Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи. Основные предположения и модели 11
1.1 Описание используемых систем координат 11
1.2 Описание одноосного управления 13
1.3 Постановка задачи 18
1.4 Способы описания относительного движения 20
1.4.1 Координатный способ описания относительного движения 20
1.4.2 Описание относительного движения при помощи орбитальных элементов. 26
1.4.3 Комбинирование способов описания 30
1.5 Возмущения и их влияние на формацию 35
1.5.1 Учет влияния линеаризации в линеаризованных уравнениях относительного движения 35
1.5.2 Учет влияния слабой эллиптичности орбиты главного спутника в линеаризованных уравнениях относительного движения 36
1.5.3 Учет возмущений от несферичности Земли 37
1.5.4 Учет возмущений от влияния сопротивления атмосферы 43
1.5.5 Влияние светового давления на формацию спутников 44
1.5.6 Обоснование учета возмущений 45
1.5.7 Обоснование выбора параметров орбит спутников 47
1.6 Способы управления формацией 47
Глава 2. Формирование группировки спутников и анализ динамики в центральном ньютоновом поле 53
2.1 Поддержание заданных траекторий в приближении центрального гравитационного поля при помощи импульсного одноосного управления 53
2.1.1 Описание метода построения импульсного управления для поддержания формации 53
2.1.2 Применение метода построения импульсного управления для случая центрального гравитационного поля 55
2.2 Получение траекторий относительного движения, отличных от семейства невозмущенных решений, при помощи одноосного непрерывного управления 73
2.2.1 Метод построения управления для получения наилучшего приближения траекторий 74
2.2.2 Применение метода построения наилучшего приближения траекторий 77
2.3 Основные выводы по формированию группировки в приближении центрального гравитационного поля 78
Глава 3. Формирование группировки и ее динамика с учетом возмущения от полярного сжатия Земли 79
3.1 Описание методики компенсации влияния возмущения на относительный вековой уход в формации 79
3.2 Вычисление относительных изменений оскулирующих элементов под влиянием возмущения от полярного сжатия Земли 82
3.3 Вычисление относительного изменения оскулирующих элементов под влиянием управления вдоль вектора напряженности геомагнитного поля 86
3.3.1 Относительное изменение оскулирующих элементов под действием управления 86
3.3.2 Относительное изменение драконического периода обращения под действием управления 88
3.4 Построение непрерывного управления для устранения относительного векового ухода 94
3.4.1 Построение управления для устранения относительного дрейфа орбит 94
3.4.2 Построение непрерывного управления для устранения относительного изменения периодов обращения 102
3.4.3 Построение непрерывного одноосного управления для устранения влияния полярного сжатия Земли 105
3.4.4 Оценка времени жизни спутника в случае использования двигателей для устранения относительных вековых уходов 113
3.5 Построение импульсного управления для устранения относительного векового ухода 114
3.5.1 Использование импульсного управления для устранения относительного дрейфа орбит 114
3.5.2 Использование импульсного управления для устранения относительного ухода спутников по периоду 120
3.5.3 Построение импульсного одноосного управления для устранения влияния полярного сжатия Земли 121
3.5.4 Оценка времени жизни спутника при использовании импульсного управления с целью устранения относительного ухода 126
3.6 Применение методики устранения вековых уходов на примере использования светового давления 126
3.6.1 Вывод управляющих ускорений для дочернего спутника, снабженного солнечным парусом 127
3.6.2 Построение управления для устранения относительного дрейфа орбит 129
3.6.3 Построение управления для устранения относительного изменения периода обращения спутников 135
3.6.4 Демонстрация устранения относительного векового ухода орбит в формации спутников при помощи светового давления 137
3.7 Основные выводы по формированию группировки при наличии возмущений 141
Заключение. Выносимые на защиту положения диссертации 143
Список литературы 144
Приложение 1. Примеры проектов Formation Flying 158
- Координатный способ описания относительного движения
- Учет возмущений от влияния сопротивления атмосферы
- Описание метода построения импульсного управления для поддержания формации
- Вычисление относительных изменений оскулирующих элементов под влиянием возмущения от полярного сжатия Земли
Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы
Объектом исследования в диссертационной работе является механическая система, состоящая из спутников, находящихся на относительно малом расстоянии друг от друга по сравнению с расстоянием до притягивающего центра и предназначенных для решения общих задач, требующих взаимной координации. Способность к совместной работе спутников определяется возможностью определения относительного положения каждого объекта системы и возможностью управления их относительным положением. Для обозначения такой системы спутников в англоязычной литературе используется термин «Formation Flying», в русскоязычной - спутниковая группировка, формация или группа спутников.
