС СВЧ внесли российские ученые Вайнштейн Л.А., Веселов Г.И., икольский В.В., Гвоздев В.И., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Г., Ильинский А.С., Светиков А.Г., Шестопапов В.П., Сазонов Д.М., Каценеленбаум Б.З., Вольман В.И. и другие, а шже сотрудники их научных школ.
Разработка устройств СВЧ (как и любой радиотехнической системы) включает три еобходимых этапа - анализа, синтеза и статистического моделирования. При этом все эти щачи приоритетно взаимосвязаны, т.е. каждая последующая задача эффективно решается элько при успешном решении предыдущей.
В основе современных методов анализа устройств СВЧ лежит принцип декомпози-ии. В соответствии с этим подходом анализ устройств СВЧ производится в два этапа. На ервом - строится модель устройства, состоящая из отдельных, так называемых базовых, тементов. Поэтому существенно важным является формирование достаточно полной биб-иотеки базовых элементов, обеспечивающей анализ и параметрический синтез устройств !ВЧ широкого класса. На втором этапе анализа определяется система параметров всего стройства в целом по известным характеристикам базовых элементов с помощью специ-пьных алгоритмов объединения. В этом аспекте одним из важных является вопрос о выбо-е и применении наиболее эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов объе-инения.
Основным этапом проектирования устройств СВЧ является параметрический син-
2 тез. Задача параметрического синтеза сводится к оптимизации соответствующих выхо,
ных характеристик путем направленного изменения электрических параметров базовь
элементов синтезируемого устройства. Методы решения задачи параметрического синте:
устройств СВЧ относятся к классу нелинейных многоэкстремальных задач условной опт:
мизации. Это обширное направление, которому посвящено огромное количество работ, траї
тующих проблему как с математических, так и с прикладных позиций. Наибольший вкл;
в развитие методов локальной оптимизации внесли труды Дэвидона У., Флетчера Р., Пауэ.
ла М., Бройдена К., Гольдфарба Д., Шанно Д., Гилла Ф. и Мюррея У, Фиакко А. и Mai
Кормика Г., Барда Й., Гринштадта Дж., Розенброка X., Нелдера Дж. и Мида Р., Хука Р.
Дживса Т. и других. Такое многообразие работ создает значительные трудности при вьібі
ре метода оптимизации для решения задачи параметрического синтеза устройств СВЧ. Слі
дует отметить также, что для решения задачи синтеза устройств СВЧ в настоящее врел<
используются относительно простые и неэффективные (с точки зрения вычислительны
затрат) методы оптимизации. Поэтому представляет научный интерес исследование и ра
работка эффективных методов и алгоритмов локальной оптимизации с учетом специфик
задач параметрического синтеза устройств СВЧ.
Решение многоэкстремальных задач синтеза локальными методами оптимизаци (пусть даже самыми эффективными) не позволяет однозначно ответить на вопрос: получі ны лучшие результаты или нет?
Ответ на этот вопрос может дать использование методов глобальной оптимизациі Анализ широкого круга работ, посвященных этому направлению, показывает, что теору глобальной оптимизации исключительно богата идеями, хотя и значительно менее прор; ботанными, чем в случае локальной оптимизации. Основные принципы и методы глобалі ной оптимизации получили развитие в работах Торна А., Бранина Ф., Леви А. и Монтавл А., Ге Р., Диксона Л., Евтушенко Ю.Г., Данилина Ю.Г. и Пиявского С.А., Моцкуса Й.Б Жилинскаса А.Г., Шалтяниса В.Р., Стронгина Р.Г., Растригина Л.А., Ермакова СМ., Жш лявского А.А., Беллмана Р., Моисеева Н.Н., Васильева Ф.П., Батищева Д.И. и других. Такс состояние вопроса создает трудности в использовании алгоритмов глобальной оптимиз; ции при параметрическом синтезе устройств СВЧ. Кроме того, практическое применени существующих методов для определения глобального экстремума с заданной точность] требует слишком больших вычислительных затрат. В этой связи актуальными являютс
:следование и разработка алгоритма оптимизации, состоящего из двух этапов - глобаль-эго и локального. На глобальном этапе находится только область глобального экстремума, го требует меньшего числа вычислений. На локальном - уточняется местоположение гло-шьного экстремума с помощью одного из эффективных методов локальной оптимизации.
