Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Понятие хаотических процессов и нелинейных динамических систем с хаотическим поведением 21
1.1 Динамические системы и детерминированный хаос 21
1.2 Анализ свойств классических динамических систем с хаотическим поведением 26
1.2.1 Логистическое или квадратичное отображение 26
1.2.2 Двумерное отображение Хенона 29
1.2.3 Кубическое отображение Холмса 30
1.2.4 Система Лоренца и Tent - отображение 32
1.2.5 Схема Чуа 37
1.2.6 Система Рёсслера 39
1.2.7 Уравнения генератора с инерционной нелинейностью 40
1.3 Выводы к первой главе 43
Глава 2 Численно-аналитический метод вычисления спектра показателей Ляпунова и его применение для диагностики хаоса 46
2.1 Теория показателей Ляпунова 46
2.2 Стандартный метод расчета спектра показателей Ляпунова 49
2.3 Численно-аналитический метод вычисления спектра показателей Ляпунова 52
2.4 Свойства показателей Ляпунова. Связь показателей Ляпунова с другими характеристиками системы 55
2.5 Пример модельной задачи 58
2.5.1 Система Лоренца (трехмерное фазовое пространство) 58
2.5.2 Две симметрично связанные системы Лоренца (шестимерное фазовое пространство) 62
2.6 Выводы ко второй главе 67
Глава 3 Методология прогнозирования и диагностики хаоса с использованием численно - аналитического метода вычисления спектра показателей Ляпунова 68
3.1 Постановка задачи. Критерии прогнозирования и диагностики хаотических систем 68
3.2 Эволюция на фазовой плоскости и во времени 70
3.3 Отображение Пуанкаре 74
3.4 Бифуркации 77
3.5 Спектр мощности и автокорреляционная функция 80
3.6 Фрактальная размерность 81
3.7 Методология прогнозирования и диагностики хаоса 89
3.7.1 Построение и анализ фазового пространства 90
3.7.2 Построение и анализ временных диаграмм 91
3.7.3 Построение и анализ двумерного и трехмерного псевдофазового пространства 92
3.7.4 Построение и анализ отображения Пуанкаре 94
3.7.5 Вычисление и анализ автокорреляционной функции 96
3.7.6 Вычисление и анализ спектра показателей Ляпунова 97
3.7.7 Расчет размерностей аттрактора системы 98
3.7.8 Построение и анализ бифуркационных диаграмм 98
3.7.9 Построение и анализ зависимостей старшего показателя Ляпунова от вариации постоянного параметра 100
3.7.10 Построение и анализ карты режимов (двухпараметрический анализ) 103
3.8 Выводы к третьей главе 104
Глава 4 Методика синтеза динамических систем с хаотическим поведением 108
4.1 Выбор математической модели 108
4.2 Синтез нелинейных динамических систем с хаотическим поведением с использованием методов прогнозирования и диагностики 110
4.2.1 Синтезированная система №1 111
4.2.2 Синтезированная система №2 112
4.2.3 Синтезированная система №3 113
4.3 Прямой синтез хаотических систем 115
4.3.1 Метод введения управления в виде ограничителя фазового пространства 116
4.3.2 Метод ограничения окрестностей точек покоя 118
4.3.3 Метод гипер-управления - получение компрессионного хаоса... 120
4.4 Функциональный синтез хаотических систем - Функциональное управление 122
4.4.1 Концепция пространственной и временной переменной устойчивости для синтеза хаотических систем 122
4.4.2 Метод формирования пространственной переменной устойчивости 124
4.4.3 Метод формирования временной переменной устойчивости 128
4.5 Анализ возможностей реализации алгоритмов генерации хаотических колебаний на современной элементной базе 130
4.6 История развития и последние достижения в области синтеза систем передачи информации, с использованием нелинейных динамических систем с хаотическим поведением 136
4.7 Применение генераторов хаотических колебаний для систем защиты контента в решениях IP телевидения 141
4.8 Выводы к четвертой главе 145
Заключение 147
Список литературы 149
- Анализ свойств классических динамических систем с хаотическим поведением
- Стандартный метод расчета спектра показателей Ляпунова
- Спектр мощности и автокорреляционная функция
- Прямой синтез хаотических систем
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Динамический хаос - сложное непериодическое движение, порождаемое нелинейными системами с детерминированными параметрами, при отсутствии внешнего шума. Неупорядоченное, хаотическое поведение обнаруживается во многих процессах, протекающих в различных природных и технических объектах. В течение последней четверти XX века, с момента открытия динамического хаоса интерес к нему в научной среде не ослабевает. На сегодняшний день доказано [4,41,46], что системы с хаотическим поведением не являются исключением, а представляют собой самостоятельный класс нелинейных динамических систем - хаотических систем.
Необходимо так же подчеркнуть, что хаотическое поведение системы вовсе не означает, что поведение носит случайный характер: при одних и тех же значениях параметров и начальных условиях системы (заданных с необходимой точностью) решение соответствующей нелинейной задачи может носить случайно-подобный характер. Однако, при повторении тех же начальных условий и сохранении прежних значений параметров системы, эти случайно-подобные решения всякий раз будут повторяться.
