Разработка и использование алгоритмов решения многокритериальных задач управления на основе принципа гарантированного результата Кириллов Юрий Васильевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Векторная оптимизация в задачах управления 13

1.1. Управление и задачи принятия решений 13

1.1.1. Принятие решений как задача системного анализа 13

1.1.2. Примеры задач векторной оптимизации 19

1.1.2.1. Задача моделирования сложной системы управления 19

1.1.2.2. Задача моделирования направлений деятельности фирмы 25

1.1.2.3. Задачи моделирования инвестиционной

деятельности фирмы 29

1.1.3. Общие замечания о примерах задач векторной оптимизации 34

1.2. Аналитический обзор методов решения задач векторной оптимизации 34

1.2.1. Общая постановка задачи векторной оптимизации 35

1.2.2. Методы решения ВЗМП 37

1.2.2.1.. Методы, основанные на свертке критериев 37

1.2.2.2. Методы, использующие ограничения на критерии 40

1.2.2.3. Методы целевого программирования 41

1.2.2.4. Методы поиска компромиссного решения 42

1.2.2.5. Обзор других методов решения ВЗМП 43

1.2.3. Общие недостатки существующих методов 44

1.3. Выводы по главе 1 46

Глава 2. Принципы построения алгоритма решения задач векторной оптимизации 48

2.1. Формализованная постановка общей задачи векторной оптимизации 49

2.2. Классификация векторных задач математического программирования 50

2.3. Нормализация критериев в задачах векторной оптимизации 53

2.4. Выбор алгоритма решения ВЗМП 55

2.4.1. Принцип выбора компромиссного решения 55

2.4.2. Принцип гарантированного результата 55

2.4.3. Алгоритм гарантированного результата при нормализации критериев 58

2.5. Выводы по главе 2 63

Глава 3. Решение различных классов векторных задач с помощью алгоритма ГРНК 64

3.1. Решение линейных векторных задач 64

3.1.1. Решение равнозначных линейных векторных задач 64

3.1.1.1. Решение однородных равнозначных ЛВЗ 64

3.1.1.2. Решение неоднородных равнозначных ЛВЗ 66

3.1.2. Алгоритм решения равнозначных линейных векторных задач 67

3.1.3. Решение неравнозначных линейных векторных задач 70

3.1.3.1. Определение приоритета критерия однородной векторной задачи 70

3.1.3.2. Вычисление коэффициентов приоритета одно родной векторной задачи 71

3.133. Принцип гарантированного результата для неравнозначных ЛВЗ 73

3.13 А. Решение неравнозначных однородных ЛВЗ 76

3.1.3.5. Определение приоритета критерия неоднородной векторной задачи 76

3.1.3.6. Решение неравнозначных неоднородных ЛВЗ 78

3.1.4. Алгоритм решения неравнозначных линейных век торных задач 89

3.2. Решение дискретных векторных задач 91

3.2.1. Постановка неоднородной равнозначной дискретной векторной задачи 92

3.2.2. Решение неоднородных равнозначных ЦЛВЗ 93

3.2.2.1. Нормализация в ЦЛВЗ 93

3.,2.2.2. Выбор метода решения ЦЛВЗ 94

3.2.3. Решение неоднородных неравнозначных ЦЛВЗ 99

3.2.4. Алгоритм решения целочисленных линейных векторных задач 101

3.3. Решение нелинейных векторных задач 104

3.3.1. Решение неоднородных равнозначных НЛВЗ 105

3.,3.1.1. Нормализация в НЛВЗ 106

3.3.1.2. Выбор метода решения НЛВЗ 108

3.3.1.3. Условия сходимости метода решения НЛВЗ 110

3.3.2. Алгоритм решения неоднородных равнозначных НЛВЗ 111

3.3.3. Решение неоднородных неравнозначных НЛВЗ 113

3.3.4. Алгоритм решения неоднородных неравнозначных НЛВЗ 116

3.4. Выводы по главе 3 117

Глава 4. Использование алгоритма ГРНК для решения прикладных задач векторной оптимизации 120

