Введение к работе
Актуальность темы. Теория игр является основным современным математическим инструментом исследования интерактивного поведения и, в частности, конкурентного взаимодействия в экономике. Фундамент общей теории игр был заложен в вышедшей в 1944 году монографии Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна "Теория игр и экономическое поведение" . Основная теорема для игр двух лиц с нулевой суммой, доказанная фон Нейманом в 1928 году, устанавливает наличие равновесия при рандомизация игроками своих действий. В 1950 году Дж.Нэш вводит понятие равновесия в некооперативной игре с несколькими участниками и доказывает важнейший результат теории некооперативных игр — существование равновесия в конечной некооперативной игре при предоставлении игрокам возможности рандомизировать свои действия. Результат фон Неймана для двух лиц и его обобщение Нэшем для игр нескольких лиц открыли возможность анализа большого массива экономических задач с помощью методов и подходов теории не кооперативных игр.
В последние три десятилетия в теории игр наблюдается значительный подъем, благодаря ее превращению из чисто нормативной дисциплины в науку о поведении, изучающую интерактивные решения в условиях длительного взаимодействия и включающую такие разделы, как эволюционная теория игр, теория повторяющихся игр, теория обучения (learning) и т.д. Эта трансформация привела к существенному расширению сферы приложений теории игр к общественным наукам, таким, как экономика, социальный выбор и социальное поведение.
Актом признания достижений теории игр в области экономических исследований является присуждение выдающимся специалистам в области теории игр нобелевских премий по экономике за последние годы. Дж. Нэш, Д. Харсаньи и Р. Зельтен (1994) получили премию за вклад в анализ равновесия в теории некооперативных игр. Премия была присуждена Р. Ауману и Т. Шеллингу (2005) за углубленный анализ конфликта и сотрудничества путем анализа методами теории повторяющихся игр. Л. Гурвиц, Э. Маскин и Р. Майерсон (2007) были награждены за создание на основе теории игр теории экономических распределительных механизмов.
Изучение различных аспектов принятия последовательных решений в условиях долговременного взаимодействия и неопределенности на основе современных достижений теории многошаговых динамических игр с неполной информацией получило интенсивное развитие в последние десятилетия. Исследование решений в условиях взаимодействия лежит в основе анализа социальных процессов, и, в частности, теории экономического поведения. Обзор современного состояния теории динамических игр содержится в книге Ж.-Ф. Мертенса, С. Сорена и Ш. Замира (2000). Конечные повторяющиеся игры с неполной информацией были впервые введены в рассмотрение Р. Ауманом и М. Машлером (1966-1968) в серии статей (докладов для Агентства по Контролю над Вооружениями и Разоружением при правительстве США), заложивших основу теории таких игр.
Введение теоретико-игровых моделей в финансы (см. Р. Гиббоне (1992), А. Такор (1991)) революционизировало современную теорию финансов. Существенную роль в современных финансовых моделях играют интенсивно развивающаяся теория аукционов и торгов. Заметный вклад в эти теории внесли недавние работы Т. Каплана, Ш. Замира (2000, 2002, 2007), СБ. Измалкова (2009).
Начиная с работы Л. Башелье (1900), финансовая теория использует для описания эволюции цен на финансовых рынках случайные блуждания и их непрерывный аналог - винеровский случайный процесс или броуновское движение. Историю вопроса и библиографию см. в А. Н. Ширяев (1994) и (1998). В последние годы уделяется большое внимание исследованиям природы случайных флуктуации цен на финансовых рынках. Рассмотрению этого вопроса с использованием теоретико-игровых подходов посвящены работы А. Кайла (1985) и его последователей, а также работы Р. Калканьо, С. Лово (1998) и Б. Де Мейера, М. Салей (2002).
Рассматриваемая в диссертации проблематика включает в себя исследование стратегических аспектов использования приватной асимметричной информации на финансовых рынках, а также проблему определения рейтингов различных финансовых институтов, инструментов и т.п., сводящуюся к агрегированию многомерных показателей.
Для разработанных в диссертации моделей многошаговых торгов рисковыми активами (акциями) использование теории повторяющихся игр с неполной информацией дало возможность исследования стратегических и информационных аспектов формирования цен на фондовых рынках. Впервые подобная модель с произвольными допустимыми ставками, однотипным акциями с двумя возможными ценами была введена в работе Б. Де Мейера и М. Салей (2002), чтобы продемонстрировать стратегическое происхождение броуновского движения в финансах.
Поскольку реальные торги проводятся в тех или иных денежных единицах, представляется более реалистичным считать, что игроки могут назначать только дискретные ставки пропорциональные этой минимальной денежной единице. Об актуальности и важности дискретных моделей финансовых рынков см. также в книге Дж. Кемпбел-ла, А. Ло и А. МакКинли (1997).
