Содержание к диссертации
Введение
1. Состояние проблемы оценивания традиционным методом взвешенных наименьших квадратов. Обоснование новой концепции направленного взвешивания 9
1.1. Выбор класса моделей наблюдения в алгоритмах оценивания 9
1.2. Традиционная концепция взвешивания метода наименьших квадратов 11
1.3. Работа традиционного метода взвешенных наименьших квадратов в условиях нормального функционирования идентифицируемого объекта. Недостатки традиционной концепции взвешивания 13
1.4. Вырождение информационной матрицы традиционного метода взвешенных наименьших квадратов. Предпосылки для выработки новой концепции «направленного» взвешивания 21
2. Концепции направленного взвешивания в методе наименьших квадратов 28
2.1. Причины появления и сущность направленного взвешивания 28
2.2. Метод наименьших квадратов с взвешиванием поступающих измерений 29
2.3. Ограниченность сверху и снизу информационной матрицы метода наименьших квадратов с направленным взвешиванием 34
2.4. Метод направленного взвешивания основанный на декомпозиции информационной матрицы R(i) 42
2.5. Ограниченность информационной матрицы метода наименьших квадратов с декомпозицией 50
3. Разработка алгоритма оценивания методом наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы 52
3.1. Критерий метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы 52
3.2. Оценка вектора параметров методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы 56
3.3. Анализ сходимости и свойства метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы 59
4. Метод наименьших квадратов с адаптивной настройкой коэффициента взвешивания 69
4.1. Адаптивная настройка скалярного коэффициента взвешивания 69
4.2. Меры количества информации в методе наименьших квадратов 70
4.3. Адаптивная настройка коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы 78
5. Оценка нестационарных параметров статической характеристики пьезокерамического преобразователя 92
5.1. Уравнение статической характеристики пьезокерамического преобразователя с нестационарными параметрами 92
1.1. Выбор алгоритма оценивания нестационарных параметров пьезокерамического преобразователя 95
1.2. Оценка параметров пьезокерамического преобразователя методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы 100
Заключение 106
Литература 109
Приложения 116
- Традиционная концепция взвешивания метода наименьших квадратов
- Метод наименьших квадратов с взвешиванием поступающих измерений
- Оценка вектора параметров методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы
- Меры количества информации в методе наименьших квадратов
Введение к работе
Задача идентификации систем является одним из важнейших направлений современной теории автоматического управления. Значительная часть объектов управления и систем описывается уравнениями с нестационарными параметрами, при этом, как правило, априорная информация о вариациях нестационарных параметров практически отсутствует. Как следует, из многочисленных публикаций к этой категории принадлежат системы из самых различных отраслей промышленности и направлений инженерной деятельности, например, таких как авиационная [1,2,3], космическая [4,5,6], нефтедобывающая [7], робототехническая [8], а также в таких направлениях науки как экономика [9], геодезия [10], гидравлика [11] и т.д. И если методы для оценки стационарных параметров разработаны довольно глубоко, то методы для оценки меняющихся во времени параметров продолжают в настоящее время активно развиваться. Так как, системы автоматического управления работают в режиме реального времени, для получения оценок вариаций параметров требуются эффективные и достаточно простые с вычислительной точки зрения рекуррентные алгоритмы оценивания. Наиболее предпочтительным в большинстве случаев, оказывается метод взвешенных наименьших квадратов [12]. Данный метод основан на классическом методе наименьших квадратов, разработанном Гауссом в XVIII веке и способном оценивать стационарные параметры систем в условиях помех измерений.
В связи с повсеместным распространением цифровой техники уравнения объектов и алгоритмы оценивания будут представлены в дискретной форме. Пусть наблюдения описываются линейным уравнением
регрессии и N — текущая оценка метода взвешенных наименьших квадратов. Благодаря коэффициенту взвешивания на формирование новой оценки в момент времени п влияет лишь несколько последних измерений A=N-K (К>0). Таким образом, в каждый момент времени N оценка N аппроксимирует истинную функцию вариаций параметров. На данном свойстве и основывается способность метода взвешенных наименьших квадратов оценивать нестационарные параметры.