4.1. Задача оптимального обеспечения топливом предпри ятий энергетической промышленности с учетом каче ства энергоносителей 120

4.1.1. Актуальность задачи 120

4.1.2. Постановка векторной задачи 121

4.1.3. Решение векторной задачи 123

4.2. Задача оптимизации ценовой политики фирмы 130

4.2.1. Актуальность задачи 130

4.2.2. Постановка векторной задачи 131

4.2.3. Решение векторной задачи 132

4.3. Выводы по главе 4 135

Заключение 136

Список литературы

• Управление и задачи принятия решений
• Формализованная постановка общей задачи векторной оптимизации
• Решение неравнозначных линейных векторных задач
• Задача оптимального обеспечения топливом предпри ятий энергетической промышленности с учетом каче ства энергоносителей

Введение к работе

1. Актуальность темы. Современный этап развития нашей страны характеризуется тем, что растущие потребности рынка, достижения науки и техники вызывают появление новых технологий, которые не только расширяют, но и усложняют, интенсифицируют деятельность в сфере производства. Поэтому особую актуальность приобретает решение задач по повышению эффективности современных систем управления, внедрению новых информационных технологий принятия решений на всех уровнях хозяйственного механизма. Это тем более важно потому, что учет многих дополнительных рыночных факторов многократно повысил ответственность при разработке, как долгосрочных стратегических планов, так и отдельных тактических шагов по их реализации.

Многоуровневый (иерархический) принцип построения современных систем управления приводит к увеличению скорости обработки информации за счет создания специальных подсистем, а также к повышению надежности функционирования системы в целом. Однако на этом пути возникают проблемы, связанные со сложностью и большим объемом обрабатываемой информации, многофункциональностью систем управления и большим количеством вариантов их анализа. Именно поэтому разработка оптимальных структур управления невозможна без использования современных средств вычислительной техники, новых методов системного анализа и развитого программного обеспечения. Сложность решаемых задач обусловила и появление соответствующих математических моделей, которые должны адекватно отображать сложность исследуемой системы управления и, прежде всего, ее многоцелевой характер. В основе таких математических моделей должны лежать многокритериальные задачи оптимизации.

Таким образом, современное управление - это оперативное принятие оптимальных решений в условиях многокритериального выбора. Отсюда следует, что разработка эффективных методов решения векторных (многокритериальных) задач является важнейшей проблемой системного анализа вообще, а также теории управления и теории принятия решений в частности.

Разработка методов решения подобных задач ведется достаточно давно и связана с работами отечественных и зарубежных ученых: Н.Н. Моисеева, B.C. Михале-вича, В.Л. Волковича, Ю.Б. Гермейера, В.В. Подиновского, Л.И. Полишука, В.В. Хоменюка, М.А. Айзермана, И.М. Макарова, Ю.К. Машунина, Б.А. Березовского, Р. Штойера, С. Карлина, Р. Кини, X. Райфа и др., которыми был сделан основополагающий вклад в теорию и практику решений различных задач системного анализа и многокритериальной оптимизации.

Все многообразие вариантов и подходов к решению таких задач можно разделить на две большие группы, обладающих своими достоинствами и недостатками.

1. Использование сложного аппарата современной математической логики (теория бинарных отношений, теория рационального выбора и др.) приводит к полному и строгому доказательству существования решений векторных задач. Однако, это же влечет за собой серьезные трудности в понимании физического смысла выполняемых шагов решения и, как следствие, трудности построения рабочего алгоритма для решения прикладных задач.

2. Существует достаточно большое количество методов, в которых смысл операций на каждом шаге понятен не только математикам, однако эта простота может привести к неоднозначным результатам. Кроме того, для некоторых методов этой группы отсутствует серьезное доказательство их разрешимости.

Таким образом, актуальной является необходимость, как практическая, так и теоретическая, заполнить разрыв между двумя этими направлениями, который со временем, как ни странно, только увеличивается.

