Содержание к диссертации
Введение
1. Стабилизация ограниченным управлением . 8
1.1. Линейные системы 8
1.2. Глобальная стабилизация нелинейных систем 10
1.2.1. Устойчивые системы 10
1.2.2. Масштабирование управления 11
1.2.3. Функции Ляпунова для систем с управлением . 17
1.2.4. Метод обратного хода 19
1.3. Стабилизация нелинейных систем в большом 22
1.4. Выводы 26
2. Стабилизация аффинных систем со скалярным управлением 27
2.1. Аффинные системы со скалярным управлением 27
2.2. Семейства управлений и функций Ляпунова 28
2.3. Учет ограничения на управление 36
2.4. Глобальная стабилизация 37
2.5. Стабилизация в большом 44
2.6. Сравнительный анализ методов стабилизации 50
2.7. Учет линейных слагаемых 68
2.8. Выводы 73
3. Стабилизация аффинных систем с векторным управлением 74
3.1. Аффинные системы с векторным управлением 74
3.2. Глобальная стабилизация 76
3.3. Стабилизация в большом 79
3.4. Стабилизация углового положения космического аппарата 82
3.5. Выводы 89
4. Синтез ограниченного управления с помощью семейств функций Ляпунова 90
4.1. Масштабирование управления 90
4.2. Построение ограниченного управления 93
4.3. Выводы 98
Выводы 99
Список литературы 100
- Масштабирование управления
- Семейства управлений и функций Ляпунова
- Глобальная стабилизация
- Построение ограниченного управления
Введение к работе
Одной из задач, рассматриваемых теорией управления, является задача стабилизации положения равновесия. Она заключается в поиске управления в виде обратной связи по состоянию, при подстановке которого в систему положение равновесия становилось бы асимптотически устойчивым. В технических приложениях величина управления является ограниченной по модулю или по компонентам. Поэтому представляет интерес решение задачи стабилизации с учетом этих ограничений на управление.
Во многих случаях удается получить управление, стабилизирующее положение равновесия лишь локально, и возникает задача оценки области стабилизируемости при наличии ограничений на управление.
Другой задачей является построение обратной связи, стабилизирующей положение равновесия глобально. Однако при наличии ограничений на управление существующие методы глобальной стабилизации применимы лишь к узким классам систем.
Наиболее значительные результаты по глобальной стабилизации ограниченным управлением получены для линейных систем [1-4,19,21]. Для линейной системы ограниченное, глобально стабилизирующее управление существует тогда и только тогда, когда система стабилизируема и действительные части собственных чисел матрицы системы неположительны, и известен метод построения такого управления[1].
Для нелинейных систем получены более частные результаты. Методы решения задачи стабилизации ограниченным управлением для нелинейных систем можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы построения глобально стабилизирующего управления, т.е. методы получения обратной связи, стабилизирующей систему при любых начальных условиях. Ко второй группе относятся методы стабилизации в большом, т.е. методы получения обратной связи, стабилизирующей систему для начальных условий из некоторой области, и получения оценки этой области.
В отличии от линейного случая, для нелинейных систем неизвестен критерий глобальной стабилизируемости ограниченным управлением. В работах, посвященных глобальной стабилизации, приводятся
разные достаточные условия, при выполнении которых можно построить ограниченное, глобально стабилизирующее управление. При этом предлагаемые методы обычно применимы к довольно узким классам нелинейных систем.
Например, метод предлагаемый в статье [22], применим для аффинных систем со скалярным управлением, в правые части которых особым образом входят только однородные функции. В [13] рассматривается метод, в котором для построения ограниченного, глобально стабилизирующего управления используются функции Ляпунова со специальными свойствами. Применимость данного метода ограничена классом систем, для которых удается найти функцию Ляпунова с такими свойствами. В [18] предлагается модификация метода обратного хода, которая обеспечивает ограниченность управления. Однако этот метод применим только для систем, которые приводятся к специальному виду, необходимому для построения стабилизирующей обратной связи методом обратного хода, и удовлетворяют жестким условиям, обеспечивающим ограниченность полученного управления.
Таким образом, в настоящее время задача глобальной стабилизации нелинейных систем ограниченным управлением решена лишь для узких классов систем. Поэтому представляет интерес разработка новых методов глобальной стабилизации и расширение классов нелинейных систем, допускающих такую стабилизацию.
