Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Предварительные сведения 17
1.1. Линейные системы управления 17
1.2. Передаточные функции и частотные характеристики линейных блоков.24
1.3. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость 28
1.4. Наблюдаемость 34
1.5. Типичность и грубость свойств полной управляемости и полной наблюдаемости линейной системы 37
1.6. Стабилизируемость 38
1.7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными запаздываниями аргумента 44
1.8. Дифференциальные уравнения с гистерезисными функциям 49
ГЛАВА II. Частотные критерии устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями (случай, когда матрица линейной части системы гурвицева) 65
2.1. Глобальная асимптотика решений 65
2.2. Абсолютная устойчивость 72
2.3. Дихотомичность решений 78
2.4. Дифференциальное уравнение второго порядка с гистерезисом 81
2.5. Сравнительный анализ 94
2.6. Двумерная дифференциальная система с гистерезисом 105
ГЛАВА III. Частотные критерии устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями (случай, когда матрица линейной части системы особая) 109
3.1. Глобальная асимптотика решений 109
3.2. Случай, когда гистерезисная функция не удовлетворяет условию секториальности 124
3.3. Глобальная асимптотика решений дифференциального уравнения второго порядка с гистерезисом в критическом случае 129
3.4. Глобальная асимптотика решений двумерной дифференциальной системы с гистерезисом в критическом случае 135
3.5. Сравнение результатов 141
ГЛАВА IV. Стабилизация систем с гистерезисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием 143
4.1. Частотный критерий стабилизации систем с гистерезисом 143
4.2. Доказательства промежуточных утверждений 146
4.3. Доказательство основной теоремы о стабилизации 154
4.4. Стабилизация автогенератора с гистерезисом 173
4.5. Автогенератор радиодиапазона с гистерезисом 179
ГЛАВА V. Новый алгоритм стабилизации по состоянию линейных управляемых систем 184
5.1. Элементарное доказательство теоремы о стабилизации линейной системы 184
5.2. Теорема об управлении спектром матрицы 199
5.3. Алгоритм пошаговой стабилизации линейного объекта управления 214
ГЛАВА VI. Стабилизация стационарных линейных систем обратной связью с запаздыванием 226
6.1. Стабилизация двумерных линейных систем обратной связью с запаздыванием 226
6.2. Стабилизация двумерных линейных систем обратной связью с запаздыванием по Пирагосу 240
6.3 Трехмерные системы 250
ГЛАВА VII. Стабилизация динамической системы «машина - регулятор уатта» 254
7.1. О переходном процессе в динамической системе с регулятором Уатта 254
7.2. Асимптотическая устойчивость динамической системы с регулятором Уатта 261
Заключение 271
Литература 273
- Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость
- Дифференциальное уравнение второго порядка с гистерезисом
- Глобальная асимптотика решений дифференциального уравнения второго порядка с гистерезисом в критическом случае
- Доказательство основной теоремы о стабилизации
Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость
Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов устойчивости и стабилизации динамических систем, определяемых дифференциальными уравнениями: линейными и нелинейными.
Одной из важнейших задач теории управления является задача о стабилизации динамических систем. Методы стабилизации управляемых систем создавались, развивались в течение последних ста сорока лет: от создания катаракта Вышнеградского [1] до анализа и синтеза систем стабилизации ракет [2-10] и распределенных систем тактовых генераторов в многопроцессорных кластерах [11,12]. Теории и практике стабилизации посвящено много книг и обзоров. Многие из методов стабилизации вошли в учебники по теории управления и стали классическими. Однако за последние сорок лет произошел бурный рост публикаций, посвященных методам стабилизации линейных управляемых систем. Рост интереса к проблемам стабилизации мотивировался как запросами практики управления, так и формулировками открытых проблем многими известными учеными: В.И.Зубовым [13-17], У.М.Уонэмом [18,19], Д.С. Бернстейном [20], Р.У. Брокеттом [21], Дж. Розенталем и Дж.С. Виллемсом [22]. При решении этих проблем создавались новые методы анализа и синтеза линейных систем управления.
