Содержание к диссертации
Список используемых сокращений 5
Введение 6
Глава 1, О различных видах симметрии распределений 17
1.1. Введение 17
1.1.1. Условно-инвариантные распределения 17
1.1.2. Sp -симметричность условно-инвариантного распределения вероятностей 18
1.1.3. Неравноплечная симметрия
1.2. Sp -неравноплечная и а-равноплечная симметрия функции распределения 19
1.3. Симметрия к-го порядка 22
1.4. Неравноплечная симметрия fc-ro порядка 28
1.5. Sp -неравноплечная симметрия к-го порядка 34
1.6. S -равноплечная симметрия к-го порядка 39
1.7. Выводы 40
Глава 2. Оценки функции распределения с учетом знания симметрии 41
2.1. Введение 41
2.1.1. Проектирование в классы Sa-симметричных распределений с известным центром а 41
2.1.2. Оценка неравноплечно симметричной функции распределения 42
2.1.3. Оценка равноплечно симметричной функции распределения 43
2.2. Оценка функции распределения, модифицированная с уче том Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка 44
2.3. Оценка функции распределения, модифицированная с уче том симметрии к-го порядка 61
2.4. Выводы з
Глава 3. Оценки симметричной функции распределения по прогрессивно цензурированным и урезанным выборкам 66
3.1. Введение 66
3.2. Асимтотическая несмещенность оценки F$(i) 69
3.3. Дисперсия оценки F${t) 72
3.4. Оценка функции распределения, построенная по усеченной выборке 79
3.5. Оценка функции распределения с одинаково взвешенными полными наработками 81
3.6. Оценка функции распределения с учетом неполных наработок 88
3.7. Оценка симметричной функции распределения по цензури-рованной выборке 91
3.8. Оценка симметричной функции распределения по усеченной выборке 102
3.9. Оценка симметричной функции распределения с одинаково взвешенными полными наработками 104
3.10. Оценка симметричной функции распределения с учетом неполных наработок 106
3.11. Выводы 107
Глава 4. Критерии согласия Колмогорова для симметричных распределений 108
4.1. Введение 108
4.2. Модифицированный критерии согласия Колмогорова с уче том 5р -неравноплечной симметрии k-го порядка 111
4.2.1. Модифицированный критерии согласия Колмогорова с учетом Sp -равноплечной симметрии к-то порядка 117
4.2.2. Мощность модифицированного с учетом Sp равноплечной симметрии к-то порядка критерия согласия Колмогорова 120
4.2.3. Примеры 122
4.2.3.1. Равноплечная симметрия к-то порядка 122
4.2.3.2. Неравноплечная симметрия к-го порядка 124
4.3. Выводы 126
Заключение 127
Список использованной литературы 129
Приложение 1. Рисунки к главе 1 138
Приложение 2. Рисунки к главе 2 142
Приложение 3. Рисунки к главе 3 145
Приложение 4. Рисунки к главе 4 1
Введение к работе
Актуальность работы. При обработке статистических данных нередко возникает необходимость построения оценки неизвестной функции распределения исследуемой случайной величины, а также задача проверки гипотез согласия. В ситуации, когда функциональный вид искомого распределения неизвестен, и проблему нельзя свести к параметрическому оцениванию, применяют непараметрические оценки функции распределения, а также непараметрические критерии согласия.
На практике имеют место ситуации, когда в условиях непараметрической априорной неопределенности существует дополнительная информация о функции распределения исследуемой случайной величины, например, ее непрерывности, симметричности, моментах и пр. Источником этой информации могут служить условия эксперимента, теоретические выводы, физический смысл анализируемой случайной величины и т.д. Следовательно, возникают вопросы учета имеющейся дополнительной информации при построении непараметрических оценок функционалов от распределений и критериев проверки гипотез, а также исследовании свойств получаемых при этом статистик.