Значимость результатов параметрического синтеза устройств СВЧ определяется со-тадением расчетных характеристик и характеристик, полученных на этапе практической :ализации устройства. Это, в свою очередь, требует разработки методики статистического іализа устройств СВЧ, позволяющей определить статистическую устойчивость результате синтеза. Основой статистического анализа служит использование метода Монте-Карло теории непараметрических оценок функции плотности распределения вектора выходных ірактеристик и ее основных моментов. Вопросы непараметрического оценивания функ-ии плотности распределения нашли отражение в работах Крамера Г., Бартлета М., Парзе-з Э., Розенблатта М., Девроя Л., Тихонова В.И., Ермакова СМ., Вапника В.Н., Епанечни-эва В.А., Надарая Э.А., Ченцова Н.Н. и других.
Вопросы синтеза, статистического моделирования и приоритетно связанные с эти-и проблемами задачи анализа устройств СВЧ как в научно-теоретическом плане, так и в сследовательско-вычислительном не достаточно полно отражены в литературе. Недоста-эчная проработка таких исследований связана, с одной стороны, с вычислительной слож-остью существующих алгоритмов анализа и синтеза, с другой - с отсутствием мощных рограммных средств.
Таким образом, вопросы исследования и разработки эффективных методов и алго-итмов анализа и синтеза устройств СВЧ, а также создания на их основе программного эмплекса являются важными и актуальными.
Целью диссертационной работы является разработка эффективных алгоритмов нализа, параметрического синтеза устройств СВЧ и программного комплекса на их осно-е, обеспечивающих повышение качественных показателей устройств СВЧ современных адиотехнических систем.
Основные задачи научных исследований: . Разработка универсального алгоритма анализа устройств СВЧ, включающего процедуру расчета внутренних режимов и обеспечивающего эффективный параметрический синтез. . Формирование библиотеки базовых элементов как основы анализа и параметрического
4 синтеза широкого класса устройств СВЧ.
-
Исследование и разработка эффективных алгоритмов параметрического синтеза ус ройств СВЧ.
-
Разработка методики статистического анализа устройств СВЧ, позволяющей определил статистическую устойчивость полученных результатов синтеза.
-
Создание на базе полученных результатов программного комплекса параметрическої синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ.
Научная новизна диссертации определяется целью работы, кругом поставленнь задач, методами их решения и.результатами, полученными впервые:
-
Предложен и исследован двухэтапный алгоритм параметрического синтеза устройсп СВЧ, состоящий в использовании на первом этапе методов динамического программі рования и метода Фиакко и Мак-Кормика на втором. На примерах решения многозкстрі мальных тестовых задач показано, что двухэтапный алгоритм обеспечивает высокую в роятность решения представительного класса тестовых задач уже при малом числе сі точных узлов. Установлено, что и при решении локальных тестовых задач эффекта! ность предложенного алгоритма с точки зрения вероятности решения и среднего числ вычислений целевой функции значительно превосходит (на 30-40 %) лучшие из методе локальной оптимизации.
-
На примерах синтеза реальных устройств СВЧ с использованием минимаксного и cpej неквадратического критериев подтверждена эффективность двухэтапного алгоритма oi тимизации при определении оптимального параметрического вектора. Показана робасп ность предложенного алгоритма синтеза к выбору вектора начальных параметров пр заданных ограничениях, что полностью исключает трудоемкую процедуру предварител ных оценок его на начальном этапе разработки устройств СВЧ.
-
Исследованы и реализованы различные методы локальной оптимизации квазиньютоної ского типа с целью их использования в двухэтапном алгоритме синтеза устройств СВ1 Проведен анализ эффективности различных формул пересчета приближений обращеі ной матрицы Гессе в квазиньютоновских методах. Предложена модификация рассмоп ренных методов, основными аспектами которой являются:
- использование на этапе выбора величины шага процедуры сплайн-интерполяции, не тр( бующей дополнительного вычисления градиента;
5 применение двухэтапной схемы пересчета прямой аппроксимации матрицы Гессе с использованием факторизации Холесского, гарантирующей численную положительную определенность приближенной матрицы;
введение адаптивной процедуры перехода от одной схемы численного определения гра
диента к другой.
