Содержание к диссертации
Введение. 3
Глава I. Динамические биллиарды. 13
1. Динамический биллиард, отображение последования. 13
2. Биллиард в поле тяжести. 16
3. Круговой биллиард. 21
4. Биллиард в магнитном поле. 23
5. Условия устойчивости двузвенных траекторий
биллиарда в однородном магнитном поле. 31
Глава II. Неконсервативные динамические системы. 45
1. Рождение изолированных периодических решений. 45
2. Устойчивость периодических решений. 48
3. Расщепление сепаратрис и долгопериодические решения. 51
4. Математический маятник с трением и
периодическим возмущением. 53
5. Замкнутые траектории биллиарда
с неупругими отражениями. 54
Литература. 60
Введение к работе
Динамические системы - обширная область современной математики с сильно развитыми методами исследования и областью приложений. Большое количество работ по качественной теории посвящено обсуждению различных режимов движения, свойственных динамическим системам, и, в частности, их периодическим траекториям - часто встречающимся в задачах видом движения, периодического во времени [3, 24].
Популярной моделью динамической системы, проявляющей свойства, характерные для многих задач, является биллиард - задача о движении материальной точки внутри плоской области с отражением от границы. Впервые она обсуждалась в работах Биркго-фа (см., например, [11]). При этом область движения точки предполагается выпуклой, движение между соударениями с границей происходит по инерции, а отражение точки от кривой считается абсолютно упругим.
Биркгоф сформулировал два основных подхода к задаче о нахождении периодических траекторий биллиарда (см. [11], Гл. 6, 5-9). Вначале существование некоторых траекторий было установлено им при помощи наглядных геометрических рассуждений об экстремальности периметра многоугольников, соответствующих периодическим траекториям, вписанных в граничную кривую биллиарда.
Это - вариационные методы, которые широко применяются для доказательства существования периодических траекторий уравнений динамики. Если речь идет о консервативных системах, то фиксируют значение полной энергии и рассматривают функционал действие (по Мопертюи-Якоби) на пространстве замкнутых кривых. При определенных условиях точки экстремума этого функционала отвечают периодическим траекториям с заданным выше значением полной энергии. Особенно просто существование таких траекторий доказывается в случае, когда конфигурационное пространство неодносвязно (имеются нестягиваемые в точку замкнутые кривые). Этот случай рассмотрен в классических работах Адамара,Уиттекера и др. авторов (см. [11, 43], а также [3,14, 17]). В работах В.В. Козлова и СВ. Болотина [6, 8, 18] эти методы распространены на случай, когда область возмолшости движения имеет непустую границу.
Односвнзный случай - более сложный. Впервые он рассматривался Пуанкаре [39] в задаче о наличии замкнутых геодезических на выпуклой поверхности рода нуль.
В случае сильно сплющенной поверхности задача о существовании замкнутых геодезических эквивалентна задаче о существовании периодических траекторий биллиарда с выпуклой границей. Биркгофом [11] было дано строгое доказательство существования бесконечного количества пар периодических траекторий биллиарда. Доказательство было основано на построении отображения в себя двумерной поверхности, соответствующей положению материальной точки на границе биллиарда, и использовании геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа. Периодическим траекториям биллиарда соответствовали неподвижные точки этого отображения. Эта идея содержится уже в классической работе Пуанкаре [38]. Полное вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании пар периодических траекторий биллиарда дается в работе Д.В. Трещева [41].
Свойства орбитальной устойчивости периодических траекторий биллиарда Биркгофа изучались многими авторами при помощи подхода, связанного с построением отображения исследования (или, как его часто называют, отображения Пуанкаре). Условия устойчивости двузвенной траектории в линейном приближении имеются, например, в [22]. Они получены В.М. Бабичем и B.C. Бул-дыревым в связи с задачей о распространении волн в лучевом приближении [4]. При помощи техники, развитой в [28], в работе А.А. Маркеева [48] проводится анализ нелинейных резонансных эффектов в задаче об устойчивости двузвенной траектории.
В работе [20] поиск двузвенных траекторий выпуклого биллиарда и анализ их устойчивости проводится на основании исследования длины хорды, соединяющей точки граничной кривой и перпендикулярной кривой в одном из концов. Оказывается, что если каустика границы биллиарда целиком лежит внутри биллиарда, и все стационарные точки функции длины невырождены (и тогда каждая из них соответствует периодической траектории биллиарда), то имеется четное число двузвенных траекторий, причем половина из них имеет гиперболический тип и, следовательно, неустойчивы, а другая половина имеет эллиптический тип.