Рассматриваемая проблема становится еще более важной в случае, если выборка является неполной, а именно урезанной (усеченной) или цензури-рованной. Данные такого рода встречаются в практической работе довольно часто, особенно в теории надежности, при проведении медицинских, биологических, демографических, экономических исследований и пр. Цензурирование и урезание приводят к существенным потерям информации, поэтому необходимость в привлечении дополнительных сведений о распределении становится особенно актуальной.
Кроме того, проведение многих экспериментов затратно или требует много времени для получения результатов, поэтому возникает задача привлечения априорных сведений о распределении для сокращения количества испытаний и продолжительности опытов. Все вышесказанное показывает актуальность работы, посвященной проблеме привлечения априорной информации при построении статистических процедур обработки данных как для полных, так и для цензурированных и урезанных выборок.
Состояние проблемы. Задачи привлечения априорной информации рассматривались в работах Ю.Н. Тюрина [60,61], E.F. Schuster [83, 84], Ю.Н. Тюрина [60,61], E.F. Schuster [83, 84], D. Hinkley [70], Б.Я. Левита [44], Ю.А. Кошевника [41,42], В.Н. Пугачева [49], Ф.П. Тарасенко[27, 28], Ю.Г. Дмитриева [12-33], Г.М. Кошкина [25,26], Ю.К. Устинова [33].
В [33] предложен метод проекций, который заключается в том, что по имеющейся априорной информации в классе всех распределений V выделяется априорный класс Vа - подкласс распределений, удовлетворяющий данным свойствам. Затем строится проектор П : V -» Vа на априорный класс, являющийся отображением V на Vа , неподвижным на Vа. Статистическая оценка распределения Р строится путем применения проектора П к эмпирическому распределению Рх, отвечающему выборке объема N. Оценкой распределения Р является проекция ПРн. В работе Ю.Г. Дмитриева и Ю.К. Устинова получены оценки распределения с учетом дополнительной информации о квантилях распределения, известном математическом ожидании, непрерывности случайной величины, Sa-симметрии с известным и неизвестным центром симметрии, а также различных сочетаний данных априорных сведений. Получаемые модифицированные оценки функции распределения легли в основу модифицированных статистик Колмогорова, свойства которых также изучены в [33].
Априорная информация о симметрии случайной величины использовалась при оценивании функции распределения и построении критериев согласия в работах E.F. Schuster [83 ,84], D. Hinkley [70], А.А. Гущина [10], Ю.Г. Дмитриева и Ю.К. Устинова [33], В.П. Шуленина [62]. В [75] рассматривался вопрос оценивания симметричной плотности распределения. Ю.А. Ко-шевник в работах [41,42] анализировал асимптотические свойства оценок симметричных функций распределения.
В настоящее время в литературе большое внимание уделяется обработке неполных данных, в частности цензурированных и урезанных. Существенный вклад в развитие данного направления внесли В.М. Скрипник [4,50], А.Е. На-зин [4,50], Ю.Н. Благовещенский [3-8], Ю.Г. Приходько [4], А.С. Агапов [1,2], Б.Ю. Лемешко [11,45,46], М.С. Тихов [57-59] и др. Литература, посвященная этой теме, охватывает очень широкий спектр задач статистической обработки данных [9, 43, 63,68,69, 72, 77, 78, 80, 81, 85-89], однако работ, касающихся вопроса привлечения априорной информации, мало. Ряд публикаций посвящен учету дополнительной информации о надежности компонент системы при оценивании показателей надежности всей системы [47,51]. В [48] по однократно цензурированной выборке строятся точечные и интервальные оценки вероятности безотказной работы системы, а также среднего времени безотказной работы системы по результатам испытаний и эксплуатации с учетом вероятностей безотказной работы компонент системы.