Проведенная модификация позволяет сократить объем вычислительных затрат в среднем на 20-50 %. Методом статистических испытаний на представительном классе тестовых задач найдены оптимальные значения относительного конечно-разностного интервала для различных схем численного определения градиента, а также порога адаптационной процедуры.
. Дан анализ эффективности методов глобальной оптимизации с точки зрения их использования в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ. Исследованаэффективность метода динамического программирования, относящегося к классу декомпозиционных методов поиска глобального экстремума. Предложена модификация этого алгоритма, основу которой составляет:
применение интерполяции с использованием полинома Лагранжа при нахождении гло
бального экстремума функции оптимального соответствия;
использование процедуры адаптивного сдвига сеточных узлов на каждой итерации поиска.
Разработан и исследован вариант метода динамического программирования с использованием квазислучайной сетки. Показано, что предложенные методы повышают точность выхода в область глобального экстремума в среднем на 30-50 % и сокращают количество вычислений целевой функции в 2-Ю раз. Результаты исследований подтверждают, что использование методов динамического программирования на первом этапе оптимизации позволяет найти хорошее начальное приближение, тяготеющее к достаточно глубокому локальному (в наилучшем случае - глобальному) экстремуму. . На базе полученных результатов создан программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ - «Модель-С».
Наибольшую научную значимость имеют исследование эффективности различ-ых методов локальной и глобальной оптимизации, модификация методов динамического рограммирования, Фиакко и Мак-Кормика, атакже предложенный на их основе двухэтап-
ный алгоритм параметрического синтеза устройств СВЧ.
Практическая ценность работы состоит в том, что исследованные и развить; методы и алгоритмы реализованы в виде программного комплекса параметрического сиь теза и статистического анализа многоэлементных устройств СВЧ - «Модель-С».
Результаты диссертационной работы использованы и внедрены в учебном процесс на кафедре радиоуправления и связи Рязанской государственной радиотехнической акаді мий (РГРТА); в НИР «Математическое моделирование и синтез многоэлементных излуч; ющих структур. Активные антенны для телекоммуникаций и ТВ вещания, излучаюіщ системы для радиочастотной гипертермии»; на предприятии ОАО «Фазотрон» НИИ «Рас свет», что подтверждено соответствующими актами.
Разработанные алгоритмы параметрического синтеза и статистического анализ могут применяться для синтеза различных радиотехнических систем, включая радиолою цюо, радионавигацию, радиосвязь и радиоуправление.
Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, по, тверждаются выбором математических моделей, адекватно отражающих реальные физі ческие объекты, использованием эффективных, хорошо зарекомендовавших себя матем; тических методов анализа устройств СВЧ, многочисленными результатами тестировав модифицированных алгоритмов оптимизации на представительном классе тестовых зада и реальных устройств СВЧ, контролем точности численных результатов при расчетах і ЭВМ, сравнением с экспериментальными результатами и результатами других авторо Достоверность полученных результатов подтверждается также успешным внедрением использованием предложенных алгоритмов.
В рамках сформулированной в работе проблемы на защиту выносятся следук щие результаты и положения:
-
Двухэтапный алгоритм решения задачи параметрического синтеза устройств СВЧ, вклк чающий использование методов динамического программирования на первом этапе методов локальной оптимизации квазиньютоновского типа на втором. Модификация программная реализация методов динамического программирования, Фиакко и Mai Кормика.
-
Теоретические и численные результаты исследования эффективности двухэтапного а. горитма в задачах параметрического синтеза устройств СВЧ.
7 . Алгоритм анализа, обеспечивающий расчет внутренних режимов и эффективный параметрический синтез устройств СВЧ, и его программная реализация. . Методика статистического анализа устройств СВЧ, позволяющая определить поля допусков и статистическую устойчивость результатов анализа и синтеза. . Программный комплекс параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ-«Модель-С».
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались обсуждались на IV научно-методической конференции РРТИ «Методы обучения и орга-изации учебного процесса в вузе» (г. Рязань, 1993 г.), V Международной научно-техничес-ой конференции «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработ-и информации на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ» (г. Сергиев Посад, 995 г.), VII Международной школе-семинаре «Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ» (с. )хотино, 1996 г.), V Международной научно-методической конференции вузов и факульте-ов телекоммуникаций (г. Москва, 1998 г.), Всероссийской научно-технической конференцій студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в адиоэлектронике» (г. Рязань, 1998 г.), IX научно-методической конференции РГРТА (г. язань, 1999 г.), Молодежной научной конференции «XXV Гагаринские чтения» (г. Москва, 999 г.), I Всероссийской научно-технической конференции «Компьютерные технологии в ауке, проектировании и производстве» (г. Нижний Новгород, 1999 г.), а также на ежегод-ых научно-технических конференциях РГРТА (г. Рязань, 1994-1999 гг.)
