Содержание к диссертации
Глава І. ВВЕДЕНИЕ
Часть І.
Глава 2. СИСТЕМЫ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТИЛИ
§ 2.1. Системы с многозначными правыми частями. Свойства решений.
§ 2.2. Определение устойчивости и леммы типа
§ 2.3. Частотные теоремы 8
Глава 3. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ
§3.1. Некритический случай
§ 3.2. Критическим случай пары чисто-мнимых корней
§ 3.3. Критический случай одного нулевого корня... 61
§ 3.4. Критический случай .двух нулевых корней 71
Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ
§ 4.1. Устойчивость 84.
§ 4.2. Дихотомия Часть П. ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
Глава 5. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВНДЕШ1Я
§ 5.1. Примеры импульсных систем НО
§ 5.2. Классификация и описание импульсных систем ИВ
Глава 6. СИСТЕМЫ С ІМІУЛЬСАМИ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
§ 6.1. Устойчивость систем с импульсами конечной длительности
§ 6.2. Широтно-импульсная система фазовой синхронизации
§ 6.3. Системі с высокой частотой импульсации
Глава 7. СЙСТЖ1Ы С іЛГНОВЕШШИ ИМПУЛЬСНЫЙ
§ 7.1. Устойчивость систем с частотно-импульсной модуляцией первого рода 182»
§ 7.2. Устойчивость систем с частотно-импульсной модуляцией второго рода 04
§ 7.3. Устойчивость асинхронных импульсных систем
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Изучению нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия (механических систем с сухим трением, систем автоматического регулирования с нечувствительностью и др.) посвящена обширная литература. Среди точных методов их исследования наибольшую популярность получили метод припасовывания, метод фазовой плоскости и фазового пространства, метод точечных отображений С их помощью изучено много нелинейных систем, главным образом второго и третьего порядка. Эти методы зачастую позволяют исследовать не только устойчивость, но и построить всю качественную картину системы. Однако их применение ограничено трудностями, связанными с размерностью системы и со степенью сложности нелинейности.
В диссертации развивается новый подход к исследованию нелинейных (непрерывных и импульсных) систем с не єдине твенныгл состоянием равновесия, заключающийся в разработке точных (не приближённых) достаточных частотных критериев устойчивости в целом, применение которых не связано с указанными выше трудностями.
В рамках общей теории устойчивости движения, большой вклад в развитие которой внесли А»М.Ляпунов, Н.Г.Четаев, И.Г.Малкин, Н.Н.Красовский, В.В.Румянцев, Б.И.Зубов, В.А.Якубович, В,М.Матросов и многие другие отечественные и зарубежные учёные, с выходом монографии А.И.Лурье [Ю9] возникло новое направление - теория абсолютной устойчивости нелинейных систем, математическое описание которых (в случае одной нелинейности) может быть представлено в виде уравнения.
Новый этап (частотный) в развитии теории абсолютной устойчивости начался с конца 50-х годов после выхода работ румынского учёного В М.Попова [1?8"180] , в которых с помощью метода априорных интегральных оценок были получены достаточные условия абсолютной устойчивости в виде требований, предъявляемых к передаточной функции (от "входа" Ср к "выходу" — (э ) линейной части системы (I). Эти ("частотные") критерии удобны для приложений, не зависят от порядка системы, имеют простую геометрическую интерпретацию на плоскости амплитудно-фазовой частотной характеристики х( 10 ив силу своей инвариантности относительно линейного неособенного преобразования координат не тре буют предварительного приведения системы (I) к каноническому виду. В.гЛ.Поповым было показано, что область параметров системы (I), найденная с помощью частотного критерия, не .уже. области, которая может быть получена путем анализа функции Ляпунова вида (2).
В 1962 г. В.А.Якубович [1583 ,а затем Р.Калман [171] нашли частотные условия разрешимости квадратичных матричных неравенств, к которым сводится анализ функции Ляпунова вида (2) по методу А.й.Лурье, и показали, что области абсолютной устойчивости, получаемые с помощью частотного критерия В.М.Попова и метода разрешающих уравнений А.И.Лурье,идентичны. Тем самым было показано, что оба подхода (А.М.Лурье и В.Ы.Попова) эквивалентны.
Следует отметить, что интерес к теории абсолютной устойчивости . стимулируется и тем обстоятельством, что класс абсолютно устойчивых систем вида (I) совпадает с классом нелинейных систем, для которых справедлива гипотеза м.А.Айзермана fll , состоя к Теория абсолютной устойчивости, естественно, не является единственным направлением обк..ем теории устойчивости движения в последние десятилетия. Так,например,В.М.Матросовым и его учениками развивается метод сравнения, основанный на анализе вектор-функций Ляпунова.
