Введение к работе
Актуальность работы. При решении задачи оптимального управления любой технической системой требуется ее математическая модель. Часто технические системы оказываются очень сложными и не поддаются теоретическому изучению в разумные сроки. При неполном знании механизма явления математическая модель может быть построена по результатам наблюдений над входными и выходными переменными.
Проведеїліе опытов всегда осуществляется в условиях некоторых помех, ошибок. Баш ошибки соизмеримы с самими опытными величинами, а опыты являются сложными и дорогостоящими, то необходимость применения методов планирования оксперимеїгга для построения математической модели .очевидна.
Существующие методы оптимального планирования оксперимеїгга как правило опираются на модель случайной адаптивной неограіпічешюй ошибки. Еместе с тем на практике такая модель ошибки не всегда соответствует действительности. В частности, ошибки измерения часто имеют ограниченный диапазон, при имитаїрюїшом моделировании и экспертном опросе не всегда обосновано предположение о случайности ошибки. Поэтому в последнее время все большее внимание исследователей привлечено к методам решения задач управления в условиях ограниченных по амплитуде ошибок. Одним ив таких подходов является метод интервального анализа данных. Метод бил разработан для построения математических моделей систем по интервальным статным данным. При втом не рассматривались вопросы о том, каким образом получены эти данные. Очевидно, что оптимальное планирование эксперимента позволит повысить точность модели системы.
В связи с этим возшікает необходимость разработки методов оптимального планирования эксперимента при интервальном анализе данних.
С другой стороны во многих пракппеских задачах после проведения эксперимента оказывается удобннм описаіпіе опытных данных некоторой простей явно заданной функцией .например сплайн -функцией.
Подобные задачи возникают при создании систем, в
-4.-
состав которых входят банки к&ртограф;іческих данных и требуется компактное представление данных с целью минимизации объема памяти,выделяемой для их хранения. К таким системам относятся системы отображения местоположения объекта на фоне карты и системи навигации по цифровым картам местности.
В отих случаях вогшесает гадача приближения табличных дашшх явно заданной функцией , гаданои гладкости и с требуемой точностью.'
Цель работи. Целями работы является: 1. Разработка методов планирования оптимального насыщенного оксперимента при интервальных данных; Z. Исследование свойств моделей интервальных ошибок и разработка алгоритма оптимального последовательного планирования оксперимента при интервальных сшибках опытов; 3.Построение процедуры приближения табличных данных сплайн-функциями с заданной точностью.
Указанные цели достигаются путем решения следующих задач
І.Для построения методов планирования оптимального насыщенного эксперимента при интервальных данных необходимо:
-разработать методику анализа предсказательных свойств интервальной модели, определить ее точностные характеристики и проанализировать свойства области о возможных значений параметров модели при насыщенном эксперименте;
-разработать и определить критерии оптимальности насыщенных планов;
-разработать алгоритмы синтеза оптимальных насыщенных интервзлышх экспериментов;
-провести сравнительный анализ оптимальных планов интервального и регрессионного насыщенных экспериментов.
Z. Для исследования моделей интервальных ошибок и разработки алгоритма оптимального последовательного планирования оксперимента при интервальных ошибках опытов необходимо:
-провести анализ интервальных ошибок, предложить их математические модели и выделить основные свойства ;
-исследовать асимптотические свойства области возможных значений параметров при разных моделях интервальных ошибок;
-проанализировать точность, предсказания интервальной модели и выбрать критерий оптимальности последовательного планирования интервального эксперимента;
- D -
-построить алгоритм оптимального последовательного планирования интервального эксперимента.
3. Для построения процед/ры приближения табличних данных
сплайн-функциями с еаданной точностью необходимо:
-разработать метод и алгоритм приближения данных сплайн- функциями с еаданной точностью, обеспечивающий минимальное число узлов стыковки сплагшов.
