Содержание к диссертации
Принятые сокращения и обозначения 4
Введение. Постановка задачи 6
Глава 1. Концепция вырождения многомерных динамических систем 15
1.1 .Вырождение многомерной динамической системы как вырождение матрицы линейного оператора отношения вход-выход 15
1.2.Сведение описания вход-выходных отношений многомерной непрерывной динамической системы к линейной алгебраической задаче параметризованной непрерывным временем 25
1.3.Сведение задачи вход-выходных отношений многомерной дискретной динамической системы к линейной алгебраической задаче параметризованной дискретным временем 31
1.4.Сепаратные функционалы вырождения многомерной динамической системы, модельно приводимой к линейной алгебраической задаче 36
Выводы по главе 1 40
Глава 2. Технология контроля вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном гармоническом модельном представлении потока входных
заявок 41
2.1.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при одночастотном гармоническом воздействии 41
2.2.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при многочастотном гармоническом воздействии 57
2.3.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при одночастотном гармоническом воздействии 72
2.4.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при многочастотном гармоническом воздействии 88
Выводы по главе 2 103
Глава 3. Технология контроля вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном стохастическом модельном представлении потока входных заявок 105
3.1.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «белый шум» 107
3.2.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «окрашенный шум» 118
3.3.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «белый шум» 129
3.4.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «окрашенный шум» 142
Выводы по главе 3 154
Глава 4.Технология оценки степени вырождения многомерной динамической системы в условиях модельных неопределенностей 156
4.1.Контроль чувствительности функционала вырождения к вариациям параметров структурных компонентов многомерной непрерывной динамической системы 157
4.2.Контроль чувствительности функционала вырождения к вариациям параметров структурных компонентов многомерной дискретной динамической системы 172
4.3.Оценка интервальное функционала вырождения в условиях интервальное™ параметров структурных компонентов многомерной непрерывной системы 179
4.4.0ценка интервальное функционала вырождения в условиях интервальное™ параметров структурных компонентов многомерной дискретной системы 194
Выводы по главе 4 202
Глава 5. Прикладные проблемы технологии контроля вырождения многомерных динамических систем 204
5.1.Анализ вырождения многомерной динамической системы в задаче Трапезникова В.А 205
5.2.Интегральная экспресс-оценка вырождения многомерной динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход 224
5.3.Представление многомерной динамической системы с антропокомпонентами в классе моделей с интервальными параметрами 231
5.4.Рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы 237
Выводы по главе 5 239
Заключение 240
Литература 244
Приложения 249
Введение к работе
Тема диссертационных исследований, объединенных названием «Технология контроля вырождения многомерных динамических систем», подсказана нынешним состоянием теории и потребностями практики разработки и эксплуатации современных многомерных управляющих комплексов, встраиваемых в техническую среду. Тенденция усложнения динамических систем в составе обслуживания технологического процесса, помимо требований к их устойчивости, надежности и адаптируемости к изменяющимся условиям, вызвала к жизни необходимость контроля такого системного свойства как склонность к возможному вырождению.
Следует констатировать, что состояние проблемы априорного контроля потенциального вырождения многомерной системы и контроля возможного ее вырождения в процессе эксплуатации таково, что на настоящий момент пока слабо разработан инструментарий контроля вырождения многомерных динамических систем (МДС). Разработке инструментария контроля вырождения и технологии его использования и посвящены проведенные соискателем диссертационные исследования.
Многомерная динамическая система (многомерный вход-выход) аппаратно реализует некий оператор, который отображает элементы пространства входов (целевых намерений) в пространство выходов (осуществляемых реализаций). Определенности ради, этот оператор можно считать линейным или по крайней мере локально линейным. Предполагается также, что указанные выше пространства согласованы по размерности, так что их размерности являются равными.
В математической постановке линейный оператор считается вырожденным [1], если его ранг меньше размерности пространства. Развивая это концептуальное определение, можно сказать, что процесс вырождения некоторой многомерной динамической системы есть процесс уменьшения ранга реализуемого ею линейного оператора. На этой математической концепции строятся диссертационные исследования.