2. Цель исследования. Разработать алгоритм решения задач векторной оптимизации, сочетающий строгое теоретическое обоснование и простоту практической реализации, и использовать его для решения прикладных задач принятия управленческих решений.

Для достижения этой цели в диссертации поставлены следующие задачи: 1. Провести общую классификацию задач векторной оптимизации, которая определяла бы принадлежность той или иной конкретной векторной задачи к определенной группе по характерным признакам.

2. Разработать общую схему алгоритма решения задач векторной оптимизации обладающую следующими особенностями и свойствами:

a) единые для векторных задач любого типа принципы оптимальности, которые должны стать ядром алгоритма решения и основой для сравнения значений различных критериев в определенной точке области допустимых решений;

b) наличие математического доказательства того, что решение, полученное в результате применения данного метода, будет оптимально по Парето;

c) если полученное решение не является единственным, алгоритм должен обеспечивать выбор единственной точки из Парето-оптимального множества, в которой значения частных критериев будут устраивать ЛПР (лицо, принимающее решения).

3. Разработать количественные способы задания приоритета критериев для того, чтобы объективно выражать соответствующие предпочтения ЛПР для любого типа задач векторной оптимизации.

4. Получить рабочие алгоритмы решения различных классов задач векторной оптимизации и использовать их для решения прикладных задач управления и принятия решений.

3. Объектом исследования являются математические модели сложных (многоуровневых) систем принятия управленческих решений в различных отраслях.

4. Предметом исследования являются многокритериальные модели оптимизации прикладных задач управления и их анализ для повышения функционирования объекта исследования.

5. Методы исследования. Теоретическая часть работы выполнялась на основе методов системного анализа и теории математического программирования для решения скалярных линейных, дискретных и нелинейных задач. Для доказательства лемм и теорем, в которых выводятся основные особенности рабочих алгоритмов, используются определение понятия эффективного (Парето-оптимального) множества и элементы математической логики.

6. Научную новизну диссертационного исследования составляют:

1. Выполненная классификация задач многокритериальной оптимизации, кото рая позволяет идентифицировать тип решаемой векторной задачи и, соответственно, выбрать алгоритм ее решения.

2. Общая схема решения задач векторной оптимизации — алгоритм гарантированного результата при нормализации критериев (алгоритм ГРНК), который определяет общие принципы построения решения.

3. Полученные рабочие алгоритмы для решения конкретных классов следующих векторных задач с равнозначными критериями:

• линейных однородных и неоднородных задач;

• целочисленных неоднородных задач;

• нелинейных неоднородных задач.

Предложенные алгоритмы позволяют получить единственное Парето-оптимальное решение.

4. Предложенный способ, обеспечивающий количественное задание предпочтений ЛПР - коэффициентов приоритета, которые позволяют решить векторную задачу с приоритетом определенного критерия. Введение коэффициентов приоритета в модель равнозначной задачи позволило целенаправленно управлять процессом получения единственного Парето-оптимального решения рассмотренных типов векторных задач с неравнозначными критериями.

7. Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что:

1. Построены многокритериальные модели ряда важных прикладных задач принятия решений в области инвестиционной политики.

2. На конкретных примерах (задача оптимального обеспечения топливом предприятия ТЭЦ - 2 ОАО «Новосибирскэнерго» и задача оптимизации ценовой политики ООО «Сибирский берег») показана работоспособность разработанных алгоритмов.

3. Создана основа разработки программного продукта для информационной поддержки процесса принятия решений, ядром которого должны стать алгоритмы предлагаемого метода гарантированного результата при нормализации критериев.

8. Положения, выносимые на защиту, представляют собой следующие теоретические выводы и практические результаты.

1. Общая классификацию задач векторной оптимизации, которая определяет принадлежность той или иной конкретной векторной задачи к определенной группе по характерным признакам.

2. Общая схема алгоритма ГРНК для решения задач векторной оптимизации, которая позволяет получить единственное Парето-оптимальное решение.

3. Рабочие алгоритмы ГРНК для решения следующих типов векторных задач с равнозначными и неравнозначными критериями:

• линейных однородных и неоднородных задач;

• целочисленных неоднородных задач;

• нелинейных неоднородных задач.