Одним из первых, кто обратил внимание на явление хаотического поведения траекторий нелинейных динамических систем, был А. Пуанкаре, который еще в 1905 году в книге «Наука и метод» писал, что в некоторых неустойчивых режимах системы « ... совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть. ... Предсказание становиться невозможным, мы имеем перед собой явление случайное». Таким образом, еще
в начале прошлого века Пуанкаре описал одно из основных свойств хаотического процесса - экспоненциальная неустойчивость и зависимость от малых изменений начальных параметров системы. Позднее, на основе данного свойства, был предложен метод диагностики хаотических систем при помощи вычисления спектра показателей Ляпунова.
Еще одним историческим событием в развитии теории хаоса стала публикация статьи американского математика Лоренца в 1963 году, работавшего над проблемой предсказания погоды, которая называлась: "Детерминированное непериодическое течение" [80]. В этой работе была представлена динамическая модель, описывающая явление конвекции Релея-Бенара. Необычным было то, что при определенных значениях так называемого управляющего параметра, входящего в систему модельных уравнений, ее решение становилось хаотическим. В отличие от господствовавших представлений, по которым хаос есть что-то неправильное, привносимое в систему извне, система сама генерировала хаотическое решение, которое могло быть описано в статистических терминах. Необычным в этой системе было также поведение фазовой траектории, которая представляла собой аттрактор обладающий странными, взаимоисключающими свойствами: фазовые траектории разбегались с одной стороны и, в тоже время, стягивались в ограниченный объем пространства, с другой стороны.
После появления работы Лоренца были описаны и другие системы, имеющие решение в виде "странного" аттрактора, такие как система Ресслера [51,85], Дуффинга [60], Ван дер Поля [43] и др.
В последние 15-20 лет, как в России, так и за рубежом, ведется интенсивные разработки по использованию хаотических систем в радиотехнике. Исследования проходят в различных областях возможного применения хаоса, но все же основные надежды возлагаются на системы конфиденциальной передачи информации с использованием хаотической несущей.
Хотелось бы отметить, что за время развития данной тематики сделаны серьезные шаги к воплощению данных идей в реальные системы, открыто и исследовано явление самосинхронизации хаотических систем, а также начиная с 1992 г., был предложен ряд способов передачи информации, использующих хаотическую динамику [28]: хаотическая маскировка [66,70,77], переключение хаотических режимов [11,36,67,82,83], нелинейное подмешивание [15,30,25,26,68,69], схемы на основе фазовой автоподстройки частоты (ФАП) [55,56] и другие [19,27,58,62,74,75,91].
Большой вклад в развитие этого направления внесла группа ученых под управлением А.С. Дмитриева при Институте радиотехники и электроники РАН, которая наиболее близко подошла к реализации данной идеи в реальных системах передачи информации [19,22-31]. Проведенные ими эксперименты еще раз доказали, как перспективность данного направления, так и необходимость в более глубоком изучении хаотических систем и поиске новых моделей для генерации хаоса.
На данный момент остро стоит проблема недостатка «элементной базы» вышеупомянутых систем, а именно, для дальнейшего развития и синтеза систем передачи информации с использованием хаоса, необходимо иметь большое количество моделей генераторов хаотических колебаний (генераторов хаоса), с различными свойствами и параметрами, как собственной внутренней структуры, так и генерируемых ими хаотических колебаний. В большинстве работ по синтезу систем конфиденциальной связи используются одни и те же классические модели генераторов хаоса, а в таком случае сложно говорить о конфиденциальности. Исследование данного вопроса проводится многими учеными по всему миру, уже синтезирован ряд совершенно новых моделей генераторов хаоса [1-5, 20, 29, 51, 71, 64, 65, 88 и др.] и все же таких моделей насчитывается около трех десятков. Сложность состоит в отсутствии методологии синтеза генераторов хаоса и недостаточной изученности причин возникновения хаотического решения в нелинейных динамических системах.
Цель диссертационной работы.
Целью диссертационной работы является создание практической методологии по прогнозированию, диагностике и синтезу нелинейных динамических систем с хаотическим поведением. Иначе говоря, создание алгоритмов для поиска хаотических режимов в заданных нелинейных системах и изучение возможностей введения управления для синтеза генераторов хаоса.
Основные задачи решаемые в работе:
Систематизация и анализ способов прогнозирования и диагностики хаотических систем.
Развитие теоретических и практических положений по расчету спектра показателей Ляпунова с использованием численно-аналитического метода решения систем нелинейных дифференциальных уравнений предложенного в [59].
Разработка методологии прогнозирования и диагностики хаотических систем и ее применения при синтезе генераторов хаоса.
Поиск методов синтеза генераторов хаоса с использованием дополнительных функций управления. Разработка рекомендаций по использованию предлагаемых методов.