Одной из классических задач стабилизации систем была задача о стационарной статической стабилизации по состоянию линейной стационарной управляемой системы, т.е. поиск соответствующего линейного стационарного статического регулятора, обеспечивающего асимптотическую устойчивость системы. Эта задача, и более общая задача о размещении собственных чисел матрицы (или полюсов передаточной функции), впервые была сформулирована и решена в работах В.И. Зубова [13] и У.М. Уонэма [18]. После выхода этих работ было написано большое количество статей, где предлагались другие, альтернативные к данным Зубовым и Уонэмом алгоритмы стабилизации. Однако все они достаточно громоздки для вещественного и векторного случая. Предложенные в диссертации алгоритмы стабилизации являются новыми и, на наш взгляд, наиболее простыми.
Вопросы стабилизации, а также смежные с ними вопросы, весьма интенсивно изучались в последние десятилетия в работах Н.Н. Красовского, В.И. Зубова, Е.А. Микрина, P.M. Юсупова, Г.А. Леонова, Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова, В.Л. Харитонова, B.C. Антончика, Е.Я. Смирнова, А.И. Кирьянена, А.Г. Александрова, А.В. Назина, М.В. Хлебникова, В.Н. Честнова, И.Я. Каца, Ю.С. Осипова, Е.Л. Тонкова, В.А. Зайцева, Э.Г. Альбрехта, Г.С. Шелементьева, СИ. Солодушкина, Ю.Ф. Долгий, И.В. Гайшуна, Д.С. Бернстейна, В. Блонделя и др. В настоящее время вопросы стабилизации остаются в центре внимания исследователей, обзоры работ которых можно найти, например, в статьях В.Л. Сирмоса, СТ. Абдаллаха, П. Дорато, К. Григориадиса [23] и Б.Т. Поляка, П.С. Щербакова[24]. Наиболее эффективные методы и алгоритмы стабилизации разработаны для линейных систем управления. Одной из проблем, стимулировавшей немало публикаций, была сформулированная Р. Брокеттом проблема стабилизации линейной стационарной системы с помощью линейной нестационарной обратной связи [21]. Решение проблемы Брокетта в ряде важных для практики случаев дано в работах Г.А. Леонова [25-27] и Л. Моро, Д. Аэлса [28]. В этих работах построены соответственно алгоритмы низкочастотной и высокочастотной стабилизации линейной стационарной системы. Для двумерных и трехмерных стационарных систем показано, как введение нестационарной обратной связи расширяет возможности стационарной стабилизации. Возникает естественный вопрос: существуют ли иные (кроме нестационарных) способы стабилизации линейных стационарных систем, позволяющие расширить возможности стационарной стабилизации? Приходим к основной задаче в постановке Г.А. Леонова: можно ли ограничиваясь лишь линейной стационарной обратной связью стабилизировать линейную стационарную систему введением запаздывания в обратную связь? Каковы возможности линейной стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивых линейных стационарных систем? Хорошо известно, что для некоторых классов уравнений при достаточно малых и достаточно больших запаздываний такая стабилизация невозможна. С другой стороны, мотивацией к исследованию стабилизации путем введения запаздывания в обратную связь явились компьютерные эксперименты К. Пирагоса [29-33] по стабилизации хаоса - стабилизации неустойчивых периодических орбит, погруженных в странный аттрактор той или иной хаотической системы. В диссертационной работе решена поставленная выше Г.А. Леоновым задача для случая двумерных и трехмерных управляемых систем. В частности, сделан вывод о том, что для обеспечения эффекта Пирагоса необходимо ввести зависящий от времени коэффициент усиления в обратной связи.