Импульсом к созданию формаций спутников послужило появление миниатюрных спутников, вывод на орбиту которых может быть осуществлен одним носителем. В этом случае резко снижается стоимость миссии и время ее подготовки из-за использования унифицированных спутников, входящих в состав формации. Группировка спутников представляет собой более гибкую систему, чем одиночный спутник, так как при выходе из строя, спутник в составе группировки можно достаточно быстро заменить, при этом возможно, чтобы группировка продолжала выполнять задачи, возложенные на нее, в отличие от одиночного спутника. Благодаря этому же свойству, формация спутников проще подвергается модернизации. При использовании свойства реконфигурации группировка спутников может быть в рамках одной миссии применена для решения нескольких задач.
Важным достоинством формации, недоступным для одиночного спутника, является возможность одновременного проведения наблюдений, измерений, других экспериментов в различных точках пространства при заданном и контролируемом взаимном положении спутников. Это свойство особенно важно для метеорологии, задач изучения ионосферы, магнитосферы Земли, гравитационного поля или, к примеру, получения стереоизображений рельефа местности, а также снимков поверхности с большим разрешением, чем в случае использования одиночного спутника, когда разрешение снимка определяется максимальными поперечными размерами аппарата.
При использовании формации спутников необходимо обеспечить, во-первых, ее создание в начальный момент времени, во-вторых, необходимо уметь поддерживать ее, так как под действием возмущающих факторов орбиты отдельных спутников могут изменяться по-разному, что приведет к разрушению формации, в-третьих, нужно уметь реконфигурировать формацию. Использование в составе формаций малых спутников с ограниченной энергетикой порождает ограничения на допустимое управление их относительным движением.
В диссертационной работе решается задача поддержания формации спутников при наличии ограничений на возможную ориентацию вектора тяги управляющего двигателя. Рассматривается система, состоящая из двух спутников: главного (пассивного) и дочернего (управляемого). Разработанные методы можно распространить на систему, состоящую из большего количества управляемых спутников, а также на систему, содержащую виртуальный главный спутник вместо реального.
Технологии создания новых поколений ракетно-космической, авиационной и морской техники относятся к перечню критических технологий Российской Федерации.
Цель диссертационной работы
Основной целью диссертационной работы является демонстрация возможности использования системы, обладающей упрощенной конструкцией исполнительных органов, для управления относительным положением спутников. На базе одноосной системы управления решаются задачи поддержания ограниченных относительных движений, а также задачи построения наперед заданных относительных траекторий.
Научная новизна работы
Постановки задач в работах, связанных с построением управления для поддержания формации, обычно не содержат ограничений на исполнительные органы или дополнительных требований к управлению, за исключением, возможно, случаев, когда каким-либо образом минимизируется затрачиваемое топливо. Большая часть алгоритмов управления относительным положением спутника содержит предположение о том, что в нужные моменты времени двигатели на спутнике (либо сам спутник) можно ориентировать в наиболее выгодном направлении с целью подачи управляющего импульса, и задача управления ориентацией спутника в пространстве не рассматривается, а дополнительные затраты топлива на управление ориентацией не учитываются.
В диссертационной работе предлагается разделить каналы управления ориентацией спутника и управления его поступательным движением таким образом, чтобы ориентацию спутника, а значит и ориентацию вектора тяги двигателя в каждый момент времени считать известной и дополнительно не изменять, а управление относительным движением производить, регулируя величину управляющего ускорения вдоль известного вектора направления. Будем называть такое управление одноосным. В силу специфики одноосного управления для построения управления потребовалось разработать методику вычисления необходимой величины тяги.
Научная новизна диссертационной работы состоит:
в использовании для поддержания относительного положения одноосного управления;
в методе построения управления для устранения вековых уходов в относительном движении, возникающих из-за влияния возмущений.
Практическая и теоретическая ценность
Разработанные в диссертации методы устранения относительных вековых уходов в формации спутников применимы для различных типов одноосного управления и достаточно произвольных возмущений.