В отличии от задачи глобальной стабилизации, задача стабилизации в большом при наличии ограничений на управление может быть решена для достаточно широкого класса нелинейных систем [5, 8, 20]. В большинстве таких методов для оценки области стабилизируемости используется аппарат функций Ляпунова. При этом оценка ищется в виде области, ограниченной поверхностью уровня функции Ляпунова. Различные методы отличаются способами построения ограниченного управления и выбора функции Ляпунова.
Важным критерием для сравнения различных методов является объем области стабилизируемости. Среди существующих методов не удается выделить метод, который давал бы больший объем области стабилизируемости для всех систем. Поэтому представляет интерес получение новых методов стабилизации в большом, которые могут дать
лучшую оценку области стабилизируемости для определенных классов систем.
Целью работы является разработка методов построения ограниченных обратных связей, позволяющих глобально или в большом стабилизировать положение рановесия аффинных систем, а также методов оценки области стабилизируемости.
Методы исследования
В диссертации применяются методы дифференциальных уравнений, теории устойчивости, дифференциальной геометрии и геометрической теории управления.
Научная новизна
Для аффинных систем, допускающих преобразование к регулярному каноническому виду, разработан метод стабилизации ограниченным управлением. Получены условия применимости разработанного метода для глобальной стабилизации и стабилизации в большом.
Решена задача стабилизации в большом с помощью ограниченного управления для систем Ван-Дер-Поля, Ресслера и для системы, описывающей угловое движение космического аппарата вокруг центра масс.
На примере системы Ресслера проведен сравнительный анализ оценок областей стабилизируемости, полученных предлагаемым методом и другими методами стабилизации в большом.
Для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих преобразование к нерегулярному каноническому виду, предложен метод синтеза ограниченного управления. Получены условия, при выполнении которых построенное управление позволяет для любых начальных условий привести систему в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.
Полученные результаты являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность
Результаты, полученные в диссертации, позволяют решать задачи глобальной стабилизации или стабилизации в большом для аффинных систем с помощью ограниченной обратной связи, а также получать оценки области стабилизируемости. Полученные стабилизирующие управления позволяют учитывать ограничения, допускают оценку
области стабилизируемости, и могут быть использованы в технических приложениях.
На защиту выносится:
полученные семейства стабилизирующих управлений и функций Ляпунова для линейных систем с нулевыми собственными числами и способ обеспечения выполнения ограничения на управление;
метод синтеза ограниченной обратной связи для аффинных систем, допускающих преобразование к регулярному каноническому виду, и условия его применимости для глобальной стабилизации и стабилизации в большом;
метод синтеза ограниченной обратной связи для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих преобразование к нерегулярному каноническому виду, и условия, при выполнении которых полученное управление для любых начальных условий приводит траекторию системы в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.
Апробация результатов работы
Результаты диссертационной работы докладывались автором на VI международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" в ИПУ РАН в 2000 г., на Всероссийском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" на факультете ВМК МГУ в 2003 г, на одинадцатой международной конференции "Математика, компьютер, образование" в 2004 г.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [28, 29, 30, 32] и 2 тезисах выступлений на конференции [31, 33].
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 103 страницах, содержит 58 рисунков. Библиография содержит 33 наименования.
Масштабирование управления
Одной из задач, рассматриваемых теорией управления, является задача стабилизации положения равновесия. Она заключается в поиске управления в виде обратной связи по состоянию, при подстановке которого в систему положение равновесия становилось бы асимптотически устойчивым. В технических приложениях величина управления является ограниченной по модулю или по компонентам. Поэтому представляет интерес решение задачи стабилизации с учетом этих ограничений на управление.
Во многих случаях удается получить управление, стабилизирующее положение равновесия лишь локально, и возникает задача оценки области стабилизируемости при наличии ограничений на управление.
Другой задачей является построение обратной связи, стабилизирующей положение равновесия глобально. Однако при наличии ограничений на управление существующие методы глобальной стабилизации применимы лишь к узким классам систем.
Наиболее значительные результаты по глобальной стабилизации ограниченным управлением получены для линейных систем [1-4,19,21]. Для линейной системы ограниченное, глобально стабилизирующее управление существует тогда и только тогда, когда система стабилизируема и действительные части собственных чисел матрицы системы неположительны, и известен метод построения такого управления[1].
Для нелинейных систем получены более частные результаты. Методы решения задачи стабилизации ограниченным управлением для нелинейных систем можно разделить на две группы. К первой группе относятся методы построения глобально стабилизирующего управления, т.е. методы получения обратной связи, стабилизирующей систему при любых начальных условиях. Ко второй группе относятся методы стабилизации в большом, т.е. методы получения обратной связи, стабилизирующей систему для начальных условий из некоторой области, и получения оценки этой области.