Постановка эксперимента с целью получения необходимых наблюдений для расчета оценки предполагает выполнение ряда определенных условий влияющих на функционирование оцениваемого объекта. Например, тестовый сигнал на входе должен возбуждать все собственные колебания данного объекта, только в этом случае мы можем получить измерения, содержащие полную информацию о значениях параметров объекта. Но довольно часто для идентификации параметров объекта используются измерения полученные в режиме нормального функционирования объекта оценивания [13,14]. В этом случае приходится ограничиваться пассивными наблюдениями. В традиционном методе взвешенных наименьших квадратов никак не учитываются свойства сигнала на входе объекта оценивания - благодаря постоянному скалярному коэффициенту взвешивания старые измерения продолжают обесцениваться независимо от того содержат или нет последние измерения новую «информацию» о вариациях параметров. Например, система может периодически достаточно долгое время находиться в установившемся режиме и каждое новое поступающее измерение равно предыдущим и не несет в себе новой информации, но, тем не менее, из-за постоянного скалярного коэффициента взвешивания предыдущие измерения продолжают обесцениваться. В этом случае, использование традиционного метода взвешенных наименьших квадратов со скалярным коэффициентом
взвешивания может привести к вырождению информационной матрицы Фишера метода наименьших квадратов и, как следует из неравенства Крамера-Рао, резкому увеличению ошибки оценивания параметров [15]. Вырождение информационной матрицы приводит к стремлению к нулю некоторых ее собственных чисел. Поэтому, данный алгоритм теряет способность оценивать параметры в «направлениях» связанных с этими собственными числами. Для решения данной проблемы в настоящее время предлагается концепция «направленного» взвешивания. В этом случае используется векторный коэффициент взвешивания, и старые измерения информационной матрицы обесцениваются только в том «направлении», в котором поступает новая информация. На различной трактовке понятия «направления» поступления новой информации основываются различные алгоритмы «направленного» взвешивания [16-20].
Традиционно коэффициент взвешивания выбирался постоянным (X=const), что является существенным недостатком метода взвешенных наименьших квадратов. Очевидно, что существует некоторая закономерность, позволяющая рассчитать коэффициент взвешивания исходя из динамики (частота, скорость, дисперсия и т.д.) изменения параметров. При этом, должен быть учтен следующий компромисс: чем меньше коэффициент взвешивания, тем меньше последних измерений участвует в формировании оценки и тем более способность алгоритма расчета оценки своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров, но, в этом случае, повышается чувствительность алгоритма к помехам измерений и, наоборот, чем больше коэффициент взвешивания тем лучше действует эффект усреднения помех измерений, но также теряется способность своевременного реагирования алгоритма на вариации параметров. Таким образом, задача нахождения указанной закономерности является довольно сложной — требуется, чтобы полученный алгоритм как эффективно отслеживал вариации нестационарных параметров, так и максимально исключал
воздействие на оценку помех измерений, в то же время сохраняя остальные привлекательные свойства метода наименьших квадратов, в том числе, и простоту вычислительной реализации. В настоящий момент это направление интенсивно разрабатывается, подтверждением чему является ряд публикаций, например [21-29].