Очевидно, источников вырождения системы достаточно много. Так, система может вырождаться структурно (конфигурационно), когда из ее состава выпадает некоторый функциональный элемент. Как следствие, размерность пространства выходов, сокращается. Причины вырождения могут носить организационный характер, когда формируемые целевые намерения неудачно распределяются по входам каналов многомерной динамической системы. Вырождаться могут системы по причине параметрической природы, когда неудачно организованы связи между каналами системы, неудачно назначены показатели характеристик этих связей, когда неудачно сформированы полосы пропускания каналов, а в случае, если система имеет дискретную природу, неудачно назначены и распределены по каналам интервалы дискретности и т.д.
Необходимо отметить, что изучение проблемы вырождения МДС находится пока в зачаточном состоянии. Авторы книг по общей теории систем [17, 19, 21, 22, 26, 28, 29, 30, 31, 35, 36] практически не отмечают наличие такого свойства как вырождение у многомерных динамических систем. Справедливости ради, в последних из перечисленных работах уделено заметное внимание синергетическим свойствам многомерных динамических систем. И, тем не менее, вырождение как содержательная противоположность синергетическим свойствам не выделено в особую проблемную область. Библиографический анализ ситуации глубиной в двадцать лет на базе таких журналов как «Автоматика и Телемеханика», «Теория и системы управления» (бывший «Техническая кибернетика»), «IEEE Transactions on Automatic Control» не обнаружил ни одной публикации, в названии которой присутствовало бы понятие «вырождение». Но, попытки начать изучение такого важного свойства многомерных динамических систем как вырождение имели место. Первыми такую попытку сделали математики, когда в шестидесятые годы двадцатого столетия группа американских ученых по заданию фирмы IBM, которая готовила к выпуску пакет программ для пользователей на языке фортран, провела комплексное исследование вычислительной устойчивости решений основных задач линейной алгебры. Результатом этой работы стала монография [42], в которой автором для оценки вычислительной устойчивости было введено понятие «число обусловленности» (condition number), которое по существу является численной оценкой вырождения алгебраической задачи. Но, тем не менее, до настоящего момента в среде технических специалистов эта численная характеристика за некоторым исключением находит скромное применение.
Одновременно, академик Трапезников В.А. опубликовал на страницах журнала «Автоматика и Телемеханика» [32, 33, 34] серию статей, посвященных проблемам производства и управления. Им рассмотрена отраслевая структура, которая построена по следующему правилу. Структура иерархична, сепаратные каналы, образующие многомерную систему, должны характеризоваться полосами пропускания, которые по мере перемещения по уровням иерархии от верхнего канального уровня к нижнему изменяются с расширением их диапазонов. При этом межканальные связи должны существовать только с соседними каналами. Многомерная система, построенная по схеме Трапезникова В.А., функционирует без вырождения, если темп ввода заявок на входы сепаратных каналов согласован с их полосами пропускания. Однако, в реальных условиях, особенно в системах с функциональными антропокомпонентами, могут возникать эксклюзивные ситуации, когда заявка с нижнего уровня коммутируется для обслуживания на каналы верхних уровней иерархии. В этом случае ситуация характеризуется тем, что верхние уровни начинают обрабатывать заявки, поступающие на их входы с несвойственным для режима их нормального функционирования темпом (интенсивностью), и, если структурный форс-мажор становится нормой, то может возникнуть опасность функционального разрушения системы, т.е. ее вырождения. Таким образом, ставилась задача такого распределения входных заявок, а также связей между уровнями многомерной системы, при котором система сохраняла бы работоспособность и не вырождалась. Ниже, в диссертационных исследованиях такая постановка проблемы будет именоваться задачей Трапезникова.
Академику В.А. Трапезникову удалось решить поставленную задачу только на качественном уровне, так как на тот момент не существовало технологий контроля плавности эволюции системы в сторону вырождения, когда ранг оператора реализуемой системы уменьшается, а в случае ее полного вырождения устремляется к единице.
