Содержание к диссертации
Введение 7
Глава 1. Структура состояний непрерывных систем
с запаздываниями 32
1.1. Динамические системы 32
1.2. Эффект запаздывания 35
1.3. Пространство состояний систем с запаздываниями 38
1.4. Минимальное пространство состояний систем с сосредоточенными и соизмеримыми запаздываниями
1.5. Конечномерная аппроксимация систем с сосредоточенными запаздываниями 54
Глава 2. Спектральная декомпозиция конечномерных систем 60
2.1. Моды конечномерных систем 60
2.2. Подсистемы 68
2.3. Сущность спектральной декомпозиции 72
2.4. Атомарные подсистемы 77
2.5. Спектральное разложение рациональных передаточных матриц 82
Глава 3. Спектр систем с запаздываниями 89
3.1. Свойства спектра систем с запаздываниями 89
3.2. Вычисление асимптотических корней квазиполиномов 93
3.3. Метод решения проблемы Гурвица для квазиполиномов 96
3.4. Вычисление корней квазиполинома в заданной области комплексной плоскости 99
Глава 4. Последействие в системах с запаздываниями 105
4.1. Принцип замещения начального состояния эквивалентным возмущающим воздействием 105
4.2. Параметры эффекта последействия 110
4.3. Динамические системы с конечной памятью по выходу 116
Глава 5. Спектральная декомпозиция систем с запаздываниями 126
5.1. Схема спектральной декомпозиции систем с конечным спектром 126
5.2. Системы с запаздывающими входами и выходами 137
5.3. Схема спектральной декомпозиции систем с бесконечным спектром 139
5.4. Структурные свойства атомарных подсистем 150
5.5. Системы с распределенными запаздываниями 157
5.6. Выделение конечномерной доминирующей подсистемы 159
5.7. Аналог из теории аналитических функций - теорема Миттаг-Леффлера 164
Глава 6. Наблюдаемость и управляемость систем с запаздываниями 167
6.1. Задачи наблюдения и детектирования 167
6.2. Критерий полной наблюдаемости систем с запаздываниями 171
6.3. Наблюдаемость атомарных подсистем 173
6.4. Критерий детектируемости систем с запаздываниями 177
6.5. Свойства управляемости и стабилизируем ости 178
6.6. Критерий полной управляемости систем с запаздываниями 182
6.7. Управляемость атомарных подсистем 185
6.8. Критерий стабилизируем ости систем с запаздываниями 187
Глава 7. Непрерывная динамическая компенсация запаздываний 189
7.1. Идея компенсации запаздываний 189
7.2. Упреждение 196
7.3. Спектральный метод синтеза астатических упредителей 209
7.4. Компенсационно-наблюдательная схема регулирования 217
7.5. Параллельная компенсация запаздываний 222
7.6. Компенсация запаздываний в объектах с бесконечным спектром 23 5
Глава 8. Модальное управление 239
8.1. Модальное управление объектами с запаздываниями 239
8.2. Многообразия решений задачи модального управления конечномерными объектами 247
Глава 9. Спектральная декомпозиция процессов импульсного регулирования 269
9.1. Импульсное регулирование 269
9.2. Дискретизация уравнений динамики объектов с запаздываниями 272
9.3. Импульсная компенсация запаздываний 282
Заключение 293
Литература 299
Приложение 1. Библиографические комментарии к главам диссертации 328
П. 1.1. Дифференциальные уравнения в банановых пространствах 328
П. 1.2. Системы с банановым пространством состояний 329
П. 1.3. К вопросу о спектральной декомпозиции систем с запаздываниями 330
П. 1.4. Процессы наблюдения в системах с запаздываниями 330
П. 1.5. Процессы управления в системах с запаздываниями 331
П. 1.6. Обзор классических схем компенсации запаздываний 335
Литература к приложению 1 339
Приложение 2. Спектральный метод минимальной реализации рациональных передаточных матриц 344
Литература к приложению 2 352
Приложение 3. Спектральная декомпозиция в задачах АКОР 353
П.3.1. Идея сведения задачи АКОР к вариационной задаче на безусловный экстремум 353
П.3.2. АКОР для конечномерных объектов 355
П.3.3. АКОР для объектов с запаздываниями 366
Литература к приложению 3 368
Приложение 4. Спектральный анализ и модальная аппроксимация динамических процессов
в некоторых волновых системах 370
П.4.1. Базовая физическая модель - линейная электрическая цепь с распределенными параметрами 370
П.4.2. Спектральный анализ переходных процессов в мощных ленточных конвейерах 380
П.4.3. Некоторые другие волновые системы 386
Литература к приложению 4 390
Приложение 5. Некоторые прикладные аспекты компенсации запаздываний 392
П.5.1. Практические примеры объектов регулирования с запаздываниями 392
П.5.2. Проточные аппараты химической промышленности как объекты регулирования 394
П.5.3. О грубости систем регулирования с компенсаторами запаздываний 3 99
П.5.4. Импульсное регулирование с двойным квантованием времени 406
Литература к приложению 5 409
Приложение б. Запаздывание грузопотоков при поточном транспортировании сыпучих материалов 411
П.6.1. Специфика задач управления грузопотоками при поточном транспортировании сыпучих материалов 411
П.6.2. Упреждающее управление грузопотоками на сборном участке конвейерной линии, содержащем несколько бункеров 412
Литература к приложению 6 417
Приложение 7. Технические материалы по внедрению результатов диссертационной работы 418
Введение к работе
1. Автоматизация является одним из основных направлений научно-технического прогресса. Во многих сферах применения автоматики (см., к примеру, [236, 54, 55, 180, 48, 244, 222, 161, 71], а также материал приложений 5, 6 диссертации) приходится сталкиваться с транспортным запаздыванием материальных, энергетических и информационных потоков: в промышленности (химическое, металлургическое, нефтехимическое производство, горнодобывающая промышленность и др.) и энергетике, на транспорте, в различных областях техники (авиационная, космическая, военная и др.). Влияние запаздываний в объекте автоматизации на функционирование системы управления может быть весьма велико и давать негативные результаты: ухудшать качество (эффективность) процессов управления, приводить к потери устойчивости и работоспособности системы, препятствовать или затруднять достижению поставленной цели управления (см., например, [109, 48, 161]). Поэтому фактор запаздывания необходимо учитывать при разработке автоматических систем разного типа: систем регулирования, стабилизации, слежения, терминального управления.