Целью данной работы является:
Найти причины вырождения информационной матрицы метода наименьших квадратов и, как следствие, появления резких неограниченных всплесков оценок в случае использования традиционной концепции взвешивания измерений в режиме нормальной работы объекта оценивания;
исходя из условий вырождения информационной матрицы традиционного метода взвешенных наименьших квадратов, выявить предпосылки появления и обосновать целесообразность использования новой концепции «направленного» взвешивания;
анализ свойств существующих алгоритмов «направленного» взвешивания информационной матрицы метода наименьших квадратов и выявление наилучшего;
синтез (независимого от свойств сигнала на входе объекта оценивания) алгоритма расчета оценок неизвестных параметров объекта на основе выбранной схемы «направленного» взвешивания матрицы измерений; анализ сходимости и изучение свойств полученного алгоритма;
анализ алгоритмов адаптивной настройки коэффициента взвешивания позволяющих эффективно отслеживать вариации нестационарных параметров с переменой динамикой; выявление наилучшего и, путем объединения его с алгоритмом полученным на предыдущем этапе, синтез комплексного метода оценивания позволяющего как эффективно отслеживать вариации параметров с переменной
динамикой, так и независимого к свойствам сигнала на входе объекта оценивания;
верификация полученного алгоритма на дискретной модели пьезокерамического преобразователя с помощью пакета программного обеспечения MATLAB;
вывод рекомендаций к практическому применению полученного комплексного алгоритма оценивания нестационарных параметров объекта.
Традиционная концепция взвешивания метода наименьших квадратов
Задача идентификации систем является одним из важнейших направлений современной теории автоматического управления. Значительная часть объектов управления и систем описывается уравнениями с нестационарными параметрами, при этом, как правило, априорная информация о вариациях нестационарных параметров практически отсутствует. Как следует, из многочисленных публикаций к этой категории принадлежат системы из самых различных отраслей промышленности и направлений инженерной деятельности, например, таких как авиационная [1,2,3], космическая [4,5,6], нефтедобывающая [7], робототехническая [8], а также в таких направлениях науки как экономика [9], геодезия [10], гидравлика [11] и т.д. И если методы для оценки стационарных параметров разработаны довольно глубоко, то методы для оценки меняющихся во времени параметров продолжают в настоящее время активно развиваться. Так как, системы автоматического управления работают в режиме реального времени, для получения оценок вариаций параметров требуются эффективные и достаточно простые с вычислительной точки зрения рекуррентные алгоритмы оценивания. Наиболее предпочтительным в большинстве случаев, оказывается метод взвешенных наименьших квадратов [12]. Данный метод основан на классическом методе наименьших квадратов, разработанном Гауссом в XVIII веке и способном оценивать стационарные параметры систем в условиях помех измерений.
В связи с повсеместным распространением цифровой техники уравнения объектов и алгоритмы оценивания будут представлены в дискретной форме. Пусть наблюдения описываются линейным уравнением регрессии и N — текущая оценка метода взвешенных наименьших квадратов. Благодаря коэффициенту взвешивания на формирование новой оценки в момент времени п влияет лишь несколько последних измерений A=N-K (К 0). Таким образом, в каждый момент времени N оценка N аппроксимирует истинную функцию вариаций параметров. На данном свойстве и основывается способность метода взвешенных наименьших квадратов оценивать нестационарные параметры.
Постановка эксперимента с целью получения необходимых наблюдений для расчета оценки предполагает выполнение ряда определенных условий влияющих на функционирование оцениваемого объекта. Например, тестовый сигнал на входе должен возбуждать все собственные колебания данного объекта, только в этом случае мы можем получить измерения, содержащие полную информацию о значениях параметров объекта. Но довольно часто для идентификации параметров объекта используются измерения полученные в режиме нормального функционирования объекта оценивания [13,14]. В этом случае приходится ограничиваться пассивными наблюдениями. В традиционном методе взвешенных наименьших квадратов никак не учитываются свойства сигнала на входе объекта оценивания - благодаря постоянному скалярному коэффициенту взвешивания старые измерения продолжают обесцениваться независимо от того содержат или нет последние измерения новую «информацию» о вариациях параметров. Например, система может периодически достаточно долгое время находиться в установившемся режиме и каждое новое поступающее измерение равно предыдущим и не несет в себе новой информации, но, тем не менее, из-за постоянного скалярного коэффициента взвешивания предыдущие измерения продолжают обесцениваться. В этом случае, использование традиционного метода взвешенных наименьших квадратов со скалярным коэффициентом взвешивания может привести к вырождению информационной матрицы Фишера метода наименьших квадратов и, как следует из неравенства Крамера-Рао, резкому увеличению ошибки оценивания параметров [15]. Вырождение информационной матрицы приводит к стремлению к нулю некоторых ее собственных чисел. Поэтому, данный алгоритм теряет способность оценивать параметры в «направлениях» связанных с этими собственными числами. Для решения данной проблемы в настоящее время предлагается концепция «направленного» взвешивания. В этом случае используется векторный коэффициент взвешивания, и старые измерения информационной матрицы обесцениваются только в том «направлении», в котором поступает новая информация. На различной трактовке понятия «направления» поступления новой информации основываются различные алгоритмы «направленного» взвешивания [16-20].