В [65] предлагались процедуры, повышающие эффективность статистического оценивания функции выживания случайной величины Y по цензурированной справа выборке за счет привлечения информации о зависимой случайной величине X, которая наблюдалась полностью. В работах [64, 66, 67, 74, 76, 79, 82] также рассматривались вопросы привлечения информации о зависимой случайной величине при построении различных статистических процедур по цензурированным и усеченным данным, а также данным с пропусками. В [71] строится оценка функции распределения времени жизни с привлечением информации о времени цензурирования.
В работах Ю.Г. Дмитриева и С.С. Таримы [29-32, 52-56] привлечение априорной информации осуществлялось на основе данных с пропусками, построены оценки вероятностей событий с учетом знания вероятностей полной группы событий, обобщен метод коррелированных процессов на случай оценивания вероятностей заданных событий с учетом оценок вероятностей других событий для неполных данных.
Вопрос привлечения априорной информации о симметрии функции распределения случайной величины при работе с цензурированными и усеченными данными в литературе не освещался.
Целью работы является построение статистических процедур обработки как полных, так и неполных (цензурированных и урезанных) выборок с использованием информации о различных видах симметрии функции распределения, а также анализ их свойств.
Методика исследования. При решении поставленных задач применялись методы математического анализа, функционального анализа, теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования.
Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты:
1. Введение в статистическую практику класса функций распределения, обладающих свойством 5 -неравноплечной симметрии к-го порядка, обобщающий известные классы симметричных распределений.
2. Статистические оценки функции распределения для класса Sp -нерав-ноплечно к-го порядка симметричных функций распределения и анализ их свойств как для полных, так и для неполных выборок. Вероятности попадания модифицированных оценок в заданные полосы.
3. Модифицированные статистики Колмогорова для класса функций распределения, обладающих свойством Sp -неравноплечной симметрии А-го порядка, исследование свойств статистик.
4. Модифицированные критерии Колмогорова, исследование их мощ ностных свойств.
Теоретическое значение работы заключается в том, что в ней предложены: новые классы распределений, обладающие свойствами симметрии различного характера; методы привлечения информации о различных видах симметрии в построении статистических процедур как для полных, так и для неполных выборок; изучены свойства модифицированных критериев, а также оценок неизвестной функции распределения как для полных, так и для цензурированных и усеченных выборок.
Практическое значение работы заключается в том, что предложенные статистические процедуры могут значительно сократить затраты финансовых средств и времени на эксперимент, улучшить качество классических оценок и критериев, восполнить потерю информации, имеющую место при усечении и цензурировании, эффективнее планировать проведение эксперимента.
Краткое изложение содержания работы
В первой главе вводится понятие Sp -неравноплечной симметрии к то порядка функции распределения F(x), х Є R.
В работе найден вид функций Sj(x), j 1, А;, для непрерывно возрастающих функций распределения. Показано, что логнормальное распределение а-равноплечно симметрично, равномерная функция распределения обладает свойством Sp -равноплечной симметрии fc-ro порядка, где k произвольное целое; экспоненциальная и треугольная функции распределения — свой-ством Spc-неравноплечной симметрии fc-го порядка, где к - произвольное целое.
Во второй главе построена оценка неизвестной функции распределения, модифицированная с учетом свойства Sp -неравноплечной симметрии к-го порядка. Доказано, что данная оценка несмещенная и состоятельная.
Показано, что дисперсия модифицированной оценки не превышает дисперсии обычной эмпирической функции распределения, т.е. новая оценка в среднеквадратическом смысле лучше обычной эмпирической функции распределения. Найдено точное распределение модифицированной оценки, а также вероятности попадания ее в заданные полосы.
В третьей главе построены модифицированные с учетом симметрии (5) оценки неизвестной функции распределения по прогрессивно цензурирован-ным (цензурирование I типа) и усеченным выборкам, также найдены точные и асимптотические формулы для их математических ожиданий и дисперсий.