Заметим, что звено чистого запаздывания выделено в типовое звено структурных схем автоматических систем - это свидетельствует о большой роли фактора запаздывания в автоматике. Он значительно усложняет динамику процессов управления, существенно затрудняет расчеты и проектирование автоматических систем. Таким образом, развитие автоматики неизбежно актуализирует исследования в области автоматического управления объектами с запаздываниями. 2. Изложим общую ретроспективу исследований динамических процессов с запаздываниями.
Математическим аппаратом описания непрерывных систем с запаздываниями являются дифференциальные уравнения с последействием.
Использование уравнений с последействием приводит к более адекватным математическим моделям различных физических, технических,биологических и социально-экономических систем.
Дифференциальные уравнения с последействием (которые также называют дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом) содержат неизвестную функцию и ее производные при различных значениях аргумента. Такие уравнения имеют запаздывающий тип (иначе называются уравнениями с запаздывающим аргументом), если величина старшей производной в текущий момент времени определяется значениями младших производных в предшествующие моменты времени.
Отдельные дифференциальные уравнения с последействием встречались еще в работах Л. Эйлера, однако их систематическое изучение, как отмечается в [240], началось лишь в XX веке в связи с потребностями прикладных наук и в первую очередь теории автоматического регулирования.
Достаточно полное представление о становлении и развитии теории дифференциальных уравнений с последействием дают книги А.Д. Мыш-киса [135] (1972), Л.Э. Эльсгольца и С.Б.Норкина [240, 138, 241] (1964, 1965, 1971), Э.Пинни [146] (1961), Р.Беллмана и К.Кука [16] (1967), В.Б. Колмановского и В.Р.Носова [73] (1981), Дж.Хейла [224] (1984), В.Г. Курбатова [95] (1990), наряду с приведенной в них обширной библиографией. Она является общим теоретическим фундаментом при построении специальных теорий, исследующих системы с последействием.
В теории автоматических систем первой работой, посвященной системам с запаздыванием (с "мертвым временем"), принято считать работу Коллендера (A. Kallender) и Стивенсона (A.G. Stevenson), вышедшую в свет в 1936 г. [276]. В ней рассматривается линейная система автоматического регулирования, применяемая в химической промышленности. Основной результат работы состоит в утверждении, что запаздывание может привести к неустойчивости системы. Почти в тоже время в обзорной статье [324], опубликованной в журнале «Engineer», подчеркивалось противоположное утверждение, что запаздывание может оказывать стабилизирующее влияние на систему автоматического регулирования. Среди ранних работ, посвященных управлению объектами с запаздываниями выделим статьи Н. Минорского (N. Minorsky) [296, 297].
Следует подчеркнуть большой вклад отечественных ученых в развитие теории управления объектами с запаздываниями. Ее становление можно проследить по статьям в журнале «Автоматика и телемеханика» и связано с работами Д.А. Виккера [32] (1937 г.), П.С. Кощеева [82] (1940 г.), В.В. Солодовникова [168] (1941г.), А.А.Андронова и А.Г. Майера [6] (1946 г.), Я.З.Цыпкина [227-231] (1946-1949 гг.), М.В.Меерова [126] (1953 г.) и др. Среди ранних отечественных работ в области регулирования объектов с запаздываниями отметим статью Р.К.Горелика [45] (1939г.) и диссертацию Ю.Г. Корнилова [79] (1940 г.).
Наряду с теорией автоматического управления процессы с последействием являются объектами исследования теории колебаний, теории устойчивости движения, математической теории оптимальных процессов, математической теории систем. Д. Сю и А. Меер [177, стр. 15] справедливо отмечают: "теория автоматического управления неуклонно развивается за счет совершенствования ее математического аппарата. ... В настоящее время в теории управления наблюдаются две наиболее характерные тенденции: это все возрастающий интерес инженеров к отдельным разделам математики и усиливающийся интерес самих математиков к задачам управления. Появляется большое число публикаций, связанных с задачами управления, представляющих самостоятельный интерес для математиков". • Колебания в системах с последействием (осцилляции, асимптотическое поведение решений, автоколебания) рассматриваются в книгах В.П. Рубаника [159], Р.Г. Коплатадзе и Т.А. Чантурия [78], В.Н. Шевело [238], Ю.А. Митропольского и Д.И. Мартынюка [131, 132], Ю.С. Колесова и Д.И. Швитры [72]. Там же приведена соответствующая библиография.
К настоящему времени насчитывается большое число монографий и учебных пособий, специально посвященных системам с последействием. Наряду с упомянутыми выше сюда относятся также монографии Драйвера (R.D. Driver) [261], Огюсторели (M.N. Oguztoreli) [300], Г.Л. Харатишвили [220], Г.Л. Харатишвили, З.А. Мачаидзе, Н.И. Маркозашвили, Т.А. Таду-мадзе [221], X. Турецкого [48], Р.Т. Янушевского [244], Ф.М. Кирилловой и В.М.Марченко [69], Маршала (J.E.Marshall) [292], А.И. Астровского, В.В. Мулярчика, Б.Ш.Шкляра [13], В.Резвана [153], А.П.Жабко, Н.В.Зубова, А.В.Прасолова [57], A.M.Цыкунова [226], М.Д.Марданова [117], Малека-Заварея (Malek-Zavarei) и Джамшиди (М.Jamshidi) [290], Е.А.Андреевой [4], В.Б. Колмановского и А.Д. Мышкиса [280], Е.А.Андреевой, В.Б. Кол-мановского, Л.Е. Шайхета [5], Хэйла (J.Hale) и Лунела (S. Lunel) [271]. Отметим также сборник [139]. Вместе с тем соответствующая проблематика фрагментарно рассматривается также в многочисленной учебной и монографической литературе, имеющей более широкие тематические рамки.