Традиционно коэффициент взвешивания выбирался постоянным (X=const), что является существенным недостатком метода взвешенных наименьших квадратов. Очевидно, что существует некоторая закономерность, позволяющая рассчитать коэффициент взвешивания исходя из динамики (частота, скорость, дисперсия и т.д.) изменения параметров. При этом, должен быть учтен следующий компромисс: чем меньше коэффициент взвешивания, тем меньше последних измерений участвует в формировании оценки и тем более способность алгоритма расчета оценки своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров, но, в этом случае, повышается чувствительность алгоритма к помехам измерений и, наоборот, чем больше коэффициент взвешивания тем лучше действует эффект усреднения помех измерений, но также теряется способность своевременного реагирования алгоритма на вариации параметров. Таким образом, задача нахождения указанной закономерности является довольно сложной — требуется, чтобы полученный алгоритм как эффективно отслеживал вариации нестационарных параметров, так и максимально исключал воздействие на оценку помех измерений, в то же время сохраняя остальные привлекательные свойства метода наименьших квадратов, в том числе, и простоту вычислительной реализации. В настоящий момент это направление интенсивно разрабатывается, подтверждением чему является ряд публикаций, например [21-29].
Метод наименьших квадратов с взвешиванием поступающих измерений
Рассмотрим еще раз формулы рекуррентного оценивания метода наименьших квадратов [12]: где (p(N) вектор измерений, R(N) информационная матрица и A(N)G(0,1) коэффициент взвешивания. При использовании коэффициента взвешивания старые измерения обесцениваются по экспоненте. Как было указано в предыдущей главе, данный алгоритм дает желаемые оценки, пока данные соответствуют определенным условиям, также указанным в предыдущей главе. Из (2.2) следует, что независимо от того несет ли новый вектор измерений p(N) достаточно информации о динамике процесса, старые данные матрицы R(N) продолжают обесцениваться независимо от того, могут ли они быть заменены новыми. В этом случае, собственные числа матрицы R(N) могут стремиться к нулю и, как следствие, это приведет к неограниченному росту коэффициента сглаживания R (N) p(N) в (2.1), а значит и к неограниченному всплеску оценки N. Также алгоритм становится очень чувствительным к помехам. Итак, из приведенных выше рассуждений следует, что более подходящий метод взвешивания заключается в том, чтобы взвешивать только ту часть данных, которая может быть заменена новыми. Такие алгоритмы объединены в семейство с названием метод наименьших квадратов с направленным взвешиванием [16-20]. Далее в этой главе будет рассмотрен появившийся первым, наиболее распространенный алгоритм направленного взвешивания, а далее, будет приведен более совершенный подход.