Разработка пакета программ и программных модулей для прогнозирования, диагностики и синтеза хаотических систем при использовании среды математического моделирования MatLab 6.0.
Анализ существующих возможностей реализации полученных моделей генераторов хаоса на современной элементной базе.
14 Научная новизна теоретических положений и результатов экспериментальных исследований.
Автором впервые представлен комплекс методов и рекомендаций для системного решения задач диагностики и синтеза генераторов хаоса, с последующим исследованием их свойств и параметров. Для практического решения данной задачи предложен пакет программ и программных модулей, реализованных на базе системы MatLab 6.0, что позволяет значительно уменьшить временные затраты на поиски и синтез моделей генераторов хаоса, требуемых для применения в системах конфиденциальной связи.
Впервые предложена рекуррентная формула вычисления спектра показателей Ляпунова, анализ которого является основополагающим при диагностике хаоса. Формула позволяет проводить вычисления в одном цикле с решением системы, что проявляется в значительной экономии затратного времени и ресурсов вычислительной машины.
В работе предложена и теоретически обоснована новая концепция пространственно-временной переменной устойчивости, вследствие этого представлены методы по применению данной концепции при синтезе нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.
Впервые приведены результаты экспериментальных исследований по моделированию генераторов хаоса с внутренним управлением, вводимым в состав системы для поддержания ее локальной неустойчивости.
В итоге в работе предложен следующий комплекс методов по синтезу генераторов хаоса:
Синтез хаотических систем с использованием методов прогнозирования и диагностики.
Прямой синтез хаотических систем:
Метод введения управления в виде ограничителя фазового пространства.
Метод ограничения окрестностей точек покоя.
Метод гипер-управления.
15 3. Функциональный синтез хаотических систем:
Метод формирования пространственной переменной устойчивости.
Метод формирования временной переменной устойчивости. Выбор данных методов производится в зависимости от их дальнейшего
применения в алгоритмах кодирования и передачи информации с использованием хаотической несущей.
Проанализированы возможности применения и реализации полученных моделей генераторов хаоса на современной элементной базе.
Практическая ценность результатов диссертационной работы.
Проведенный анализ различных работ по синтезу систем связи, использующих преимущества хаотических сигналов [11,19,22-33,58,73-75,66-71,83 и др.], свидетельствует о состоятельности предложений по использованию хаоса в радиотехнике, а следовательно, и практической ценности полученных в работе результатов.
Особенно необходимо отметить, что в марте 2006 года технология прямохаотической связи, предложенная Институтом радиотехники и электроники РАН совместно с Институтом Передовых Технологий (SAIT) корпорации Samsung Electronics в рамках международной рабочей группы комитета IEEE по стандартизации, включена в разрабатываемый стандарт беспроводных персональных коммуникационных сетей (WPAN) -IEEE 802.15.4а в качестве опционального варианта. Потенциальный рынок для продуктов на основе платформы только в секторе DECT и сотовой телефонии, по оценкам представленным в [23], составляет 100-150 млрд. рублей. Данный факт подчеркивает конкурентоспособность прямохаотической системы связи, а следовательно, и перспективность развития всего направления синтеза систем передачи информации, основанных на динамическом хаосе, частью которого является представленная работа.
Предложенные в диссертационной работе новые теоретические результаты и выводы о переменной устойчивости хаотического решения
представляют возможность для дальнейшего развития направления синтеза генераторов хаоса с внутренним управлением.
Полученные автором решения актуальной задачи синтеза генераторов хаоса позволяют существенно сократить объем необходимых экспериментов и количество применяемых методов для поиска новых моделей генераторов, что, безусловно, способствует развитию направления разработки систем связи на основе динамического хаоса, в особенности систем конфиденциальной передачи информации.
Данные схемы и алгоритмы генерации хаотических колебаний могут быть построены на различной элементной базе: дискретных логических элементах, больших интегральных схемах (БИС), цифровых сигнальных процессорах (ЦСП), программируемых логических интегральных схемах (ПЛИС), универсальных микропроцессорных комплектах и др.
Синтезированные генераторы хаоса являются не только доказательством работы предложенных методов, но и самостоятельными моделями и могут быть использованы на практике.
Проведенный анализ свидетельствует что оптимальным решением для реализации полученных моделей генераторов хаоса являются ЦСП и ПЛИС, так как обладают достаточным быстродействием и позволяют реализовать принцип идентичности генераторов, необходимый для реализации систем кодирования информации.
В целом результаты работы имеют как практическое, так и теоретическое применение и направлены на развитие области использования хаотических систем для передачи информации.
Объем и структура диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Содержит 168 страниц, 71 рисунок, 2 таблицы. Список литературы содержит 92 наименования.
17 Основные положения, выносимые на защиту.
Алгоритм синтеза генераторов хаоса с использованием методов прогнозирования и диагностики.
Методы прямого синтеза генераторов хаоса: метод введения управления в виде ограничителя фазового пространства, метод ограничения окрестностей точек покоя и метод гипер-управления.