4. Формулы, выражающие количественное задание предпочтений ЛПР — коэффициентов приоритета и рабочие алгоритмы, которые позволяют решить упомянутые выше типы векторных задач с приоритетом определенного критерия.

5. Практическое подтверждение работоспособности разработанных алгоритмов на примере решения прикладной задачи многокритериальной оптимизации.

9. Апробация работы. Работа выполнялась в рамках инициативной НИР кафедры экономической информатики Новосибирского государственного технического университета (НГТУ) «Теоретические и прикладные аспекты экономической информатики». Разработанные алгоритмы использовались на факультете бизнеса НГТУ при проведении занятий по дисциплинам «Методы оптимизации» и «Математическая экономика».

Основные теоретические выводы и практические рекомендации диссертации докладывались автором на международной научно- практической конференции «Экономическое образование и наука в современных условиях: опыт, проблемы и перспективы» (Семипалатинск, 2002г.); международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии ИСТ 2003» (Новосибирск, 2003г.); 6-й Всероссийской научно-практической конференции «Стратегия бизнеса и социально-экономическое развитие региона» (Ярославль, 2003г.); V международной конференции по информационным технологиям «Modelling, Computation and Optimization in Information Systems and Management Sciences MCO 2004» (Метц, Фран ция, 2004г.); VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004г.).

10. Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 12 печатных работ общим объемом 4 п.л. Диссертация соответствует паспорту специальности 05.13.01 Паспорта специальностей ВАК, пункт 4.

11. Структура и объем диссертации. Цели и задачи исследования определили логику и структуру работы, состоящую из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Основной текст диссертации изложен на 157 страницах, включает 21 рисунок, 14 таблиц и 1 приложение. Список литературы содержит 66 наименований.

Управление и задачи принятия решений

Проблема принятия решений имела и имеет в жизни человека особое значение, ведь любая деятельность — это, в конечном счете, логическая цепочка для выбора определенного варианта решения проблемы из некоторого множества. Но, если в обычных бытовых ситуациях для выбора одной из возможных альтернатив действия люди обходятся общим жизненным опытом, традиционными навыками и здравым смыслом, то существует круг задач, в котором этих знаний совершенно недостаточно. Такие проблемы появились в середине XX в., когда появилась насущная практическая потребность - вести исследования на стыке различных наук, так как новые задачи потребовали новых, синтетических знаний.

К тому времени достижения в экономике и социальной сфере, научно-техническая революция привели к проектированию и созданию сложных технических разработок, экономических комплексов и социальных структур, которые потребовали усилий специалистов различных областей. Здесь необходимы были нетрадиционные способы принятия решений для согласования разнородной информации, результатом которых должны были явиться научно обоснованные принципы выбора определенной альтернативы решения из некоторого множества, определяемого особенностями постановки конкретной задачи.

Сложные сами по себе поиски таких решений неизбежно вызвали появление еще более серьезной задачи: управление большими, иерархически организованными структурами, которые назвали системами, поскольку каждая из них создавалась для достижения совершенно определенных целей. Здесь уже недостаточно было практического опыта и интуиции, так как появление значительного количества альтернативных вариантов решения со многими параметрами превосходило человеческие возможности их анализа.

Конечно, специалисты-практики, так или иначе, находили свои способы решения конкретных проблем и эти методы, в значительной степени эвристические, по степенно накапливались и складывались в некоторые технологии принятия сложных решений. Но со временем стало очевидно, что нужна современная научная база, которая позволяла бы моделировать этот процесс и, по возможности, формализовать его. Именно поэтому методологической основой новой научной дисциплины, которую назвали системным анализом, стали такие науки как исследование операций и современная теория управления. С этого момента теория принятия решений становится его неотъемлемой частью. Кроме того, развитие электроники и средств вычислительной техники позволило реализовать достаточно сложные и трудоемкие алгоритмы принятия решений, что дало дополнительный стимул развития новой науки. Современные компьютеры являются неотъемлемой составляющей работы специалиста по системному анализу, который разрабатывает алгоритмы принятия решений управленческого характера.