Второе слагаемое уравнения (2.6) представляет новую поступающую информацию. Информационная матрица R(N) изменяется одноранговой матрицей пропорционально p{N) pT (N). Можно сказать, что матрица R(N), в некотором смысле, меняется в направлении вектора p(N) [16, 17]. Так как, согласно принципу направленного взвешивания, старая информация должна обесцениваться в направлении поступления новой информации перепишем матрицу весовых коэффициентов так чтобы:
Вывод рекуррентной формулы (2.9) полностью аналогичен выводу соответствующей формулы для классического метода наименьших квадратов, приведенному в первой главе Рассмотрим некоторые отличительные особенности полученного алгоритма от классического метода взвешенных наименьших квадратов. Для этого перепишем формулу рекуррентного обновления информационной матрицы (1.7) классического метода взвешенных наименьших квадратов в следующем виде:
Сравнив формулы (2.8) и (2.10) можно увидеть, что в обоих уравнениях информация в момент времени N разделена на три составляющие: информацию в момент времени N-1, устаревшую информацию, которая удаляется и обновляющую информацию. Метод добавления новой информации одинаков в обоих случаях - информация добавляется в одном направлении, зависящем от одноранговой матрицы (p(N) pT(N). Но в то же время информация в уравнении (2.10) удаляется во всех направлениях, так как матрица (1-A)R(N -1) полного ранга. В уравнении же (2.8) устаревшая информация удаляется только в том направлении, в котором прибывает новая.
Рассмотрим некоторые ограничения на выбор коэффициента взвешивания a(N). Очевидно, что a(N) должен быть неотрицательным, так как отрицательный коэффициент предполагает прибавление информации вместо ее обесценивания. Когда оценки сошлись к их истинным значениям, коэффициент a(N) должен быть равен p(N,N). Из уравнения (2.8) также следует, что матрица R(N) может стать отрицательно определенной, если выбрать a(N) слишком большим. В [17] приведена и доказана теорема согласно которой последовательность матриц P(i) будет положительно определенной для всех / = 1,...,ЛГ если и только если коэффициент a(N) соответствует следующим условиям:
Оценка вектора параметров методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы
Как видно, формула (3.19) представляет собой привычное для метода наименьших квадратов и удобное соотношение для рекуррентного расчета оценок.
В общем, формула (2.19) совместно с (2.43)-(2.47) и представляют рекуррентный алгоритм расчета вектора параметров объекта оценивания методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы.
Для подтверждения эффективности полученного алгоритма рассмотрим оценки параметров объекта (1.10) полученные при различных условиях работы алгоритма. Как показано на рис.3.1 — рис.3.2 алгоритм достаточно точно оценивает переменные (1.11) параметры во время переходного процесса, когда сигнал на входе объекта соответствующего условию постоянного возбуждения (1.13) и, таким образом, возбуждает все собственные колебания объекта (на измерения воздействует помеха [0,0.16]).
Рассмотрим работу алгоритма во время работы объекта в установившемся режиме, когда сигнал на входе объекта не соответствует условию постоянного возбуждения (1.13). Значительным преимуществом данного алгоритма перед методом направленного взвешивания, рассмотренным в предыдущей главе, является его возможность, при прочих равных условиях, сохранять способность к отслеживанию вариаций параметров, что подтверждается на рис.3.3 и рис.3.4, когда сигнал на входе перестает соответствовать условиям постоянного возбуждения. Только при увеличении на порядок значения параметра сигнала на входе определяющего скорость сходимости выхода объекта к постоянной величине (момент, когда сигнал на входе перестает соответствовать условию постоянного возбуждения), полученный метод показывает результаты схожие с методом направленного взвешивания, рассмотренным раннее. Данное наблюдение подтверждается рис.3.5.
При воздействии помехи измерений особое внимание следует уделить выбору, так называемой, зоны нечувствительности (2.38) алгоритма. Если зона нечувствительности слишком мала, алгоритм становится чувствителен к помехам измерений (особенно в случае не соответствия сигнала на входе оцениваемого объекта условию постоянного возбуждения), если слишком велика, алгоритм теряет способность отслеживать вариации параметров. Данные выводы подтверждены результатами моделирования на рис.3.6 и рис.3.7. Наилучшим выходом в данной ситуации будет предварительная фильтрация измерений выхода объекта с целью сглаживания помехи. Это даст возможность сократить зону нечувствительности до минимального (вплоть до нулевого) значения, что значительно улучшит работу алгоритма при поступлении любых сигналов на вход объекта оценивания.
