Содержание к диссертации
1. ВВЕДЕНИЕ 2
2. ДИНАМИКА АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ 10
2.1. Исходная система уравнений асинхронного двигателя. ю
2.2. Уравнения асинхронного двигателя в ортогональных осях u,- v , вращающихся с произвольной скоростью 24
2.3. Уравнения асинхронного двигателя в осях ье- іґ в безразмерной форме 29
2.4. Уравнения асинхронного двигателя в гибридных переменных. Наведенные токи 33
2.5. Статические характеристики асинхронного двигателя 42
2.6. Переходный процесс асинхронного двигателя при пуске 55
2.7. Разделение движений при исследовании переходных процессов асинхронного двигателя. 68
2.8. Устойчивость стационарных режимов работы асинхронного двигателя, 79
3. ДИНАМИКА НЕЯВНОПОЛЮСНОЙ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ 82
3.1. Исходная система уравнений синхронного двигателя 82
3.2. Уравнения синхронного двигателя в ортогональных осях l/C-ir , вращающихся с произвольной скоростью 90
3.3. Уравнения синхронного двигателя в гибридных переменных 100
3.4. реализация экранирующих свойств демпферных контуров синхронной машины. 103
3.5. Уравнения синхронного генератора 107
3.6. Внезапное трехфазное короткое замыкание синхронного генератора 112
3.7. Разделение движений синхронной машины 124
3.8. Устойчивость синхронного двигателя 129
4.вывода 131
Литература 133
Введение к работе
Теория электрических машин (Ш) начала складываться в конце XIX - начале XX веков. До появления преобразований Парка-Горева она сталкивалась с большими математическими трудностями, так как даже в простейших случаях приходилось использовать дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Только для ограниченного круга задач при значительных упрощениях удавалось свести такие уравнения к уравнениям Матье, решение которых было разработано. Естественно, это сильно затрудняло исследование сложных процессов в ЕМ и ограничивало круг вопросов, доступных для аналитического исследования.
Появление уравнений Парка-Горева [і, 2, з] в 30-е годы нашего столетия сыграло фундаментальную роль в развитии теории Ш,так как они позволили при аналитическом исследовании большой и важной для практики группы задач в исходных дифференциальных уравнениях исключить периодические коэффициенты.
Заметим, что укоренившееся в литературе определение уравнений Ш как "уравнений с периодическими коэффициентами" справедливо для режимов работы с постоянной угловой скоростью вращения ротора. В общем случае следовало бы говорить об уравнениях ЄМ с переменными коэффициентами, поэтому используя в дальнейшем традиционную формулировку, не будем забывать об этом.
Периодические коэффициенты в уравнениях Ш, записываемых в фазных координатах (т.е.использующих реальные токи, текущие в идеализированных обмотках фаз статора и ротора), обусловлены зависимостью коэффициентов самоиндукции и взаимоиндукции от положения ротора Ш1. Преобразования Парка-Горева сводятся к тому, что фазные токи статоров SM проектируются на две взатшо-шрпендикуляр-ные оси, жестко связанные с ротором и направленные по магнитным осям идеализированных демпферных (успокоительных) контуров. Физически такие уравнения трактуются как уравнения многообмоточных трансформаторов,
Чтобы при преобразовании Парка-Горева периодические коэффициенты исходной системы уравнений исчезли, система проектируемых токов должна быть симметрична (геометрически). Если же системы статорних и роторных токов обе несимметричны, то преобразований Парка-Горева недостаточно для приведения исходных уравнений к уравнениям с постоянными коэффициентами.
К настоящему времени с помощью уравнений Парка-Горева исследованы аналитически достаточно полно различные режимы работы отдельной синхронной машины (СМ), работающей от сети бесконечной мощности. При этом наряду с американскими и немецкими учеными: Парком [I, 2], Догерти и Никлом [з], Дрейфусом, Нитхаммером, Бир-мансом и др., - значительный вклад в развитие теории СМ внесли советские ученые: А.А.Горев [4], Л.Н.Груздев [5], Е.Я.Казовский [б], М.П.Костенко [7], Л.А.Ломоносова [в], Д.А.Городский [э], Р.А.Лютер [ю], И.М.Постников [її], Н.Н.Щедрин [і2, із], И.И. Трещев [14, 15], К.Ш.Ходжаев и др.
Но на практике сети бесконечной мощности не существует. Даже в большой энергосистеме такая идеализация не очевидна, так как имеется тенденция к росту мощностей единичных машин. Переходные процессы таких машин заметно влияют на характеристики электроэнергии всей сети, а в автономных энергосистемах часто приводят к аварийным режимам. Сопоставимость мощностей генераторов и потребителей энергии в последних диктует необходимость рассмотрения переходных и установившихся режимов в них, статической и динамической устойчивости в сосокупности, т.е.на математической модели, включащей все Ш электроэнергетической системы (ЭЭС) с регуляторами, статическими преобразователями и фидерами (соединительными элементами).