4. Апробировать разработанные метода и алгоритмы при
анализе .сжатии и компактном представлении картографических
данных.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы интервальной математики, теории вероятностей и математической статистики, теории приближения функций, аппарат математического программирования, некоторые аспекты линейной алгебры.
Научная новизна заключается в следующем:
-получено выражение для определения максимальной ошибки прогноза линейной многомерной интервальной модели и алгоритм оценки максимальной на области ксперішента ошибки прогноза квадратичной модели;
-показано, что в случае насыщенного эксперимента область о возможных значений параметров модели в пространстве параметров является правильным, симметричным, выпуклым многогранником с центром симметрии, совпадакщим с МНК оценкой, вычисленной по средним интервальным значениям опытов;
-предложены и определены /A~./D".rE".;Q_ и ;о~ критерии -оптимальности планов насыщенного интервального эксперимента, задающие соответственно сумму квадратов длин диагоналей, квадрат объема, квадрат длины максимальной диагонали области о, среднюю и максимальную ошибку прогноза модели на области планирования;
-доказаны теорема эквивалентности между 'д-.^-оптимальными насыщенными планами интервального и соответственно A-.D- оптимальными насыщенными планами регрессионного экспериментов и для линейной многомерюй модели на гиперсфере теорема эквивалентности *я- и '„-оптимальных насыщенных планов;
-предложено и обосновано вместо tа- и J„-оптимальных планов использовать их приближения - G- и Q- оптимальные
насыщелшз планы регрессионного эксперимента;
-предложены модели: неслучайной неустранимой ограни-ченнои ошибки; случайной ошибки с фшштным . распределением; смешанной интервальной ошибки и показаны их свойства;
-приведены асимптоті-іческие свойства области возможных значений параметров о и показана возможность уменьшения ее размеров путем повторных опытов в случае случайной или смешанной интервальных ошибок;
-разработан алгоритм, позволяющий находить последовательный план интервального эксперимента ,минимизирующий на области планирования максимальное значение ошибки прогноза ;
-сформулирована задача приближения табличных данных сплайнами с заданной точностью как задача интервального анализа данных и предложена процедура ее решения, минимизирующая общее число узлов стыковки сплайнов.
Практическая значимость работы. 1. Предложенные критерии оптимальности насыщенных оптимальные планов и теоремы (эквивалентности оптимальных насыщенных планов регрессионного и интервального эксперимента позволяет выбрать для конкретного исследования с учетом целей и требования его проведения план эксперимента с небольшим числом наблюдений. При том можно воспользоваться таблицами планов регрессионного эксперимента для полиномиальных моделей. 2. Предложенные. модели интервальных ошибок могут быть использованы для описания факторов неопределенности при получеіши и анализе опытных данных. Применение метода, и алгоритма последовательного планирования эксперимента, разработанных в работе, для построения математических моделей объктов с интервальной даопределеноостью помогает сократить объемы и сроки проведения исследований и повысить точность модели. 3. Использование процедуры приближения данных сплайн- функциями позволяет компактно представить опытные данные и добиться минимального объема памяти,выделяемой для их хранения.
Реализация результатов габоты. Разработанные методы был? использованы при анализе ошибок .возникающих при созданш цифровых карт местности и решении задачи сжатів картографических данных с целью ьмнимизации объема памяти, выделяемой дли их хранения.
Атюобаиия рэ-боты, Основнке положения и результаты диссертацконгой работы обсуждались и докладывались на. IV Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП" (Тула. 1990г.), на I Международной конференции "Inforraation technologies for ігазде analisis and pattern recognition" (Lviv, USSR, 1990r. ), на. Бзесоюзноа конференции "Актуальные проблемы прикладной математики" С Саратов, 1991г. ).
Публикации. По теме диссертационной работа опубликовано 5 печатных работ.
Структура, и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка лигературн, включающего 93 наименования, и приложения. Работа изложена на 153 страницах машинописного текста, содержит 2 рисунка и 9 таблиц.