После того как получен алгоритм расчета оценок метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы следует проанализировать сходимость оценок данного алгоритма к истинным параметрам объекта оценивания.
Меры количества информации в методе наименьших квадратов
В данной работе разрабатывались методы идентификации параметров нестационарных линейных объектов в режиме их нормального функционирования, основанные на технологии рекуррентных процедур метода наименьших квадратов в линейной схеме наблюдений.
В первой главе приведены классы нестационарных моделей и систем, уравнения которых приводятся к стандартному уравнению линейной регрессии , представляющему основной объект проводимых исследований, а в качестве базового алгоритма рассмотрен рекуррентный вариант традиционного метода взвешенных наименьших квадратов, соответствующий задаче идентификации в режиме нормального функционирования объекта. Показано, что работа данного класса алгоритмов может привести к вырождению матрицы измерений и, как следствие, к неограниченному росту погрешности оценивания, что делает невозможным дальнейшие вычисления оценок. Отмеченное обстоятельство является существенным недостатком традиционной схемы взвешивания и требует дополнительных исследований в этой области. В этой связи были выявлены причины вырождения информационной матрицы, и сформулирована содержательная основа предлагаемой концепции направленного взвешивания: смысл данного подхода состоит в том, что в процессе обработки данных решения задачи идентификации, обесцениваются только те вновь поступающие измерения, которые могут быть заменены новыми. Во второй главе анализируются существующие методы направленного взвешивания с целью выбора наилучшей в смысле структурных свойств матрицы измерений. Показано, что наиболее предпочтительной является концепция направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией информационной матрицы. В a случае вектора составляющие линейное многообразие измерений обесцениваются в направлении ортогональной проекции нового вектора измерений на данное линейное многообразие. При этом, что существенно, информационная матрица остается ограниченной как сверху так и снизу. В третьей главе на основе концепции направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией информационной матрицы разработан рекуррентный алгоритм вычисления оценок нестационарных параметров объекта, а также получен отвечающий этой процедуре критерий минимизации разработанного алгоритма. На основе выведенного критерия минимизации доказана сходимость оценок данного алгоритма в детерминированном случае. Далее, на основе полученных результатов выведены свойства несмещенности и состоятельности получаемых в результате вычислений оценок. В четвертой главе решена задача о настройке скалярной составляющей коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы. Данная составляющая позволяет обесценивать накопленные измерения в соответствии с динамикой вариаций параметров. В этой связи , в четвертой главе были проанализированы алгоритмы адаптивной настройки коэффициента взвешивания и выбран наиболее оптимальный с вычислительной точки зрения вариант . Полученный в результате проведенных исследований метод оценивания представляет собой комплексный алгоритм оценивания нестационарных параметров объекта в условиях нормального функционирования идентифицируемого объекта. Направленное взвешивание с ортогональной декомпозицией информационной матрицы предотвращает ее вырождение в условиях текущих наблюдений , а адаптивная настройка скалярной составляющей коэффициента взвешивания позволяет своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров объекта оценивания. При этом, важным обстоятельством является то, что предлагаемому алгоритму не требуется априорной информации о вариациях параметров и характеристиках помехи наблюдений. Данные особенности делают возможным использовать полученные результаты при решении широкого класса нестационарных задач обработки данных, в том числе, в контурах адаптивных систем управления.
В пятой главе результаты проведенных исследований были использованы для расчета оценок нестационарных параметров уравнения статической характеристики пьезокерамического преобразователя. Предлагается полученные оценки использовать как для формирования адаптивного закона управления, так и для последующего изучения характеристик сигнала на выходе преобразователя в режиме текущих наблюдений.
В целом, результаты проведенных исследований обосновывают целесообразность взвешивания измерений в задачах идентификации, свидетельствуют о высокой работоспособности и эффективности разработанных рекуррентных процедур с ортогональной декомпозицией линейного многообразия измерений, позволяют рекомендовать эти алгоритмы для решения широкого класса нестационарных задач обработки данных.