Естественными обобщениями задачи, рассмотренной Биркго-фом, представляются так называемые динамические биллиарды. Как утверждается в [10], этот термин впервые появляется в работах В.В. Белецкого и других авторов [9, 45] и применяется для обозначения класса задач о движении материальной точки в силовом поле, причем происходит упругое отражение точки от поверхнос- ти, ограничивающей область движения.
Следует также признать, что в работе В.В. Белецкого и других авторов [10] сформулированы результаты, несколько расширяющие и обобщающие результаты, полученные в главе I данной диссертационной работы. Впрочем, [10] не содержит исчерпывающих доказательств сформулированных там общих результатов, а рассмотренные в главе I примеры касаюіся и систем более общего класса, чем в [10].
В данной диссертационной работе рассматриваются динамические биллиарды только в плоском случае.
В [45], при помощи подхода, связанного с построением отображения, рассмотрена задача о существовании и устойчивости периодических траекторий биллиарда в однородном поле тяжести в случае, когда область движения материальной точки является кругом. Эта задача эквивалентна задаче о периодических траекториях математического маятника, если допустить возможность ослабления натяжения нити. Она также рассмотрена в работе В.Ф. Журавлева [13], посвященной построению уравнений типа Рауса для механических динамических систем с односторонними связями. Отметим, что некоторые из найденных в [45] периодических траекторий математического маятника с односторонней связью были ранее описаны геометрами (см., например, [5], гл. 17).
В работе А.П. Маркеева [29] изучена орбитальная устойчивость подскоков материальной точки в однородном поле тяжести. Для исследования этой задачи в [29] строится соответствующее отображение (для исследования той же задачи в [16] применяется иной метод - строятся канонические уравнения для систем с идеальны- ми односторонними связями).
Вариационный подход применяется в работах М. Робника и М.В. Берри [50, 51] для поиска периодических траекторий биллиарда, помещенного в однородное магнитное поле. Если предположить, что рассматриваемая материальная точка несет электрический заряд, то между соударениями с границей точка будет двигаться по дуге окружности радиуса Лармора. Геометрический смысл функционала действие в этом случае - сумма произведения радиуса Лармора на длину замкнутой кривой и площади области, заключенной внутри кривой. Анализ существования и устойчивости двузвенных траекторий проводится на основании исследования длины хорды, соединяющей точки границы биллиарда. При помощи рассуждений топологического характера в [51] показано существование пары двузвенных траекторий биллиарда с выпуклой границей в достаточно слабом однородном магнитном поле. Там же имеются построенные численно фазовые портреты биллиарда в однородном магнитном поле с эллиптической границей.
Биллиард в однородном магнитном поле с границей в форме окружности - вполне интегрируемая система (кроме интеграла энергии имеется интеграл, линейный по скоростям). Однако, если в качестве границы взять эллипс с неравными полуосями, то соответствующая система уже не будет допускать дополнительного аналитического первого интеграла [26]. Б фазовом пространстве появляются зоны со стохастическим (квазислучайным) поведением фазовых траекторий. Собственно, даже без магнитного поля такие зоны обнаружены в случаях, когда граница отличается от эллипса [46, 47, 52]. Результаты СВ. Болотина [7] приводят к естес- твенному предположению о том, что интегрируемым биллиардом с регулярной границей может быть только эллиптический биллиард Биркгофа.
Доказательство неинтегрируемости биллиарда в однородном магнитном поле, данное в [26]. использует явление расщепления сепаратрис. Впервые оно было обнаружено Пуанкаре [37] в гамиль-тоновых системах. Он же указал на связь этого явления с отсутствием дополнительного аналитического интеграла гамильтоновой системы. В дальнейшем расщепление сепаратрис стало одним из основных инструментов при доказательстве неинтегрируемости (подробный исторический комментарий и библиография имеются в работе С.Л. Зиглина [15] и книге В.В. Козлова [24]).
Еще один способ доказательства неинтегрируемости основан на явлении рождения изолированных периодических решений [23, 37]. В [19] была установлена связь между явлением расщепления сепаратрис и рождением периодических решений в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы. Случай консервативного возмущения многомерной гамильтоновой системы рассмотрен в [53].
В общем случае, когда магнитное поле неоднородное, можно применить вариационную теорию СП. Новикова. В рамках этой теории понятие о функционале действие и его экстремалях распространяется на случай неоднозначных функционалов, возникающих при рассмотрении движения частицы в магнитном поле. "Включение" магнитного поля выражается во введении в функционал действие дополнительного слагаемого - вектор-потенциала, отвечающего замкнутой 2-форме магнитного поля.
Для исследуемой нами задачи важны результаты теории СП. Новикова, касающиеся существования замкнутых траекторий необратимых систем с компактным двумерным конфигурационным многообразием (в нашем случае это многообразие гомео-морфно двумерной сфере).