Проблема устойчивости движений является важнейшей для теории автоматического управления. Исследованием устойчивости систем с последействием занимались Л.Э. Эльсгольц, Хан (W. Harm), Н.Н. Красовс-кий, С.Н. Шиманов, Б.С. Разумихин, Ю.М. Репин, Хейл (J.K. Hale), Хала-най (A. Halanay), В.И. Рожков, Л.А. Животовский, A.M. Зверкин, В.И.Зубов, Резван (V. Rasvan) и др. Основные результаты в этой области и соответствующую библиографию можно найти в монографиях Н.Н. Красовс-кого [83], Р. Беллмана и К. Кука [16], В.П. Рубаника [159], Л.Э. Эльсгольца и С.Б.Норкина [241], А.Д. Мышкиса [135], X. Турецкого [48], В.А. Тышкевича [183], В.Б. Колмановского и В.Р. Носова [73], Дж. Хейла [224], В. Рез-вана [153], В.Д. Лекуса и В.Э. Ровинского [100].
Заметим, что при непосредственном переносе второго метода Ляпунова на уравнения с последействием теряется его общность в смысле исследования устойчивости, так как получаемые теоремы этого метода не допускают обращения [241]. Тем не менее в ряде случаев применение функций Ляпунова оказывается эффективным. Удачные модификации этого метода предложены Б.С. Разумихиным. Однако в общем случае более плодотворной является идея Н.Н. Красовского применения вместо функций Ляпунова обладающих аналогичными свойствами функционалов, получивших название функционалов Ляпунова-Красовского.
Анализ устойчивости линейных стационарных систем с запаздываниями связаны с проблемой Гурвица для квазиполиномов. Ей посвящены работы Л.С. Понтрягина [148, 149], В.Н.Капырина [65], Н.Г.Чеботарева и Н.Н. Меймана [237], Р. Беллмана и Дж. Данскина (J.M. Danskin) [249] и др.
На системы с запаздыванием практически без изменений переносятся формулировки частотных критериев Михайлова и Найквиста (см., книгу Л.С. Гноенского, Г.А. Каменского, Л.Э. Эльсгольца [43]). Соответствующие результаты составляют так называемый метод амплитудно-фазовых характеристик и впервые были получены Сатче (М. Satche) и ЯЗ. Цыпки-ным (см. [48, 227, 235]). В [137] Ю.И. Неймарк распространяет метод D-разбиения на системы с запаздываниями. Отметим также работы [23, 35].
В теории оптимальных систем с последействием можно выделить ряд направлений исследований, существенно различающихся постановкой решаемых задач по таким признакам как назначение системы (управление, наблюдение, адаптация), длительность ее функционирования (бесконечное, конечное с фиксированным и нефиксированным временем), динамика процессов (линейные, нелинейные), априорная информация о системе (детерминированные, стохастические, неопределенные), критерии качества (показатели точности, быстродействия, затрат ресурсов) и др., причем интерес представляют методы точного и приближенного решения задач оптимального управления и оценивания. Эта область оптимизации систем развивалась в работах Н.Н. Красовского, Г.Л. Харатишвили, И.А. Ожиганова, Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой, А.Б. Куржанского, Р.Т. Янушевского, A.M. Родионова, М.Е. Салуквадзе, В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Е.А. Андреевой, Л.Е. Шайхета, B.C. Карпова, В.М. Мазурова, Д.И. Малова, Халаная (A. Halanay), Огюсторели (M.N. Oguztoreli), Росса (D.W. Ross), Солимэна (М.А. Soliman), Рэя (W.H.Ray), Чанга (D.H. Chyung), Ли (E.B.Lee), Флюг-ге-Лотса (I. Flugge-Lotz), Дельфора (М.С. Delfour), Миттера (S.K. Mitter), Гесса (R.A. Hess), Хайда (J.C. Hjde) и др. Оптимальные системы с последействием рассмотрены в монографиях [4, 37, 48, 114, 161, 244].
Заметим, что из оптимизационных задач для теории автоматического регулирования наибольший интерес представляют задачи линейного быстродействия, ЛК-задача (синтез оптимальной линейной системы с квадратичным критерием) и ЛКГ-задача (синтез стохастической оптимальной линейной системы с квадратичным критерием и гауссовским шумом).
О современном уровне теоретической проработки ЛК-задачи дает представление недавняя работа [304].
Коренное изменение в методологии и проблематике теории автоматического управления связано со становлением во второй половине 50-х годов XX века, последующим развитием и широким распространением концепции и формализма пространства состояний динамических систем. Возникла самостоятельная научная дисциплина - математическая теория систем, в распространении и популяризации которой большую роль сыграли монографии Л. Заде и Ч. Дезоера [59], Р. Калмана, П. Фалба и М. Ар-биба [64], М. Месаровича и Я. Такахара [127]. Она определила магистральное направление современных исследований процессов управления, в связи с чем о тех годах можно говорить как о периоде смены парадигмы [91 ] (т.е. стиля научного мышления) в теории управления. К числу фундаментальных понятий теории систем относятся понятия управляемости и наблюдаемости. В силу эффекта последействия представляют интерес различные аспекты управляемости и наблюдаемости систем с запаздываниями, которые изучались в работах Н.Н. Красовского, Ю.С. Осипова, А.Б. Куржанского [85, 87, 142, 88], Л.С. Гноенского [42], Ф.М. Кирилловой и СВ. Чураковой [67, 68], Л.Е. Забелло и Т.Б. Копейкиной [58], В.И.Булатова [26, 27], В.М.Марченко, И.К. Асмыковича [121, 11, 122, 12], С.А. Минюка [130], Л.М. Купермана [93], Дельфора (М.С Delfor), Миттера (S.K. Mitter), Олброта (A.W. Olbrot), Мэнитиса (A.Z. Manitius) [257, 301, 302, 291], Бхэта (К.Р.М. Bhat) и Койво (H.N. Koivo) [250, 251], Сэлэмона (D. Salamon) [312] и др. (см. также материал пп. П. 1.4 и П. 1.5 приложения 1). Для практики автоматического управления наибольший интерес представляют свойства полной управляемости и наблюдаемости, спектральной управляемости, стабилизируемости и детектируемости (см. гл.6 и п. 8.1.3 диссертации). Отсутствие сложившейся концепции состояния систем с запаздываниями, несомненно, затрудняет понимание и использование этих свойств (см. гл. 1 диссертации).