Дифференциальное уравнение второго порядка с гистерезисом
Далее, в нелинейной теории колебаний и в теории управления автогенераторами актуальными являются проблемы захватывания частоты автоколебаний внешним гармоническим воздействием. Проблемы захватывания частоты автоколебаний под частоту внешнего гармонического воздействия являются классическими в нелинейной теории колебаний и теории управления автогенераторами [34-43]. Одним из важнейших свойств вынужденных периодических процессов является их устойчивость «в целом», когда явление захватывания наблюдается в любом режиме работы автогенератора. Кроме того имеется ряд экспериментальных результатов, показывающих, что различные нелинейные системы, допускающие хаотическое поведение, могут быть стабилизируемы гармойическим или другим периодическим внешним воздействием [44-46]. Весьма актуальной является задача о стабилизации и исследование устойчивости дифференциальных систем с гистерезисными функциями. Последние являются математическими моделями систем автоматического управления, в которых возникает люфт, сухое трение, некоторые приборы имеют зоны нечувствительности, происходит пространственное запаздывание управляющего сигнала [47-53]. Первые теоретические исследования истем с гистерезисными нелинейностями появились в 40-е годы в работах А.А. Андронова и Н.Н. Баутина [53], А.А. Фельдбаума [54], и Ф. Краутвига [55]. Ряд результатов по исследованию двумерных систем с гистерезисом был получен также в более поздних работах Р.А. Нелепина [50], В.А. Брусина [56, 57], В.В. Казакевича[58,59], В.В. Петрова, Г.М. Уланова [60, 61] и др. В этих работах использовались методы фазовой плоскости и точечных отображений, а гистерезисные функции имели «стандартный» вид. Дальнейшее развитие техники требовало создания математических методов глобального исследования многомерных систем с гистерезисом. Такие методы появились в начале 60-х годов вслед за выходом работ В.М. Попова [62, 63]. Впервые был применен частотный метод В.М.Попова [63-67]. В последующие годы в работах В.А. Якубовича, Н.Е. Барабанова [68], А.Х. Гелига [67], В.А. Брусина [57], ЯЗ. Цыпкина [52] и др. были получены эффективно проверяемые частотные критерии различных типов поведения решений систем с гистерезисными функциями. Важную роль при установлении этих критериев сыграли результаты В.А. Якубовича [65, 69-71] и Р.Е. Калмана [72] по решению специальных матричных неравенств. Новые методы, развитые в теории абсолютной устойчивости, позволили исследовать системы с гистерезисными нелинейностями, удовлетворяющими достаточно общим ограничениям. В работах В.А.Якубовича [66], Н.Е. Барабанова и В.А. Якубовича [68], А.Х. Гелига [64], М.А. Красносельского, А.В. Покровского [73-75] были даны строгие определения понятия гистерезисной функции, позволяющие обсуждать в общей постановке проблемы существования, единственности, продолжимости решений систем дифференциальных (и интегральных) уравнений с гистерезисом. Различным вопросам, связанным с гистерезисными нелинейностями, посвящено большое число работ. Одной из первых монографий по системам с гистерезисом была монография М.А. Красносельского и А.В. Покровского [75]. В диссертационной работе, развивая идеи и методы разработанные В.А.Якубовичем и его учениками для исследования абсолютной устойчивости нелинейных систем, проводится исследование вопросов устойчивости и стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями.
Далее, в инженерной практике при проектировании различных энергоустановок (например, турбогенераторов) и технических систем, а также анализе и синтезе систем управления такими объектами, возникает задача о проведении нелокального анализа переходного процесса — от запуска машины в начальный момент времени до её выхода в рабочий режим. Математическая постановка этой задачи дана в работе Г.А. Леонова [77]. Формализация указанной выше задачи укладывается при некоторой идеализации в математическую модель работы динамической системы «машина-регулятор Уатта» (точнее, модифицированный регулятор Уатта). В работе Г.А. Леонова проведен нелокальный анализ системы «машина-регулятор Уатта» в предположении, когда в уравнениях движения угловое ускорение и коэффициент трения являются постоянными, восстанавливающая сила — линейной, а центробежная сила имеет приближенный вид.
Глобальная асимптотика решений дифференциального уравнения второго порядка с гистерезисом в критическом случае
В диссертационной работе поставленная Леоновым задача решена в общем виде без указанных выше предположений.
Целью диссертационной работы является:
1) Разработка нового, простого алгоритма стационарной стабилизации по состоянию линейной стационарной управляемой системы.
2) Выяснение возможностей линейной обратной связи с запаздыванием для стабилизации неустойчивых линейных стационарных управляемых систем.
3) Выяснение вопроса, каковым должен быть коэффициент усиления в обратной связи с запаздыванием, что обеспечить эффект Пирагоса для стабилизации хаоса.
4) Получение эффективных частотных критериев устойчивости и стабилизации систем с гистерезисом. 5) Проведение нелокального анализа переходного процесса в динамической системе «машина-регулятор Уатта».