В отличии от линейного случая, для нелинейных систем неизвестен критерий глобальной стабилизируемости ограниченным управлением. В работах, посвященных глобальной стабилизации, приводятся разные достаточные условия, при выполнении которых можно построить ограниченное, глобально стабилизирующее управление. При этом предлагаемые методы обычно применимы к довольно узким классам нелинейных систем.
Например, метод предлагаемый в статье [22], применим для аффинных систем со скалярным управлением, в правые части которых особым образом входят только однородные функции. В [13] рассматривается метод, в котором для построения ограниченного, глобально стабилизирующего управления используются функции Ляпунова со специальными свойствами. Применимость данного метода ограничена классом систем, для которых удается найти функцию Ляпунова с такими свойствами. В [18] предлагается модификация метода обратного хода, которая обеспечивает ограниченность управления. Однако этот метод применим только для систем, которые приводятся к специальному виду, необходимому для построения стабилизирующей обратной связи методом обратного хода, и удовлетворяют жестким условиям, обеспечивающим ограниченность полученного управления.
Таким образом, в настоящее время задача глобальной стабилизации нелинейных систем ограниченным управлением решена лишь для узких классов систем. Поэтому представляет интерес разработка новых методов глобальной стабилизации и расширение классов нелинейных систем, допускающих такую стабилизацию.
В отличии от задачи глобальной стабилизации, задача стабилизации в большом при наличии ограничений на управление может быть решена для достаточно широкого класса нелинейных систем [5, 8, 20]. В большинстве таких методов для оценки области стабилизируемости используется аппарат функций Ляпунова. При этом оценка ищется в виде области, ограниченной поверхностью уровня функции Ляпунова. Различные методы отличаются способами построения ограниченного управления и выбора функции Ляпунова.
Важным критерием для сравнения различных методов является объем области стабилизируемости. Среди существующих методов не удается выделить метод, который давал бы больший объем области стабилизируемости для всех систем. Поэтому представляет интерес получение новых методов стабилизации в большом, которые могут дать лучшую оценку области стабилизируемости для определенных классов систем.
Целью работы является разработка методов построения ограниченных обратных связей, позволяющих глобально или в большом стабилизировать положение рановесия аффинных систем, а также методов оценки области стабилизируемости. Методы исследования В диссертации применяются методы дифференциальных уравнений, теории устойчивости, дифференциальной геометрии и геометрической теории управления. Научная новизна Для аффинных систем, допускающих преобразование к регулярному каноническому виду, разработан метод стабилизации ограниченным управлением. Получены условия применимости разработанного метода для глобальной стабилизации и стабилизации в большом. Решена задача стабилизации в большом с помощью ограниченного управления для систем Ван-Дер-Поля, Ресслера и для системы, описывающей угловое движение космического аппарата вокруг центра масс. На примере системы Ресслера проведен сравнительный анализ оценок областей стабилизируемости, полученных предлагаемым методом и другими методами стабилизации в большом. Для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих преобразование к нерегулярному каноническому виду, предложен метод синтеза ограниченного управления. Получены условия, при выполнении которых построенное управление позволяет для любых начальных условий привести систему в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.
Семейства управлений и функций Ляпунова
В статьях приводятся условия, при выполнении которых существует замена переменных z — Ф(ж), такая что в новых переменных система (1.36) примет вид При w (z) 1 система (1.37) с управлением (1.38) является линейной. Ее собственные значения определяются коэффициентами ki. Если выбрать эти коэффициенты таким образом, чтобы матрица замкнутой системы имела собственные числа с отрицательной действительной частью, то система станет асимптотически устойчивой. Следовательно, управление (1.38) будет стабилизирующим в некоторой окрестности начала координат.
Для получения оценки области стабилизируемости предлагается воспользоваться методом функций Ляпунова. Так как система (1.37) с управлением (1.38) является линейной при w(z) 1? то для нее можно найти функцию Ляпунова в виде квадратичной формы V(z), имеющую отрицательную производную в силу системы в некоторой окрестности точки х = 0. В качестве оценки области стабилизируемости предлагается множество S = {zV(z) С}, где С — min Таким образом, переходя к исходным переменным, получаем стабилизирующее управление й(х) = й(Ф(х)) и оценку области стабилизируемости S = {х\У(Ф(х)) С} для системы (1.36).
При использовании данного метода также имеется возможность улучшения оценки области стабилизируемости за счет подбора коэффициентов квадратичной функции Ляпунова V(z) и коэффициентов обратной связи /.