Важной качественной характеристикой линейных стационарных процессов регулирования является их модальная структура (см. п. 2.1 диссертации). Модальные требования к системе регулирования лежат в основе постановок задач модального управления (см. гл. 8 диссертации).
Задачи модального управления объектами с запаздываниями рассматривались в работах Ю.С. Осипова [142], В.И.Булатова, Т.С. Калюж-ной, Р.Ф.Наумовича [25, 26], И.К. Асмыковича и В.М.Марченко [11, 12], Мэнитиса и Олброта [291] и др. (см. также библиографический комментарий в п. П.1.5 приложения 1). Однако в целом современный уровень теоретической проработки данного класса задач нельзя признать удовлетворительным.
Стоит также отметить, что в области линейного стационарного регулирования модальное управление является альтернативным по отношению к ЛК-управлению и во многих практических случаях является более предпочтительным поскольку имеет более ясный динамический смысл.
В цифровых автоматических системах осуществляется дискретизация управляющих и измерительных сигналов, причем управляющие воздействия имеют импульсную структуру. Их функционирование целесообразно описывать дискретными моделями, причем, как правило, адекватным является математический аппарат разностных уравнений. Отметим, что еще в работах 1949 г. [230, 231] ЯЗ. Цыпкин высказал мнение, что при наличии в системах постоянного запаздывания принцип прерывистого регулирования предпочтительнее принципа непрерывного регулирования.
Дискретные системы с запаздываниями представляют самостоятельную область исследований. По своей природе они являются конечномерными, в чем проявляется их принципиальное отличие от непрерывных систем. В связи с этим достижения детерминированной теории оптимизации дискретных систем (см., например, [104, 178, 62, 92, 144, 134]) посредством так называемого метода расширения координат вектора состояния [76, 108] прямо переносятся на системы с запаздываниями - фактор запаздывания приводит лишь к увеличению размерности решаемой задачи.
Оптимальным дискретным процессам управления объектами с запаздыванием посвящены работы В.В.Кондратьева, А.П.Млинника, А.П. Иванова [75, 76, 77], В.М. Мазурова и B.C. Карпова [108].
Основу теории автоматического управления составляют принципыи системотехнические идеи, направленные на проектирование эффективных автоматических систем с учетом реальных условий их функционирования. К числу таких принципов регулирования объектов с запаздываниями следует отнести принцип динамической компенсации запаздываний,суть которого заключается в том, чтобы предварительно исключить (компенсировать) влияние запаздываний на контур регулирования и далее решать задачу регулирования без учета фактора запаздывания. Первые схемы регулирования, ориентированные на компенсацию запаздывания посредством упреждения динамики объекта регулирования, предложены Смитом (O.J. Smith) [318, 319] и Бэссом (R.W. Bass) [248].
Идея Смита заключается в применении упредителя с целью предсказания значения выхода объекта на время запаздывания сигналов в нем. Упредитель Смита устроен весьма просто: содержит модель инерционной части объекта и звено задержки, моделирующее запаздывание.
В главе 7 диссертации (п. 7.1) дается анализ схемы упреждающего регулирования Смита и показываются ее принципиальные недостатки, сужающие область ее возможного применения. Упредитель Смита упреждает только лишь вынужденную составляющую выхода объекта, вызванную его реакцией на управляющий сигнал, и не учитывает состояние объекта. В сущности, в схеме Смита регулятор замыкается на модель инерционной части объекта, содержащейся в упредителе, и хотя таким путем запаздывание исключается из контура регулирования, но этот результат достигается регулированием по разомкнутому циклу. В итоге в модальной структуре регулируемого выхода системы будут присутствовать моды свободного объекта. Таким образом, схема регулирования Смита применима лишь к объектам, имеющим приемлемую степень устойчивости. Кроме этого упредитель Смита дает неправильное предсказание поведения объекта при действии на него постоянных возмущений, вследствие чего он непригоден для задач астатического регулирования.
Неослабевающий интерес к упредителям Смита подтверждают многие публикации, посвященных вопросам их применения и дальнейшего развития [14, 286, 327, 263, 310, 306, 245, 293, 259, 269, 260, 314, 275, 273, 277, 303, 40, 288, 289, 329, 330].
Компенсационные схемы Смита приводятся в монографиях и учебных пособиях [165, 54, 152,242,55,48, 111,222,73, 144,2, 166, 1,282,285, 294, 267, 140] и др. В п. П. 1.6 приложения 1 дан обзор некоторых классических схем компенсации запаздываний. В частности, в публикациях Бакли (P.S.Bukley) [14], Лапфера (D.E. Lupfer) и Оглесби (M.W. Oglesby) [286] обсуждается промышленное использование схемы Смита; Г.Е. Пухов и К.Д. Жук [152] распространяют ее на многосвязные по управлению объекты; Алевисакис (G. Alevisakis) и Се-борг (D.E. Seborg) [245] предложили ее модификацию для многоканальных объектов, имеющих запаздывания в каналах управления и измерения.
В [272, 326] показано, что упредитель Смита непригоден для объектов с нулевым передаточным полюсом, поскольку действие постоянных возмущений будет приводить к появлению статической ошибки регулирования. Именно это обстоятельство лежит в основе оригинальных модификаций схем Смита [326, 246, 295], направленных на обеспечение астатического регулирование объектов первого порядка интегрирующего типа.
Уатанабе (К. Watanabe) [326] первым получил удачное улучшение упредителя Смита. Схема регулирования Острема (K.J. Astrom), Ханга (С.С. Hang) и Лима (B.C.Lim) [246] является двухкаскадной, причем во втором каскаде, реагирующем на возмущающие воздействия, применяется конструкция упредителя Уатанабе. В интересной схеме Матазека (M.R. Matausek) и Мицика (А.А. Місіс) [295] достигается частичная компенсация запаздывания: оно исключается из процесса регулирования при переходе с одного установившегося режима на другой.
Тиано (Y.-C. Tian) и Гао (F. Gao) [325] предложили астатическую двухрегуляторную схему регулирования: один регулятор служит для отработки уставки, а другой - парирования внешних возмущений. В ней также как и в [295] реализована частичная компенсация запаздывания.