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 15 работ, в том числе учебно-методическое пособие, 3 статьи в центральной печати, 4 статьи в вестнике РГРТА, тезисов докладов на всероссийских и международных конференциях, получены два сви-етельства об официальной регистрации программ для ЭВМ в Российском агентстве по агентам и товарным знакам. Материалы теоретических и экспериментальных исследова-ий, связанные с диссертацией, представлены в 1 заключительном отчете по хоздоговорен НИР.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти пав основного текста, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 252 траницы, в том числе 162 страницы основного текста, 95 рисунков, 6 таблиц, список лите-атуры из 155 наименований и приложение на 90 страницах.
Принцип декомпозиции. Математическая модель многоэлементного устройства СВЧ
Диапазон СВЧ охватывает чрезвычайно широкую полосу частот, перекрывающую четыре порядка, вплоть до 3000 ГГц. Радиотехническая аппаратура этого диапазона частот имеет множество приложений в радиолокации, радиоуправлении, связи, медицине и в других областях.
Устройства СВЧ занимают исключительно важное место в обеспечении функционирования радиосистемы в целом. Они обеспечивают необходимый режим работы излучающей структуры и ее согласование с источником сигналов или приемными устройствами. Кроме этого устройства СВЧ определяют режим работы мощных каскадов передатчика, от них зависит уровень шумов на входе приемника; в высокочастотном тракте может осуществляться предварительная обработка сигнала, в частности частотная или временная селекция.
В настоящее время технологически наиболее освоенным является миллиметровый диапазон длин волн (частоты до 100 ГГц). В этом диапазоне широкое применение находят интегральные схемы (ИС) СВЧ, базирующиеся на полосковой и микрополосковой технологии. Быстрое развитие и широкое применение полосковой технологии в ИС СВЧ определяется высокой надежностью, полосковых устройств, их устойчивостью к разнообразным воздействиям, хорошей воспроизводимостью параметров, низкой стоимостью при массовом производстве, а также малыми габаритными размерами и массой при требуемых электрических характеристиках. Современные ИС СВЧ очень сложны. Нередко могут состоять из десятков, даже сотен отдельных функциональных узлов: согласующих устройств, фильтров, ответвителей, фазовращателей, делителей и сумматоров, коммутаторов и переключателей, усилителей, работающих в линейном режиме.
Сложность расчета характеристик ИС СВЧ, невозможность подстройки и регулировки параметров полосковых и диэлектрических структур, составляющих основу интегральных схем, а также необходимость получения оптимальных характеристик требует, с одной стороны, создания эффективных алгоритмов анализа, синтеза и статистического моделирования таких устройств, а, с другой - строго электродинамического подхода при разработке математических моделей функциональных узлов ИС СВЧ.
Задача разработки устройств СВЧ включает три необходимых этапа -анализ, синтез и статистическое моделирование и базируется на физической и математической моделях разрабатываемого устройства.
Процесс физико-математического моделирования устройства СВЧ включает два этапа: переход от реального объекта к его физической модели и ее математическое описание.
Математическая модель устройства СВЧ представляет собой математическое описание физических закономерностей, явлений, эффектов, имеющих место в проектируемом устройстве. Основой построения математической модели любого устройства СВЧ является система уравнений Максвелла и известные для данного объекта граничные условия. Строгое и полное решение уравнений Максвелла даже для самых простых устройств СВЧ приводит к очень сложным задачам определения векторных функций напряженности электрического и магнитного полей, зависящих от трех пространственных координат. Однако в большинстве практических случаев при проектировании того или иного устройства СВЧ совсем необязательно точно знать все детали электромагнитного поля, существующего внутри устройства. Важно знать лишь ответную реакцию элементов СВЧ на внешние воздействия, т.е. необходимо определить их внешние характеристики. При таком подходе каждому элементу СВЧ соответствует некоторая идеализированная матричная модель. Располагая матричными моделями отдельных СВЧ элементов, можно решить задачу анализа устройства СВЧ - определить внешние характеристики устройства в целом, не определяя внутренние электромагнитные поля в отдельных элементах.