Методы функционального синтеза генераторов хаоса: метод формирования пространственной переменной устойчивости и метод формирования временной переменной устойчивости.
Методы исследования, достоверность и обоснованность полученных теоретических и практических результатов.
Решение поставленных задач по диагностике и синтезу моделей генераторов хаотических колебаний стало возможным благодаря известным достижениям в области теории нелинейной динамики и не противоречит ее положениям, базируется на строго доказанных выводах фундаментальных и прикладных наук, таких, как математический анализ, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, статическая радиотехника, теория оптимизации и планирование эксперимента.
Созданные методики и предложенные алгоритмы согласуются с многочисленными экспериментами и опытом их последующего использования на практике.
Для проведения экспериментов по исследованию и моделированию поставленных задач, использовались компьютерные программы представленные в таблице 1.
Табл. 1 Программы используемые
для компьютерного моделирования
Все методы и системы, использованные в работе, апробированы экспериментально вне зависимости от научных источников, из которых они заимствованы. Экспериментальные исследования метрологически обеспечены и проводились при использовании стандартного персонального компьютера на базе процессора Intel Pentium IV.
Результаты математического моделирования анализировались и сопоставлялись с опубликованными и признанными в научных кругах теоретическими и экспериментальными данными, полученными ранее.
Публикации и апробация результатов работы
Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры Радиотехнических систем, а также студенческих и профессорско-преподавательских конференциях МТУСИ на секции радиотехнических систем:
При запуске, выполняется алгоритм проверки состояния программного обеспечения. В случае неполадок, влияющих на точность вычислений, программа выдает сообщение об ошибке.
57-я Студенческая научно-техническая конференция (2002 г.) Тема: Теория «странного» аттрактора.
Научная конференция профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава (2003 г.)
Тема: Теория показателей Ляпунова и ее применение для генерации хаотических колебаний.
58-я Студенческая научно-техническая конференция (2003 г.) Тема: Системы связи с хаотической несущей.
Научная конференция профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава (2004 г.)
Тема: Диагностика хаоса по сигнатуре спектра показателей Ляпунова.
5. Научная конференция профессорско-преподавательского, научного и
инженерно-технического состава (2005 г.)
Тема: Синтез генераторов хаоса с внутренним управлением.
Основные результаты диссертационной работы также опубликованы в материалах научно-технических конференций, научных журналах, депонированы в ЦНТИ «Информсвязь», всего 7 печатных работ.
Краткое содержание работы.
В первой главе диссертационной работы рассмотрены вопросы, составляющие основу для изучения хаотических систем и введены необходимые понятия хаотических процессов. Выполнен анализ свойств, особенностей и методов изучения классических систем с хаотическим поведением. Значительное внимание уделено анализу свойств системы Лоренца, используемой в дальнейшем для апробации методологии диагностики и алгоритма синтеза генераторов хаоса.
Вторая глава посвящена численно-аналитическому методу вычисления спектра показателей Ляпунова. В результате предложена рекуррентная
20 процедура вычисления спектра показателей Ляпунова. Предложенный алгоритм апробирован на нескольких системах. А также, выполнен сравнительный анализ нового и стандартного методов. Произведен анализ методики применения спектра показателей Ляпунова для диагностики хаотических систем.
Третья глава содержит анализ основных методов по изучению динамического хаоса, с целью оценки достоинств и недостатков их применения. На основании сделанных выводов, предлагается систематизированная методология по прогнозированию и диагностике хаотических систем, а также алгоритм синтеза нелинейных динамических систем с хаотическим поведением, использующий данную методологию.
В четвертой главе приведены теоретические и экспериментальные исследования по синтезу генераторов хаоса. Исследован вопрос появления хаотического решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с позиции теории устойчивости и предложена концепция пространственно-временной переменной устойчивости. На основании полученных результатов сделан ряд предложений по использованию управления для генерации хаотического колебания. В качестве примера, представлены математические модели и алгоритмы генераторов хаоса. Во второй части главы представлен анализ возможностей реализации полученных моделей генераторов хаоса на современной элементной базе, а также краткий анализ истории развития и последних достижений в области синтеза систем передачи информации, с использованием нелинейных динамических систем с хаотическим поведением.
В заключении работы приведены основные выводы по результатам диссертации.
В приложении представлен комплекс программ и программных модулей, написанных в среде математического моделирования MatLab 6.0 [48], предназначенных для системного решения задач диагностики и синтеза генераторов хаоса, с последующим исследованием их свойств и параметров.
Анализ свойств классических динамических систем с хаотическим поведением
Одним из простейших примеров хаотического поведения, является одномерное отображение представляющее собой модель роста популяции -логистическое или квадратичное отображение
Явления, связанные с возникновением хаотических колебаний при изменении управляющего параметра, наблюдались различными исследователями, к примеру система (1.2) подробно исследована Мэйем [81] и Фейгенбаумом [72]. Проведя численный эксперимент и построив зависимость х( от Х/+/, при //=3.9, можно видеть что точки хаотично располагаются вдоль кривой изображенной на (рис. 1.1).