Весьма популярным в области оптимального по быстродействию управления объектами с запаздываниями является метод компенсации запаздывания, предложенный Р. Бэссом в 1956 г. [248]. В нем учитывается релейная структура управления, причем идея метода состоит в построении упреждающей поверхности (кривой для объектов второго порядка и ги 17
перповерхности, если порядок выше третьего) переключения как соответствующей изохроны по отношению к поверхности переключения того же объекта, но без запаздывания. Метод Бэсса, его развитие и модификации обсуждаются в монографиях А.В. Репникова [155], А.С.Клюева и B.C. Карпова [71], где приведена соответствующая библиография. Его недостаток - появление автоколебательного режима вблизи целевого состояния объекта. Метод применим и к системам релейного регулирования. Подобный подход, в частности, рассмотрен в работах Н.А. Королева [80], В.В. Макарова, В.М. Лохина и А.А. Петрыкина [110]. Отметим, что он подразумевает случай полной информации о фазовых координатах объекта.
Идеи компенсации западываний были восприняты и получили развитие также в области цифровой автоматики.
В [232] ЯЗ. Цыпкин рассматривает задачу устранения вредного влияния запаздывания в объекте на процессы импульсного регулирования. Однако его теоретические построения не учитывают возмущения начального состояния объекта. Позднее [233] он предложил цифровую компенсационную схему, являющуюся дискретным аналогом схемы Смита. Дискретная компенсационная схема Смита излагается в монографиях X. Турецкого [48], Р. Изермана [62], К. Острема и Б. Виттенмарка [144] и др.
Прямое распространение метода Смита на процессы цифрового регулирования предполагает кратность времени запаздывания в объекте интервалу квантования сигналов. В случае, если это условие не выполняется, Маршалл [293] предлагает вносить дополнительное "искусственное" запаздывание в канал управления. Ясно, что дискретным упредителям Смита свойственны те же недостатки, что и непрерывным.
На раннем этапе развития цифровых методов упреждающего регулирования весьма популярным был метод Далина - Хигема (E.B.Dahlin, J.R. Higham) независимо предложенный этими авторами в работах [256, 274]. Метод комментируется в [144]. Он основан на компенсации передаточных нулей и полюсов объекта и поэтому (см. [170]) неприемлем для неминимально-фазовых объектов, а также в случаях, когда у минимально-фазового объекта имеются полюса, близкие по модулю к единице.
В книге [158] описаны две схемы компенсации запаздывания в цифровой системе регулирования. В одной (п. 7.1) осуществляется компенсация передаточных полюсов объекта и поэтому она неприемлема для объектов, имеющих неустойчивые или слабозатухающие моды [170]. Кроме того, эта схема ориентирована лишь на линейные задачи регулирования. Вторая (п. 7.3) повторяет схему упреждающего регулирования Смита.
В [108, 71] изложен метод упреждения для дискретного объекта с запаздыванием для случая, когда все его фазовые координаты измеряются.
Актуальной является проблема построения робастных систем регулирования для объектов с запаздываниями [258, 262, 270, 278, 279, 281,283, 305, 307, 309, 321, 322, 323, 328, 299].
Ограничимся лишь комментарием к двум отечественным работам в этой области. В монографии [243], развивающей метод локализации А.С. Вострикова, который направлен на достижение свойства инвариантности системы регулирования к внешним и параметрическим возмущениям объекта, рассматривается вопрос компенсации влияния запаздывания в объекте на процессы в контуре локализации. В [38] рассматривается задача построения робастных дискретных систем управления для объектов с неопределенным запаздыванием, сохраняющих свойство асимптотической устойчивости при всех значениях запаздывания.
По своей природе требования грубости и качества регулированияявляются взаимно противоречивыми - в этом проявляется фундаментальный «принцип хрупкости хорошего» [10]. Альтернативу робастным системам регулирования составляют адаптивные системы, приспосабливающиеся к изменениям параметров внешней среды и объекта регулирования. Самонастраивающиеся и адаптивные системы с запаздываниями рассматриваются в книгах [73, 226, 5]. В [98, 99] предложен метод синтеза адаптивной системы управления нестационарными объектами первого порядка с запаздыванием с использованием эталонной модели. В [56] решение задачи стабилизации параметрически неопределенных объектов с последействием основано на принципе бинарности.
Механизм адаптации может базироваться на идентификации динамической модели объекта. В этом случае открывается возможность применения схем компенсации запаздываний (см., к примеру, [158, 174]).
В работе [247] рассматривается вопрос применения искусственных нейронных сетей для конструирования адаптивного упредителя Смита.
В стохастических системах с запаздываниями идея упреждения органично порождает задачи оптимального стохастического прогнозирования случайных процессов на время запаздывания. Их изучение выходит за тематические рамки настоящей диссертации, поэтому коснемся лишь некоторых работ в этой области. Основы теории статистического прогнозирования были заложены в известных трудах А.Н. Колмогорова, Н. Винера, Р. Калмана и Р. Бьюси (см., к примеру, обсуждение в [125, 143, 157]).
Весьма важным для приложений классом моделей случайных процессов являются параметрические модели временных рядов (см., например, [120]). Большое влияние на методологию краткосрочного прогнозирования временных рядов оказали Дж. Бокс и Г. Дженкинс [20]. Разработанная ими модель ARMA (русский эквивалент термина - АРСС): авторегрессии - скользящего среднего, а также ARIMA (АРПСС): авторегрессии -проинтегрированного скользящего среднего, позволяют описывать соответственно стационарные и нестационарные (управляемые) временные ряды. В [20] решается задача управления по минимуму выходной дисперсии системы (ошибки регулирования). Вследствие задержки сигналов в объекте в системе применяется прогнозирование действующих возмущений, причем горизонт прогнозирования определяется временем задержки. Важно подчеркнуть, что в самой методологии Бокса и Дженкинса заложена возможность реализации адаптивных ARMA- и ARJMA-процессов. Эти модели стали стандартным средством решения задач идентификации и проектирования систем в (стохастической) теории управления и эконометрике (см. [107]). Так в [21] утверждается, что большинство экономических временных рядов описывается моделью ARIMA.