Таким образом, в первом приближении, можно определить теорию принятия решений как задачу системного анализа, а системный анализ - как синтетическую научную дисциплину, занимающуюся проблемами принятия решений в условиях, когда выбор альтернативы требует анализа сложной информации различной физической (экономической) природы [1].

Следует отметить, что такие понятия как системность, системный подход, системный анализ не должны казаться принципиально новым научным достижением, совершенно неизвестным раньше. Наука лишь количественно зафиксировала те качественные изменения, которые произошли в человеческом сознании в процессе познания окружающего мира, и ввела новые термины. «...Теоретическая мысль на разных уровнях абстракции отражала системность мира вообще и системность человеческого познания и практики: на философском уровне - диалектический материализм; на общенаучном - теория систем и теория организации; на естественнонаучном - кибернетика и, с развитием вычислительной техники, информатика и искусственный интеллект...» [2].

Формализованная постановка общей задачи векторной оптимизации

Пусть заданы: Я- множество элементов любой природы (которые в конкретных задачах могут быть названы вариантами решениями, управления и т.д.); L-множество элементов, называемых перечнем или нумерацией качественных свойств элементов множества Я; V"- множество «-мерных вещественных функций. Тогда множество отображений Я х L в V": Ф = {НхЬ-±Гп} называется множеством целевых функционалов, которые отражают различные целевые устремления элементов множества Я.

Пусть также даны fk (X) - целевые функционалы, которые также будем называть локальными или частными критериями; элементы множества V", соответствующие элементам (X,k)e{HxL), где Х- элементы множества Я - являются п-мерными вещественными векторами, а к - элементы множества L - являются вещественными числами. Тогда вектор из множества V" F = {fk(X);k = \J \T2eL), координатами которого являются локальные критерии множества V", называется вектор-функцией цели или векторной целевой функцией. Она является многоцелевым показателем качественных устремлений элементов множества Н.

Определение 2.1. Общей векторной задачей математического программирования (общей ВЗМП) называется задача, которая состоит в определении оптимального по Парето множества ПєЯ такого, что множество значений вектор - функции цели при условии: max fkw(X)yk = lIeL mmfki2) (X),Vk = /, +1,/, + /2 є L2 . (Z, = I,U-Z 2)H ограничениях G(X){ ,=, }B , (2.2) X 0. (2.3) где: X = \Xj 0,j = 1,2,...,wj - вектор искомого варианта решения (управления); G(X) = {g,(X),i = 1,2,...,т} - вектор функций-ограничений; В = {bltb2,...bm} - вектор, определяющий уровень ограничений; является эффективным. Будем считать, что fkw(X) и fk(2)(X) - вогнутые, a g,(X) - выпуклые функции относительно X так, что область допустимых решений S : S = {XG R",X 0,G(X){ ,= }В) 0. (2.4)

Очевидно, что вариант решения X = {х1,х2,...,хп} представляет собой координаты п - мерного вещественного вектора на множестве S.

Определение 2.2. Вариант решения Х общей ВЗМП называется оптимальным по Парето, а значение fk(x\ - эффективным, если на множестве допустимых ре шений S не существует такого варианта решения X , для которого выполнялись бы неравенства Л(У) Л( 0),У єА (2.5) Л(У) Л( ),УА:є (2.6) и хотя бы одно из них было строгим.

Определение 2.3. Совокупность точек оптимальных по Парето называется 77а рето-оптимальным множеством, а совокупность эффективных значений \fk ( ) є Ц определяет точку эффективного множества вектор - функции цели.

Определение 2.4. Парето-оптимальный вариант решения Х =( , ,..., ), удовлетворяющий ограничениям задачи (2.2) - (2.3), называется допустимым решением общей ВЗМП.

Определение 2.5. Допустимое решение общей ВЗМП X = (х, , ,..., ), при котором условие (2.1) выполняется в точке эффективного множества для вектор — функции цели F, называется компромиссным решением общей ВЗМП.