При составлении и исследовании такой математической модели вновь сталкиваются с проблемой периодических коэффициентов (наряду с другими дополнительными трудностями). Действительно, даже в случае всего двух Ш: синхронного генератора (СГ) и асинхронного двигателя (АД), - условие равенства фазных токов статоров неизбежно влечет появление таких членов. Если уравнения СГ и АД сохранить в форме уравнений с постоянными коэффициентами, то периодические коэффициенты возникнут в уравнениях связей, налагаемых на токи; если же равенство фазных токов СГ и АД использовать для составления единой системы уравнений меньшего дифференциального порядка, то периодические коэффициенты появятся в самой этой системе. В этих условиях получать аналитические результаты удается только за счет различных упрощающих предположений. В фундаментальных работах ЇЇ.С.Іданова [іб], А.А.Горева [17], В.А.Веникова [l8, 19], С.А.Ульянова [20] был предложен, обоснован и использовался ряд моделей, построенных применительно к решению различных задач на основе пренебрежения (по сравнению с полной моделью) теми или иными факторами, оказывающими несущественное влияние на исследуемые процессы. Однако вопрос связи полной и упрощенных моделей изучен преимущественно для отдельных элементов и для схем ЭЭС, содержащих одну СМ, работающую на нагрузку или на шины заданного напряжения и частоты, т.е.на сеть бесконечной мощности [21, 22].
Не только теоретический анализ даже упрощенных моделей ЭЭС сталкивается с большими трудностями, но и программы расчетов на ЭВМ, созданные на основе этих моделей, очень сложны и требуют большого машинного времени. И прежде всего это связано с недостатками уравнений Парка-Горева.
Первый из этих недостатков - их несимметрия по отношению к СМ, что и приводит неизбежно к появлению периодических коэффициентов при составлении математических моделей ЭЭС.
Второй существенный недостаток заключается в том, что матрицы индуктивностей, лежащие в основе этих уравнений, почти вырождены, так как их определители, будучи произведениями малых величин: коэффициентов рассеяния электромагнитной энергии Ш в воздушном зазоре, - являются существенно малыми величинами (второго-чет-вертого порядка малости). Числовые алгоритмы расчетов математических моделей ЭЭС, построенные на основе уравнений Парка-Горева, неизбежно включают подпрограммы обращения совокупности таких плохо-обусловленных матриц, на что уходит основная масса машинного времени.
Третьим недостатком уравнений Парка-Горева является явное несоответствие достаточно сложного аналитического аппарата их исследования с простыми аналитическими выражениями, являющимися результатом математической обработки осциллограмм переходных процессов Ш. Следствием этого является факт наличия методик изучения переходных процессов М, в которых уравнения Парка-Горева даже не упоминаются (например, [23]). Это означает, что форма уравнений Парка-Горева не соответствует в достаточной степени реальным переходным процессам Ш. А соответствующие формы должны иметь место. Это утверждение основывается на том, что для СМ известны приближенные аналитические выражения для корней соответствующего характеристического уравнения (в фундаментальной монографии А.А.Горева [з, с.476-485] приводятся ряды для корней уравнений СГ, по которым эти корни могут определяться с любой точностью). Корни характеристического уравнения AM тоже могут быть найдены приближенно в аналитическом виде. А если известны аналитические выражения для корней, то соответствующую им форму уравнений всегда можно найти (найдя предварительно соответствующее преобразование переменных). Очевидно, что приближенные решения этой новой формы уравнений (точность их будет соответствовать точности выбранных приближенных корней) будут получаться элементарно.
Четвертым недостатком уравнений Парка-Горева является их неинвариантность в отношении учета насыщения магнитопроводов Щ. Поскольку практически для всех современных ЕМ насыщение имеет место (по крайней мере, при коротких замыканиях), то надо признать, что этот недостаток уравнений Парка-Горева стал в настоящее время существенным.
Следует отметить, что в статье [24] тоже перечисляются недостатки этих уравнений, существенно усложняющие алгоритм составления математической модели ЭЭС.
Основной целью настоящей работы является попытка устранить вышеперечисленные основные недостатки уравнений Парка-Горева, причем делается это не введением дополнительных упрощающих предположений, а, в основном, путем поисков новой формы уравнений SM, памятуя положение, что "большинство достижений динамики связано с теорией преобразований, которая имеет целью выражение состояния системы наиболее целесообразным способом" ( [25, с.З] ).
Решающим фактором при этом оказался переход к описанию процессов в Ш в переменных только статорних обмоток: потокосцепле-ниях и токах статора (гибридные переменные).