Дискретной задаче стохастического прогнозирования и соответствующей задаче управления по минимуму дисперсии выхода дискретной системы с запаздыванием посвящены также работы Острема [143], Остре-ма и Виттенмарка [144]. Однако полученным им решениям присущи существенные недостатки (см. обсуждение в [141]). Для их преодоления Кларк (D.W. Clark) и Гаутроп (PJ. Gawthrop) модифицировали критерий оптимальности: вместо минимума дисперсии рассматривается минимум критерия качества, включающего выход, уставку и управляющее воздействие [254, 255]. Соответствующий подход известен под названием управления по обобщенному минимуму дисперсии.
Е.В.Бодянский в [19] освещает проблему адаптивного управления многомерными стохастическими объектами с запаздыванием, описываемыми многомерными уравнениями авторегрессии - скользящего среднего.
В книге [141], посвященной технологии нейронного управления, обсуждается применение самонастраивающихся контроллеров, осуществляющих управление по обобщенному минимуму дисперсии, причем объект управления с запаздыванием представляется в форме модели управляемой авторегрессии - скользящего среднего.
2. Изложенная ретроспектива исследований динамических систем с запаздываниями позволяет сделать вывод об актуальности для теории управления следующих направлений их дальнейшего изучения, определяющих тематические рамки диссертации: разработка концепции и адекватного формализма пространства состояний на основе методологических установок теории систем;
исследование механизма последействия и его влияния на процессы управления и наблюдения;
исследование модальных свойств и разработка методов модального управления;
дальнейшее развитие принципа динамической компенсации запаздываний: выявление недостатков и уточнение границ применимости известных системотехнических решений, разработка методов и схем компенсации запаздываний, расширяющих область применения принципа и рассчитанных на процессы управления состоянием.
3. Стержневую роль в диссертации играет разрабатываемая теория спектральной декомпозиции линейных стационарных систем с запаздываниями. На ее основе решается ряд вопросов и задач, являющихся ключевыми для проблематики управления объектами с запаздываниями.
Отметим признаки, по которым, по мнению автора, изложенные теоретические построения составляют самостоятельную теорию:
Во-первых, в основе построений лежит общая идея представления исследуемой системы декомпозирующей схемой, отражающей модальные свойства и детализирующей механизм последействия системы. Заметим, что такие схемы несут принципиально иную смысловую нагрузку по сравнению со структурными схемами [179], предназначенными для графического представления уравнений динамики автоматических систем.
Во-вторых, теоретически обоснована состоятельность выдвинутой идеи, т.е. возможность получения (типовых) схем спектральной декомпозиции для широкого класса систем с запаздываниями.
В-третьих, развит необходимый математический формализм и разработана методология спектральной декомпозиции систем с запаздываниями. Предложен адекватный понятийный аппарат, служащий для описания, объяснения и интерпретации получаемых теоретических результатов.
В-четвертых, разнообразие и сложность решенных в диссертации вопросов и задач позволяют заключить, что спектральная декомпозиция является эффективным инструментом аналитического исследования систем с запаздываниями.
Отметим, что здесь теория рассматривается как единица специального знания [116], по отношению к которой теория автоматического управления является научной дисциплиной. При этом подразумевается такая градация: автоматика - частная наука, теория автоматического управления - одна из научных дисциплин в автоматике (см. также [8]), теория управления объектами с запаздываниями - ее раздел, теория спектральной декомпозиции - специальная теория в рамках этого раздела.
Фактически работа выполнена на стыке двух научных дисциплин: теории автоматического управления и математической теории систем.
4. Остановимся на идейных предпосылках разрабатываемой в диссертации теории.
Понятие спектра является основополагающим для многих математических, физических и технических научных дисциплин. Еще более широкое методологическое значение имеет такой универсальный способ анализа объектов различной природы как их декомпозиция, т.е. расчленение на более простые части и представление результата соответствующей структурой, выявляющей сущность целого и отражающей механизм наследования его свойств от составляющих частей [182]. Спектральная декомпозиция, очевидно, соединяет одно с другим со всеми вытекающими отсюда последствиями. Фактически, это - следующий за анализом спектра объекта этап более глубокого изучения его спектральных свойств. • Спектральный подход воплощен в следующих математических
конструкциях:
В линейной алгебре - это разложение (или модальная декомпозиция по терминологии [184]) линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств некоторого действующего в нем линейного оператора, приведение заданной матрицы к жордановой нормальной форме, спектральное разложение функции от матрицы, индуцированное спектром последней и т.п. [15, 63].
В функциональном анализе также плодотворно разрабатывается теория спектрального разложения линейных операторов, действующих в банаховых и гильбертовых пространствах [156, 160, 223].
В математической физике широко распространен метод Фурье решения смешанных краевых задач [33, 44], когда общее решение задачи представляется в виде суммы частных решений типа стоячих волн. В более общей формулировке суть метода излагается на абстрактном параболическом уравнении: его решения ищутся в виде разложений по базису собственных векторов ассоциированного с данным уравнением линейного оператора [219]. Аналогичные результаты получены и для линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений на основе спектрального разложения пространства начальных функций решаемого уравнения [224]. Так разложения решений дифференциально-разностных уравнений по основным (квазиполиномиальным) [241] решениям изучались Райтом (Е.М. Wright), A.M. Зверкиным, Р. Беллманом и К. Куком (см. [61, 16]).
Родственный пример из теории колебаний - переход от спектра собственных частот линейной колебательной системы с конечным числомстепеней свободы к представлению ее движения в виде суперпозиции нормальных колебаний [129]. Ту же идею удается перенести и на колебательные процессы в распределенных системах. Так согласно [105, стр. 7] широкий круг краевых задач теории колебаний и волн решается «разложением в ряд ... Фурье по собственным колебаниям системы. Тем самым получается простая и плодотворная модель замкнутой системы в виде совокупности независимых осцилляторов».
В теории открытых систем [105] аналогичный подход применяют для описания строения физических систем: линейные открытые системы разлагаются в цепочку элементарных систем, соединенных между собой такими же каналами связи, какими система соединена с внешним миром.