Подавляющее большинство монографий и журнальных публикаций в этой области относятся именно к построению методов решения задач анализа устройств СВЧ.
Однако решение, безусловно, важной задачи анализа является совершенно недостаточным, поскольку оно дает возможность определить харак 14 теристики и параметры устройства СВЧ для некоторых фиксированных, статических значений исходных данных. Для обеспечения наилучших характеристик устройства СВЧ, которые могут быть достигнуты при использовании соответствующей элементной базы и технологии, необходимо решить задачу параметрического синтеза СВЧ устройств. Она заключается в оптимизации параметров устройства по заданным критериям путем направленного изменения электрических параметров и геометрических размеров синтезируемой структуры.
Значимость результатов синтеза определяется совпадением расчетных характеристик с характеристиками, полученными на этапе практической реализации устройства СВЧ. Это определяет проведение статистического анализа, позволяющего выявить те элементы устройства, к разбросу параметров которых оно наименее устойчиво, и определить поля допусков входных параметров элементов, при которых обеспечивается заданный уровень отклонения выходных характеристик устройства СВЧ.
Нужно подчеркнуть, что все задачи разработки устройств СВЧ (анализ, синтез и статистическое моделирование) приоритетно взаимосвязаны, т.е. каждая последующая задача эффективно решается только при успешном решении предыдущей.
Таким образом, задачи параметрического синтеза и статистического анализа устройств СВЧ являются важными и актуальными. Разработке алгоритмов решения таких задач и посвящается настоящая диссертационная работа.
Влияние процедур численного дифференцирования на эффективность квазиньютоновских методов
Таким образом, ошибка численного определения градиента в (2.21) и (2.22) определяется ошибками отбрасывания и потери значащих цифр. Но если первая из них пропорциональна конечно-разностному интервалу А , то вторая - обратной ему величины. Поэтому последствия варьирования А для них противоположны. На практике конечно-разностный интервал выбирается из соображений минимизации вычислимой оценки суммарной ошибки. Искомый минимум для аппроксимации (2.21) достигается при А(]} « 2 б/ф"(3с), а для аппроксимации вида (2.22) - k{f » /ф "(іс), при этом предполагается, что величины Ф"(х) и Ф" (х) отличны от нуля. Следует отметить, что при построении последовательности I А требуется определять значения второй и третьей производной функции Ф(х) в точке X , что потребует больших дополнительных вычислительных затрат и соответственно не может гарантировать высокой точности.
Для устранения указанной трудности в диссертации предлагается использование относительного конечно-разностного интервала , одинакового для всех компонент gj{x)- При этом оценка абсолютного конечно-разностного интервала определяется выражением А = с (10 3 +U.-I), j = l,...,N.
Оптимальная величина интервала 5 є[10 ,10" ] была получена в результате решения представительного класса тестовых задач методом статистических испытаний [143,147,148,150].
Односторонняя конечно-разностная формула обеспечивает приемлемое качество оценок градиента там, где норма \\gk достаточно велика. Однако при приближении к точке минимума х величина \gk стремится к нулю, значит, даже при правильно выбираемых конечно-разностных интерва 62 лах односторонняя аппроксимация теряет надежность. Поэтому для завершающих итераций поиска необходимо использовать центральную аппроксимацию gk. В диссертационной работе предлагается адаптивная процедура переключения с односторонней конечно-разностной аппроксимации на центральную. Переход осуществляется тогда, когда на какой-либо итерации использование алгоритмом односторонней конечно-разностной аппроксимации градиента не приводит к достаточному убыванию функции, но критерии останова еще не выполняются. В этом случае алгоритм продолжает свою работу с использованием центральной аппроксимации градиента до тех пор, пока не выполнятся или критерии останова, или условие обратного перехода. Условие перехода определяется следующим неравенством: ФА-І-ФАИ 7(І + Ф )-Величина q, показывающая "существенность" убывания целевой функции от итерации к итерации, является, по существу, порогом адаптационной процедуры переключения с одной схемы численного дифференцирования на другую. Чем больше величина q, тем раньше происходит переход к центральной аппроксимации, и наоборот, при q - 0 решение задачи происходит по односторонней схеме. Статистическая оценка оптимальной величины q при решении тестовых задач соответствует значению q z[W , 10 2 ], что приводит к сокращению числа вычислений целевой функции на 20-40 %.