Переход к гибридным переменным в уравнениях СМ способствует выдвижению гипотезы о связи между тремя коэффициентами магнитного рассеяния вдоль магнитной оси х (совпадающей с магнитной осью обмотки возбуждения). Эта связь, не учитываемая в уравнени ях Парка-Горева, существенно упрощает уравнения СМ, что, в свою очередь, подсказывает радикальное решение - симметризацию этих уравнений с помощью идеализации экранирующих свойств демпферных контуров (математическим обоснованием последнего шага является безусловная малость параметра, стоящего перед током возбуждения в уравнениях для статорных обмоток, что оправдывает его осреднение в этих уравнениях на бесконечном интервале времени). Эти два шага дают возможность записывать уравнения СМ в виде дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в различных системах координат (напомним, что уравнения Парка-Горева реализуют эту возможность только в (L - О/ координатах).
Таким образом, для Ж и СМ устраняются первые два из перечисленных выше основных недостатков уравнений Парка-Горева. Третий же недостаток устраняется введением наведенных токов, когда токи проводимости разбиваются на две составляющие: одну - пропорциональную соответствующим потокосцеплениям, вторую - пропорциональную наведенным токам.
Четвертый недостаток устраняется введением гипотезы о независимости коэффициентов магнитного рассеяния от насыщения магнито-проводов. При этом предположении получаемые уравнения Ш становятся инвариантными по отношению к учету насыщения.
При поиске указанной формы уравнений Ш последовательно используется метод уравнений Лагранжа-Максвелла, развитый в монографии А. Ю. Львовича [2б], а также приложение учения о связях к теории электромеханических систем, изложенное в работе того же автора [27]. Преобразование уравнений Лагранжа-Максвелла к гибридным переменным и к новым неголономным базисам приводит к обобщенным уравнениям Маджи, аппарат которых разработан в статьях [28, 29].
В настоящей работе при описании ЕМ переменного тока приняты следующие общепринятые идеализирующие предположения: I) потери в стали магнитопроводов не учитываются; 2) кривые магнитодвижущих сил и магнитных индукций в воздушном зазоре синусоидальны (т.е.высшие гармоники не учитываются); 3) обмотки статоров полно- стыо симметричны; 4) возбуждение СМ независимо, регуляторы возбуждения отсутствуют (напряжение возбуждения Ы(= COn st ). Схема соединения обмоток статоров Ж принимается в виде "звезды" из-за большего удобства и наглядности выкладок. Поскольку соединение "треугольником" приводится к эквивалентной "звезде", то общность рассуждений при этом не теряется.
Кроме результатов методологического характера, обеспечивающих получение известных математических моделей Ш наиболее целесообразным образом, в работе получены новые модели ЗМ, расширяющие возможности современных аналитических методов при изучении переходных процессов отдельных Ш, с одной стороны, а с другой стороны, обеспечивающие возможность аналитического исследования многомашинных систем и построения наиболее рациональных алгоритмов численного анализа таких систем.
Основные результаты, выносимые на защиту:
1. Получены уравнения Ш переменного тока, имеющие ряд преимуществ по сравнению с уравнениями Парка-Горева.
2. С использованием этих уравнений исследованы характерные режимы работы асинхронных и синхронных электрических машин.
3. Выбор безразмерных параметров электрических машин произведен таким образом, что позволяет достаточно просто осуществить их идентификацию на основе реальных физических характеристик машин.
Результаты работы использованы в ЛПЭО "Электросила". Основные результаты работы докладывались:
1. На семинаре Научного совета по проблеме "Кибернетика" АН УССР (совместно с конференцией профессорско-преподавательского состава НКИ им.С.О.Макарова) в апреле 1979 г.
2. На 3-й Всесоюзной научно-технической конференции "Совершенствование проектирования судовых ЭЭС и технология электромонтажных работ" в октябре 1979 г.
3. На семинаре кафедры теоретической и црикладной механики математико-механического факультета ЛГУ им.А.А.Іданова в апреле 1980 г.
4. На семинаре Научного совета по проблеме "Кибернетика" АН УССР (совместно с конференцией профессорско-преподавательского состава НКИ им.С.О.Макарова) в апреле 1981 г.
Результаты работы опубликованы в [30-37] и двух отчетах по НИР, выполненных в лаборатории прикладной и теоретической механики НИИММ ЛГУ им.А.А.2&анова. Б совместных работах с Львовичем А.Ю. [33, 34, 37] , Рапупким В.Р. [30, 32, Зб] , Пасынковым В.Е. Г32] идейно-методическая часть принадлежит автору, разработка -соавторам. В диссертации и то и другое принадлежит автору.