Если взять число итераций большее, чем представлено на (рис. 1.1), то данная кривая будет «прорисована» полностью, в связи со свойством хаотического движения - стремлением фазовой траектории заполнить весь 02 03 0406 07 08 Рис. 1.1 Фазовое пространство логистического отображения с параметром//=3.9 Рассмотрев поведение х{ во времени (рис. 1.2), можно отметить отсутствие периода и случайный характер колебаний в течение всего наблюдения. Данное поведение временных зависимостей, как будет отмечено далее, характерно для всех хаотических решений и является одним из основных методов визуальной диагностики хаотических систем.
Рис. 1.2 Временная зависимость логистического отображения с параметром//=3.9 Мэй приводит также перечень численных экспериментов с другими одномерными отображениями, например с отображением
Рис. 1.3 Эксперимент Мея с отображением4 (1.3) с параметром г=2.9 Он описывает это отображение, как модель роста популяции одного вида, регулируемого эпидемической болезнью (рис. 1.3,1.4). Исследуя область3 Для построения использована система MatLab 6.0. Текст программы см. Прил. 1 Программу № 1: программный модуль 1.29 г є (2.0; 7,0) можно обнаружить, что точка начала хаоса в пространстве параметров соответствует г = 2,6824 [81], а после г = 4, хаотически колебанияначинают угасать.
Обобщение квадратичного отображения на прямой для двумерного случая (на плоскости) было предложено французским астрономом Хеноном:
Ум = РХІ-При /3=0 отображение Хенона сводится к логистическому отображению, исследованному Мэйем и Фейгенбаумом. К значениям а и Р, при которых возникает странный аттрактор, относятся, в частности, а = 1.4 и J3 = 0.3. На (рис. 1.5) представлен аттрактор Хенона построенный при классических параметрах.Рис. 1.5 Двумерное отображение Хенона6 с параметрами а=1.4; Р=0.3
Далее рассмотрим двумерное кубическое отображение, предложенное Холмсом [76]Хаотический аттрактор может быть найден вблизи значений параметров Ъ є (0; 0.25) и d & 2.77. Ниже представлен численный эксперимент построения фазового пространства отображения Холмса с параметрами 6=0.15 и d = 2.77 (рис. 1.6,1.7) Система Лоренца и Tent - отображение
Классическим примером хаотической системы, описываемой системой нелинейных дифференциальных уравнений, является система Лоренца.Лоренц занимался построением модели конвективного движения жидкости при конвекции Релея-Бенара, то есть конвективного движения жидкости в тонкой прослойке между двумя параллельными бесконечными пластинами.Для исследования хаотических движений Лоренц выбрал ставшие классическими значения параметров: число Прандтля а= 10, число Рэлея г=28, геометрический параметр Ъ = 8/3 в системе уравнений [80]Рис. 1.8 Странный аттрактор динамической системы Лоренца
Для построения использована система MatLab 6.0. Текст программы см. Прил. 1 Программу №2: программный модуль 1.
Исследуя систему (1.4) численными методами, Лоренц обнаружил новый тип поведения траекторий, притягивающихся в фазовом пространстве к некоторому образованию, не имеющему аналогов на плоскости и получившему название аттрактор Лоренца (рис. 1.8).
Если абсолютно точно известны начальные условия JC(0), у(0), z(0), то можно определить положение системы в любой момент времени и при повторном эксперименте с неизменными начальными условиями, поведение (0» Я0 z(0 будет неизменно. В этом заключается различие между хаотическими и стохастическими системами - детерминированность решения. Поэтому, динамические системы с хаотическим поведением называют системами с детерминированным хаосом, однако зачастую для простоты, опускают слово "детерминированный" и применяют термин хаотическая система.
В качестве примера временной зависимости системы Лоренца на (рис. 1.9) продемонстрировано решение системы (1.4) с начальными значениями х(0) =10, (0)=10, (0)=10.