Практическая ценность выполненной работы состоит в возможности применения системы управления и разработанных методов к микроаппаратам, использующим элементную базу минимального состава.
Результаты использовались при выполнении Федеральной целевой программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007 - 2012 годы" в рамках государственного контракта с Роснаукой.
Результаты и положения, выносимые на защиту
Для спутников с ограниченным ресурсом управления разработана и исследована схема реализации группового полета, позволяющая "развязать" каналы управления вращательным и поступательным движением дочернего спутника и использовать одноосную систему управления для обеспечения его заданного положения относительно главного спутника.
Построено непрерывное одноосное управление, реализующее траекторию, которая аппроксимирует заданную относительную траекторию дочернего спутника в модели линеаризованного относительного движения. Получен и обоснован способ коррекции начальных условий движения дочернего спутника для получения ограниченных траекторий в линеаризованной модели при помощи импульсного одноосного управления.
Разработана и апробирована методика компенсации относительных вековых уходов спутников под действием возмущений. Методика применена для компенсации влияния полярного сжатия Земли при помощи одноосного двигателя малой тяги, одноосного импульсного двигателей и модельного солнечного паруса. Показано, что при помощи одноосного управления удается поддерживать заданные траектории относительного движения в формации спутников.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
60th Congress IAF, Daejeon, Republic of Korea 12-16 October, 2009;
V, VII Научно - практическая конференция «Микротехнологии в авиации и космонавтике» ФГУП РНИИ КП, (Москва, 2007 г., 2009 г.);
7th IAA Symposium on Small Satellites for Earth Observation, Berlin, Germany, 4-8 May, 2009.
совместный семинар кафедры прикладной математики МФТИ и сектора №4 отдела №5 ИПМ им.М.В.Келдыша РАН (Москва, 2009 г.);
Семинар кафедры системного анализа и управления (МАИ, 2009 г.);
Семинар им. В.А. Егорова по механике космического полета (МГУ, 2009
г.);
научный семинар кафедры теоретической механики МФТИ (2009 г.);
семинар «Динамика относительного движения» под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В. Белецкий, проф. Ю.Ф. Голубев, доц. К.Е. Якимова, доц. Е.В.Мелкумова (Москва, 2009 г.);
научный семинар отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2009 г.);
XXXIII Академические чтения по космонавтике, секция «Прикладная небесная механика и управление движением» (Москва, 2009 г.);
V International Workshop IAA «Constellation and Formation Flying», Evpatoria, Ukraina, July 2-4,2008;
46-я, 47-я, 48-я, 49-я, 51-я конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Долгопрудный, 2003 г., 2004 г., 2005 г., 2006 г., 2008 г.);
Исследования по теме диссертации проводились в рамках работ по грантам РФФИ № 06-01-00389, № 07-01-92001, № 09-01-00431, НШ 2448.2006.1, НШ-1123.2008.1, гос. контрактов с Федеральным Агентством по науке и инновациям № 02.514.11.4068, № 02.514.11.4011, № 02.434.11.7061 и Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (грант № 6827).
Публикации
Основные результаты диссертационной работы изложены в 16 печатных работах, в том числе 3 - в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ [1 -3].
В работах с соавторами лично соискателем выполнено следующее: [1, 2, 4, 7, 8] - разработка модели относительного движения в формации, построение управления, проведение аналитических исследований и численного моделирования; [3, 5, 6] - разработка моделей относительного движения, разработка алгоритмов управления; [15, 16] - расчет параметров модели, проведение численного моделирования.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации без учета приложения составляет 157 страниц. Список литературы включает 108 наименований. В работе содержится 67 рисунков и 1 таблица.
Координатный способ описания относительного движения
Задача описания движения спутников относительно друг друга в поле притяжения массивного тела имеет непосредственное отношение к задаче трех тел. Большой вклад в описание относительного движения сделал G.W.Hill (Хилл) в работе 1878 г. «Researches in the Lunar Theory» [36]. В этой работе Хилл получил выражения для движения Луны относительно Земли в случае учета влияния гравитационных полей Солнца и Земли. Уравнения движения для Луны были записаны в прямоугольной системе координат, начало которой связано с вращающейся вокруг Солнца Землей, причем скорость вращения системы координат была равна скорости вращения Земли вокруг Солнца.