Предметом диссертационных исследований является модель академика В.А. Трапезникова (что не снижает общности полученных результатов) для случаев непрерывного и дискретного исполнения многомерной динамической системы в условиях моделирования потока заявок векторным многомерным гармоническим воздействием, а также векторными стохастическими воздействиями стационарными в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы. Для каждого из перечисленных случаев построены алгоритмы формирования показателя вырождения и решена задача анализа его чувствительности к неопределенности задания (знания) структурных параметров системы и потоков входных заявок, причем эта задача решена с использованием как гипотезы малых вариаций параметров, допускающих использование аппарата теории чувствительности в виде функций чувствительности первого порядка, так и гипотезы об интервальном характере задания неопределенности параметров структурных компонентов. Последнее позволило в качестве примера рассмотреть возможность контроля вырождения многомерных динамических систем с антропокомпонентами в их составе, где антропокомпоненты, несмотря на их специальную выучку и подбор при комплектации команды, моделируются динамическим элементом с интервальными параметрами. Основной математический аппарат при проведении диссертационных исследований составили: метод пространства состояний для непрерывных и дискретных многомерных систем, формализм аппарата матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова, динамика систем при конечномерных экзогенных воздействиях, стохастический анализ непрерывных и дискретных систем при многомерных стохастических воздействиях стационарных в широком смысле, аппарат функций чувствительности сингулярных чисел критериальных матриц многомерной системы, интервальные модельные представления и интервальные оценки показателя вырождения. Все публикации автора [3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 38, 39] по проблемам научных исследований построены с использованием возможности указанного математического аппарата.
Математический аппарат поддерживается программной и модельной средой пакета MATLAB. Текст диссертации соискателем структурирован с использованием таких рубрик как концепция, определение, утверждение, доказательство, примечание, следствие, пример и т.д. Диссертация содержательно состоит из введения, перечня прилагаемых сокращений и обозначений, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе раскрывается концепция вырождения многомерных динамических систем. Вырождение многомерной динамической системы рассматривается в математической постановке как сокращение ранга линейного оператора (ЛО), причем основное внимание уделяется построению показателя непрерывного эволюционирования ранга ЛО на множестве системных параметров.
Основная задача на первоначальном этапе исследований сводится к приведению задачи вход-выходных отношений многомерной динамической системы к локальнолинейной алгебраической задаче и далее к построению непрерывного аналога целочисленной оценки ее вырождения.
Показатель такого качества многомерной динамической системы, как степень ее вырождения строится в форме глобального и сепаратного функционалов вырождения МДС, конструируемых с помощью глобального и сепаратного чисел обусловленности вещественнозначных критериальных матриц отношения вход-выход, сформированных на основе решения матричного уравнения Сильвестра.
В главе приводится алгоритм контроля вырождения многомерной динамической системы в обобщенном виде.
Во второй главе диссертационной работы предлагается на рассмотрение технология контроля вырождения для случаев многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при модельном представлении заявок на обслуживание в виде векторного гармонического экзогенного воздействия. Причем, для контроля вырождения конструируются критериальные матрицы отношения вход-выход как для одночастотного, так и для многочастотного модельных представлений потока входных заявок. При этом построено два варианта алгоритмического обеспечения конструирования критериальных матриц отношения вход-выход при гармоническом векторном экзогенном воздействии для случаев систем непрерывной и дискретной природы. Первый строится на использовании явного аналитического решения матричного уравнения Сильвестра относительно матрицы подобия векторных процессов по состоянию многомерной системы векторным процессам по состоянию источников конечномерного экзогенного воздействия для случая его гармонической реализации в функции от частоты, а второй использует численное решение уравнения Сильвестра для каждого значения частоты векторного экзогенного воздействия относительно той же матрицы подобия, вычисленной тем или иным способом и является технологической основой конструирования вещественнозначных частотных передаточных матриц отношения вход-выход, исследуемых на предмет оценки степени вырождения с помощью функционалов вырождения.
В третьей главе представлена технология контроля вырождения непрерывных и дискретных многомерных динамических систем для случаев модельного представления потоков заявок в форме стохастических экзогенных воздействий стационарных в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» векторные шумы.