Решение общей задачи любого исследования вообще и задачи управления в частности должно начинаться с ее структуризации и декомпозиция на ряд частных и более конкретных групп подзадач по определенным признакам-классификаторам. Это является следствием все того же системного подхода к решению сложных проблем, о котором говорилось в главе 1. Можно сказать, что классификация сложной задачи есть первичная модель множества объектов исследования и разделение их на классы, виды, типы и т.д. позволяет, с одной стороны, формализовать описание каждого из них, а, с другой, разработать объективные методы их анализа. Поэтому, исходя из постановки общей задачи векторной оптимизации, любую из многочисленных ВЗМП можно свести к одному из следующих типов, в соответствии с выбранными признаками-классификаторами.

1. По характеру отношений предпочтения между критериями: a) равнозначные ВЗМП — в которых количественно не определяется отношений предпочтения между критериями, т.е. считаем их все равноценными; b) неравнозначные ВЗМП — где определяется приоритет каждого критерия с помощью количественных оценок отношений предпочтения. 2. По характеру оптимизации каждого критерия: a) однородные ВЗМП - в которых все локальные критерии fk\x) efk\x) - оптимизируются одинаково (либо max, либо min); b) неоднородные ВЗМП — где часть локальных критериев -fk (X)- макси мизируется, для остальных -fk(X) - ищется минимум. 3. По виду целевых функций fk (Х),к є L и функций-ограничений g,(i = 1,/я): a) линейные ВЗПМ - все fk и gt линейны относительно X; b) нелинейные ВЗМП -хотя бы одна из fk или g;. является нелинейной. 4. По типу переменных хДу = 1, л): а) непрерывные ВЗМП — все х} могут принимать любые неотрицательные, действительные значения;

Решение неравнозначных линейных векторных задач

Определение приоритета критерия однородной векторной задачи Как уже говорилось выше (см. п. 1.2.2), частные критерии в ВЗМП имеют на практике разный вес — разную важность. Рідея определения приоритета критериев состоит в том, чтобы ЛПР:

1) мог бы заданием большего веса улучшить значение определенного, важного для него критерия;

2) мог задать этот вес не субъективно, а на достаточно строгой математической, т.е. объективной основе.

Пусть, например, ЛПР важен критерий с индексом q и его относительный уровень в ВЗМП - Яд(Х). Но, очевидно, что, улучшая относительный уровень q критерия, мы будем изменять уровни других критериев, так как все они связаны по X, поэтому, чтобы улучшать уровень -критерия целенаправленно, необходимо установить связь между g-критерием и всеми остальными.

Рассмотрим сначала, как можно установить количественную характеристику приоритета критериев в однородной векторной задаче.

Определение 3.6. В однородной ЛВЗ 1 коэффициентом приоритета выбранного q критерия по отношению к другому к критерию будем называть отношения Определение 3.7. В однородной ЛВЗ 2 коэффициентом приоритета выбранного q - критерия по отношению к другому к критерию будем называть отношения ЛГ(Х) тс ІЇ\х) -(2), №=р или 1 и л (ЗЛ2) где q, к є Lt и q k; X є SLP2.

Определение 3.8. Будем считать, что в ЛВЗ 1, -критерий имеет приоритет по отношению к к критерию в т. X є SLPX, если рУ)я(Х) 1. Определение 3.9. Будем считать, что в ЛВЗ 2, -критерий имеет приоритет по отношению к к критерию в т. X є SLP2, если pf)q(X) 1.

Определение 3.10. Множество точек X є SLPX в ЛВЗ 1 или X є SLP2 в ЛВЗ 2, в которых g-критерий имеет приоритет по отношению к к -критерию, будем называть областью приоритета -критерия. Определение 3.11. В однородных ЛВЗ связь выбранного q - критерия со всеми остальными критериями определяется вектором приоритета Рч ={р[ )д\ или —ч [ и)я) Р -\Рк ( причем, t = l, если q,k eL,, a t = 2, если q,k єі , q к.