Clohessy и Wiltshire [29] в 1960 г. развили идею Хилла применительно к относительному движению спутников в формации в центральном гравитационном поле. В их модели один из спутников движется по круговой орбите вокруг Земли, и уравнения относительного движения второго спутника записываются в подвижной системе координат, связанной с первым. Clohessy и Wiltshire модифицировали уравнения относительного движения в предположении отсутствия гравитационного притяжения между спутниками, исключив, таким образом, нелинейный член р/г3 из уравнений, полученных Хиллом.
Получим линеаризованные уравнения относительного движения в предположении круговой орбиты одного из спутников. Все переменные с индексом «с» («chief») будем относить к главному спутнику, с индексом «d» («deputy») к дочернему спутнику.
Система уравнений (1.4.3) является системой линеаризованных уравнений относительного движения в орбитальной системе координат. Также при упоминании системы (1.4.3) будем использовать термин «уравнения Хилла», часто используемый в зарубежной литературе. Уравнения Хилла могут быть модифицированы путем добавления в правые части неучтенных возмущающих, а также управляющих ускорений, записанных в орбитальной системе координат.
Из соотношения (1.4.6) видно, что периодические движения дочернего спутника относительно главного возможны только в том случае, когда С, = 0. Период этих движений совпадает с периодом обращения спутника по орбите, а сами движения в плоскости орбиты происходят по эллипсу, центр которого лежит в точке х = С4,х 3 =0 . Но достаточно сколь угодно мало изменить начальные данные так, чтобы С, 0, как периодичность нарушается, и получается общий случай движения. В результате равномерное и периодическое движения складываются, и получается, что одновременно с движением спутника по эллипсу центр этого эллипса успевает сместиться вдоль оси ОХ{ орбитальной системы координат. Поэтому для существования периодического решения необходимо выполнение следующего соотношения для начальных условий: -2a 0x,(0) = ij(0). (1.4.7) Движение вне плоскости орбиты является периодическим с периодом равным периоду обращения спутника по орбите, поэтому остальные начальные условия могут быть выбраны произвольным образом. В дальнейшем семейство ограниченных траекторий в решении линеаризованных уравнений будем называть семейством Хгита или хилловским семейством. На рис. 1.4.2 приведена траектория относительного движения в плоскости орбиты при задании начальных условий в соответствии с равенством (1.4.7). График построен для круговой орбиты главного спутника, радиус орбиты равен 7500 км. Начальное относительное расстояние равно 500 м по оси ОХ3, то есть высота орбиты дочернего спутника была выше высоты орбиты главного спутника на 500 м. Относительная скорость по оси ОХ] рассчитывалась из соотношения (1.4.7). Остальные начальные условия выбраны равными нулю.
В этом случае в плоскости, перпендикулярной плоскости орбиты и радиус-вектору главного спутника (локально горизонтальной плоскости), траектория относительного движения представляет собой окружность {Projected Circular Orbit). 2. Пусть Ах - р, А2= у/Зр/2, С4 = 0. В этом случае получаем, что траектория относительного движения будет представлять собой окружность (Global Circular Orbit). 3. В случае выбора Al=A2=0, CA = d, получим формацию с последовательным движением дочернего и главного спутников (Leader-follower formation).
Учет возмущений от влияния сопротивления атмосферы
Рассмотрим теперь влияние сопротивления атмосферы. Сила сопротивления записывается в виде F = -a -p-m-V- V, где a = Scx/(2m) баллистический коэффициент, S - сечение, сх - коэффициент лобового сопротивления, р - плотность атмосферы, V- скорость спутника. Силы, действующие на разные спутники, будут разными, так как спутники имеют различные скорости и баллистические коэффициенты. Известно [13], что сопротивление атмосферы не приводит к изменению положения плоскости орбиты в пространстве в среднем за период, кроме того, оно не влияет в среднем за период на положение перигея. Влияние атмосферы за период отражается на полуоси орбиты и ее эксцентриситете. Полуось орбиты уменьшается, эксцентриситет тоже уменьшается. Carter и Humi разработали аналитическую модель относительного движения [28], включающую влияние атмосферы в линеаризованные уравнения Хилла, что позволило применять известные методы исследования решений линейных дифференциальных уравнений. Авторы показали, в зависимости от соотношений баллистических коэффициентов, высот орбит и значений плотности атмосферы в формации может быть вековой уход в направлении вдоль траектории, так и может отсутствовать. Авторами было показано, что в случае идентичных спутников возможно подобрать такие начальные условия относительного движения, чтобы вековой уход в формации отсутствовал. В работе [12] было рассмотрено влияние сопротивления атмосферы на формацию спутников. При анализе использовались уравнения Хилла с добавлением возмущения от сопротивления атмосферы. С использованием методов усреднения было показано, что при определенных начальных условиях можно избежать относительного векового ухода.
