Содержание к диссертации
Введение 4
Глава 1. Метод вычислительной томографии 10
1.1. Задача восстановления функции по ее линейным интегралам 10
1.2. Метод двумерной томографии 1.2.1. Схемы сканирования в двумерной томографии 14
1.2.2. Решение двумерной задачи 15
1.2.3. Алгоритмы двумерной томографической реконструкции 20
1.3. Метод трехмерной томографии в конусе лучей 21
1.3.1. Постановка трехмерной задачи и методы решения 21
1.3.2. Формула точной трехмерной томографической реконструкции.. 28
1.3.3. Приближенные алгоритмы трехмерной томографии 34
1.4. Выводы по главе 36
Глава 2. Исследование достоверности алгоритма трехмерной томографической реконструкции 38
2.1 Формулы лучевого преобразования простых объектов 38
2.1.1. Формула лучевого преобразования для куба 38
2.1.2. Формула лучевого преобразования для шара 2.2. Достоверность трехмерной реконструкции для траектории источника излучения, состоящей из двух окружностей 50
2.3. Достоверность трехмерной реконструкции при наличии шума 57
2.4. Выводы по главе 62
Глава 3. Преобразование формулы обращения 63
3.1. Дифференцирование и интегрирование лучевого преобразования на единичной сфере 63
3.2, Формула трехмерной реконструкции для плоского детектора 73
3.2.1. Дифференцирование и интегрирование лучевого преобразования в плоскости детектора 73
3.2.2. Сравнение алгоритмов реконструкции 90
3.3. Выводы по главе 96
Глава 4. Программное обеспечение трехмерной томографической реконструкции 98
4.1. Программа для вычисления рентгеновских проекций и выполнения трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей 99
4.2. Применение параллельных вычислений для выполнения трехмерной томографической реконструкции 104
4.3. Выводы по главе 112
Заключение.114
Список литературы.. 116
Приложения 1
Введение к работе
Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются методы, формулы и алгоритмы трехмерной вычислительной томографии по данным в конусе лучей.
Актуальность работы. Под вычислительной диагностикой, к методам которой относится компьютерная томография, понимается совокупность методов и средств, предназначенных для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам косвенной информации о них. Вычислительная диагностика имеет дело с большим объемом информации об объекте, обработка и интерпретация которой невозможна без применения современных методов вычислительной математики, развитого программного обеспечения и высокопроизводительных средств вычислительной техники.
Принципиальное отличие реконструктивной вычислительной томографии от традиционной заключается в том, что в вычислительной томографии используется сложная математическая обработка, представляющая собой, как правило, решение обратной задачи. На сегодняшний день вычислительная томография представляет собой сформировавшееся научное направление со своим кругом задач и методами их решения.
Значительный прогресс метода компьютерной томографии обусловлен его преимуществом перед многими другими методами диагностики. Отличие этого метода заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах.
Важнейшей частью томографии является математическое и программное обеспечение, реализующее алгоритмы томографической реконструкции. Математическая база реконструктивной томографии была создана И. Радоном еще в 1917 году, однако, методы двумерной вычислительной томографии начали активно развиваться только в 60-х годах прошлого века. В последние десятилетия XX века и в настоящее время создаются и развиваются методы трехмерной реконструктивной томографии по данным в конусе лучей. Толчком к созданию и бурному развитию метода трехмерной томографии стала необходимость разработки метода вычислительной диагностики, отличающегося высокой скоростью получения данных и достоверностью реконструкции. К основным приложениям трехмерной реконструктивной томографии могут относиться: медицинская диагностика, неразрушающая диагностика промышленных изделий, реконструкция объектов в электронной микроскопии, задачи геофизики.
Для решения задачи томографической реконструкции по данным в конусе лучей получены аналитические формулы обращения, однако, при создании по этим формулам численных алгоритмов и исследовании их работы на реальных системах, возникают проблемы, связанные с достоверностью и эффективностью вычислений. Таким образом, существует необходимость разработки методов и формул трехмерной томографии, обеспечивающих наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.
На сегодняшний день широкое распространение получили приближенные алгоритмы трехмерной томографии, но необходимо отметить, что следствием приближенного решения задачи трехмерной томографической реконструкции является ухудшение качества изображения, в частности, появление артефактов при увеличении угла конуса рентгеновского пучка.
Большой объем вычислений, необходимый в точной трехмерной томографии, требует применения метода быстрых вычислений на основе кластерных технологий.
Важность обсуждаемого вопроса подтверждается также большим количеством международных конференций по данной тематике, проводимых в настоящее время. Цель работы. Разработка методов и формул трехмерной томографии, обеспечивающих наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.
Задачи исследования
1. Уточнение алгоритма томографической реконструкции для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух окружностей, с целью наиболее достоверного восстановления изображения.
2. Приведение формулы обращения лучевого преобразования к форме, позволяющей не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве.
3. Исследование устойчивости алгоритма томографической реконструкции к случайным помехам.
4. Разработка программного обеспечения на основе созданных методов и алгоритмов, в том числе с применением параллельных вычислений.
Методы исследований. Полученные результаты основаны на применении численных методов, методов математического анализа, параллельных вычислений и моделирования на ЭВМ.
Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием программного обеспечения, реализованного на C++.
Научную новизну представляют следующие методы и формулы трехмерной томографии.
1. Для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, уточнен шаг численного алгоритма томографической реконструкции, соответствующий выбору положения источника излучения, и предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наилучшее восстановление в заданной точке.
2. Для рассматриваемой схемы получения данных определены направления, на которых достоверность реконструкции будет наибольшей или наименьшей, и предложен метод выбора положения траектории источника относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наиболее достоверным.
3. Получено выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере.
Достоверность результатов подтверждается компьютерным моделированием с использованием разработанных тестовых объектов и публикацией материалов, в том числе в рецензируемых изданиях.
Практическая значимость и реализация результатов.
Полученные методы и формулы и созданное на этой основе программное обеспечение могут быть использованы:
- в промышленных и медицинских томографах нового поколения с соответствующей схемой сбора информации;
- при исследовании алгоритмов томографии в конусе лучей на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.
Методы и формулы трехмерной томографии, предложенные в диссертационной работе, использовались для разработки вычислительных алгоритмов трехмерной томографической реконструкции в рамках проекта «Сервер условно-корректных задач», осуществляемого при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Материалы диссертации использовались в учебном процессе HI"ГУ при выполнении выпускных магистерских работ в процессе подготовки магистров по направлению 23010068 "Информатика и вычислительная техника".
Основные положения, выносимые на защиту
1. Метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверную реконструкцию в заданной точке для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях.
2. Для рассматриваемой схемы получения данных определение направлений, на которых достоверность реконструкции объекта будет наибольшей или наименьшей.
3. Выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере.
4. Разработанное на основе предложенных методов и алгоритмов программное обеспечение, в том числе с использованием параллельных вычислений, позволяющее выполнять восстановление изображений и исследовать алгоритмы на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.