Отсутствие в рассматриваемых в диссертации моделях ограничения на число возможных случайных цен акции и наличие рисковых активов двух типов также приближает модель к реальности.
В полученных в диссертации решениях повторяющихся игр с неполной информацией, описывающих модели многошаговых торгов и аукционов, оптимальная стратегическая рандомизация инсайдера порождает случайное блуждание цен совершенных сделок. Тем самым для приближенных к реальности моделей демонстрируется справедливость гипотезы Де Мейера и Салей (2002) о возможном эндогенном происхождении случайных флуктуации цен на финансовых рынках.
Актуальной для всех общественных наук является проблема определения рейтингов объектов, характеризуемых многомерными векторами показателей, см. С. А. Айвазян (2003). Применение в диссертации теоретико-игрового подхода в сочетании с оригиналь-
ной организацией экспертного оценивания дает эффективную методику решения этой задачи.
Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является решение комплекса экономических задач, преимущественно связанных с моделированием и анализом финансовых рынков, на основе теории не кооперативных игр.
Существование равновесия при предоставлении возможности участникам рандоми-зировать свой выбор и свойства такого равновесия позволяют получать и исследовать решения различных экономических задач.
Целью первой главы является обоснование стохастической независимости рандомизированных выборов игроков в некооперативной игре как теоретической предпосылки существования равновесия.
Целью второй и третьей глав является анализ стратегических аспектов использования приватной асимметричной информации на биржевых торгах на основе теории повторяющихся игр с неполной информацией.
В четвертой главе разрабатывается теоретико-игровой подход к определению рейтингов с помощью введения вспомогательной игры. Этот же прием приводит к получению новых достаточных условий единственности решений уравнений конкурентного равновесия.
Наиболее существенные результаты и их научная новизна.
1. Введено понятие "типа зависимости" , как результата рандомизированного вы
бора действий несколькими игроками без обмена информацией между собой. Частное
определение этого понятия было введено Н. Н. Воробьевым (1961).
Доказано, что стохастическая независимость рандомизированных выборов игроков, (которая, вообще говоря, не следует непосредственно из физической независимости), является необходимым и достаточным условием существования ситуации равновесия по Нэшу для любой конечной некооперативной игры.
Этот результат базируется на установленном в диссертации критерии существования некооперативной игры с заданной единственной ситуацией равновесия по Нэшу.
2. Разработана и исследована модель многошаговых биржевых торгов однотипными
рисковыми активами (акциями). Торги ведутся между двумя различно информирован
ными игроками. Один из них (инсайдер) знает значение случайной ликвидной цены
акции, а второй - только распределение этой цены. Допустимые ставки и цена акции
принимают дискретные (без ограничения общности, целочисленные) значения. Такие
торги описываются повторяющимися играми с неполной информацией у второго игро
ка. Если дисперсия случайной цены акции конечна, то можно корректно определить
игры торгов без заранее заданного ограничения на их продолжительность.
Получены в явном виде решения повторяющихся игр с неполной информацией, моделирующих такие биржевые торги. Оптимальная стратегия инсайдера порождает симметричное случайное блуждание апостериорных математических ожиданий цены акции по целочисленной решетке с поглощением. Этот результат получен совместно с В. К. До-манским. Лично диссертантом установлено, что ожидаемая продолжительность этого
случайного блуждания равна дисперсии случайной цены акции. Значение игры (гарантированный выигрыш инсайдера) равно ожидаемой продолжительности случайного блуждания, умноженной на постоянный средний одношаговый выигрыш инсайдера. Последовательность цен совершенных сделок воспроизводит случайное блуждание апостериорных математических ожиданий цены акции, что подтверждает гипотезу о стратегическом происхождении регулярной случайной компоненты в эволюции цен на финансовых рынках в условиях модели, более реалистичной, чем модель, рассмотренная в (Де Мейер, Салей (2002)).
3. Разработана и исследована модель многошаговых биржевых торгов рисковыми активами (акциями) двух типов. Доказано, что одновременные конечно-шаговые торги двумя рисковыми активами менее выгодны для инсайдера, чем раздельные торги однотипными акциями.
В общей постановке получены в явном виде решения повторяющихся игр с неполной информацией, моделирующих такие торги неограниченной продолжительности. Игра имеет счетное число состояний - вектор случайных ликвидных цен акций может быть произвольной точкой двумерной целочисленной решетки. Инсайдер знает значения случайных ликвидных цен обеих акций. Игроки делают векторные ставки.
Значение игры неограниченной продолжительности равно сумме значений двух игр с одним рисковым активом. Таким образом, преимущество, которое получает неинформированный игрок от проведения совместных конечно-шаговых торгов в сравнении с раздельными торгами по каждому типу акций, исчезает на торгах с заранее не ограниченной продолжительностью.