В соответствии с целью в работе поставлены и решены следующее задачи: - построение нового, простого, алгоритма для стабилизации по состоянию линейных стационарных управляемых систем; - получение необходимых и достаточных условий стабилизируемости двумерных и трехмерных линейных систем обратной связью с запаздыванием; - получение эффективно проверяемых частотных критериев устойчивости и стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями; - проведение нелокального анализа переходного процесса при включении динамической системе «машина-регулятор Уатта».
В диссертационной работе применяются методы теории управления конечномерными линейными объектами, методы линейной- теории устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, модифицированные частотные методы исследования устойчивости нелинейных систем, модифицированный метод функций Ляпунова, методы классической теории устойчивости.
В диссертационной работе получены новые научные результаты. В ней: 1) Разработан новый, простой, алгоритм стабилизации по состоянию линейных стационарных управляемых систем. 2) Получены новые необходимые и достаточные условия стабилизируемости двумерных и трехмерных линейных управляемых систем обратной связью с запаздыванием двух видов: обычной и по Пирагосу. 3) Получен новый частотный критерий стабилизации при помощи внешнего гармонического воздействия автономных нелинейных систем, допускающих, в частности, хаотическое поведение. 4) Получены новые эффективные частотные критерии глобальной асимптотики, абсолютной устойчивости и дихотомичности дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями. 5) Получено новое достаточное (близкое в некотором смысле к необходимому) условие асимптотической устойчивости динамической системы «машина-регулятор Уатта».
Результаты, полученные в диссертационной работе достоверны и обоснованны, они математически строго доказаны. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены: 1) При проектировании, анализе и синтезе линейных систем управления, при стабилизации хаоса в различных физических и химических системах, в частности, в электронных осцилляторах и лазерных системах. 2) В различных технических системах с гистерезисом, при проектировании энергоустановок, в частности, турбогенераторов. 3) В учебном процессе при изучении курсов «Дифференциальные уравнения», «Математическое моделирование», а также при написании курсовых и дипломных работ. Диссертация состоит из настоящего введения, семи глав, заключения и библиографического списка.
В первой главе формулируются основные определения и приводятся основные факты и положения из теории линейных управляемых систем, теории устойчивости линейных систем с запаздывающим аргументом, теории абсолютной устойчивости систем с гистерезисными нелинейностями, используемые в последующих главах.
Во второй главе проводится исследование устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с гистерезисной нелинейностью. Здесь рассматриваются вопросы глобальной асимптотической устойчивости, абсолютной устойчивости и дихотомичности дифференциальных систем с гистерезисом в случае, когда матрица линейной части системы гурвицева (некритический случай). Получены новые частотные критерии устойчивости и дихотомичности систем. Гистерезисные функции, входящие в рассматриваемые системы, могут содержать в отличие от рассматривавшихся в литературе случаев несколько петель, которые обходятся в различных направлениях. На конкретном примере проведен сравнительный анализ полученных результатов с ранее известными. Показано, что в пространстве параметров полученное нами частотное условие выделяет большую область устойчивости, чем известное ранее частотное условие [68]. В доказательствах соответствующих утверждений используются идеи и модифицированные методы работ В.А. Якубовича [65-71], Н.Е. Барабанова, В.А. Якубовича [68], Г.А. Леонова [77], А.Х. Гелига [64] и др.
Доказательство основной теоремы о стабилизации
В третьей главе рассматриваются вопросы устойчивости дифференциальных систем с гистерезисом в критическом случае, когда матрица линейной части системы имеет одно нулевое собственное значение, а остальные собственные значения расположены в левой полуплоскости плоскости комплексного переменного. Здесь, как и в предыдущей главе, получены новые частотные условия глобальной асимптотики, абсолютной устойчивости и дихотомичности систем. Как во второй, так и в третьей главах рассматриваются два типичных класса гистерезисных функций, удовлетворяющих «условиям секториальности» в том или ином смысле. В качестве примеров рассматриваются дифференциальное уравйение второго порядка и двумерная дифференциальная система с гистерезисом.