В работах СП. Новикова и И.А. Тайманова [31, 32, 40] доказана следующая теорема: для существования замкнутой гладкой не-самопересекающейся кривой - минимума функционала действия на некотором компактном двумерном многообразии, вложенном в конфигурационное пространство, достаточно, чтобы длина границы этого многообразия, вычисленная в метрике, согласованной с кинетической энергией, была бы меньше, чем интеграл по этому многообразию от 2-формы магнитного поля.
Если магнитное поле однородно, а границей биллиарда является окружность радиуса г, условие существования хотя бы одной периодической траектории, которое дает теория СП. Новикова имеет вид г > 2Л, где R - радиус Лармора. При этих же предположениях в главе I данной диссертационной работы получено условие существования периодических траекторий в виде г < R.
Другая возможность обобщения задачи о биллиарде Биркгофа заключается в отказе от закона абсолютно упругого отражения от границы. К сожалению, рассеяние энергии не позволяет непосредственно применить в такой постановке метод отображений, предложенный Биркгофом. Дело в том, что в этом случае отображение Пуанкаре не допускает инвариантной меры и поэтому условия классической геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа не выполнены. Кроме того, в этом случае положение материальной точки на граничной кривой динамического биллиарда не определяется только двумя параметрами.
Однако, если движение материальной точки между отражениями происходит по инерции (то есть форма отрезка траектории между соударениями не зависит от начальных данных), то при выполнении специальных гипотез о законе отражения двузвенные замкнутые траектории биллиарда наследуются из случая абсолютно упругого отражения (см., например, работу И.И. Чигура [44]). Построение соответствующего двумерного отображения позволяет исследовать устойчивость периодических траекторий и в этом случае.
В диссертации рассмотрен круг вопросов, часто встречающихся в задачах теоретической механики применительно к биллиардам. Доказано существование и исследованы свойства устойчивости периодических траекторий для некоторых задач - как уже обсуждавшихся ранее другими авторами, так и новых, ранее не изучавшихся,
Данная диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.
В главе I изучаются свойства периодических траекторий динамических биллиардов.
В 1 вводится понятие динамического биллиарда. Для него определяется отображение исследования. Поясняется связь между периодическими траекториями биллиарда и неподвижными точками отображения последования.
В 2 рассматривается задача о движении материальной точки в биллиарде под действием силы тяжести. Использование геометри- ческой теоремы Пуанкаре-Биркгофа [И, 22, 37] позволяет доказать существование бесконечного числа периодических траекторий.
В 3 результаты 2 применяются к задаче о круговом биллиарде. С помощью теоремы Пуанкаре-Биркгофа можно не только строго доказать существование траекторий, найденных в работе [45], но и указать новые классы периодических решений.
В 4 рассматривается задача о существовании периодических траекторий заряженной частицы в магнитном поле, которая движется внутри замкнутой выпуклой области, упруго отражаясь от ее границы. С помощью геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа установлено наличие бесконечного числа различных периодических траекторий при относительно небольшой напряженности магнитного поля.
В 5 найдены условия устойчивости в линейном приближении двузвенных траекторий биллиарда в однородном магнитном поле.
В главе II данной диссертационной работы изучаются траектории неконсервативных динамических систем.
В 1 получены условия рождения изолированных периодических решений в случае неконсервативного возмущения гамильто-новой системы с одной степенью свободы. Применение методов Пуанкаре и В.В. Козлова [24] позволяет распространить результат работы [19] о рождении периодических траекторий консервативных систем для этого нового класса возмущений.
В 2 исследованы свойства устойчивости решений, найденных в 1.
В 3 доказано, что около каждой гомоклинической точки на сепаратрисе невозмущенной задачи (соответствующей простому нулю интеграла Пуанкаре-Мельникова) существует конечное множество начальных условий для долгопериодических решений возмущенной задачи,
В 4 в качестве примера, иллюстрирующего результаты 1-3 данной главы, рассмотрена задача о существовании долгопериодических решений для математического маятника с трением и периодическим внешним возмущением.
В 5 изучены некоторые свойства замкнутых траекторий биллиарда с неупругими отражениями - дискретной неконсервативной системы. Получено достаточное условие неустойчивости замкнутой траектории.
Нумерация теорем является общей для всего текста диссертации. Нумерация формул независимая по главам. Первое число н номере формулы означает номер параграфа рассматриваемой главы, второе - порядковый номер формулы в параграфе. Поясняющие рисунки к тексту помещены в конце каждой главы. Нумерация рисунков для каждой главы также является независимой.
Результаты автора опубликованы в работах [25, в печати], [33, 34,35].
Автор глубоко благодарен своему научному руководителю Валерию Васильевичу Козлову за постановку задач и постоянное внимание к работе над диссертацией.