Таким образом, значение выбранного q - критерия может быть выражено через значения других А; критериев с помощью коэффициентов приоритета (3.11), (3.12). 3.1.3.2. Вычисление коэффициентов приоритета векторной задачи

В общем случае, коэффициент приоритета является нелинейной функцией p[ )q(X), как следует из (3.11), (3.12), но для того, чтобы ЛПР мог количественно задавать приоритет выбранного критерия, необходимо вычислять его значение. Здесь справедливы следующие теоремы. Теорема 3.7 В однородной ЛВЗ, если q - критерий имеет приоритет по отношению к к - критерию, то величина коэффициента приоритета находится в пределах ЯЛХе,у) ,)я ! G 13Ї 4(-0 A(0( rr где Xg - точка компромиссного решения соответствующей ВЗМП с равнозначны ми критериями, а X - точка, в которой q - критерий достигает своего максимума при решении «своей» скалярной задачи. Доказательство. Слева в выражении (3.13) стоит, как следует из определения 3.6, значение р[ )я(Х ), а справа - значение рУ)ч(Х), так как \ (Х) = 1, что следует из (2.6). Остается доказать, что pl )q (Xax) plk )q (Х ). Для этого разделим и, воспользовавшись соотношениями (2.6) и (3.11), а также выполняя необходимые преобразования, получим (3.14) рш(хГ) (/д"(х)-/д"тіЛ Г /Г (-C)-// )min p№iv) [л(0( )-л( )тіп ){лю{хг)-л{,)т\ Очевидно, что точка X принадлежит границе множества Парето и в области приоритета q - критерия X Xeqv. Из выпуклости функции fq(,) (X) следует, что f{,)(-Xqnax) fqt){-X \ и то, что первая скобка в (3.14) больше 1. Во второй скобке / ( eqv) Л( (Х3 ), так как для двух критериев в двух точках множества Парето по определению 2.2 должны выполняться неравенства Таким образом, вторая скобка в (3.14) не превышает 1, а это значит, что

Отсюда сразу следует соотношение (3.13), что и требовалось доказать. Можно сказать, что в общем случае, диапазон чисел представляет собой «траекторию движения» от точки Х , где критерии равнозначны, до точки X , где q - критерий имеет наибольший приоритет над остальными.

Задача оптимального обеспечения топливом предпри ятий энергетической промышленности с учетом каче ства энергоносителей

В современных условиях энергетические предприятия вынуждены строить свою работу с учетом конъюнктуры рынка энергоносителей, который в последнее время неуклонно расширяется. Например, предприятие ОАО «Новосибирскэнерго» ТЭЦ-2 закупает энергетический уголь на угольном рынке Кузбасса, который сегодня представляет собой 10 крупных угольных компаний, ряд самостоятельных фирм, объединяющий 47 шахт и 26 разрезов, 40 обогатительных фабрик и установок, а также ряд более мелких предприятий. Все они предлагают широкий ассортимент своей продукции - углей различных сортов, разной цены и соответствующего качества.

В условиях несвоевременной оплаты конечными потребителями услуг за произведенную электроэнергию ОАО «Новосибирскэнерго» часто испытывает финансовые затруднения и поэтому вынуждено закупать более дешевый, но некачественный уголь. Однако, как выяснили специалисты ТЭЦ, это приводит к тому, что возрастают удельные затраты на производство тепло- и электроэнергии в то время, как выход конечной продукции уменьшается. Более того, по подсчетам специалистов ОАО «Новосибирскэнерго», иногда убытки энергосистемы из-за потребления некачественного угля превышают выигрыш от покупки более дешевых энергоносителей.

Отсюда возникает задача оптимального выбора энергопредприятиями таких сортов угля, при использовании которых будет найден компромиссный вариант из следующих альтернатив [66]: а) максимизация объемов производства тепловой и электрической энергии; б) минимизация затрат на закупку и транспортировку энергоносителей; в) минимизация потерь при производстве тепло- и электроэнергии, связанные с качеством потребляемого угля.