Подобный теоретический материал, близкий по содержанию к теме настоящей работы, по возможности использовался или же принимался во внимание в диссертации.
Некоторые результаты частного характера по спектральным методам анализа и синтеза систем получены и в самой теории управления.
Действительно, еще О.Дж. Смит в книге [165] приводит (стр. 132— 133) декомпозиционную теорему для конечномерных систем, гласящую, что «последовательное соединение блоков может быть заменено рядом параллельно включенных блоков, характеристика каждого из которых содержит только один полюс из последовательного соединения».
Следует отметить работу Ванга и Тунга (Р.К.С. Wang, F. Tung, 1963 г. - см. ссылку и обсуждение в [29]) и вообще метод пространственных гармоник, применяемый для исследования процессов управления в динамических системах с распределенными параметрами [29]. Фактически данный метод представляет изучаемый бесконечномерный объект в виде цепочки параллельно соединенных конечномерных подсистем, причем каждая пространственная гармоника (т.е. точка спектра системы) связана с определенной подсистемой в этой цепочке (см., к примеру, стр. 161 в книге А.Г. Бутковского [29], а также §17 в другой его книге [30]).
Особо следует выделить статьи Ю.С.Осипова [142], Бхэта и Койво [250] и Сэлэмона [312] (см. комментарий к последней работе в п. П. 1.3 приложения 1): в них впервые явно применяется процедура спектральной декомпозиции к объектам управления с запаздываниями, и они послужили отправной точкой для исследований автора, представленных в настоящей диссертации. Эти работы отражают, в сущности, зачаточный уровень развития теории, по которому можно судить о новизне и оригинальности результатов диссертации.
Подчеркнем новаторский характер работы [142]. В ней впервые решена задача стабилизации для одного хотя и узкого класса объектов с запаздыванием, причем используется формализм абстрактных дифференциальных (эволюционных) уравнений (см. обсуждение в пунктах П. 1.1 и П. 1.2 приложения 1). Здесь несомненно влияние методологической установки Н.Н. Красовского [83] рассматривать линейные автономные дифференциально-разностные уравнения как полугруппу линейных преобразований пространства начальных функций. Идея Ю.С. Осипова [142] заключается в том, чтобы посредством спектральной декомпозиции соответствующего инфинитезимального производящего оператора выделить в объекте неустойчивую конечномерную подсистему и затем исходную бесконечномерную задачу редуцировать к конечномерной задаче стабилизации выделенной подсистемы.
5. Перечислим основные полученные и освещенные в диссертации научные результаты.
В первой главе очерчивается изучаемый в диссертации класс непрерывных динамических систем - линейные стационарные системы с сосредоточенными и распределенными запаздываниями. Обсуждается вопрос формализации понятия состояния систем с запаздываниями в свете идейных установок теории систем. Основными возникающими здесь затруднениями являются, во-первых, бесконечная размерность пространства состояний и, во-вторых, необходимость учета в конструкции состояния аксиоматического требования минимума информации о предыстории движения системы, необходимой для однозначного определения ее движения в будущем. Рассматривается проблема избыточных состояний. Разработан метод построения минимального пространства состояний для систем с сосредоточенными и соизмеримыми запаздываниями. Решаются вопросы их конечномерной аппроксимации на основе разработанной концепции состояния, актуальные для задач оптимального управления и моделирования.
Во второй главе излагаются вопросы спектральной декомпозиции конечномерных систем. Показано, что исследуемую систему можно декомпозировать в цепочку параллельно соединенных подсистем, причем каждому полюсу X системы кратности п(Х) в этой цепочке соответствует определенная подсистема порядка п(Х), все полюсы которой равны X. Данные моноспектральные подсистемы в спектральных исследованиях играют роль элементарных функциональных частей системы и поэтому именуются атомарными.
Формулируется принцип замещения начального состояния эквивалентным возмущающим воздействием, согласно которому реакция исследуемой системы на ненулевое начальное состояние может быть описана реакцией ее расширенной модели на подходящее возмущающее воздействие. Принцип позволяет все движения исходной системы моделировать вынужденными движениям ее расширенной модели. Декомпозиция основана на спектральном разложении передаточной матрицы последней.
В третьей главе обсуждаются особенности спектра систем с за паздываниями. Характеристические функции исследуемых систем являются квазиполиномами. Получена простая модификация известного амплитудно-фазового метода решения проблемы Гурвица для квазиполиномов, которая применима к квазиполиномам общего вида и поэтому позволяет исследовать устойчивость многоканальных систем со многими запаздываниями. Предложен алгоритм вычисления доминирующей части бесконечного спектра систем с запаздываниями. В четвертой главе изучается механизм последействия в системах с запаздываниями. Вводятся два динамических параметра последействии, важных для последующих теоретических выкладок: время последействияканала «вход—выход» и время последействия системы в целом. При анализе эффекта последействия применяется принцип замещения начального со стояния эквивалентным возмущающим воздействием. Даются оценки введенных параметров.
Изучается конструкция систем с конечной памятью по выходу.Пятая глава посвящена спектральной декомпозиции систем с запаздываниями.
Вначале исследуется класс систем с конечным спектром. Он охватывает системы, в которых запаздывают лишь входы и выходы. Разработана соответствующая схема спектральной декомпозиции: она включает конечную цепочку параллельно соединенных атомарных подсистем, являющихся носителями модальных свойств системы, а также динамическое звено с конечной памятью, представляющее механизм последействия в системе.
Далее исследуются спектральные свойства систем с бесконечным спектром. Они имеют запаздывающие внутренние связи. Полученная схема спектральной декомпозиции теперь включает три функциональные компоненты: бесконечную цепочку атомарных подсистем, звено с конечной памятью, действующее параллельно атомарным подсистемам, и многоканальное звено чистого запаздывания, подключенное последовательно к атомарным подсистемам. Изучаются структурные свойства последних.