Для формации GRACE Mazanek в работе [40] показал, что сопротивление атмосферы является критическим возмущающим фактором на формацию leader-follower, так как главный спутник подвергается большему возмущению, чем спутник, следующий за ним на некотором отдалении (и кроме того, спутники могут обладать незначительно различающимися баллистическими коэффициентами). В этом случае формации для поддержания требуется постоянное наличие управления вдоль траектории, связанное с коррекцией большой полуоси главного спутника.
В работах [78], [79] и [80] исследовано влияние светового давления на солнечный парус с целью устранения относительного векового ухода под влиянием гармоники J2 для одинаковых спутников. В работе проводится линеаризация уравнений относительного движения, которые представляют собой разницу уравнений для оскулирующих элементов каждого из спутников. Далее полученные уравнения усредняются на периоде движения. В результате авторы получают расщепленные линейные уравнения, для которых поиск параметров паруса, а значит и управления, можно свести к непосредственному интегрированию. Ось паруса ориентирована вдоль радиус-вектора центра масс спутника относительно центра масс Земли. Управление происходит при помощи изменения угла ориентации паруса. Мотивацией к использованию такого способа управления была разработка требований к спутникам TechSat21 для создания формации на околокруговых околополярных орбитах. Влияние светового давления на относительное движение спутников в формации также было сделано в работе [11]. Световое давление влияло только на один из спутников. Было показано, что выбором начальных условий не получается устранить вековые уходы.
Использование светового давления для управления траекторией с целью минимизации затрачиваемой энергии рассматривается в [41]. При анализе движения систем с солнечным парусом выделяют две основные схемы создания управляющего ускорения. Обычно рассматривают движение аппарата, когда управление траекторией осуществляется путем разворота всей отражающей поверхности паруса относительно направления на Солнце. Такая схема условно называется плоским парусом «Flat Solar Sail» (FSS) [76]. В другой схеме «Solar Photon Thruster» (SPT) парус имеет форму параболоида вращения, который концентрирует отраженный свет в своем фокусе. В фокусе установлено небольшое управляющее зеркало, вращением которого и осуществляется управление движением центра масс. Использование SPT предлагалось сравнительно давно [14], но изучение динамики конкретных спутников с использованием SPT началось недавно [42]. Сравнение обеих схем с точки зрения эффективности управления траекторией и минимизации необходимых затрат на угловой маневр проведено в работе [34]. В [35] проверена возможность управления положением спутника при помощи такого паруса.
Влияние светового давления на орбитальные элементы изучено в [73]. Использование светового давления для устранения влияния несферичности Земли проведено в [60], где солнечным парусом снабжены все спутники в формации, представляющей собой тетраэдр, с вершинами - спутниками.
В диссертационной работе рассматриваются в основном круговые и околокруговые орбиты, так как большая часть формаций спутников запущена на таких орбитах (см. Приложение 1). Высоты орбит порядка 800 -1500 км, так как на этих высотах влияние J2 существенно больше, чем влияние остальных возмущающих факторов.
Согласно [49] наиболее изучаемая архитектура спутников в формации - иерархическая структура управления индивидуальным спутником, которая сводится к решению каждым спутником индивидуальной задачи обеспечения положения в пространстве. Более сложная архитектура возникает в случае, когда каждый из спутников решает задачу своего положения в зависимости положения и намерений всех спутников в группировке.
В большей части работ управление строится по принципу обратной связи с целью минимизации ошибки между текущим и требуемым относительным движением и для сохранения геометрии формации. В постановках задач обычно не приводятся ограничения на исполнительные органы или дополнительные требования к управлению за исключением, возможно, случаев, когда каким-либо образом минимизируется затрачиваемое топливо.