Для задачи глобальной стабилизации известны различные достаточные условия ее разрешимости и методы построения стабилизирующего ограниченного управления. Однако каждый метод позволяет найти решение лишь для определенного класса систем. Задача стабилизации в большом в классе ограниченных управлений может быть решена для более широкого класса систем. Однако получаемая при этом оценка области стабилизируемости может оказаться недостаточно большой, а методы улучшения оценки весьма трудоемки. Поэтому актуальной является проблема разработки методов решения задачи стабилизации в классе ограниченных управлений.
Рассматривается задача стабилизации аффинных систем со скалярным управлением, приводимых к специальному виду, допускающему линеаризацию обратной связью. Для стабилизации линеаризованной системы используется метод масштабирования управления. Для метода масштабирования рассматривается возможность получения семейств управления и функций Ляпунова в более простом виде, а также обеспечения ограниченности управления.
Предлагаемый метод используется для решения задачи глобальной стабилизации и стабилизации в большом. Приводятся примеры применения предлагаемого подхода.
Глобальная стабилизация
На рис. 2.30 показана траектория системы для начальных условий z = (4,479; -13,997; 13,995)т. Нарис. 2.31 — 2.34 показана зависимость переменных системы и управления от времени.
Таким образом, для системы Ресслера метод обратного хода дает худшую оценку области стабилизируемости, чем предыдущие два метода, дающие сходную оценку. Объем области стабилизируемости, полученный с помощью предлагаемого метода, всего на 6% меньше лучшего из полученных результатов.
Рассмотрим снова метод оценивания области стабилизируемости, основанный на теореме 2.3. Выполнение условий этой теоремы гарантирует, что управление (2.14) будет удовлетворять ограничению. Фактически, теорема 2.3 дает гарантированный результат для худшего случая, когда в (2.14) слагаемые w и / имеют разный знак. Однако, может иметь место случай, когда слагаемые w и / имеют одинаковый знак, и разность w—f мала, хотя сами слагаемые велики. При этом может выполняться ограничение на управление, но не выполняться условия теоремы 2.3. Следовательно, при построении оценки на основании теоремы 2.3 происходит занижение величины области стабилизируемости. Кроме того, занижение оценки происходит вследствие "вписывания" оценки U в множество U, на котором выполняются условия теоремы 2.3.
Для системы Ресслера, закнутой управлением, был проведен численный эксперимент, имеющий целью установить степень влияния вышеназванных факторов на оценку области стабилизируемости. Эксперимент проводился следующим образом. Было сформировано множество начальных условий для системы Ресслера. Это множество формировалось из узлов сетки с постоянным шагом, покрывающей окрестность положения равновесия. Для каждого начального условия проводилось интегрирование системы до момнта времени t = 50. Интегрирование проводилось численно с относительной погрешностью Ю-6. Начальные условия, для которых выполнялось условие попадания в окрестность радиуса 0,001, т.е.
Построение ограниченного управления
Для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих приведение к нерегулярному каноническому виду, предложен метод синтеза ограниченного управления. Получены условия, при выполнении которых построенное управление позволяет для любых начальных условий привести систему в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.
В диссертации для линейных систем с нулевыми собственными числами получены семейства стабилизирующих управлений и функций Ляпунова для замкнутых систем. Решена задача стабилизации нулевого положения равновесия систем управлением, ограниченным заданной величиной.
Для аффинных систем со скалярным управлением, допускающих приведение к регулярному каноническому виду, предложен метод синтеза ограниченного стабилизирующего управления. Получены условия, при выполнении которых предложенный метод позволяет решить задачу глобальной стабилизации. Если полученные условия выполняются лишь на некотором множестве, то построенное управление позволяет решить задачу стабилизации в большом.
Полученный результат расширен на класс аффинных систем с векторным управлением, допускающих приведение к регулярному каноническому виду. С помощью предложенного метода решена задача стабилизации в большом углового положения космического аппарата.
Рассмотрен случай, когда аффинная система допускает приведение лишь к нерегулярному каноническому виду. Для таких систем предложен метод синтеза ограниченного управления. Получены условия, при выполнении которых построенное управление позволяет для любых начальных условий привести систему в окрестность положения равновесия, ограниченную заданной поверхностью уровня функции Ляпунова.
![Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс]](/i/i/4409/168295.png "Рациональное управление системой психологической помощи на основе медицинского мониторинга и организации психопрофилактического процесса [Электронный ресурс] Склярова Татьяна Петровна")