Спектральная декомпозиция систем с бесконечным спектром порождает спектральное разложение передаточной матрицы системы в бесконечный функциональный ряд. О новизне теоретических построений главы свидетельствует также сравнение структуры данного ряда с результатами разложения мероморфных функций на простейшие дроби, которые в теории аналитических функций даются теоремой Миттаг-Леффлера. Ряд конструктивных аспектов теории основан на идее спектрального проектирования. Из атомарных подсистем можно образовывать конечномерные подсистемы, спектр которых совпадает с выделенной конечной порцией спектра системы. Спектральное проектирование позволяет анализировать динамические процессы в выделяемых таким образом подсистемах и, в частности, решать задачу наблюдения их состояния.
В шестой главе изучаются первичные для процессов управления свойства систем с запаздываниями: вопросы наблюдаемости, управляемости, детектируемости и стабилизируемости. При этом активно применяются спектральные соображения.
Седьмая глава посвящена проблеме динамической компенсации запаздываний. Дается анализ и вскрываются недостатки схемы упреждающего регулирования Смита. Затем излагаются новые подходы к решению этой проблемы. Выделяются и теоретически прорабатываются три типа компенсационных схем: схемы упреждающего регулирования, компенсационно-наблюдательные схемы и схемы параллельной компенсации запаздываний. Ставится и исследуется вопрос об астатической компенсации запаздываний, имеющий первостепенное значение для задач астатического регулирования. Важное место в теоретических построениях главы занимают положения разработанной теории спектральной декомпозиции.
Восьмая глава посвящена задаче модального управления объектами с запаздываниями. Посредством принципа компенсации запаздываний она сводится к конечномерной задаче модального управления.
Изучается конструктивный аспект конечномерных задач модального управления для объектов с многомерным входом, обусловленный неоднозначностью решения задачи: заданному спектру замкнутой системы соответствует многообразие коэффициентных матриц обратной связи. Анализируется геометрическая структура и топологические свойства данного многообразия, а также обсуждается вопрос его построения. • В девятой главе рассматриваются процессы импульсного регулирования в объектах с запаздываниями. Цель главы - показать плодотворность применения теории спектральной декомпозиции к исследованию процессов импульсного регулирования. В частности, она позволяет формализовать построение дискретной модели динамики объекта при переходе от непрерывного времени к дискретному. Важное значение имеет следующее обстоятельство: для объектов с конечным спектром в результате дискретизации получается конечномерная дискретная модель, т.е. само лишь квантование по времени сигналов управления и измерения трансформирует исходную бесконечномерную задачу регулирования в конечномерную. Анализируется эффект появления нулевых полюсов в спектре дискретной модели объекта вследствие механизма последействия. Исследуется эффект вырождения спектра при дискретизации и его влияние на свойства управляемости и наблюдаемости объектов в дискретном времени.
Обсуждается проблема импульсной компенсации запаздываний. Подчеркивается, что схемные решения для непрерывных процессов регулирования удается органично перенести на импульсные системы.
Приложения дополняют содержание основной части диссертации.
В первом приложении собраны библиографические комментарии к главам диссертации.
Во втором приложении обсуждается задача минимальной реализации рациональных передаточных матриц, актуальная для теории систем, автоматики и электроники. Оно дополняет материал главы 2. В предлагаемом методе решения задачи используется декомпозиция синтезируемой системы на атомарные подсистемы, спектры которых совпадают с полюсами заданной передаточной матрицы.
В третьем приложении изложены соображения по применению методологии спектральной декомпозиции к задачам аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). Традиционные схемы этих задач опираются на метод динамического программирования Р. Беллмана. В приложении развивается иной подход, заключающийся в сведении исходной вариационной задачи на условный экстремум к экстремальной задаче без ограничений. Экстремали последней в свою очередь описываются уравнением Эйлера-Пуассона, а его экспоненциально затухающие решения определяют оптимальные регулируемые движения объекта. Заключительный этап решения задачи АКОР сводится к факторизации характеристической матрицы уравнения Эйлера-Пуассона.
Конечномерная оптимизационная задача требует факторизации полиномиальной пара-эрмитовой характеристической матрицы. Этой цели служит разработанная в диссертации процедура, базирующаяся на идее спектральной декомпозиции. Показываются конструктивные возможности спектральной методологии и применительно к задачам оптимального регулирования объектов с запаздываниями. В частности, она позволяет исследовать структуру и модальные свойства оптимальных процессов регулирования.
В четвертом приложении методология спектральной декомпозиции применяется к задачам анализа переходных процессов в волновых системах. Характерная особенность последних - наличие в спектре цепи корней нейтрального типа. В качестве базовой физической модели с волновыми свойствами выбрана линейная электрическая цепь с распределенными параметрами. Задачи анализа волновых процессов в таких цепях возникают в области электроэнергетики, радиотехники и телемеханики. Аналогичные задачи встречаются при автоматизации транспортных и промышленных объектов. Приводятся примеры трубопроводных систем. Разбираются практические примеры из угольной промышленности.
Пятое приложение дополняет материал главы 7. Описываются модели объектов с запаздываниями, встречающиеся в практической автоматике. Обсуждается задача регулирования уровня в проточных аппаратах химической промышленности и приводятся данные собственных исследований автора в этой области. Рассматривается вопрос грубости систем регулирования с компенсаторами запаздываний. Излагаются соображения по применению двойного квантования времени в процессах регулирования.
В шестом приложении обсуждается фактор запаздывания грузопотоков при поточном транспортировании сыпучих материалов в следующем аспекте. Выявляется логика возникновения некоторых довольно типичных и вместе с тем важных технических задач упреждающего управления грузопотоками, показывается своеобразие их постановки, решения и интерпретации достигаемого эффекта компенсации запаздываний.
Седьмое приложение содержит технические материалы по внедрению результатов диссертационной работы в промышленности.
6. Несколько слов об оформлении диссертации.
В пределах каждой главы формулы нумеруются двумя числами: первое число обозначает номер параграфа, а второе - порядковый номер внутри параграфа. Аналогично нумеруются формулы в приложениях. Для рисунков в пределах главы или приложения используется сквозная нумерация.
Основная часть диссертации завершается сводным библиографическим списком использованных источников, причем применяется алфавитное расположение литературы. Приложения снабжаются собственными списками литературы.
В работе используются следующие обозначения: символ служит для обозначения конца содержания примеров, формулировок лемм, теорем, предложений и следствий; символы и ( и И) - для начала и конца текста доказательств утверждений.