В задачах параметрического синтеза устройств СВЧ всегда имеет место наличие ограничений, накладываемых на вектор параметров х . Указанные ограничения можно записать в общем виде с,(3с) 0, i=\,...,L. (2.23) где с,(х) - непрерывно дифференцируемая функция. При этом произвольная точка х, удовлетворяющая ограничениям (2.23), считается допустимой. Множество всех допустимых точек образует допустимую область X={x:Cj(x) 0,i = l,...,L}. Ограничения вида (2.23) усложняют процесс оптимизации и приводят к необходимости решения задач условной минимизации. Наличие эффективных алгоритмов безусловной оптимизации дает возможность их применения в задачах с ограничениями. В этом случае целевая функция должна быть модифицирована так, чтобы она оставалась почти неизменной внутри допустимой области, но резко возрастала при подходе к границам, задаваемым ограничениями. Последнего можно добиться, если назначить штрафную функцию по каждому из ограничений. Тогда вспомогательная функция будет иметь следующий вид [64,70]:
Р(х,г) = Ф(х) + Ч (с(х),г), где г - вектор управляющих параметров, Ч1 - функция, "штрафующее воздействие" которой регулируется вектором г , a c(x) = [c1(jc),...,ci(x)l . Различные методы преобразования отличаются друг от друга выбором и способом задания управлений, позволяющим найти минимум функции Ф(х) при ограничениях (2.23) посредством безусловной минимизации Р(х,г) по х. Если обозначить точку безусловного локального минимума функции Р(х,г) через х{г\ то методы преобразования, в которых функция Ч7 и последовательность mj задаются так, что точки xfa) существуют, их можно отыскать (с любой степенью точности) каким-нибудь из алгоритмов минимизации без ограничений и x(fk) — х при к - х , называются методами последовательной безусловной минимизации или методами Фиакко и Мак-Корми-ка, поскольку основные идеи этих методов нашли отражение в их работах [64,70]. Методы Фиакко и Мак-Кормика распадаются на два класса. Первый - это методы штрафных функций (или, как они еще называются методами внешней точки), использующие при поиске недопустимые точки. Второй класс составляют методы барьерных функций (методы внутренней точки). Они характеризуются тем, что поиск решения осуществляется, не выходя за пределы допустимой области, что является определяющим при решении задач параметрического синтеза устройств СВЧ, для которых целевая функция Ф(х) вне X может быть не определена. Поэтому целесообразно рассмотреть только методы Фиакко и Мак-Кормика с барьерными функциями.
В методах барьерных функций подбирается так, чтобы на границе допустимой области "построить барьер", препятствующий нарушению ограничений в процессе безусловной минимизации функции Р(х,г}, и чтобы точки х(г) с изменением г по некоторому правилу приближались к х изнутри X. При этом барьерная функция определяется выражением [64,70]: L Ч(с(х),А = Х (сг ( )) где г положительное число, a Pi(t) - непрерывная ;=1 на интервале t 0 дифференцируемые функции, причем cpt (ґ) - +оо при t — +оо. А вспомогательная функция имеет вид:
Методы глобальной оптимизации, основанные на использовании статистических моделей целевых функций
Результаты статистического анализа синтезированного устройства приведены на Рис. 34 - Рис. 38. Оценки плотности распределения коэффициента отражения согласующего устройства на средней и верхней частотах при 5 % изменении всех входных параметров показаны на Рис. 34, Рис. 36, а при 2 % разбросе главных параметров - на Рис. 35, Рис. 37. Оценки математического ожидания коэффициента отражения изображены на Рис. 38. При этом изменение оценок плотности и ее моментов по частотному диапазону носит тот же характер, что и в предыдущем примере.