Некоторая часть работ основана на уравнениях Хилла и их модификациях, связанных с включением возмущений. Так как уравнения Хилла являются линейными дифференциальными уравнениями, то использование авторами Линейно-Квадратичных Регуляторов (LOR) понятно, с точки зрения применения уравнений для построения управления с целью достижения заданных траекторий и экономии потребления топлива.
Vassar и Sherwood [74] разработали контроллер для ограниченных относительных траекторий спутников для круговых орбит. В примерах они использовали контроллер для геосинхронных орбит для поддержки относительного расстояния вдоль траектории (700 м). Из возмущений учтен эффект светового давления.
Описание метода построения импульсного управления для поддержания формации
В качестве орбиты главного спутника в обоих случаях выберем орбиту радиусом 7500 км, с наклонением равным 51.6. Радиус относительной орбиты в начальный момент времени выберем равным JC3 (О) = 500 м. Изучение устранения относительного векового ухода будем наблюдать только в плоскости орбиты, так как в случае приближения центрального гравитационного поля относительный вековой уход в отсутствие управления порождается только различием в периодах движения.
Работу алгоритма проиллюстрируем на различном количестве управляющих импульсов, также проведем варьирование моментов включения. В завершение при помощи уравнений для оскулирующих элементов обоснуем получившиеся результаты.
Так как вектор фазового состояния не удовлетворяет условию периодичности, то относительный уход вдоль траектории происходит из-за разности в величинах больших полуосей главного и дочернего спутников. Необходимо построить управление таким образом, чтобы в начале следующего периода движения различие в величинах больших полуосей сохранилось, но при этом периоды обращения стали равными. Так как размерность системы равна шести, то выберем шесть импульсов для управления. Пусть моменты включения импульсов равномерно распределены вдоль интервала равного периоду обращения {30, 90, 150, 210, 270, 330}. Запас характеристической скорости на периоде обращения необходимый для поддержания периодического движения равен AV&0.88м/с. При этом управлять необходимо на каждом витке. На рис.2.1.3 показана относительная траектория при наличии управления, на рис.2.1.4 приведены необходимые величины импульсов. На рис.2.1.5 показано относительное различие в орбитальных элементах при наличии управления. В случае использования шестиимпульсного управления удалось скорректировать различие в аргументе широты при помощи изменения большой полуоси и аргумента восходящего узла, при этом к концу периода движения удалось привести различия в орбитальных элементах к первоначальным. Построим графики для пятиимпульсного управления. В случае равномерного распределения импульсов получаем следующие моменты включения импульсов: {36, 108, 180,252,324}. В этом случае расход характеристической скорости на одном витке AV «1.07 м/с. На рис. 2.1.6 показаны относительные различия в орбитальных элементах в случае применения управления. На рис. 2.1.7 показана относительная траектория движения, на рис. 2.1.8 управление для поддержания периодического движения. Видим, что в этом случае относительное различие в периодах обращения компенсируется различием в аргументах восходящих узлов. Таким образом, несмотря на небольшие отличия разницы аргументов широты дочернего и главного спутников от нуля за счет пропорционального отличия от нуля разницы в аргументах восходящего узла получаем отсутствие относительного ухода вдоль траектории согласно выражению (1.4.14), но при этом относительная траектория дочернего спутника испытывает постоянный вековой уход в аргументе восходящего узла.
Пятиимпулъсное управление для плоскости орбиты при наличии поддержания периодического пятиимпульсного управления относительного движения (величина среднего импульса близка к 0) Численно рассчитаем такие моменты включения для пятиимпульсного управления, чтобы локально в окрестности равномерно распределенных моментов времени минимизировать величину характеристической скорости. Моменты включения в этом случае следующие: {540,94,1800,266,3060}. Затраты характеристической скорости на периоде движения становятся равными AV «0.53 м/с. На рис. 2.1.9 показаны относительные различия в орбитальных элементах в случае применения управления. На рис. 2.1.10 показана относительная траектория движения, на рис. 2.1.11 управление для поддержания периодического движения.