Пусть xt (і = 1,«) - доля количества угля і-го сорта в общем объеме закупаемых энергоносителей, a pt - цена за 1 тонну соответствующего сорта, включая транспортировку. Качество угля определяется двумя основными параметрами: at - % содержания золы и 6( - % содержания влаги в единице веса і -го сорта. Для нормальной работы оборудования ТЭЦ-2 установлены соответствующие нормативы на допустимые значения этих параметров: а0=\6% и 60=8%. Специалистами ТЭЦ-2 были рассчитаны коэффициенты удельного выхода электрической (dt) и тепловой энергии (с,) при сжигании в котлоагрегатах 1 тонны угля г-го сорта. Решим задачу (4.10) по алгоритму ГРНК как линейную неоднородную задачу векторной оптимизации с равнозначными критериями. Для автоматизации процесса решения была выбрана программа электронных таблиц Excel 9.0 из пакета MS Office ХР (2002). В соответствии с алгоритмом решения таких задач, приведенном в п. 3.1.2 необходимо выполнить следующие этапы вычислений.

Таким образом, для получения оптимального решения необходимо закупать уголь 1 сорта в количестве 33,6% от общего объема и 66,4% угля 5 сорта. При этом общие затраты на закупку составят 54,5% от максимальной стоимости, затраты на потери от повышенной влажности составят 54,5% от максимальных, затраты на потери от повышенной зольности составят 59,8% от максимальных, производство тепловой энергии будет на уровне 58,8% от максимума, а производство электроэнергии - на уровне 57,8% от того максимума, который был бы достигнут, если в качестве единственного критерия выбрать только общий объем выработанной ТЭЦ-2 электрической энергии.

4. Поставим теперь задачу улучшить найденное компромиссное решение. Пусть ЛПР желает непременно уменьшить затраты на покупку энергетического угля даже за счет значений по остальным критериям. Для этого, в соответствии с алгоритмом решения неравнозначной линейной задачи векторной оптимизации, необходимо увеличить значение относительной оценки по 5-му критерию, ухудшив значения остальным критериев с помощью коэффициентов приоритета 5-го критерия по отношению к ним. Т.е., в этом случае угля 1 сорта следует закупать уже в количестве 98,8% от общего объема, а угля 5 сорта только 0,12%. Как видно, значение 5-го критерия явно улучшается и лишь на 1 % больше своего локального минимума. Однако значения других критериев стали явно хуже: затраты на потери от повышенной влажности и зольности возросли до 99% от максимума, выработка тепловой и электрической энергии снизились до значений лишь на 1% превышающих минимально возможные. Тем не менее, цель достигнута: значение критерия 5 явно улучшилось по сравнению с равнозначной задачей.

6. Рассмотрим другой вариант улучшения компромиссного значения равно значной задачи. Пусть теперь ЛПР желает увеличить выработку тепловой энергии. Это означает, что необходимо решить неравнозначную задачу с приоритетом 1-го критерия. Необходимые вычисления для определения пределов изменения коэффи циентов этого критерия по отношению к остальным представлены на рис.4.7.

Таким образом, в данном случае, следует закупить уголь 6 сорта в количестве 5% от общего объема, а остальные 95% должен составить уголь 7 сорта. При этом, выработка тепла поднимется до 99% от максимально возможного, так же увеличится и производство электроэнергии. Потери от повышенной влажности и зольности практически исчезнут (лишь на 1% больше минимально возможного значения), зато затраты на закупку и доставку резко возрастут и составят 99% от локального максимума. То, что, в данном случае, значения критериев 2,3 и 4 не ухудшились, а улучшились, объясняется особенностями интервалов изменения их коэффициентов приоритета. На рис. 4.7 видно, что управлять процессом получения нового компромиссного решения в этой задаче можно лишь с помощью коэффициента приоритета 5-го критерия - р5. Но это приводит к влиянию не только на улучшаемый критерий 1, но и на неуправляемые критерии 2, 3 и 4, которые связаны общими переменными. Тем не менее, цель достигнута, и критерий 1 явно улучшил свое значение по сравнению с равнозначной задачей.