Пример 3. Синтез однокаскадного усилителя СВЧ на транзисторе КТ3115, включенного по схеме с общим эмиттером, предназначенного для работы на частоте 2.25 ГГц. Значения -параметров транзистора на этой частоте приведены в Табл. 5. [12]. Принципиальная электрическая схема одно-каскадного усилителя изображена на Рис. 39. Табл. 5. -параметры транзистора КТ3115 на частоте 2.25 ГГц
Транзисторный усилитель СВЧ может обеспечить заданные электрические характеристики, если транзистор правильно нагружен, т.е. сопротивления источника сигнала Zr и нагрузки ZH в плоскости транзистора имеют вполне определенные значения [12]. Сопротивления же реальных источника сигнала и нагрузки, как правило, равны 50 Ом, поэтому усилитель должен включать в себя согласующие цепи (входную и выходную). Причем входная согласующая цепь трансформирует сопротивление реального источника сигнала Zr = 50 Ом в сопротивление Zx на входе транзистора, а выходная согласующая цепь - сопротивление нагрузки ZH = 50 Ом в сопротивление Z2 на его выходе. Транзистор при этом оказывается нагруженным на сопротивления Zj и Z2, в общем случае комплексные.
При синтезе транзисторного усилителя СВЧ необходимо также обеспечивать его устойчивость. Устойчивость усилителя определяется S-параметрами транзистора и сопротивлениями, на которые он нагружен. Самовозбуждение усилителя возможно лишь в случае, когда активная составляющая входного и (или) выходного сопротивления транзистора становится отрицательной. Отрицательному активному сопротивлению соответствует такой коэффициент отражения усилителя, модуль которого больше единицы. Следовательно, признаком устойчивости усилителя будут следующие условия [12] \SU\ 1, \S22\ 1, где І пІ,] ! " модули коэффициентов отражения усилителя.
Исходные данные для синтеза. Входная согласующая цепь включает в себя отрезок микрополосковой линии длиной /j = 0.066/tcp и параллельный разомкнутый шлейф длиной 1шл1 = 0151с?. Выходная согласующая цепь строится на базе отрезка микрополосковой линии длиной /2 = 0.1Яср и параллельного короткозамкнутого шлейфа длиной 1шл1 = 0.16Л,ср. Волновые сопротивления всех отрезков линий (кроме отрезка длиной /3) и шлейфов принимаются равными 50 Ом. Отрезок 80 Ом микрополосковой линии длиной /3 = 0.25Яср, короткозамкнутый на частоте сигнала с помощью конденсатора
С2, используется для подачи напряжения смещения на базу транзистора. Относительная диэлектрическая проницаемость подложки є = 25; высота подложки h = 2 мм; тангенс угла диэлектрических потерь tgS = Ю-4.
Значения "-параметров усилителя в начальной точке оптимизации 117 приведены в Табл. 6 (первая строка). Целью оптимизации является определение таких параметров согласующих цепей (/,, 1шлХ, l2, 7, ), которые обеспечивают максимум модуля коэффициента передачи 52і при соблюдении условий его устойчивости (\SX! 1, 5221 1). При этом длины микрополосковых отрезков и шлейфов варьируются в пределах от 0.01Д до 0.5Л,ср.
Значения элементов матрицы рассеяния усилителя, полученные в результате применения модифицированного метода ФМ с преобразованной BFGS-формулой пересчета, указаны в табл. 6 (вторая строка). Оптимальные размеры отрезков микрополосковых линий и шлейфов получились следующими: /, = 0.0824КШср, /2 = 0.13683Ucp, lml = 0.15326Аср, 1т2 = 0.1078582ср.
Синтез двухканалъного коммутатора СВЧ на р-г-п диодах в диапазоне от 1 до 2 ГГц. Топология коммутатора приведена на Рис. 42. Его особенностью является использование широкополосных микрополоско вых короткозамыкающих " 1 шлейфов [14oJ. оЖВИВа- Рис. 42. Топология двухканалъного коммутатора лентная схема устройства содержит 67 базовых элементов. В качестве переключающего элемента используется p-i-n диод марки 2А554А-5. Целью оптимизации является определение параметров микрополосковых линий, которые обеспечивают минимум коэффициента передачи 53і при запирании одного из плеч коммутатора, максимум коэффициента передачи S2\ и минимальный коэффициент отражения Sn при открывании второго плеча. На Рис. 43, Рис. 44 приведены потери мощности в режиме запирания и передачи плеч соответственно до и после оптимизации. Следует отметить, что только применение двухэтапной процедуры оптимизации обеспечивает нахождение оптимальных выходных характеристик. Время синтеза составило 11 секунд.