Пятиимпульсное управление для плоскости орбиты при наличии поддержания заданного относительного пятиимпулъсного управления при движения (величина среднего импульса оптимизации по моментам включения близка к 0) при оптимизации по моментам включения Построим относительную траекторию движения и величины импульсов для двухимпульсного управления. В этом случае расход характеристической скорости на периоде движения AV»0.49м/с. На рис. 2.1.12 показаны относительные различия в орбитальных элементах главного и дочернего спутников, на рис. 2.1.13 показана относительная траектория в плоскости орбиты, на рис. 2.1.14 построено управление для поддержания заданной относительной траектории.
Вычисление относительных изменений оскулирующих элементов под влиянием возмущения от полярного сжатия Земли
Для описания движения спутника в гравитационном и магнитном полях Земли введем следующие правые прямоугольные системы координат: - OY}Y2Y3- инерциальная система отсчета. Начало координат О помещено в центр масс Земли, ось OY3 направлена вдоль ее оси вращения, оси OYx,OY2 лежат в плоскости экватора Земли так, что ось OYx направлена в точку весеннего равноденствия, а ось OY2 дополняет систему до правой; Y Y Yj-орты соответствующих осей инерциальной системы. Компоненты вектора в инерциальной системе координат будем обозначать как (Y[,Y2,Y3). - ОХ\Х2Хъ - орбитальная система координат (ОСК). Начало координат О помещено в центр масс спутника, ось ОХ3 направлена вдоль радиус-вектора, соединяющего центры масс Земли и спутника, ось ОХх перпендикулярна оси ОХ3 и лежит в плоскости, проходящей через радиус-вектор и вектор скорости центра масс спутника, составляя с последним угол меньше 90; Е,,Е2,Е3- орты соответствующих осей орбитальной системы.
Для связи орбитальной и инерциальной систем координат необходимо задать способ перехода от одной системы к другой, например, от одной системы координат можно перейти при помощи углов поворота. Для описания положения спутника на орбите по отношению к инерциальной системе координат удобно использовать систему орбитальных элементов (2,/,w)[13]. ЕСЛИ спутник совершает движение вокруг Земли, то в рамках задачи двух тел его траектория будет лежать в некоторой плоскости, проходящей через центр Земли. Точка пересечения плоскости орбиты, лежащая в первой четверти плоскости OYxY2 и которой соответствует переход из области южного полушария в северное, называется восходящим узлом, линия пересечения плоскости орбиты и экваториальной плоскости является линией узлов. Угол между осью OYx и линией узлов называют аргументом восходящего узла и обозначают Q. Угол между плоскостью экватора и плоскостью траектории спутника обозначают / и называют наклонением плоскости орбиты. Вводят также угол и — аргумент широты, определяющий угловое положение спутника на орбите относительно линии узлов. Аргумент широты равен сумме истинной аномалии v и угла со между линией узлов и направлением на перигей, то есть и = со + v.
В настоящей работе в качестве систем с одноосным управлением рассматриваются спутник с пассивной магнитной системой ориентации (ПМСО) с управляющим ускорением от двигателей и спутник, снабженный модельным солнечным парусом. Последний - как пример одноосного управления без возможности управления «знаком» тяги в отличие от первого случая. Основное внимание будет уделено анализу возможностей одноосного управления на спутнике, содержащем в качестве системы ориентации ПМСО. Известно, что такая система не требует расхода рабочего тела и энергии бортовых батарей, а работает только за счет стабилизирующего воздействия моментов внешних сил, что важно в случае использования малых спутников, с ограниченным ресурсом управления и запасом энергии. При использовании такой системы ориентации спутник в каждой точке своей траектории ориентирован по вектору напряженности геомагнитного поля, как показано на рис. 1.2.1.
Гравитационным и магнитным возмущением каждого спутника друг на друга можно пренебречь. Также можно пренебречь влиянием на орбиту взаимодействия магнитного поля Земли и магнита на спутнике. Чтобы величина момента от взаимодействия с магнитным полем Земли была порядка величины момента от взаимодействия с магнитным полем спутника, куб расстояния между спутниками должен быть около 0.05 м , то есть /? 0.36 м. Момент от Земли на порядок превышает момент от спутника на расстояниях порядка 1 м. На два порядка момент Земли превышает момент, создаваемый вторым спутником на расстояниях порядка 2 м. То есть, в уравнениях можно пренебречь моментом от соседнего спутника, так как рассматриваются орбиты со взаимным удалением спутников порядка сотен метров.