В четвертой главе рассматривается задача о стабилизации дифференциальных систем с гистерезисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием. Здесь получен частотный критерий гармонической стабилизации систем с гистерезисом. Этот критерий может быть применен к анализу захватывания как автоколебаний, так и хаотических режимов. Полученный частотный критерий обобщает на системы с гистерезисными функциями ранее известный критерий Леонова о стабилизации системы с однозначной непрерывно дифференцируемой функцией [78]. В качестве примеров рассмотрены задача о стабилизации автогенератора с гистерезисом и автогенератора радиодиапазона с гистерезисом.
В пятой главе разрабатывается новый алгоритм стабилизации линейных систем управления. Здесь дано новое, элементарное, доказательство теоремы о стабилизации линейного объекта управления по полному выходу. В ходе доказательства теоремы дан конструктивный метод построения стабилизирующего регулятора, дающего к тому же заданное расположение корней характеристического полинома (задача о размещении полюсов - «pole assignment problem»). Предложенный алгоритм построения стабилизирующей матрицы является наиболее простым и «экономным» из существующих, он удобен и эффективен с вычислительной точки зрения и предполагает лишь повторение по существу одной единственной операции -приведения матрицы к диагональному виду (например, к жордановой нормальной форме). Вместе с элементарным доказательством теоремы о приведении матрицы к жордановой нормальной форме, данным А.Ф. Филипповым [79], предложенное нами доказательство теоремы о стабилизации является элементарным в полном смысле слова.
В шестой главе разрабатываются алгоритмы стабилизации для двумерных и трехмерных линейных стационарных управляемых систем с помощью обратной связи с запаздыванием. Как было выше сказано, мотивацией к исследованию стабилизации путем введения запаздывания в обратную связь явились компьютерные эксперименты К. Пирагоса (К. Pyragas) по стабилизации хаоса. Здесь получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости неустойчивых двумерных и трехмерных систем с постоянными коэффициентами путем введения обратной связи с запаздыванием. Рассматриваются два вида запаздывания в обратной связи: обычная и по Пирагосу. Доказанные теоремы в целом хорошо иллюстрируют эффективность введения запаздывания в обратной связи для стабилизации линейных управляемых систем. Они позволяют сделать вывод о возможностях линейной стационарной обратной связи с запаздыванием для стабилизации линейных неустойчивых стационарных систем. Оказывается, что как для обычной обратной связи с запаздыванием, так и для обратной связи по Пирагосу линейная система в седловом случае (а именно, когда на вещественной полуоси имеется нечетное число собственных чисел) не является стабилизируемой ни при каком постоянном коэффициенте усиления и ни при каком запаздывании. Поэтому для обеспечения эффекта Пирагоса необходимо ввести зависящий от времени коэффициент усиления в обратной связи.
В седьмой главе рассматривается задача о стабилизации динамической системы «машина-регулятор Уатта». Доказаны теоремы об асимптотической устойчивости положения равновесия системы, дающие также оценку снизу области притяжения в фазовом пространстве. Здесь также проводится нелокальный анализ переходного процесса. Рассматривается и случай, когда коэффициент трения возмущается «белым» шумом. Доказаны соответствующие теоремы об устойчивости по вероятности. Нелинейности, входящие в управления, опис вающие динамику работы системы, принадлежат классу функций, не рассматривавшиеся ранее в литературе. На нелинейные функции, как правило, накладывалось условие «секторального типа»- график той или иной нелинейной функции должен лежать в некотором секторе, содержащемся в первой и второй координатных четвертях. Помимо этого, эти функции должны были подчиняться обобщенным в какой-либо форме условиям Рауса-Гурвица. Рассматриваемые же нами нелинейности таковы (они квадратичного типа), что они не удовлетворяют указанным выше условиям. Для исследования рассматриваемой системы применяется специальный прием, использующий модифицированный метод функций Ляпунова.
Результаты исследований нашли свое применение в работах по выполнению Программы фундаментальных исследований Президиума РАН №19 «Управление механическими системами (проект № 1.4), по гранту РФФИ (проект № 04-01-00-250А), по программе «Университеты России», по гранту НШ-2257.2003.1 Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ, в лаборатории «Интел» при Санкт-Петербургском государственном университете и в учебном процессе Адыгейского государственного университета.