Примеры параметрического синтеза и статистического анализа реальных устройств СВЧ
Топология двухканалъного коммутатора лентная схема устройства содержит 67 базовых элементов. В качестве переключающего элемента используется p-i-n диод марки 2А554А-5. Целью оптимизации является определение параметров микрополосковых линий, которые обеспечивают минимум коэффициента передачи 53і при запирании одного из плеч коммутатора, максимум коэффициента передачи S2\ и минимальный коэффициент отражения Sn при открывании второго плеча. На Рис. 43, Рис. 44 приведены потери мощности в режиме запирания и передачи плеч соответственно до и после оптимизации. Следует отметить, что только применение двухэтапной процедуры оптимизации обеспечивает нахождение оптимальных выходных характеристик. Время синтеза составило 11 секунд.
Статистический анализ такого устройства позволяет выявить ряд главных параметров: волновые сопротивления и длины отрезков микрополосковых линий шлейфов, а также емкость и индуктивность диода. Оценки плотности распределения коэффициента передачи Sn на нижней и средней частоте при 5 % разбросе всех параметров приведены
Оценка функции плотности распределения коэффициента передачи L?3I на средней частоте при 2 % разбросе главных параметров Достоинством синтезированного коммутатора является высокая сте 120 пень развязки и значительное уменьшение геометрических размеров (геометрическая длина плеча коммутатора не превышает 0.25Я по сравнению с известным коммутатором параллельного типа, где длина плеча составляет 0.75Лср).
Пример 5. Синтез компактных микрополосковых фильтров. СВЧ фильтры занимают значительное место в радиооборудовании, особенно в системах мобильной наземной радиосвязи. Уменьшение размеров, использование методов тонко- либо толстопленочной технологии, упрощение конструкции и, как следствие, повышение надежности и снижение себестоимости фильтров при их массовом производстве является актуальной задачей. Существует множество конструкций фильтров, выпускаемых различными известными фирмами, такими как Мурата, Токо, Сименс и др. для использования в передвижных и стационарных радиостанциях, в носимых телефонных трубках. Так, например, фирмой Мурата освоена большая номенклатура малогабаритных фильтров на коаксиальных диэлектрических резонаторах, изготовленных из высококачественной керамики с большой диэлектрической проницаемостью. Как определенная альтернатива этим фильтрам в последнее время разрабатываются планарные микрополосковые фильтры, позволяющие при сохранении малых внешних размеров и без заметного ухудшения качества получать дешевые изделия с различными полосами пропускания [132,135].
Топология синтезированного фильтра изображена на Рис. 49. Фильтр представляет собой пару Г-образных микрополосковых резонаторов, расположенных на расстоянии s2- Согласование фильтра с внешними цепями осуществляется кондуктивным подключением подводящих линий к резонаторам. В качестве материала подложки используется керамика ТБСН (єг = 82, tgS = Ю-4). Высота подложки h = 1.25 мм.
Топология узкополосного микрополоскового фильтра Исходные данные для синтеза: средняя рабочая частота - 915 МГц; полоса пропускания по уровню 3 дБ - 40 МГц. Компонентами параметрического вектора являются геометрические параметры фильтра (величина зазора 52, ширина Sj и глубина / выборки металла) и коэффициенты включения внешних цепей (величина Ьсв). Синтез осуществлялся модифицированным методом ФМ с преобразованной BFGS-формулой пересчета на основе минимаксного критерия с учетом различных видов желаемых частотных характеристик [142]. Результаты синтеза фильтров с максимально плоской и равно-волновой амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) приведены на Рис. 50, Рис. 51. Для сравнения на Рис. 50 изображена АЧХ аналогичного двухзвенного фильтра ISM915-DFC2R915026BHD на объемном керамическом резонаторе, выпускаемого фирмой Мурата. Из рисунка видно, что АЧХ фильтров практически совпадают, а вносимые потери в полосе пропускания планарного фильтра на 0.35 дБ меньше. При этом геометрические размеры синтезированного фильтра имели следующие значения: s2 =2314мм, w2 = 4 мм, Sy = в мм, W\ -2.157 мм, I = 3.741 мм,Ьсв = 1.641 мм, L = 9.61мм. Таким образом, фильтр можно выполнить на подложке размерами (10x10x1.25) мм3, в то время как размеры фильтра ISM915 составляют (13.5x10x3.7) мм3. Разработанная методика позволяет синтезировать