В п. 3.1 приведены оценка неизвестной функции распределения на основе цензурированных выборок для нескольких моментов цензурирования, а также три оценки для случая одного момента цензурирования (две из них строятся по выборке, в которой в момент цензурирования с наблюдений сняты все изделия), получены точные и асимптотические формулы их математических ожиданий и дисперсий. Оценка на основе усеченной выборки рассматривается в п. 3.4. Найдены точные и асимптотические формулы ее математического ожидания и дисперсии.
В п. 3.5 предлагается оценка, которая строится по полным наработкам цензурированной выборки; цензурирование однократное, однако в отличие от предыдущих случаев, в рассматриваемой оценке все полные наработки имеют одинаковый вес. Найдены точные и асимптотические формулы математического ожидания и дисперсии оценки.
В п. 3.6 рассмотрена оценка, построенная по однократно цензурированной выборке, при этом в качестве неполных наработок используется значение, равное по величине моменту цензурирования. В построении оценки равновесно участвуют как полные, так и неполные наработки. Найдены точные и асимптотические формулы математического ожидания и дисперсии оценки.
Модификации предложенных в п. 3.1 оценок с учетом знания симметрии вида (5) рассмотрены в п. 3.7. Получены точные и асимптотические формулы для их математических ожиданий и дисперсий. Показано, что для многократно и однократно цензурированных выборок при наличии полных наработок во всех наблюдаемых интервалах оценка является асимптотически несмещенной. Найдены условия, при которых нормированная дисперсия модифицированной оценки в асимптотике не превышает нормированной дисперсии обычной эмпирической функции распределения. В п. 3.7 рассмотрены модификации оценок, построенных по выборке, в которой в момент цензурирования с наблюдений сняты все изделия. Показано, что данные оценки являются смещенными, найдены их дисперсии.
Модификация оценки, основанной на усеченной выборке рассмотрена в п. 3.8. Получены формулы для ее математического ожидания и дисперсии. Показано, что в случае, если момент цензурирования совпадает с центром симметрии, оценка является асимптотически несмещенной, при этом ее нормированная дисперсия в асимптотике не превышает нормированную дисперсию обычной эмпирической функции распределения. В п. 3.9 и 3.10 исследованы модификации оценок, предложенных в п. 3-5 и п. 3.6 соответственно, получены точные и асимптотические формулы их математических ожиданий и дисперсий.
Таким образом, в главе 3 построены модификации оценок неизвестной функции распределения с учетом симметрии (5) на основе цензурированных и усеченных выборок, найдены формулы для математических ожиданий и дисперсий оценок. Показано, что в некоторых случаях модифицированные оценки в асимптотике лучше, т.к. обладают меньшей нормированной дисперсией, чем обычная эмпирическая функция распределения, что говорит о том, что учет симметрии позволяет уменьшить потери информации при цензурировании и усечении для некоторых случаев.
В четвертой главе предлагаются модификации критерия согласия Колмогорова с учетом информации о том, что функция распределения обладает свойством Spc -неравноплечной симметрии fc-го порядка. Найдено точное
распределение модифицированных статистик для альтернативной и нулевой гипотез, асимптотическое распределение при нулевой гипотезе. Показана их непараметричность, а также точная формула для мощности модифицированного критерия с учетом свойства S„ -равноплечной симметрии к-то порядка для альтернатив определенного вида. Приведены примеры, показывающие, что привлечение априорной информации позволяет увеличить мощность критерия Колмогорова.
В приложениях приведены рисунки, иллюстрирующие формулы основной части работы.
Публикации по работе
Результаты работы были опубликованы в следующих статьях и материалах научных конференций:
1. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Критерии согласия Колмогорова для симметричных распределений // Вестник ТГУ. - 2003. - № 6, - С. 265-269.
2. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Модифицированная с учетом S -сим-метрии эмпирическая функция распределения // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2002. - Томск, 2002. - С. 368-370.
3. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Непараметрические критерии согласия для распределений из априорных классов // Материалы научно-практического семинара "Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления". Новосибирск. 12-14 июня 2001. - Новосибирск: Изд-во НГТУ. -2001. - С. 93-94.
4. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. О неравноплечной симметрии k-го порядка функций распределения // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2004. - Томск: ТГУ, 2004. - С. 12-14.
5. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. О симметрии распределений // Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции "Научное творчество молодежи."Анжеро-Судженск. 16-17 апреля 2004. - Томск: Изд-во Том.ун-та, 2004. - Ч. 1- С. 29-30.
6. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об одной оценке симметричной функции распределения по цензурированной выборке // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференция "Информационные технологии и математическое моделирование". Анжеро-Судженск. 2005. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - 4.2. - С. 8-10.
7. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об оценивании симметричного распределения по цензурированной выборке // Труды X юбилейного симпозиума по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике. Томск. Март 2002. - Томск: Изд-во НТЛ, 2004. - С. 22-30.
8. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Об оценивании симметричной функции распределения по полным наработкам цензурированной выборки // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, вып. 2. - С. 349-350.
9. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Оценка симметричной функции рас 16
пределения по цензурированной выборке // Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика и их приложения: сб. науч. ст. между-нар. конф., посвящ. 70-летию профессора, д-ра физ.-мат. наук Г.А. Медведева. Минск, 21-25 февр.2005 г. / редкол.: Н.Н. Труш (отв. ред.) [и др.]. - Мн.: БГУ, 2005. - С. 78-86.
10. Дмитриев Ю.Г., Зенкова Ж.Н. Оценки симметричной функции распределения по усеченным и цензурированным выборкам // Вестник ТГУ. -2005. - № 14. - С. 291-296.
11. Зенкова Ж.Н. Sp-неравноплечная симметрия логнормалъного распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т.11, вып. 4. - С. 812-813.
12. Зенкова Ж.Н. Модифицированный критерий Колмогорова. Иннова-тика-2005 // Сборник материалов I Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Томск. 2-3 июня 2005. / Под. ред. А.Н.Солдатова, СВ. Квеско. - Томск: ТГУ, 2005. - С. 32-35.
13. Зенкова Ж.Н. Модифицированный критерий согласия Колмогорова для неравноплечно-симметричных распределений // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2002. - Т. 9, вып. 3. - С. 612-613.
14. Зенкова Ж.Н. Неравноплечная симметрия fc-ro порядка непрерывной возрастающей функции распределения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. - Т. 12, вып. 4. - С. 968-969.
15. Зенкова Ж.Н. Оценка функции распределения по прогрессивно цензурированной выборке с учетом симметрии // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2003. - Т.10, вып. 3. - С. 651-652.
Апробация работы
Работа докладывалась и обсуждалась на научных семинарах кафедры теоретической кибернетики факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ, а также на следующих научных конференциях и симпозиумах:
Научно-практический семинар "Проблемы синтеза и проектирования систем автоматического управления" (Новосибирск, 2001); III Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002, Осенняя сессия); Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование "(Анжеро-Судженск, 2002); II Сибирская научная школа-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография". - SYBECRIPT 03 (Томск, ТГУ, 2003); IV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003, Осенняя сессия); X юбилейный симпозиум по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике (Томск, 2002); VIII Всероссийская научно-практическая конференция "Научное творчество молодежи"(Томск, 2004); V Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004, Осенняя сессия); III Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование "(Анжеро-Судженск, 2004); Международная конференция, посвященная 70-летию профессора, доктора физ.-мат. наук Г.А. Медведева (Минск, 2005); IV Сибирская научная школа-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография". -SYBECRIPT 05 (Томск, 2005); VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (С.-Петербург, 2005); I Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (Томск, 2005); VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2005, Осенняя сессия); IV Всероссийская научно-практическая конференция "Информационные технологии и математическое моделирование" (Анжеро-Судженск, 2005).