Рис. 1.9 Зависимости фазовых переменных системы Лоренца от времени В своих исследованиях для получения одномерного отображения, системы (1.4), Лоренц рассмотрел последовательные максимумы переменной z, которые он обозначил ип. График зависимости ип+і от ип показал, что в данном
Стандартный метод расчета спектра показателей Ляпунова
Пусть имеется фазовая траектория, представляющая собой последовательность, полученную в результате проведения эксперимента либо, при решении нелинейного дифференциального уравнения. Наибольшее распространение получил метод предложенный Вольфом, Свифтом, Свинни и Вастано, и впоследствии улучшенный Ландой и Четвериковым. Сначала произвольная точка траектории xo(to) принимается за начальную и ищется соседняя ближайшая к ней точка z0(to). Расстояние между этими двумя точками Lo(to) при хаотической динамике со временем растет (рис. 2.2).Рис. 2.2 Схема вычисления показателей Ляпунова Если следующее значение L0(ti) L0(to), то оно отбрасывается и ищется новая точка zj(tj), соседствующая с xj(t]). Т.к. 1,() описывает поведение малого возмущения, его длина должна быть по возможности малой, чтобы линеаризованная вдоль траектории система хорошо описывала эволюцию. С другой стороны она не должна быть настолько малой, чтобы стать сравнимой с уровнем шумов. Кроме того, необходимо чтобы xofto) и z0(to) принадлежали разным траекториям, иначе не будут получены положительные первые экспоненты Ляпунова Я]. Если условия выполняются, то первый ляпуновский показатель определяется из выражения Чтобы вычислить другие ляпуновские показатели, в [46] предлагается использовать аналогичную процедуру, но с обязательной ортогонализацией по методу Грама - Шмидта. Поясним это на примере вычисления следующего по величине ляпуновского показателя fa fa- Пусть Li(ti+i)/ Li(tj)=di тогда обозначим вектора zt(t и г /ф вычисленные при счете Л], через w(1\ и 41\ соответственно v(l\ = w(l)i /dL. В качестве начального для уравнения (2.2)зададим вектор v ? , ортогональный вектору v о т. е. удовлетворяющий условию (v()o v(I)o) = 0. Через время т вектор v(2)o перейдет в вектор w(2)J . Составим линейную комбинацию векторов w(2)i и v(1\ так, чтобы она была ортогональна вектору v(1)t. Для этого положим u(2)j = w(2)} + flv(1)\ , где /? -неопределенный множитель, и потребуем, чтобы (u(2)i v(1)j ) = 0. Отсюда находим Р =-(w(2 \ v(1)j). В качестве начального вектора для второго шага возьмем вектор v(2)i = и(2)]/с/2)] где с/2)]=\и(2)]\. Поступая аналогичным образом на каждом /-м шаге, вычислим все df2\. Ляпуновский показатель Х2 определяется выражением:
Чтобы вычислить у -й ляпуновский показатель, нужно на каждом /-м шаге проводить операцию ортогонализации по отношению к векторам v(1)t, v(2\, . .. ,yP l)i. Для этого образуем вектор u(l\ = w t + PJV(1\ +/ v(2)i + +Pj-iv(i 1)i и потребуем чтобы (ифі v(1)j) = 0, (иj v(2)j) = 0, . . . , (иІ v j) = 0, отсюданаходим p fw jV j). Следовательно, u\j) = w\j) -- (w/ vj )vjk). Ляпуновскийпоказатель fa определяется по формуле:где $\=\vp)\. Таким способом можно вычислить последовательно или одновременно все п ляпуновских показателей.
Вычислим наибольший показатель Ляпунова методом, изложенным выше для системы Лоренца (1.4) с различными параметрами г, Ъ , т. параметрах системы Лоренца г=28,6=8.3, а= 10 и r=45.92,b=4,a=\6, соответственно, где (М-1)- число смен соседних траекторий.
При моделировании использовалось 6000 итераций и L0(to)=70. В первом эксперименте наибольший показатель Ляпунова Я] = 2.29 (показатель приведенный в [89]: Л] = 1.57), во втором эксперименте Xi = 2.24 (показатель приведенный в [43]: Я/= 2.16). Замечание: В ходе проведения эксперимента была замечена существенная зависимость величины ляпуновского показателя от начального расхождения траекторий Lo(to). Так, например, в первом случае при параметрах системы г=28, Ь=8.3, 0=10 и L0(to)=\00, А;=1.84. По всей видимости, этим можно объяснить разброс значений Лі, приводимых в различных источниках.
Основу метода составляет факторизация нелинейного оператора предложенная в [59].Решается система нелинейных дифференциальных уравнений вида:dx где х =—, А - известный нелинейный оператор, A:R" - R",xє R",t єRx, atju - параметры системы, x(t0) = x0 - начальные условия.Решение (2.7) разыскивается в некоторой области начальных значений, а затем продолжается на более широкую область, для этого будет использована псевдо-тейлоровская факторизация нелинейного оператора, которая состоит в следующем.
Пусть А(х) допускает представление в виде ряда Тейлора:где / = t/r - дискретное время на сетке, выполненной с шагом т,Проводится линеаризация (2.8) и выравнивание с помощью оператора у по схемегде оператор у подбирается так, чтобы выполнялось тождество вточке xt:Выполнив условие (2.10), получим факторизацию оператора А(х) из (2.9) в видеимеем вместо (2.7) следующее приближениеТогда решение системы (2.7) по схеме Эйлера имеет видгде С,., = у А\_х, Е - единичная матрица. Введем оператор логарифмирования в виде ряда
Спектр мощности и автокорреляционная функция
Хаотические колебания по некоторым свойствам сходны со случайными процессами, а именно они обладают сплошным спектром мощности, экспоненциально спадающей корреляционной функцией и непредсказуемостью на больших интервалах времени, именно эти признаки можно использовать для начальной диагностики динамической системы.
В работах [1,17,20,28,29,38] исследованы принципы генерации хаотических сигналов и их применения в системах связи. В качестве примера можно рассмотреть спектры мощности широкополосного и сверхширокополосного хаотического источника сигнала (рис. 3.7), предложенного в [28].