Для распределений с математическими ожиданиями цен обеих акций, лежащими на целочисленной решетке, значение игры равно полусумме дисперсий случайных цен акций. Для остальных распределений функция значений является наименьшей непрерывной вогнутой мажорантой ее значений в точках двумерной целочисленной решетки.
Мартингал апостериорных математических ожиданий, порождаемый оптимальной стратегией Игрока 1, представляет собой асимметричное случайное блуждание по точкам двумерной целочисленной решетки с поглощением. Этот результат получен совместно с В. К. Доманским. Лично диссертантом установлена структура решений для игр с двумя состояниями и для игр с тремя состояниями, то есть двумерный вектор ликвидных цен акций принимает два (три) значения. Именно к таким играм сводится задача в общей постановке.
В случае двух состояний, без ограничения общности, это состояния (0, 0) и (таї, таг), вероятностное распределение на множестве состояний задается скалярным параметром - вероятностью состояния (таї,тег). Порождаемый оптимальной стратегией информированного Игрока 1 мартингал апостериорных вероятностей состояния (mi,тег) представляет собой асимметричное случайное блуждание по смежным точкам решетки, элементы которой кратны либо l/теі, либо 1/тег с поглощением в крайних точках.
В случае трех состояний мартингал апостериорных математических ожиданий, порождаемый оптимальной стратегией информированного Игрока 1, представляет собой
симметричное случайное блуждание по точкам двумерной целочисленной решетки, находящимся внутри треугольника, вершинами которого являются вектора возможных ликвидных цен акций. Симметрия этого блуждания нарушается при попадании на границу треугольника. Начиная с момента попадания на границу, игра переходит в одну из игр с распределениями с двухточечными носителями.
4. Задача определения с помощью экспертного оценивания рейтингов объектов, характеризуемых многомерными векторами показателей, сведена к решению вспомогательной матричной игры. Оптимальная стратегия первого (максимизирующего) игрока в этой матричной игре определяет вектор искомых параметров функционала. Исследование проводилось совместно с В.К.Доманским. Диссертанту принадлежат постановка задачи, критерий непротиворечивости априорных экспертных оценок, а также обработка данных и проведение расчетов.
Установлены критерии положительности значения матричной игры. Применение этих критериев при исследовании вспомогательной матричной игры, в которой матрица выигрышей - якобиан производственного отображения, приводит к новому достаточному условию единственности конкурентного равновесия, более широкому, чем условие Гейла-Никайдо (1965).
Все полученные результаты являются новыми. Новыми являются также многие постановки задач и методы их решения. В диссертации используются методы, которые представляют собой комбинацию методов классической теории вероятностей, теории некооперативных игр, теории динамических игр и теории управляемых случайных процессов с дискретным временем.
Новой является предложенная организация экспертного оценивания в задаче определения рейтингов. Эксперту предлагается проранжировать небольшое число хорошо известных ему объектов. Веса искомого ранжирующего функционала определяются на основе принципа максимизации минимальной разности значений функционала для смежных выбранных экспертом объектов. Теоретико-игровой подход впервые применен к проблеме определения рейтингов.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации представляют интерес для теории не кооперативных игр, в частности, для теории повторяющихся игр с неполной информацией.
Проведенный во второй и третьей главах анализ оптимального поведения инсайдеров на биржевых торгах может быть использован при выработке мер по борьбе с коррупцией в форме незаконного использования инсайдерской информации.
Разработанный в четвертой главе теоретико-игровой подход использовался при составлении методики оценки региональной профильности предприятий г. Ленинграда в Институте социально-экономических проблем АН СССР (1984).
Эффективность предложенного метода проверялась при применении его для определения рейтингов надежности российских банков на основании данных финансовой отчетности крупнейших банков России за 1994 год.
Этот подход использовался министерством финансов Красноярского края при раз-
работке модели управления эффективностью бюджетного процесса (2009).
Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на семинарах Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стекло-ва РАН, Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН, факультета Прикладной математики и процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, Высшей школы экономики (Москва), Центрального экономико-математического Института РАН, Вычислительного центра РАН им. А. А. Дородницына.
Результаты диссертации докладывались на Российских и международных конференциях в городах Санкт-Петербург, Москва, Петрозаводск, Кисловодск, Сочи и Волжский, а также на международных конференциях в следующих городах: Кан (Франция) в 1992 г., Стоуни-Брук (США) в 1993 г., София-Антиполис (Франция) в 2006 г., Вроцлав (Польша) и Минск (Беларусь) в 2008 г., Амстердам (Нидерланды) в 2009 г.
Структура диссертации. Диссертация содержит введение и четыре главы. Общий объем работы составляет 250 страниц. Список литературы включает 105 наименований.