Автор начал заниматься теорией абсолютной устойчивости с середины 60-х годов в направлении развития частотных критериев устойчивости систем с разрывными и многозначными нелинейноетями и неединствеиным состоянием равновесия, а также нелинейных импульсных систем, математическое описание которых не сводится к уравнениям вида (4). Основные результаты автора, подытоженные в монографиях [6$э681 составляют содержание этой работы.
Пусть для простоты ГГЬ = і » то-всть в (I) (L и L - столбцы, а Ф( э) - скалярная функция. Системы с неединственным состоянием равновесия часто описываются уравнением (І), в котором функция ф (€0 не является непрерывной. Например, если ф(ЄГ) - характеристика силы сухого трения, то она может иметь вид ф((э) = Starts и, следовательно, является разрывной функцией. Наличие разрыва у ф ( э) в ряде случаев приводит к появлению неклассических решений системы (I) - так называемых скользящих режимов.
Теория дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями развивалась рядом авторов . Наибольшую популярность у прикладников приобрели подходы А.Ф.Филиппова С149] и М.А.Айзер-мана и Е.С.Пятницкого [31 . Согласно этим подходам поведение системы на гиперплоскости разрыва правой части определяется теми значениями, которые принимает правая часть в окрестности этой гиперплоскости. Для систем с сухим трением это не совсем удобно, поскольку при таком подходе системы (I) с нелинейное тями, графики которых изображены на рис. Ї.І (трение несрывное) и рис. 1.2 (трение срывное) отождествляются.
Более адекватным существу систем с сухим трением является на наш взгляд теория дифференциальных уравнений с многозначными правыми частями. При этом под Ср СО понимается отрезок [ф ф "] , изображенный на рис. 1.1 и 1.2 жирной линией. Теория уравнений с многозначными правыми частями была развита в 30-х годах Зарембой [190,191] и Марию [ІЇ35І?41 . В СССР элементы этой теории изложены в статье Е.А.Барбашина и Ю.И.Алимова [19] , а также в написанной автором второй главе монографии [683 . Необходимые сведения содержатся в § 2.1 этой работы. Там же приводится исследование скользящих режимов и устанавливается простая связь между характеристическим полиномом системы линейных дифференциальных уравнений, описывающих скользящий режим и передаточной функцией (3) (матрицей, если tXi { ) •
Леммы ляпуновского типа, гарантирующие наличие у системы того или иного из перечисленных выше свойств приводятся в § 2.2. При этом для исследования точечной устойчивости в целом оказались полезными семейства функций Ляпунова вида \/ (х,С) , где С произвольный вектор из стационарного множества.
В последнем параграфе второй главы приводятся необходимые для дальнейшего алгебраические результаты В.А.Якубовича Г 68] и К.Мейера [1?5] (частотные теоремы).
Глава 3 диссертации посвящена исследованию устойчивости системы вида (I) с одной кусочно-однозначной нелинейностью (однозначной и непрерывной всюду, кроме отдельных точек Эд. , в каждой из которых Ф (в ц/) является отрезком).
Все частотные критерии в первой части работы получены на основе анализа свойств функций Ляпунова с помощью частотных теорем. Следует отметить, что частотные критерии, выведенные в главе 3, необходимы для существования функций Ляпунова используемых классов. Иными словами, их нельзя улучшить, варьируя параметры функции_Ляпуноза.
Для демонстрации полученных критериев используются не только оригинальные примеры, но и системы, изучавшиеся другими авторами с помощью нечастотных методов. Это сделано для выяснения эффективности частотных критериев по сравнению с другими точными методами исследования устойчивости.
Однако, встречаются задачи, в которых частотные критерии позво -1 ляют получить больше информации о системе, чем другие указанные выше точные метода.
Вторая часть диссертации посвящена исследованию устойчивости нелинейных импульсных систем классов, математическое описание которых сводится к дискретному уравнению вида (4) с матрицами Р и ft нелинейно зависящими от Хп, . Для анализа устойчивости таких систем в монографии В.М.Кунцевича и Ю.й.Чехового ГЮІІ , а такжё их последователей использовалась функция Ляпунова в виде квадратичной формы. Этот путь приводит к условиям устойчивости в виде трансцендентных неравенств, которым долины удовлетворять параметры системы и коэффициенты квадратичной формы, взятой в качестве функции Ляпунова.
Автором развит другой подход к исследованию устойчивости таких систем, основанный на сведении их математического описания не к разностным уравнения вида (4) с нелинейными Р и п , а к интегральным уравнениям Вольтерра с разностным ядром и операторной нелинейностью. Анализируя ати уравнения с помощью априорных интегральных и рекуррентных оценок удается получить частотные, KPHjrj3PjM__yс тойчив ос туи
В главе 5 приводится ряд примеров механических систем с импульсным управлением и дается классификация импульсных систем..