Чтобы оценить интенсивность хаоса, полезно ввести функцию служащуюмерой сходства значения сигнала х в момент времени t со значением сигнала вболее поздний момент времени t+т. Величина С(т), о которой идет речьполучается путем усреднения большого числа произведений:
Дмитриев А.С., Парнас А.И. Динамический хаос. Новые носители информации для систем связи // М.: Физматлит, 2002
В хаотическом режиме, в котором спектр мощности обязательно содержит непрерывную часть, автокорреляционная функция стремится к нулю при возрастающем т. Автокорреляционная функция С(г) имеет конечную протяженность: сходство сигнала с самим собой со временем ослабевает, а по истечении некоторого времени исчезает совсем.
Для дискретных отображений удобнее пользоваться другой формулировкой автокорреляционной функции:итераций, хо - начальное значение.
Российскими учеными-топологами П.С Урысоном и П.С. Александровым была определена топологическая размерность. По определению, она равна 0 для точки, 1 для линии, 2 для поверхности или фигуры, 3 для тела или пространства и так далее. Обычно говоря о размерности объекта, имеют ввиду его топологическую размерность, которая принимает целочисленные значения. Топологическая размерность не чувствительна к извилистости линии, изъязвленности или шероховатости поверхности и так далее (рис. 3.8).
Для характеристики аттракторов целесообразно ввести понятие размерности. Размерность определяет количество информации, необходимое для задания координат точки, принадлежащей аттрактору, в рамках указанной точности. Обсуждаемые в литературе определения размерности в общем разделяются на два типа: зависящие только от метрических свойств аттрактора и, помимо метрики, зависящие от статистических свойств потока, обусловленных динамикой. В типичных случаях метрические размерности принимают одинаковую величину, которую принято называть емкостью или фрактальной размерностью аттрактора.
Фрактальная размерность - мера степени заполнения орбитой определенного подпространства, нецелая фрактальная размерность свидетельствует о наличии фрактальной структуры, то есть «странного» аттрактора.
Термин фрактал принадлежит американскому математику Бенуа Мандельброту, изучающему множества, обладающие геометрической (масштабной) инвариантностью.
В качестве простейшего, классического примера фрактала рассмотрим канторово множество. Оно строится последовательным исключением интервалов длиной 1/3 из середины единичного отрезка. Выбросив первый разсреднюю треть, оставляем два отрезка длиной 1/3 каждый. Затем, выбросивсредние трети из оставшихся двух отрезков, получим четыре отрезка длиной по1/9 (рис. 3.9). На к-м этапе мы будем иметь М=2к не связанных друг с другомотрезков длиной =(1/3) каждый. В пределе при к- оо на отрезке останетсямножество точек, называемое канторовым множеством или канторовой пылью,названным в честь Георга Кантора открывшего его в 1883 г. Это множествонигде не плотно на отрезке, т.е. не содержит ни одного интервала сколь угодномалой длины. Но оно замкнуто и плотно в себе, т.е. не содержитизолированных точек, и, следовательно, является совершенным множеством.Рис. 3.9 Построение канторова множества В литературе описаны и другие простейшие фрактальные множества, такие, как ковер и куб Серпинского [32,34] являющимися непосредственным обобщением канторова множества на плоский и пространственный случай, снежинки и кривые Кох, предложенной Хельгой фон Кох в 1904 г., непрерывная фрактальная функция «чертова лестница», кривые дракона и кривые Пеано и Гильберта.
Существует несколько определений размерности множеств, обладающих фрактальной структурой: фрактальная размерность Колмогорова-Хаусдорфа (Хаусдорфа-Безиковича, емкость множества), корреляционная размерность, информационная размерность, поточечная размерность, вероятностная размерность, энтропийная размерность и т.д. [18,43,52,60].
Рассмотрим наиболее распространенные размерности, используемые в качестве количественных характеристик «странных» аттракторов диссипативных динамических систем.
Размерность Колмогорова-Хаусдорфа (Хаусдорфа-Безиковича, емкость множества). Рассмотрим компактное, то есть замкнутое и ограниченное множество. Вокруг каждого элемента этого множества, как вокруг центра, опишем сферу радиуса є (или куб со сторонами є). Если множество бесконечно, то таких сфер получится бесконечно много. По лемме Гейне-Бореля, для любого компактного множества существует конечное подпокрытие - конечный набор сфер радиуса є, таких, что каждый элемент множества принадлежит, по крайней мере, одной сфере, не обязательно совпадая с ее центром.
Пусть N(e) - число сфер в конечном подпокрытии множества. Для гладкого объекта, например, для отрезка прямой или окружности limN(s) со,г-»0но для негладких объектов \im N(s) = х , это значит, что при разложении Щє) вряд по є, разложение содержит не только тейлоровскую, но и лорановскую часть. Пусть l/sD ,D О - главный член лорановской части разложения. Тогда при- 0
Прямой синтез хаотических систем
Представленный ниже метод введения управления для синтеза хаотических систем, построен на концепции локальной неустойчивости хаотического решения, для возможности оперирования некоторыми понятиями данной концепции, сформулируем определение хаотического решения с позиции теории устойчивости, в частности рассмотрим устойчивость по Лагранжу и Ляпунову [13,40,41].