В этом случае в качестве матрицы оператора многомерной динамической системы выступают матрица спектральной плотности выхода и матрица дисперсий выхода, конструируемые при различных интенсивностях «белого шума» и эффективных полосах пропускания фильтра, формирующего на своем выходе «окрашенный шум», по-разному согласованных с полосами пропускания сепаратных каналов многомерной динамической системы. Причем, показывается, что для случая экспресс оценки степени вырождения МДС можно воспользоваться решением матричных уравнений Ляпунова для матрицы дисперсий вектора состояний непрерывной или дискретной многомерных динамических систем с последующим конструированием на них матриц дисперсий выхода.
В четвертой главе диссертации рассматривается проблема оценки влияния на функционал вырождения как одного из системных показателей качества многомерной динамической системы неточности знания (задания) и возможных вариаций системных параметров структурных компонентов МДС для случаев непрерывной и дискретной ее реализации, а также распределения по каналам МДС входного потока заявок. Задача решается в двух инструментальных постановках. В первой постановке задача решается с помощью методов теории параметрической чувствительности применительно к функционалу вырождения, функция параметрической чувствительности которого строится на функциях параметрической чувствительности сингулярных чисел (ФПЧСЧ) критериальной матрицы отношения вход-выход многомерной непрерывной и дискретной систем при гармоническом и стохастическом модельном представлении потока заявок [24]. Во второй постановке используется аппарат интервальных модельных представлений интервальной математики, позволяет оценить медианное значение функционала вырождения и его относительную интервальность. Как следствие, обе инструментальные постановки позволяют сконструировать глобальные мажоранту и миноранту функционала вырождения.
Пятая глава посвящена прикладным проблемам технологии контроля оценки степени вырождения МДС для случая системы с антропокомпонентами. Особое внимание уделено анализу вырождения МДС в задаче Трапезникова В.А. Как показано в главе, при распределении потока заявок, согласованного с пропускными способностями сепаратных каналов МДС, в системе наблюдается минимальная степень ее вырождения.
Также, в главе сформирована априорная экспресс-оценка склонности системы к вырождению без необходимости моделирования потока возможных заявок.
Модельное представление МДС с антропокомпонентами, как функции априорной специальной выучки и подбора при комплектации команды, строится в классе векторно-матричных описаний с матричными компонентами с интервальными параметрами, причем значение интервалов определяется степенью априорной выучки и тщательности подбора.
Завершают главу рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы.
В разделе «заключение» диссертационной работы автором в краткой форме излагаются основные теоретические и технические результаты проведенных диссертационных исследований, указываются области их применимости и пути их дальнейшего развития.
В приложении приведены доказательства некоторых утверждений, листинги .т-файлов, построенных в оболочке MATLAB, используемых в программном сопровождении алгоритмов анализа вырождения многомерных динамических систем непрерывной дискретной природы при различных способах моделирования потока входных заявок, а также результатов исследования конкретных приложений, разработанных для контроля вырождения МДС. На защиту выносится комплексное решение задачи разработки технологии контроля вырождения многомерных динамических систем, состоящее в:
- формировании математической концепции вырождения МДС на основе линейного оператора, отображающего пространство входов (целевых намерений) в пространство выходов (осуществляемых реализаций);
- разработке технологии контроля оценки степени вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном гармоническом модельном представлении потока входных заявок;
- разработке технологии контроля оценки степени вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при стохастическом модельном представлении потока входных заявок;
- разработке технологии контроля оценки степени вырождения многомерной динамической системы в условиях ее модельных неопределенностей и при различных модельных представлениях потока входных заявок с использованием аппарата теории параметрической чувствительности;
- разработке технологии контроля оценки степени вырождения многомерной динамической системы в условиях ее модельных неопределенностей и при различных модельных представлениях потока входных заявок с использованием аппарата интервальных представлений и интервальных вычислений;
- решении прикладных проблем технологии контроля оценки степени вырождения многомерных динамических систем для случая систем с антропокомпонентами, функционирующими в условиях замкнутого функционального пространства, а также многомерной динамической системы в задаче Трапезникова В.А.