В главе 6 изучаются системы с импульсами конечной длительности. Наиболее распространенным видом таких систем являются системы с широтно-импущьсной модуляцией различных видов, которые часто применяются в технике (при управлении пневмоприводами [IS], для вибрационной линеаризации нелинейностей [14.21 , при управлении электроприводами СІ813 и т.п.)
К (4) с постоянными Р, & сводятся, как правило, системы лишь с амплитудной модуляцией.
В § 6.1 получены достаточные частотные условия устойчивости систем при широком классе законов модуляции как в некритическом случае, так и в критическом случае одного нулевого корня, когда у системы имеется отрезок покоя.
В § 6.2 рассматривается широтно-импульская система фазовой синхронизации, обладающая счет множеством стационарных режимов. Получены достаточные условия втягивания в синхронизм при любых t начальных возмущениях и достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости.
§ 6.3 посвящен изучению систем с импульсами конечной длительности, частота импульсации которых достаточно велика. Для исследования таких систем разработан подход, основанный на сравнении импульсной системы со специально построенной непрерывной системой. На этом пути получены достаточные частотные условия устойчивости в некритическом случае и критическом случае одного нулевого корня, а также достаточные условия автоколебательности.
В последней, седьмой главе, рассматриваются системы с мгновенными импульсами, ошгсываемыми о -функциями. Следует отметить, что управления в классе обобщенных функций изучались в монографиях Г?9,94, 03,151] . В данной главе исследуются системы, в которых частота импульсации модулируется некоторым сигналом.
В § 7.1 изучаются системы с частотной модуляцией первого рода. Получены достаточные частотные условия устойчивости в некритическом случае и критическом случае одного нулевого корня.
В § 7.2 рассматриваются системы с различного вида частотной модуляции второго рода. Получены частотные критерии устойчивости для некритического случая и критических случаев одного нулевого корня, пары чисто-мнимых корней, одного нулевого и пары чисто-мнимых корней.
С помощью этих критериев исследована устойчивость частотно -19 импульсной системы управления механическим вибратором и частотно-импульсной системы регулирования давления в теплосети•
В § 7.3 изучаются асинхронные системы со МНОГИМИ импульсными элементами и различными видами частотно-импульсной модуляции второго рода. Такие системы применяются, например, при управлении сложными технологическими процессами [16] . Для некритического случая и различных критических случаев получены достаточные частотные условия устойчивости.
Таково краткое содержание диссертации. На защиту выносятся следующие основные результаты:
1. Частотные критерии глобальной асимптотики, устойчивости в целом и точечной устойчивости в целом отрезка покоя систем с одной кусочно-однозначной нелинейностью в некритическом случае и критических случаях одного нулевого корня, пары чисто-мнимых корней, двух нулевых корней.
2. Частотные критерии дихотомии и точечной устойчивости в целом стационарного множества систем со многими кусочно-однозначными нелинейноетями.
3. Частотные критерии устойчивости в целом нелинейных шшульсных систем с импульсами конечной длительности в некритическом случае и критическом случае одного нулевого корня.
4» Достаточные условия втягивания в синхронизм при любых начальных возмущениях и глобальной асимптотической устойчивости широтно-импульсных систем фазовой синхронизации.
5 Частотные критерии устойчивости частотно-импульсных систем с мгновенными импульсами в некритическом случае и критических случаях одного нулевого корня, пары чисто-мнимых корней одного нулевого и пары чисто-мнимых корней.
Исследования автора были продолжены и развиты в выполненных под его руководством кандидатских диссертациях Г.А.Леонова [105] В.Б.Смирновой [ІЗ?], Н.А.Антоновой ПИ » З.У.Елягоза [2.2] , А.Ф.Галимовой С36] , а также в кандидатских диссертациях И.Е.Ба-раба нова С18] , И.М.Бур:кинаі [2,?] , С.П.Соколовой [140] , Т.Биярова [21] , В.А.Мжельской [119] , В.Б.Тимофеева [14]
Результаты диссертации докладывались на Международном конгрессе математиков (Москва, 1966), 3 и 5 Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Москва, 1968, Алма-Ата, 1981), Всесоюзном симпозиуме по качественной теории дифференциальных уравнений (Замарканд, 1964), 3 Всесоюзном совещании по автоматическому управлению (Одесса, 1965), Международном симпозиуме по техническим и биологическим проблемам управления (Ереван, 1968), 3 Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Иркутск, 1977), 2,3 и 4 Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Рязань, 1971; Самарканд, 1973; Рязань,1976), Всесоюзном межвузовском симпозиуме по прикладной математике и кибернетике (Горький, 1967), 4 Всесоюзной конференции по теории и методам расчета нелинейных цепей (Ташкент,1971),
-2І Всесоюзной школе по методу функций Ляпунова и его приложениям (Иркутск, 1979), Семинаре-симпозиуме по второму методу Ляпунова и его применению в энергетике (Новосибирск, 1966), 2 Научно-техническом семінаре по системам фазовой синхронизации (Горький, 1975).