Итак, вернемся к системе (1.1):Точка Хо и исходящая из нее фазовая траектория x(t) называется устойчивой по Лагранжу, если состояние x(t) всегда при всех t 0, остается в некоторой ограниченной области фазового пространства. Иначе говоря, существует такая константа М что для всех t 0 имеем \x{t)\ М, где
Траектория x(t) устойчива по Ляпунову если для любого сколь угодно малого положительного числа є существует такая 8 0, что для любой точки старта из 8- окрестности точки хо, то есть при х0 - у0 8 имеем для всех t 0
Траектория образующая хаотический «странный» аттрактор будет устойчива по Лагранжу, с другой стороны, одним из свойств хаотических систем является экспоненциальное расхождение решений при малом изменении начальных значений, то хаотическая траектория неустойчива по Ляпунову.
Следовательно, решение системы (1.1) является хаотическим, если оно устойчиво по Лагранжу и неустойчиво по Ляпунову. Иными словами, хаотическая динамика - есть локально неустойчивое движение в замкнутом фазовом пространстве.
Рекуррентное решение системы (4.1), представленное формулой (4.4) можно представить как динамическую систему с обратной связью, и схематично изобразить, как предложено на (рис. 4.4).
Пусть фазовое пространство Q решения (4.4) бесконечно, то есть система неустойчива. Тогда, для выполнения условия локальной неустойчивости, необходимо ограничить фазовое пространство и вернуть решение в замкнутый фазовый объем S с помощью некоторой управляющей функции - функции возврата.
Определение. Функцией «жесткого», возврата называется функция u(x(i)) возвращающая решающую точку в заданный фазовый объем S, непосредственно на следующем шаге после выхода ее из объема S, а функцией «мягкого» возврата назовем функцию u(x(i)), такую что Urn [u(x(i))]-» S, где Nзаданный интервал возврата.
Данное управление (рис. 4.5) можно рассмотреть, как дополнение к схеме (рис. 4.4) численно аналитического решения (4.4) системы (4.1), где и(х(г)) eS - функция "жесткого" возврата. Так как при использовании функции «жесткого» возврата траектория немедленно возвращается в данный объем, то такое управление назовем безынертным, напротив при использовании функции «мягкого» возврата траектория некоторое время прибывает вне заданного объема развиваясь как бы по инерции, подобное управление назовем инертным. Рассмотрим примеры возможных реализаций функций «жесткого» возврата (где h - постоянный коэффициент): В данном случае производится постоянная проверка и по необходимости коррекция неустойчивой по Ляпунову траектории для удержания ее в замкнутом фазовом объеме, тем самым достигается выполнение условия локальной неустойчивости предложенного в начале.
Пусть система (4.1) устойчива и имеет ряд точек покоя, задав окрестности точек покоя и воспользовавшись предложенной функцией «жесткого» возврата, возможно, синтезировать систему с локально неустойчивым решением.
Рассмотрим пример ограничения окрестностей точек покоя.Ограничив фазовое пространство и исключив из него точки покоя по схеме (рис. 4.6), можно получить хаотическое решение, «странный» аттрактор которого выглядит, как представлено на (рис 4.7).
То есть, ограничивая окрестности точек покоя, управление не позволяет траектории войти в асимптотически устойчивый режим, с другой стороны траектория постоянно стремится к равновесию и следовательно не может выйти за пределы заданного объема и уйти в бесконечность, таким образом, происходит локально неустойчивые колебания внутри замкнутого фазового пространства, то есть хаотические колебания.
Рассмотрим частный случай безынертного управления, при котором задаваемый фазовый объем много меньше, чем реальный объем системы без управления. Таким образом, практически на каждом шаге решения траектория будет выходить из заданного объема, а следовательно будет требоваться управление. Такое «чрезмерное» управление назовем гипер-управлением, а полученной таким методом хаотическое решение назовем компрессионным хаосом.Решение данной системы без управления неустойчиво по Лагранжу, иначе говоря, траектория не сохраняя фазового объема уходит в бесконечность.
Используя функцию «жесткого» возврата видагде h=1.8 и ограничив фазовое пространство по схеме (рис. 4.8) можно получить хаотическое решение, фазовое пространство которого изображено на (рис. 4.9).
Данный метод получения компрессионного хаоса применим при необходимости уменьшения динамического диапазона хаотического решения, своего рода компрессирование динамического диапазона.
Определение. Систему (1.1) с оператором А(х,ц) назовем переменно устойчивой, если неустойчивое решение x(t) на некоторых отрезках времени и в некоторых объемах фазового пространства меняет свое состояние на устойчивое. Сам оператор А(х,ц) в этом случае назовем условным.
